Skripta Řízení a regulace 2

xtendsingle
u=u0
∆u (3.7)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 17
Pokud je funkce bl´ızk´a line´arn´ı, je linearizace ˇcasto prov´adˇena metodou minim´aln´ıho
souˇctu kvadr´at˚u odchylek. Tato metoda bude pops´ana pro obecnˇejˇs´ı pˇr´ıpad pozdˇeji.
V obou pˇr´ıpadech nen´ı dostateˇcnˇe pˇresnˇe specifikov´an pojem bl´ızk´eho okol´ı a pojem
bl´ızkosti k line´arn´ı funkci a koneˇcn´ym krit´eriem spr´avnosti line´arn´ı n´ahrady je souhlas
s prax´ı.
Obecnˇejˇs´ı syst´em bez pamˇeti je syst´em popsan´y funkc´ı v´ıce promˇenn´ych
y = f (u1,u2,...,un) = f(u) (3.8)
Takov´ym syst´emem jsou napˇr. funkˇcn´ı mˇeniˇce pouˇzit´e pˇri konstrukci stavov´ych sch´emat.
V´ypoˇcet vztahu (3.8) neˇcin´ı opˇet pˇri analytick´em zad´an´ı pot´ıˇze. Grafick´e zad´an´ı nebo
zad´an´ı tabulkou b´yv´a v tomto pˇr´ıpadˇe jiˇz komplikovan´e a prakticky se nevyskytuje pro u
s vyˇsˇs´ım rozmˇerem neˇz 2. Funkce dvou promˇenn´ych je tabelov´ana ve formˇe
y = f(u1i,u2j) i = 1,2,...,n j = 1,2,...,m, kde napˇr. u1 vytv´aˇr´ı ˇr´adky a u2 sloupce
tabulky. Interpolaci k z´ısk´an´ı funkˇcn´ı hodnoty v bodˇe [u10,u20] m˚uˇzeme prov´adˇet tak,
ˇze nejprve provedeme interpolaci funkce jedn´e promˇenn´e fk (u1) = f (u1,u2k), tj. nejprve
interpolujeme ve sloupc´ıch tabulky. Dostaneme tak hodnoty fk (u10) = f (u10,u2k), kter´e
m˚uˇzeme ch´apat jako hodnoty funkce jedin´e promˇenn´e u2 f (u10,u2) = f0 (u2) a pomoc´ı in-
terpolaˇcn´ı formule urˇc´ıme hodnotu f0 (u20) = f (u10,u20), tj. interpolujeme nyn´ı ve smˇeru
ˇr´adk˚u tabulky. N´ahrada funkc´ı po ˇc´astech line´arn´ı nen´ı v tomto pˇr´ıpadˇe jednoduch´a,
obzvl´aˇst’ m´a-li b´yt n´ahradn´ı funkce spojit´a.
Podobnˇe jako u funkce jedn´e promˇenn´e prov´ad´ı se i v tomto pˇr´ıpadˇe ˇcasto linearizace.
Pracuje-li syst´em v nˇejak´em bl´ızk´em okol´ı pracovn´ıho boduy0 = f (u10,u20,...,un0) = f (u0)
je moˇzn´e, pokud je funkce dostateˇcnˇe hladk´a, pouˇz´ıt linearizaci rozvojem do Taylorovy
ˇrady
f (u) ˙=T (u) =
= f (u0) + ∂f∂u1
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
u0
(u1 −u10) + ∂f∂u2
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
u0
(u2 −u20) + ...+ ∂f∂un
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
u0
(un −un0) (3.9)
kde ∂f∂ui
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle
u0
pˇredstavuje parci´aln´ı derivaci funkce podle promˇenn´e ui v pracovn´ım bodˇe u0.
