Skripta Spojité systémy

ota v místnosti je
měřena teploměrem, jehož signál (údaj o teplotě [ ]C
o
υ ) je převeden na signál elektrický (opět
systémem, který je tvořen převodníkem fyzikální veličiny). Tento signál je potom pomocí
analogově- číslicového převodníku A/Č (bývá obvykle součástí mikropočítače) diskretizován
(tj. převeden na číslo, uložené v počítači). Tato hodnota, měřená (přesněji řečeno
diskretizovaná) v časových okamžicích ,...2,1,0=kkT vstupuje do algoritmu (do diskrétního
systému, realizovaného programem mikropočítače). Do algoritmu dále vstupuje ve stejných
časových okamžicích i hodnota požadovaná (získaná pro daný časový okamžik
z požadovaného časového průběhu teploty). Výstup algoritmu (výstup
diskrétního systému) potom ovládá pomocí výkonového členu elektromagnetický ventil EV a
tím řídí množství otopné vody, procházející radiátorem.
,...2,1,0=kkT

místnost
otopná voda
otopná voda
A/Č
převodník
převod na
elektrický
signál
15
20
0 6 12 18 24
υ[ C]
o
υ[ C]
o
t[hod]
žádaná hodnota teploty
al
g
o
ri
tm
u
s
Display Nastavovací prvky
mikroprocesor
radiátor
EV
výkonový
člen
skutečná
teplota

Obr. 2-3: Programovatelné řízení teploty v místnosti
V následujícím textu jsou studovány základní vlastnosti jak spojitých a diskrétních
signálů tak i spojitých a diskrétních systémů.
1.2 Zařazení předmětu ve studijním programu
Předmět Signály a systémy je zařazen ve třetím semestru bakalářského studijního
programu Elektrotechnika, elektronika, komunikační a řídicí technika. Navazuje na předměty
Elektrotechnika 1 a Elektrotechnika 2 a také částečně na předměty Fyzika 1 a Fyzika 2.
Předchozí znalosti, které jsou požadované pro studium tohoto předmětu, jsou především
znalosti diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné proměnné, základní znalosti z
Laplaceovy a Fourierovy transformace a dále elementární znalosti maticového počtu. Tyto
znalosti jsou obsahem předmětů Matematika 1, Matematika 2 a Matematika 3 výše
uvedeného studijního programu.
1.3 Úvod do předmětu
Student se naučí matematicky popsat jak signály spojité tak i diskrétní a provádět
s těmito signály různé operace. Dále se seznámí nejen s časovým ale též s frekvenčním
vyjádřením signálu. V dalších kapitolách se seznámí se systémy a to jak spojitými tak i
diskrétními a také s tím, jak se změní vlastnosti signálu průchodem nějakým systémem.
6 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1.4 Vstupní test (zatím není)
Vstupní test je určen k vyhodnocením samotným studentem a jeho účelem je ověření
předchozích znalostí studenta, potřebných k úspěšnému zvládnutí studia předkládaného
výukového textu. Výsledky vstupního testu musí být uvedeny v dodatcích v závěru tohoto
textu.
2 Spojité signály a jejich analýza
2.1 Základní spojité signály a jejich vlastnosti
V úvodní kapitole jsme se seznámili s pojmem signál se spojitým časem nebo zkráceně
spojitý signál. Pro další zpracování takového signálu jej musíme popsat nějakým
matematickým prostředkem. Tímto matematickým prostředkem je pojem funkce definované
na celé reálné ose. Ve skutečnosti žádný reálný signál nemůže začínat v mínus nekonečnu a
trvat do plus nekonečna. Protože budeme signály dále zpracovávat matematicky je z hlediska
matematiky vhodné uvažovat s tímto definičním oborem funkce ( )tf . Je tedy matematickým
modelem spojitého signálu funkce () ( )+∞∞−∈ ,, ttf .
2.1.1 Základní spojité signály
Jedním ze základních spojitých signálů je tzv. jednotkový skok ()tσ . Je definován
následujícím vztahem
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
01
t
t
tσ
( 2.1 )
a jeho průběh je ukázán v levé části Obr. 2-1. V pravé části tohoto obrázku je ukázán
podobný signál ()εσ ,t , který je definován jako
() ()
02
,0,52,2
12
t
tt t
t
ε
σε ε ε ε
ε
≤−
⎧
⎪
=+ ∈−+
⎨
⎪
≥+
⎩

