Skripta termofyzika

pacity?
a) J.K
-1
b) J.kg
-1
.K
-1
c) J.m
-3
.K
-1
d) J.kg
-1

Příklad 1.5.:
V rybníku je voda o objemu 1000 m
3
. Jaké množství tepla musíme dodat vodě, aby se její teplota zvýšila o
10
o
C? Měrná tepelná kapacita vody je 4,2.10
3
J.kg
-1
.K
-1
, hustota vody je 10
3
kg.m
-3
.
Příklad 1.6.:
Na tři tělesa, která se pohybují po vodorovné podlaze, působí síly
1
F
r
,
2
F
r
a
3
F
r
. Všechny síly mají
stejnou velikost F, ale různý směr, jak je vidět na obrázku. Urazí-li tělesa stejné dráhy, pak největší práci
vykoná
8 FEKT Vysokého učení technického v Brně
a) síla b) síla c) síla
3
F
r
d) všechny síly stejnou
1
F
r
2
F
r





s s s
3
F
r
2
F
r
1
F
r
α


2.2.2 Kinetická teorie plynů
Příklad 2.1.:
V p,T diagramu je znázorněn jistý děj probíhající v ideálním plynu. Jedná se o děj


p (Pa)

a) izochorický p
2
b) izobarický
c) izotermický
d) adiabatický p
1



T
1
T
2
T (K)

Příklad 2.2.:
Vzduch má počáteční tlak p
1
. Zvýšíme-li tlak vzduchu o ∆p = 0,2 MPa, zmenší se při konstantní teplotě
objem vzduchu z V
1
= 1.10
5
l na V
2
= 0,6.10
5
l. Vypočítejte počáteční tlak p
1
vzduchu.
Příklad 2.3.:
Ideální plyn stálé hmotnosti zvětšil svůj objem z 5.10
-3
m
3
na 7.10
-3
m
3
při konstantním tlaku 1.10
5

Pa a vykonal přitom práci
a) 2.10
2
J b) 0,5.10
8
J c) 2.10
-8
J d) 2.10
-2
J

Příklad 2.4.:
V určitém množství ideálního plynu probíhala stavová změna, aniž plyn konal práci. Tato stavová změna
byla zcela určitě změnou
a) izotermickou b) izobarickou c) izochorickou d) adiabatickou

Příklad 2.5.:
Ve třech nádobách stejného objemu jsou různé plyny: vodík, helium, kyslík, jejichž tlak a teplota jsou
stejné. Vyberte správné tvrzení:
a) v nádobách jsou stejné počty molekul b) v nádobě s vodíkem je nejvíce molekul
c) v nádobě s kyslíkem je nejvíce molekul d) obsahy lahví mají stejné hmotnosti

Termodynamika 9
2.2.3 Entropie
Příklad 3.1.:
Tepelný motor pracující na základě Carnotova cyklu, jehož ohřívač má teplotu t
1
= 127
0
C, nabere při
každém cyklu teplo Q
1
= 20 kJ a odevzdá chladiči teplo Q
2
= 16 kJ. Účinnost stroje je:

a) 20% b) 25% c) 50% d) 80%
.
Příklad 3.2.:
Teplota chladiče tepelného stroje z úlohy T1 je

a) 300
0
C b) 100
0
C c) 47
0
C d) 27
0
C .
Příklad 3.3.:
Maximální účinnost parního stroje, který pracuje s párou teploty 177
0
C a jehož chladič má teplotu
42
0
C je
a) 24 % b) 30 % c) 43 % d) 76 % .
Příklad 3.4.:
Tepelný motor pracující na základě Carnotova cyklu vykonal během jednoho cyklu práci 3.10
4
J a
chladiči odevzdal teplo 7.10
4
J. Účinnost motoru je

a) 30 % b) 70 % c) 40 % d) 43 % .
Příklad 3.5.:
Se kterým z níže uvedených zákonů by byl v rozporu samovolný přechod tepla z tělesa s nižší teplotou na
těleso s vyšší teplotou?
a) S prvním zákonem termodynamiky b) s druhým zákonem termodynamiky
c) s prvním i druhým zákonem termodynamiky d) se žádným z uvedených zákonů.