Pˇri zaveden´ı odchylek od pracovn´ıho bodu ∆y = y −y0 ∆ui = ui −ui0 i = 1,2,...,n
plat´ı
∆y ˙= ∂f∂u
1
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u0
∆u1 + ∂f∂u
2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u0
∆u2 + ...+ ∂f∂u
n
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u0
∆un (3.10)
V maticov´e formˇe je z´apis jednoduˇsˇs´ı
∆y =
bracketleftbigg∂f
∂u
bracketrightbigg
u0
u (3.11)
kde bracketleftbig∂f∂ubracketrightbigu
0
je ˇr´adkov´a matice parci´aln´ıch derivac´ı v pracovn´ım bodˇe a u je sloupcov´y
vektor.
Pˇri vhodn´em chov´an´ı funkce (pokud je bl´ızk´a line´arn´ı) lze pouˇz´ıt n´ahradn´ı line´arn´ı
funkci z´ıskanou metodou minim´aln´ıho souˇctu kvadr´at˚u odchylek. Pokud nen´ı tˇreba za-
chovat pracovn´ı bod syst´emu, m´a n´ahradn´ı line´arn´ı funkce tvar
F (u) = a0 +au (3.12)
18 ˇR´ızen´ı a regulace II
kde a je ˇr´adkov´a matice [a1,a2,...,an] . V tomto pˇr´ıpadˇe obecnˇe neplat´ı rovnost
f (u0) = F (u0) (3.13)
Pokud je zapotˇreb´ı zachovat pracovn´ı bod syst´emu, m´a n´ahradn´ı line´arn´ı funkce tvar
F (u) = f (u0) +k(u−u0) (3.14)
V´ypoˇcet prvk˚u ˇr´adkov´ych matic a a k se prov´ad´ı tak, aby ve zvolen´ych uzlov´ych bodech
ui, i = 1,2,...,m byl souˇcet kvadr´at˚u odchylek line´arn´ı n´ahrady a funkce minim´aln´ı, tj.
i=msummationdisplay
i=1
[f (ui)−F (ui)]2 = E = min (3.15)
V´ypoˇcet n´ahradn´ı line´arn´ı funkce si uk´aˇzeme pro pˇr´ıpad, kdy je zapotˇreb´ı zachovat
pracovn´ı bod syst´emu. Oznaˇc´ıme-li yi = f (ui) hodnotu funkce ve zvolen´ych uzlov´ych
bodech, bude podle vzorc˚u (3.14), (3.15) platit
E =
msummationdisplay
i=1
[yi −F (ui)]2 =
msummationdisplay
i=1
[yi −y0 −k(ui −u0)]2 (3.16)
Oznaˇc´ıme-li ∆yi = yi−y0 odchylku funkˇcn´ı hodnoty od pracovn´ıho bodu v uzlov´em bodˇe
ui a ∆ui = ui−u0 vektor odchylek vstupn´ı hodnoty od pracovn´ıho bodu v uzlov´em bodˇe
ui. Pak
∆ui = [(u1i −u10),(u2i −u20),...,(uni −un0)]T = [∆u1i,∆u2i,...,∆uni]T (3.17)
kde ∆uji pˇredstavuje odchylku j-t´eho vstupu od pracovn´ıho bodu v i-t´em uzlov´em bodˇe.
Vzorec (3.16) m˚uˇzeme s pouˇzit´ım (3.17) zapsat ve tvaru
E =
msummationdisplay
i=1
[∆yi −(k1∆u1i + k2∆u2i + ...+ knuni)]2 (3.18)
Aby hodnota souˇctu byla minim´aln´ı, mus´ı platit
∂E
∂kj = 2
msummationtext
i=1
[∆yi −(k1∆u1i + k2∆u2i + ...+ kn∆uni)](−∆uji) = 0
j = 1,2,...,n
(3.19)
Z tˇechto podm´ınek pak dostaneme soustavu n line´arn´ıch algebraick´ych rovnic pro nezn´am´e
hodnoty k1,k2,...,kn
k1
msummationtext
i=1
∆u21i + k2
msummationtext
i=1
∆u2i∆u1i + ...+ kn
msummationtext
i=1
∆uni∆u1i =
msummationtext
i=1
∆yi∆u1i
k1
msummationtext
i=1
∆u1i∆u2i + k2
msummationtext
i=1
∆u22i + ...+ kn
msummationtext
i=1
∆uni∆u2i =
msummationtext
i=1
∆yi∆u2i
...