( 2.2 )

tt
σ(t) σ(εt, )
11
00+ε/2−ε/2

Obr. 2-1: Jednotkový skok

Signály a systémy 7
Z obrázku je zřejmé, že bude-li se parametr ε blížit nulové hodnotě, přejde funkce ( )εσ ,t
v jednotkový skok tj. ve funkci ( )tσ . Vyjádřeno matematicky
() (tt )σεσ
ε
=
→
,lim
0

( 2.3 )
Příkladem signálu typu jednotkový skok může být připojení stejnosměrného zdroje napětí 1
volt k nějakému spotřebiči v čase 0=t .
Dalším základním signálem je tzv. Diracův impuls ( )tδ (P.A.M.Dirac, 1902- 1984,
anglický teoretický fyzik). Je definován následujícím vztahem
()
⎩
⎨
⎧
=∞+
≠
=
0
00
t
t
tδ a současně ()
∫
+∞
∞−
=1dttδ
( 2.4 )
tj. jeho plocha je rovna 1. Jeho průběh je ukázán v levé části Obr. 2-2. V pravé části tohoto
obrázku je ukázán signál ()εδ ,t , který má tvar úzkého a vysokého impulsu a který je
definován jako
()
()
⎩
⎨
⎧
+−∈
+−∉
=
2,21
2,20
,
εεε
εε
εδ
t
t
t
( 2.5 )
tt
δ(t) δ(εt, )
1/ε
00+ε/2−ε/2

Obr. 2-2: Diracův impuls
Z obrázku je zřejmé, že bude-li se parametr ε blížit nulové hodnotě, přejde funkce ( )εδ ,t
v Diracův impuls tj. ve funkci ()tδ . Vyjádřeno matematicky
() (tt )δεδ
ε
=
→
,lim
0

( 2.6 )
Realizace Diracova impulsu není možná. Můžeme ale realizovat signál ()εδ ,t . Příkladem
signálu tohoto typu by bylo připojení stejnosměrného zdroje vysokého napětí k nějakému
spotřebiči na velmi krátkou dobu tak, aby plocha takového impulsu byla jednotková.
Lineárně rostoucí signál je dalším základním signálem. Jeho časový průběh je ukázán na
Obr. 2-3 vlevo. Tento signál je definován jako
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
00
0
t
tt
tr
( 2.7 )
Rychlost nárůstu tohoto signálu (derivace ( ) 0>′ ttf ) je jednotková. Signál bude mít
rychlost nárůstu rovnu . Podobně je možno definovat kvadraticky rostoucí signál pro
a 0 pro . V obecném případě můžeme definovat signál polynomem
()tar
a
2
t
0≥t 0a
∞− ∞+ Obr. 2-4. Jestliže potom
exponenciální funkce klesá od k 0 jak roste od
00 aa 00
-1 -1 00
2cos tω
2s
i
n
t
ω

Obr. 2-5: Komplexní exponenciální signál
Příklad 2.1: Komplexní exponenciální signál
Vykreslete v komplexní rovině vektor pro
tj
e
2
4,,2/,1,0 ππ=t . Nakreslete tentýž
vektor pro stejné ale záporné kmitočty.
2.1.2 Ohraničenost signálu v amplitudě a čase
Spojitý signál se nazývá ()tf ohraničený v amplitudě v časovém intervalu ()
jestliže existuje reálná konstanta
ba,
M taková, že
() ( )batMtf ,∈<
( 2.21 )
Specifikace časového intervalu je důležitá. Například reálný exponenciální signál
t
e
α