3 Teplo a teplota
V následujících třech kapitolách se budeme zabývat termodynamikou, která formuluje
zákony, jimiž se řídí transformace tepla na jiné formy energie. V kapitole teplo a teplota si
nejprve ujasníme jakým způsobem popisujeme v termodynamice stav systému a změny v něm
probíhající, seznámíme se podrobněji s ústředními pojmy termodynamiky - teplotou a teplem.
V závěru kapitoly bude formulován první zákon (princip) termodynamiky - jeden ze tří
principů, na nichž je termodynamika založena a ukážeme si jeho aplikaci na několika
příkladech.
10 FEKT Vysokého učení technického v Brně
3.1 Stav systému
Termodynamika se zabývá zákony, jimiž se řídí transformace tepla v jiní formy
energie. Je založena na několika zákonech - tzv. principech termodynamiky (srovnejte
s mechanikou-Newtonovými zákony).
3.1.1 Termodynamický systém
Termodynamickým systémem rozumíme makroskopický objekt (respektive objekty),
jehož vlastnosti vyšetřujeme. Např. plyn uzavřený v nádobě, krystal pevné látky, P-N přechod
a pod.
3.1.2 Stavové parametry
Vlastnosti zkoumaného termodynamického systému a podmínky, v nichž se systém
nachází, charakterizujeme pomocí vhodných makroskopických veličin – stavových
parametrů. Např. hustota, teplota, tlak, objem, energie, chemické složení ...
Funkcemi stavových parametrů jsou stavové funkce. Dále potřebujeme znát okrajové
podmínky popisující vztah systému k jeho okolí, např. síly, kterými na systém působí nabitá
tělesa a pod.
Podle způsobu interakce systému s okolím rozdělujeme termodynamické systémy na
izolované systémy, u nichž nedochází k výměně energie ani látky s okolím,
uzavřené systémy, u nichž nedochází k výměně látky s okolím, pouze k výměně energie a
otevřené systémy, u nichž dochází k výměně energie i látky s okolím.


látka
energie
látka
energie
látka
energie
Systém
Okolí

Otevřený systém Uzavřený systém Izolovaný systém

Obr. 1: Termodynamické systémy (otevřený, uzavřený, izolovaný)
3.1.3 Stav termodynamické rovnováhy
je stav, do kterého systém dospěje, izolujeme-li jej od jeho okolí a necháme-li jej
vyvíjet tak dlouho až se jeho stav, určený stavovými parametry, dále nemění. Změníme-li
např. objem plynu (a dále jej již neměníme), po jisté době se tlak dále nemění a jeho hodnota
není rovna hodnotě tlaku před změnou objemu. Doba, která uplyne od změny vnějších
parametrů do vzniku rovnovážného stavu se nazývá relaxační doba. Její délka se vyznačuje
velkým rozpětím od 10
-10
s do několika let.
Termodynamika 11
3.2 Teplota jako stavová veličina
Teplota patří k centrálním pojmům termodynamiky, je jednou ze základních veličin
SI. Měříme ji teploměrem obsahujícím látku s vhodnou vlastností, která se pravidelně mění,
když se teploměr zahřeje nebo ochladí. Všimněme si vztahu teploty a termodynamické
rovnováhy.
Dvě tělesa - systémy A a B, uvedeme do vzájemného kontaktu.

A
B


Obr. 2: Vzájemný kontakt těles A a B

Mohou nastat dva případy:
1. Tělesa A a B se nachází v termodynamické rovnováze. (Tlak plynu se po uskutečnění
kontaktu nemění). Obě tělesa A a B mají stejnou teplotu.
2. Nastane změna stavu obou těles. Rovnovážný stav nastane až po uplynutí relaxační
doby. (Tlak plynu se ustálí na jiné hodnotě, než před uskutečněním kontaktu těles A a B). Na
počátku děje měla tělesa různou teplotu.
Teplota je jednou ze stavových veličin, charakterizující stav tepelné (termodynamické)
rovnováhy systému.
3.3 Měření teploty
3.3.1 Plynový teploměr s konstantním objemem.