k1
msummationtext
i=1
∆u1i∆uni + k2
msummationtext
i=1
∆u2i∆uni + ...+ kn
msummationtext
i=1
∆u2ni =
msummationtext
i=1
∆yi∆uni
(3.20)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 19
Pokud bude v mnoˇzinˇe m vektor˚u ∆ui alespoˇn n line´arnˇe nez´avisl´ych, pak bude m´ıt
soustava jedin´e ˇreˇsen´ı. Tuto podm´ınku zajist´ıme tak, ˇze uzlov´e body ui a pracovn´ı bod
u0 nebudeme volit pro n = 1 v jednom bodˇe, pro n = 2 na pˇr´ımce, pro n = 3 v rovinˇe,
atd.
Koeficienty maticeav pˇr´ıpadˇe line´arn´ı n´ahrady bez zachov´an´ı pracovn´ıho boduse vypo-
ˇc´ıt´avaj´ı obdobn´ym zp˚usobem ze soustavy rovnic
ma0 + a1
msummationtext
i=1
u1i+a2
msummationtext
i=1
u2i+...+ an
msummationtext
i=1
uni =
msummationtext
i=1
yi
a0
msummationtext
i=1
u1i+a1
msummationtext
i=1
u21i+a2
msummationtext
i=1
u2iu1i+...+ an
msummationtext
i=1
uniu1i =
msummationtext
i=1
yiu1i
a0
msummationtext
i=1
u2i+a1
msummationtext
i=1
u1iu2i+a2
msummationtext
i=1
u22i+...+ an
msummationtext
i=1
uniu2i =
msummationtext
i=1
yiu2i
...
a0
msummationtext
i=1
uni+a1
msummationtext
i=1
u1iuni+a2
msummationtext
i=1
u2iuni + ...+ an
msummationtext
i=1
u2ni =
msummationtext
i=1
yiuni
(3.21)
ˇReˇsen´ı bude zaruˇceno, kdyˇz volba uzlov´ych bod˚u ui bude provedena tak, aby neleˇzely pro
n = 1 v jednom bodˇe, pro n = 2 na pˇr´ımce, pro n = 3 v rovinˇe, atd. Pouˇzit´ı linearizaˇcn´ıch
metod si uk´aˇzeme na pˇr´ıkladˇe funkce jedn´e promˇenn´e.
Pˇr´ıklad 3.1 Linearizace funkce jedn´e promˇenn´e.
V tab. 3.1 jsou uvedeny hodnoty funkce y = eu, kterou je zapotˇreb´ı linearizovat v okol´ı
pracovn´ıho bodu u0 = 2 rozvojem do Taylorovy ˇrady a pouˇzit´ım metody minim´aln´ıho
souˇctu kvadr´at˚u odchylek. D´ale je zapotˇreb´ı prov´est linearizaci metodou minim´aln´ıho
souˇctu kvadr´at˚u odchylek bez zachov´an´ı pracovn´ıho bodu. V poloˇzk´ach ∆u a ∆y jsou
v tabulce 3.1 uvedeny odchylky od pracovn´ıho bodu u0 = 2,y0 = e2 = 7,39.