s parametrem 0α < je ohraničený v intervalu ( )+∞,0 ale není ohraničený v intervalu
. ()+∞∞− ,
V reálném světě jsou všechny signály ohraničené. Například operační zesilovač může
generovat i lineárně narůstající signál nebo exponenciální signál. Ale takový zesilovač je vždy
napájen konečným napětím např. [ ]V15± a proto jím generovaný signál je omezen právě
touto hodnotou . Při generování lineárně narůstajícího nebo exponenciálního signálu
dojde k
15=M
saturaci operačního zesilovače.
V předchozím textu jsme často užívali pro naše signály definiční interval ().
Nekonečno je matematický pojem, velmi užitečný v matematice. V reálném světě každý
signál začíná i končí v konečném časovém okamžiku tj. je
+∞∞− ,
ohraničený v čase. Např. časový
interval sekund (to je přibližně let) je jistě mnohem menší než matematické
nekonečno přesto z hlediska pozorovatele je možno ho považovat za nekonečno.
V inženýrských aplikacích často pracujeme s intervaly, které jsou číselně mnohem menší než
toto astronomické číslo a přesto je možno je považovat za nekonečno. Například klesající
exponenciální signál
100
10
92
10.3
/t
e
τ−
klesne za dobu pěti časových konstant τ na hodnotu
což lze již považovat za nulovou hodnotu, a tedy v tomto případě () 007,037,0
5
= τ5≈∞ .
Příklad 2.2: Reálné nekonečno
Předpokládejme, signál dosáhne nulové hodnoty za 5 časových konstant
τ/t
e
−
τ . Který časový
okamžik je možno považovat za nekonečno bude-li 01,0,1,100=τ sekund?
Odpověď: 500, 5, 0,05 sec.
Signály a systémy 11
2.1.3 Manipulace se spojitými signály
V této kapitole se seznámíme se dvěma jednoduchými manipulacemi se spojitými
signály.
Posun signálu v čase (shifting). Nechť je dán nějaký signál a kladné reálné číslo ()tf
T . Potom signál ( )Ttf − je signál, který má stejný průběh jako původní signál ( )tf , ale je
v čase posunut o T sekund doprava (tento nový signál je zpožděn o T sekund). Situace je
ukázána uprostřed Obr. 2-6 pro 1=T .
tt
f(t) f(t-1) f(t+1)
-
t
2 -2 -2-1 -1 -10 0 01 1 12 2 2
22
2
3 3 34 4 4
44 4

Obr. 2-6: Posun signálu v čase
Podobně signál ( )Ttf + je signál, který má stejný průběh jako původní signál , ale je
v čase posunut o
()tf
T sekund doleva (tento nový signál předbíhá o T sekund). Situace je
ukázána v pravé části Obr. 2-6 pro 1=T .
Otočení časové osy (flipping). Nechť ( )tf je stejný signál jako na Obr. 2-6 vlevo. Potom
je otočený signál vzhledem počátku časové osy (tf − ) 0=t a je ukázán na Obr. 2-7 vlevo.
tt
f(-t) f(-t-1) f(-t+1)
-2-
t
3 -2-3 -2-1 -1 -10 0 01 1 122
2
2
2
3 3
444

Obr. 2-7: Otočení časové osy a posun v čase
Jestliže potom posouvá signál 0>T (Ttf −− ) ( )tf − doleva o T sekund neboť
()([TtfTtf )]+−=−− viz Obr. 2-7 uprostřed. A naopak ( )Ttf +− posouvá signál ( )tf −
doprava o T sekund neboť ()( )[ ]TtfTtf −−=+− viz Obr. 2-7 vpravo.
Násobení signálů (multiplication). Uvažme dva signály ( )tf a ( )th definované pro všechna
. Potom součin těchto signálů vytváří nový signál (+∞∞−∈ ,t ) ( )()(thtftg )= . Jestliže ( )th je
konstantní signál ( ) Ath = pro všechna ( )+∞∞−∈ ,t kde A je reálné kladné číslo větší než 1,
potom signál je zesíleným signálem ()tg ( )tf . Příklad je uveden na Obr. 2-8 vlevo pro
2=A . Původní signál je signál z ()tf Obr. 2-6 vlevo, výsledný signál je dvakrát
zesílen. Bude-li
()tg
A kladné číslo ale menší jak 1 bude signál zeslaben. Bude-li A záporné číslo
dojde k inverzi hodnot signálu (viz. Obr. 2-8 vpravo).
tt
g(t)=2f(t)
f(t)
f(t)
g(t)=-0,5f(t)
-2 -2-1 -10
0
1
1
2
2
22
3344
44

12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Obr. 2-8: Zesílení signálu (vlevo) a inverze signálu (vpravo)
Bude-li signál roven jednotkovému skoku tj. ()th ( ) ( )tth σ= bude výsledkem násobení
signál () () ()ttftf σ=
+
. Bude-li signál ( )th roven otočenému jednotkovému skoku tj.
() ( )tth −=σ bude výsledkem násobení signál ( ) ( ) ( )ttftf −=
−
σ tedy
()
()
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
+
00
0
t
ttf
tf ()
( )
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
−
00
0
t
ttf
tf
( 2.22 )
Situace je ukázána na Obr. 2-9. Operace násobení „vyřezává“ (truncation) v tomto případě z
původního signálu jeho kladnou nebo zápornou část. ()tf
tt
f(t) f (t) f (t)
-2 -2 -2-3 -3 -3-1 -1 -10 0 01112 2 2
22
3 3 3
444
+-