Obr. 3: Plynový teploměr s konstantním
objemem,
jehož baňka je ponořena do lázně o teplotě T ,
která má být změřena.

Teplota měřená plynovým teploměrem - ideální
plynová teplota.


12 FEKT Vysokého učení technického v Brně

Prostudujte odstavec Plynový teploměr s konstantním objemem, str. 498 v
D. Halliday – R. Resnick – J. Walker : Fyzika. 1.vydání,
VUTIUM Brno a PROMETHEUS Praha, 2000 ISBN 80-214-1868-0
D. Halliday – R. Resnick – J. Walker : Fyzika. dotisk,
VUTIUM Brno a PROMETHEUS Praha, 2003 ISBN 80-214-1868-0 , dále jen HRW

Zadání všech úkolů s uvedenou stránkou naleznete v HRW.
3.3.2 Celsiova teplotní stupnice
K jejímu sestrojení volíme dva základní stavy :
1. Rovnovážný stav chemicky čisté vody a jejího ledu za tzv. normálního tlaku,
101,325 kPa (původně tlak fyzikální atmosféry). Tomuto stavu přiřazujeme teplotu 0°C.
Stručně : Teplota tání ledu za normálního tlaku.
2. Rovnovážný stav chemicky čisté vody a její syté páry za normálního tlaku. Tomuto
stavu je přisouzena teplota 100°C. Stručně :Teplota varu vody za normálního tlaku.
Rozdělíme-li teplotní stupnici mezi těmito základními teplotami na 100 stejných dílků,
odpovídá jeden dílek teplotnímu rozdílu jednoho Celsiova stupně (1°C).

Pozn.: Fahrenheitova stupnice:
{} {}32
5
9
+=
CF
TT ,
T
F
je číselná hodnota Fahrenheitovy teploty , T
C
Celsiovy teploty.
3.3.3 Kelvinova stupnice
Absolutní teplotní stupnice, Kelvinova, je definována pomocí jednoho stavu, a to
teploty trojného bodu vody. V tomto stavu jsou v rovnováze všechna tři skupenství H
2
O, tj.
led, voda, sytá vodní pára.
Jednotka teploty jeden kelvin, 1K, je stejně velká jako 1 stupeň Celsia, 1°C.
Trojnému bodu vody je přiřazena hodnota 273,16 K (přesně).
1 kelvin je tedy
1
27316,
-tá část teploty trojného bodu vody.
Pozn.: Celsiova teplota trojného bodu vody je 0,01°C.


0
-273,15
0,01
273,16 T / K
t / °C


Obr. 4: Znázornění Kelvinovy a Celsiovy stupnice

Vztah mezi teplotou T v kelvinech a teplotou T
C
ve stupních Celsia je
Termodynamika 13

T = () K , {} 15,273+
C
T
přičemž { je číselná hodnota teploty ve stupních Celsia. }
C
T
3.4 Teplotní roztažnost
3.4.1 Délková roztažnost
Má-li tyč (např. kovová) délku d, potom při vzrůstu teploty o ∆T vzroste její teplota o
hodnotu
Tdd ∆=∆α,
kde α je tzv. teplotní součinitel délkové roztažnosti.
Její jednotkou je K
-1
.
3.4.2 Objemová roztažnost