Tabulka 3.1: V´ysledky linearizace funkce y = eu
u 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
y 1,00 1,65 2,72 4,48 7,39 12,18 20,09 33,12 54,60
∆u −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 2
∆y −6,39 −5,74 −4,67 −2,91 0,00 4,79 12,70 25,73 47,21
T (u) −7,39 −3,69 0 3,69 7,39 11,09 14,78 18,47 22,17
F1 (u) −16,03 −10,18 −4,32 1,53 7,39 13,24 19,10 24,95 30,81
F1 (u) −8,17 −2,32 3,54 9,40 15,25 21,11 25,95 32,82 38,67
Rozvoj do Taylorovy ˇrady je podle (3.6)
T(u) = e2 + eu|u=u0 (u−2) = e2 + e2 (u−2) = e2 (u−1) (3.22)
20 ˇR´ızen´ı a regulace II
V´ysledky rozvoje jsou pro srovn´an´ı uvedeny v tabulce 3.1. V´ysledek linearizace metodou
minim´aln´ıho souˇctu kvadr´at˚u odchylek je pˇri zachov´an´ı pracovn´ıho bodu podle 3.14
F1 (u) = e2 + k(u−2) (3.23)
kde k urˇc´ıme z rovnic (3.20) , kter´e se v tomto pˇr´ıpadˇe redukuj´ı na tvar
k
8summationdisplay
i=1
∆u2i =
8summationdisplay
i=1
∆ui∆yi (3.24)
Z tabulky 3.1 vid´ıme, ˇze
8summationtext
i=1
∆u2i = 15,00 a
8summationtext
i=1
∆ui∆yi = 175,63. Z toho vypl´yv´a k = 11,71.
V´ysledek je opˇet uveden v tabulce 3.1. Tent´yˇz zp˚usob linearizace bez zachov´an´ı pracovn´ıho
bodu d´av´a podle (3.12) v´ysledek
F2 (u ) = a0 + a1u (3.25)
kde koeficienty a0 a a1 urˇc´ıme podle (3.21) z rovnic
9a0 + a1
9summationtext
i=1
ui =
9summationtext
i=1
yi
a0
9summationtext
i=1
ui + a1
9summationtext
i=1
u2i =
9summationtext
i=1
y1u1
(3.26)
Z tabulky 3.1 vid´ıme, ˇze
9summationtext
i=1
ui = 18;
9summationtext
i=1
u2i = 51;
9summationtext
i=1
yi = 137,23;
9summationtext
i=1
yiui = 450,09.
V´ysledkem ˇreˇsen´ı rovnic (3.26) je pak a0 = −8,17;a1 = 11,71.
Syst´em bez pamˇeti s v´ıce v´ystupy a vstupy zapsan´y ve formˇe
y = f (u) (3.27)
je vlastnˇe tvoˇren v´ıcen´asobn´ym pouˇzit´ım z´apisu (3.8), takˇze problematika jeho v´ypoˇctu
je stejn´a jako u tohoto z´apisu. Ponˇekud obt´ıˇznˇejˇs´ı situace nast´av´a, je-li syst´em pops´an
implicitnˇe napˇr. ve formˇe
f (u,y) = 0 (3.28)
pro syst´em s jedn´ım vstupem a s jedn´ım v´ystupem, nebo pro syst´em s v´ıce vstupy a jedn´ım
v´ystupem ve formˇe
f (u,y) = 0 (3.29)
eventu´alnˇe pro syst´em s v´ıce vstupy a v´ıce v´ystupy ve formˇe soustavy
f (u,y) = 0 (3.30)
ˇReˇsen´ı rovnice (3.28) se prov´ad´ı obecnˇe grafick´ymi nebo numerick´ymi metodami tak,
ˇze ve funkci (3.28) fixujeme hodnotu vstupn´ı veliˇciny u, a t´ım pˇrevedeme probl´em naˇreˇsen´ı
rovnice o jedn´e nezn´am´e y.