Obr. 2-9: Vyříznutí kladné a záporné části signálu
Bude-li mít signál tvar pravoúhlého impulsu o jednotkové amplitudě tj. ()th
()
⎩
⎨
⎧
+−∉
+−∈
=
aat
aat
th
,0
,1

( 2.23 )
dojde k vyříznutí jen té části signálu ( )tf , která se nachází v intervalu aa +− , . Situace je
ukázána na Obr. 2-10. Takový tvar signálu ( )th se nazývá okno (window) a označuje se
obvykle . V tomto případě se jedná o tzv. pravoúhlé okno. Okna jsou při zpracování
signálu často používána a bude o nich ještě pojednáno v dalším textu.
()tw
tt
f(t) w(t) f(t)w(t)
-2a -2a -2a-3a -3a -3a-a -a -a0 0 0aa2a 2a 2a
222
3a 3a 3a
444
a

Obr. 2-10: Vyříznutí části signálu pravoúhlým oknem
Vraťme se na tomto místě ještě k jedné vlastnosti Diracovy funkce. Posuňme Diracův impuls
doprava o τ sekund. Nechť je dána nějaká spojitá funkce ( ) ( )+∞∞−∈ ,, ttf . Jelikož
()( ) ()( )τδττδ −=− tfttf
bude integrál
()() ()() ()() (ττδττδττδ fdttfdttfdtttf
∫∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
=−=−=− ).
Obdrželi jsme tedy následující výsledek
()( ) ()ττδ fdtttf
∫
+∞
∞−
=− . ( 2.24 )
Signály a systémy 13
Tento vztah se nazývá filtrační vlastnost Diracovy funkce. Filtrační proto, že Diracova
funkce ()τδ −t vyfiltruje ze všech hodnot funkce ( )tf jen hodnotu v bodě τ=t . Tuto
vlastnost budeme v dalším často používat.
Součet (rozdíl) signálů. Uvažme dva signály ( )tf a ( )th definované pro všechna
. Potom součet (rozdíl) těchto signálů vytváří nový signál (+∞∞−∈ ,t ) () () ( )thtftg += resp.
. () () ()thtftg −=
V následujících příkladech vytvořte požadované signály užitím předchozích operací se
signály.
Příklad 2.3: Manipulace se základními signály 1
Časovým posunem jednotkového skoku ( )tσ vytvořte impuls ( )tf
()
( )
()
⎩
⎨
⎧
+−∉
+−∈
=
1,10
1,11
t
t
tf
o jednotkové amplitudě a době trvání 2 sekundy, který je zobrazen v levé části Obr. 2-11.
Z obrázku je zřejmé, že platí
( ) ( ) ( )11 −−+= tttf σσ .
tt
f(t) σ(t+1)
σ(t-1)
-
t
2 -2 -2-1 -1 -10 0 01 1 12 2 2
1
1 1
3 3 34 4 4
22

Obr. 2-11: Jednotkový impuls a jeho konstrukce pomocí posunutého ()tσ
Příklad 2.4: Manipulace se základními signály 2
S pomocí jednotkového skoku ( )tσ , otočení časové osy a operace násobení vytvořte
tentýž signál jako v předchozím příkladu. Z Obr. 2-12 je zřejmé, že platí
. () ( ) ( )11ft t tσσ=+ −+
tt
f(t) σ(t+1)
σ(-t+1)
-
t
2 -2 -2-1 -1 -10 0 01 1 12 2 2
1
1 1
3 3 34 4 4
22

Obr. 2-12: Jednotkový impuls- konstrukce pomocí násobení otočeného a posunutého ( )tσ
Příklad 2.5: Manipulace se základními signály 3
Vytvořte periodický signál ( )tq s periodou P , dobou trvání a amplitudou a2 A ,
ukázaný na Obr. 2-13. Využijeme výsledku předchozího příkladu. Jednotkový impuls ( )tf ,
získaný v předchozím příkladu, vynásobíme amplitudou A a vytvoříme jeho kopii posunutou
o period (),...3,