Zvýší-li se teplota pevné látky nebo tekutiny o hodnotu ∆T, zvýší se objem o hodnotu
TVV ∆=∆β,
kde β je teplotní součinitel objemové roztažnosti materiálu.
Pro pevné látky platí
. αβ 3=
Pozn.: Voda se v rozmezí teplot 0
0
C – 4
0
C smršťuje.
3.5 Teplota a teplo
3.5.1 Tepelný pohyb
Látky kteréhokoliv skupenství se skládají z obrovského množství částic (∼10
22
)-
atomů, molekul, iontů (mluvíme o diskrétní, tj. nespojité struktuře látky).
Částice se v látkách neustále a neuspořádaně (tj. chaoticky) pohybují:
Např. částice plynu mohou vykonávat posuvný pohyb, i otáčivý pohyb (víceatomové
molekuly), částice v pevných látkách vykonávají kmitavý pohyb.
Neustálý a neuspořádaný pohyb částic v látkách se nazývá tepelný pohyb.
Princip molekulárního chaosu:
U systému, který je jako celek v klidu, nepřevládá v daném okamžiku žádný směr, ve kterém
by se pohybovala většina částic. Všechny směry rychlostí částic jsou stejně pravděpodobné.
14 FEKT Vysokého učení technického v Brně
3.5.2 Vnitřní energie
Vnitřní energie systému je ta část jeho celkové energie, kterou by systém měl, kdyby
na něj nepůsobila žádná vnější silová pole a systém se nepohyboval. Je jednoznačně určena
stavovými parametry, je tedy stavovou funkcí.
Vnitřní energie systému je rovna součtu kinetické energie tepelného pohybu
molekul a potenciální energie odpovídající vzájemnému působení (interakci) molekul.
Pozn.: Neuvažujeme, že by probíhaly chemické reakce nebo jaderné přeměny.
3.5.3 Teplo
Tepelná výměna:
Tepelnou výměnou rozumíme děj, při kterém si částice jednoho tělesa vyměňují energii
s částicemi druhého tělesa prostřednictvím vzájemných srážek v místě dotyku těles.
Uvažme systém dvou těles A a B o různých teplotách, které uvedeme do kontaktu.


A
B
U
U
U'
U'
B
A
A
A
B
B

Obr. 5: Tepelná výměna


Bilance energie: Nechť systém skládající se z těles A a B je izolovaný.
Počáteční vnitřní energie tělesa A nechť je: U
A
, tělesa B: U
B .
Po uvedení obou těles do
vzájemného kontaktu - po vytvoření termodynamické rovnováhy -
vnitřní energie tělesa A je : U , tělesa B : U . ′
A
′
B
Pro izolovaný systém platí zákon zachování energie
∆U
A
+ ∆U
B
= 0,
kde , . ∆UUU
AA
= ′ −
A B
∆UUU
BB
= ′ −
Součet změny vnitřní energie tělesa A a změny vnitřní energie tělesa B je roven nule.
Označíme-li
∆U
A
= Q
A
a ,
BB
QU =∆
platí Q .
BA
Q−=
Termodynamika 15
Veličina Q se nazývá teplo. Teplo je mírou změny vnitřní energie při tepelné výměně mezi
dvěma tělesy. V případě, že Q
A
> 0, řekneme: Těleso A zvětšilo svou vnitřní energii
přijetím tepla Q, těleso B zmenšilo svou vnitřní energii přijetím tepla -Q.
Teplo je tedy veličina, která je rovna změně vnitřní energie při tepelné výměně mezi
dvěma tělesy ( resp. mezi systémem a okolím).
Teplu přijatému systémem přisuzujeme kladné znaménko, teplu systému
odejmutému záporné znaménko.
Pozn: Tepelná výměna může probíhat také mezi dvěma tělesy, která se vzájemně
nedotýkají-- přenos energie zářením.
Jednotkou tepla je Joule (jednotka energie).
Pozn.1: Teplo není stavová veličina. Jeho hodnota závisí na způsobu (ději, změně),
kterým je dodáváno.
Pozn.2: Mezi jednotkou tepla kalorií (1 cal) a joulem platí převodní vztah
1 cal = 4,186 J .
Kalorie je definována jako množství tepla, které zvýší teplotu 1 g vody ze 14,5
0
C na
15,5
0
C.
3.6 Zahřívání pevných látek a kapalin
3.6.1 Tepelná kapacita

Tepelná kapacita C tělesa je dána vztahem
)(
if
TTCQ −= ,

kde T
i
je počáteční a T
f
koncová teplota tělesa, Q je teplo dodané tělesu.
Promyslete fyzikální význam veličiny C.
Jednotkou tepelné kapacity je J⋅K
-1