fu (y) = 0 (3.31)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 21
Podobn´ym zp˚usobem se pˇristupuje k z´apisu (3.29), ve kter´em se fixuje vstupn´ı vektor
u, a t´ım probl´em opˇet pˇrech´az´ı na ˇreˇsen´ı rovnice o jedn´e nezn´am´e. Nejobt´ıˇznˇejˇs´ı je
samozˇrejmˇe ˇreˇsen´ı soustavy (3.30), ve kter´e opˇet fixujeme vstupn´ı vektor u, probl´em
pak je vypoˇc´ıtat ˇreˇsen´ı soustavy obecnˇe neline´arn´ıch rovnic
fu (y) = 0 (3.32)
Aby z´apisy (3.28)-(3.30) reprezentovaly fyzik´aln´ı syst´em, je nutn´e, aby pro zvolenou
mnoˇzinu vstupn´ıch hodnotmˇelyˇreˇsen´ı. Problematiku si opˇetˇc´asteˇcnˇe objasn´ıme na pˇr´ıkla-
dˇe.
Pˇr´ıklad 3.2 Implicitnˇe zadan´a neline´arn´ı funkce.
Na obr. 3.2(a) je nakresleno sch´ema operaˇcn´ıho zesilovaˇce, u kter´eho je ve zpˇetn´e vazbˇe
zapojen diodov´y omezovaˇc napˇet´ı. Je zapotˇreb´ı zjistit, jak´a bude relace mezi v´ystupn´ım
u2 a u1 vstupn´ım napˇet´ım tohoto zapojen´ı. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze dynamika operaˇcn´ıho zesi-
U1 U
2
R1
R2
D1 D2
(a) sch´ema
U1 U
2
R1
R2
D1 D2
id
ud = 0i1
ir
(b) n´ahradn´ı sch´ema
Obr´azek 3.2: Operaˇcn´ı zesilovaˇc s diodov´ym omezovaˇcem napˇet´ı
lovaˇce je zanedbateln´a vzhledem k dynamice ostatn´ıch ˇc´ast´ı syst´emu ve kter´em je zesilovaˇc
pouˇzit. Pro jednoduchost budeme u diod pˇredpokl´adat ide´aln´ı charakteristiku a hodnoty
Zenerova napˇet´ı uz1, resp. uz2 u diod D1, resp. D2. Dobr´ym modelem pˇri v´ypoˇctech
s operaˇcn´ımi zesilovaˇci je model vyuˇz´ıvaj´ıc´ı principu virtu´aln´ı nuly, pˇri kter´em je n´ahradn´ı
sch´ema zapojen´ı uvedeno na obr. 3.2(b) . Pro toto sch´ema plat´ı n´asleduj´ıc´ı rovnice
i1 + i2 = 0
i1 = u1R
1
i2 = id + ir = f (u2)
(3.33)
Funkce f (u2) je voltamp´erov´a charakteristika paraleln´ıho zapojen´ı Zenerov´ych diod a od-
poru R2, kter´a je nakreslena na obr. 3.3. ´Upravou rovnic (3.33) z´ısk´ame jedinou rovnici
u1
R1 + f (u2) = 0 (3.34)
22 ˇR´ızen´ı a regulace II
f (u2)
Uz1−Uz2 u2
u2
R2
−u1R1
i1,i2
Obr´azek 3.3: Grafick´e ˇreˇsen´ı rovnice (3.34)
Tuto rovnici, kter´a je vlastnˇe ve tvaru (3.27), je v´yhodn´e ˇreˇsit graficky viz obr. 3.3.
Z obr´azku je zˇrejm´e, ˇze rovnice (3.34) m´a jedin´e ˇreˇsen´ı, pro kter´e plat´ı
u2 =



−R2R1u1 u1 =∈
angbracketleftBig
−uZ1R1R2;uZ2R1R2
angbracketrightBig
−uZ2 u1 > uZ2R1R2
uZ1 u1 < −uZ1R1R2
(3.35)
3.2.2 Syst´emy s pamˇet´ı
K syst´em˚um bez dynamiky ale s pamˇet´ı patˇr´ı napˇr. syst´emy s jednoduch´ym sta-
vov´ym prostorem. V regulaˇcn´ıch obvodech jsou to napˇr. rel´e s hysterez´ı, jehoˇz stavov´y
prostor obsahuje pouze dva prvky Σ = {zapnuto +; zapnuto −}, rel´e s hysterez´ı, jehoˇz
stavov´y prostor je Σ = {zapnuto +;0; zapnuto −}, v˚ule v pˇrevodech, u kter´e je sta-
vov´y prostor Σ = {x : x ∈〈−ϕv/2;ϕv/2〉} atd. U tˇechto syst´em˚u neb´yv´a probl´em urˇcit
chov´an´ı segmentu v´ystupn´ı veliˇciny y(t0, t〉 a poˇc´ateˇcn´ıho stavu. Neb´yv´a ani probl´em
urˇcit trajektorii. Pokud je takov´y syst´em zaˇclenˇen do vˇetˇs´ıho syst´emu jako subsyst´em,
je jen zapotˇreb´ı bedlivˇe sledovat v´yvoj jeho stavu a uvˇedomit si, ˇze jej nelze jednoduˇse
popsat funkˇcn´ım vztahem, ale sp´ıˇse slovn´ım popisem nebo algoritmem. Z´aleˇzitost si opˇet
objasn´ıme na pˇr´ıkladˇe.
Pˇr´ıklad 3.3 Syst´em bez dynamiky s pamˇet´ı - v˚ule v pˇrevodech
Pro syst´em v˚ule v pˇrevodech, je zapotˇreb´ı nal´ezt segment v´ystupn´ı veliˇciny
ϕ2 (t0, t0 + 2π〉, je -li segment vstupn´ı veliˇciny ϕ1 (t0, t0 + 2π〉 urˇcen funkc´ı ϕ = Asint,
kde A = ϕv a poˇc´ateˇcn´ı stav pˇrevodovky je x(t0) = 0. V poˇc´ateˇcn´ım stavu je unaˇseˇc
ve stˇredu vidlice a tedy pˇri ϕ1 (0) = 0 je i ϕ2 (0) = 0. Uspoˇr´ad´an´ı nelinearity typu v˚ule
v pˇrevodech je patrn´e z obr. 3.4 ˇReˇsen´ı je zachyceno na obr. 3.5. Je zˇrejm´e, ˇze aˇz do ˇcasu
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 23
3
3
3
ϕ1
ϕ2
ϕv ϕ
1,ϕ2
(a) uspoˇr´ad´an´ı
3
$
3
3
3 3
3
ϕ1
ϕ2
ϕv
2
ϕv
2
−ϕv2
−ϕv2
v z´abˇeru -
v z´abˇeru +
ve v˚uli
(b) charakteristika
Obr´azek 3.4: Nelinearita typu v˚ule v pˇrevodech
t1 nedojde k pohybu v´ystupn´ı hˇr´ıdele a stav se mˇen´ı od x = 0 do x = −ϕv/2, tedy
t ∈
parenleftbigg
0;arcsin 12
parenrightbigg
ϕ2 = 0 (3.36)
V ˇcase t1 se pˇrevodovka dostane do z´abˇeru (stav x = −ϕv/2) a hˇr´ıdel bude un´aˇsen aˇz do
ˇcasu t = π/2, kdy doch´az´ı k reverzaci vstupn´ıho hˇr´ıdele. Plat´ı
t ∈
angbracketleftbigg
arcsin 12 ; π2
parenrightBig
ϕ2 = ϕv sint− ϕv2 (3.37)
Pˇrevodovka pak z˚ust´av´a ve v˚uli, dokud se vstupn´ı hˇr´ıdel nepootoˇc´ı o ´uhel ϕv a plat´ı tedy
t ∈