3.6.2 Měrná tepelná kapacita
Měrná tepelná kapacita c (tepelná kapacita na jednotku hmotnosti)
je dána vztahem
TcmTTcmQ
if
∆=−= )(

kde m je hmotnost.
Jednotkou měrné tepelné kapacity je J⋅kg
-1
. K
-1

Pozn.1.: Měrná tepelná kapacita vody je 1 cal/(g ·
o
C) = 4190 J/(kg·K).
Pozn.2.: V případě, že c závisí na teplotě, musíme přejít k nekonečně malým
veličinám
16 FEKT Vysokého učení technického v Brně
dQ = cmdT .
3.6.3 Molární tepelná kapacita
Molární tepelná kapacita c
mol
( tepelná kapacita na jednotku látkového množství )
je dána vztahem
Q = c
mol
n (T
f
– T
i
) = c
mol
n∆T ,
kde n je látkové množství.
Jednotka látkového množství (základní jednotka v SI ) je 1 mol:
1 mol je 6,02.10
23
elementárních jednotek látky (molekul, atomů,...) .
Definice: Jeden mol je látkové množství obsahující tolik částic ( např. molekul )
kolik je atomů ve 12 g izotopu uhlíku
12
. C
6
Pozn.: Stanovení látkového množství viz následující kapitola .
Stanovte jednotku molární tepelné kapacity.
Měrná i molární tepelná kapacita stejně tak jako teplo je veličina, která se vztahuje k ději.
Závisí na způsobu, kterým je teplo systému dodáváno (resp. odebíráno)
Dodávání tepla systému, které se projeví změnou jeho teploty, lze realizovat nejjednodušším
způsobem izochoricky, tj. při konstantním objemu (V = konst).

V=konst.
p=konst.


Obr. 6: Izochorický a izobarický děj

Definujeme měrnou tepelnou kapacitu při konstantním objemu.
Jiným významným dějem, při němž je systému dodáváno teplo, přičemž se zvýší
teplota systému, je děj izobarický, tj. probíhající při konstantním tlaku (p = konst).
Definujeme potom měrnou tepelnou kapacitu při konstantním tlaku.
Definice viz následující kapitola.
Pozn.: Rozdíl mezi oběma veličinami je pro pevné látky a kapaliny zanedbatelný.

3.6.4 Kalorimetrická rovnice
Uvažujme dvě tělesa A a B (pevné látky nebo kapaliny) tvořící izolovaný systém.
Těleso A má hmotnost m
A
, měrnou tepelnou kapacitu c
A
, teplotu T
A
, těleso B hmotnost
m
B
, měrnou tepelnou kapacitu c
B
, teplotu T
B
. Nechť např. je T
B
< T
A
. Tělesa uvedeme do
Termodynamika 17
kontaktu. Po uplynutí relaxační doby se vytvoří stav termodynamické rovnováhy
charakterizovaný teplotou T.
Teplo Q
A
, které odevzdalo těleso A musí být rovno teplu Q
B
, které přijalo těleso B :
Q
A
= Q
B
.
Výsledná teplota společná pro obě tělesa splňuje vztah
T
A
> T > T
B
.
Pro Q
A
a Q
B
platí
Qm cTT
AAAA
=−(), .QmcTT
BBB B
=−()
A tedy
.)()(
BBBAAA
TTcmTTcm −=−

Tato rovnice se nazývá kalorimetrická (také směšovací) rovnice a je základní rovnicí pro
kalorimetrická měření - zpravidla měření měrných tepelných kapacit, změn vnitřní energie a
pod.
Pozn.1: Neuvažovali jsme změny skupenství, možnost chemických nebo jaderných
reakcí ani teplo předané nebo odebrané kalorimetru.
Pozn:2: Znaménková konvence pro teplo zde neplatí.
3.7 Práce vykonaná plynem


18 FEKT Vysokého učení technického v Brně
Obr. 7: Plynu je dodáváno teplo, plyn koná práci .
Počáteční stav : tlak p
i
, objem V
i
, teplota T
i
, koncový stav : tlak p
f
, objem V
f
,
teplota T
f
.

O ději popisujícím přechod z jednoho stavu do druhého hovoříme jako o
termodynamickém ději ( procesu, změně ).
Děje, které probíhají dostatečně pomalu, takže systém prochází výhradně
rovnovážnými stavy nazýváme kvazistatické děje.
Pozn.: Dostatečně pomalu vzhledem k procesům charakterizovaným relaxačními
dobami (∼ 10
-10
s).
V dalších úvahách budeme předpokládat, že děje jsou kvazistatické.
Stanovíme práci, kterou plyn vykoná při infinitezimálním zvětšení objemu. Při velmi
malém zmenšení zátěže pístu plyn nadzdvihne píst silou F o infinitezimální posunutí ds.
Vykoná přitom práci
dVpdsSpdspSsdFdW ===⋅= )())((
r
r
,
kde dV je infinitezimální změna objemu plynu.
Celkovou práci W, kterou plyn vykoná při změně objemu z hodnoty V
i
na hodnotu
V
f
(ubíráme další zátěž) obdržíme sečtením všech infinitezimálních prací, tj. integrováním
W .
∫
=
f
i
V
V
pdV
Pozn.1: Práce, stejně tak jako teplo, závisí na tom jakou cestou probíhá konkrétní děj.
Není veličinou stavovou, ale dějovou.
Pozn.2: Systém koná kladnou práci při zvětšování objemu. Při zmenšování objemu
vnější silou, koná systém zápornou práci, vnější síly práci kladnou.
Na obrázku 8 je znázorněno několik způsobů přechodu z počátečního stavu φ
i
do
koncového stavu φ
f
v tzv. p – V diagramu.



Termodynamika 19

Obr. 8: Znázornění práce vykonané systémem v p-V diagramu
(a) Systém na obr. 3.7. přechází z počátečního stavu φ
i
do koncového stavu φ
f
prostřednictvím
termodynamického děje. Plocha označená W představuje práci vykonanou systémem během
tohoto děje. Je kladná, protože během děje se zvětšuje objem. (b) Jiný děj pro přechod mezi
týmiž stavy; práce je nyní větší než v (a). (c) Další děj, konající menší (kladnou) práci. (d)
Práce může být libovolně malá (cesta φ
i
–C–D–φ
f
) nebo velká (φ
i
–G–H–φ
f
). (e) Zmenšíme-li
objem (nějakou vnější silou), bude práce vykonaná systémem záporná. (f) Úhrnná práce
vykonaná systémem během (uzavřeného) cyklického děje je vyjádřena uzavřenou plochou. Je
to rozdíl mezi plochami pod oběma křivkami tvořícími cyklus.
3.8 První princip termodynamiky
Teplo a práce závisí na způsobu (cestě), kterým probíhá přechod z počátečního do
koncového stavu. Avšak rozdíl těchto veličin Q – W je při všech způsobech stejný! Je roven
veličině, která souvisí s vnitřními vlastnostmi samotného systému – je roven změně nám již
známé vnitřní energie U!
20 FEKT Vysokého učení technického v Brně

První princip termodynamiky (1PT) vyjádříme rovnicí

, WQU −=∆
kde ∆U = U
f
– U
i
je změna vnitřní energie systému,
Q je teplo systému dodané,
W je práce systémem vykonaná.

Vnitřní energie systému vzroste dodá-li mu okolí teplo Q, klesne vykoná-li systém práci W .
Doplňte opačná tvrzení. Uvažte, že práce, kterou systém vykoná má opačné znaménko než
práce systému dodaná
W
dod
= - W .
1PT pro infinitezimální změnu
. dWdQdU −=

Pozn.1: dU je totální diferenciál, dQ a dW nejsou totální diferenciály.
Pozn.2: dQ = dU + dW.
3.9 Zvláštní případy prvního principu termodynamiky
3.9.1 1PT pro izolovaný sy