angbracketleftBigπ
2;π
parenrightBig
ϕ2 = ϕv2 (3.38)
a stav se mˇen´ı od x = −ϕv/2 do x = ϕv/2. Aˇz do ˇcasu t = 32π pak z˚ust´av´a pˇrevodovka
v z´abˇeru (stav x = ϕv/2), tedy
t ∈
angbracketleftbigg
π;32π
parenrightbigg
ϕ2 = ϕv sint+ ϕv2 (3.39)
V ˇcase t = 32π nast´av´a reverzace vstupn´ı hˇr´ıdele a pˇrevodovka z˚ustane ve v˚uli aˇz do ˇcasu
t = 2π (stav se mˇen´ı od x = ϕv/2 do x = −ϕv/2) dokud se vstupn´ı hˇr´ıdel nepootoˇc´ı
o ϕv/2. Plat´ı tedy
t ∈
angbracketleftbigg3
2π;2π
parenrightbigg
ϕ2 = −ϕv2 (3.40)
24 ˇR´ızen´ı a regulace II
pi
2
pi
2
pi
2
pi
2
π
π
π
π
3
4π
3
4π
3
4π
3
4π
2π
2π
2π
2π
t
t
tϕ1
ϕ1
ϕ2ϕ2
t1 t
1
t1
ϕv
2
ϕv
2
ϕv
2
−ϕv2
−ϕv2
ϕv
ϕv
x = ϕv2
ϕ2 = ϕ1 + ϕv2 x = −
ϕv
2ϕ
2 = ϕ1 − ϕv2
x = 0
ϕ2 = ϕ1
Obr´azek 3.5: Grafick´e ˇreˇsen´ı nelinearity typu v˚ule v pˇrevodech
T´ım je v´ystupn´ı segment plnˇe urˇcen. Na obr. 3.5 jsou nakresleny pr˚ubˇehy vstupn´ı,
v´ystupn´ı a stavov´e veliˇciny pro tento pˇr´ıpad. Je zˇrejm´e, ˇze jsme schopni pˇri znalosti
poˇc´ateˇcn´ıho stavu a segmentu vstupn´ı veliˇciny vˇzdy urˇcit segment v´ystupn´ı veliˇciny i
stavovou trajektorii tohoto syst´emu, i kdyˇz popis nelze uzavˇr´ıt do nˇejak´e kompaktn´ı
formule.
3.2.3 Typick´e nelinearity
x
y
a
b
ya
yb
Obr´azek 3.6: Nelinearita nasycen´ı
Pojem neline´arn´ı funkce je velice obecn´y
a nelinearity v ˇr´ızen´ych syst´emech mohou
m´ıt znaˇcnˇe r˚uznorod´e vlastnosti. Lze vˇsak
nal´ezt skupinu nˇekolika typick´ych nelinearit,
se kter´ymi se v pˇr´ıpadˇe technick´ych syst´em˚u
setk´av´ame nejˇcastˇeji.
Nasycen´ı
Patrnˇe nejˇcastˇeji se vyskytuj´ıc´ı nelinearitou
je nelinearita typu nasycen´ı. Jej´ı statick´a cha-
rakteristika je zobrazena na obr. 3.6. V re´aln´ych
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 25
fyzik´aln´ıch a technick´ych syst´emech doch´az´ı vˇzdy k omezen´ı akˇcn´ı veliˇciny (omezen´e
zdroje energie, pevnostn´ı omezen´ı, konstrukˇcn´ı v´ykonov´a omezen´ı) a proto se tato
nelinearita vyskytuje prakticky ve vˇsech re´aln´ych syst´emech. V ˇradˇe aplikac´ı je moˇzn´e
tuto nelinearitu nahradit poˇc´astech line´arn´ı kˇrivkou a syst´em v okol´ı vhodn´ych pracovn´ıch
bod˚u linearizovat. Z´avislost v´ystupu nelinearity y na vstupu x je d´ana vztahem
y =



ya x ≥ a
xyaa b < x < a
yb x ≤ b
(3.41)
Necitlivost
x
y
a
b
α
β
Obr´azek 3.7: Nelinearita necitlivost
Nelinearita typu necitlivost se ˇcasto ob-
jevuje pˇredevˇs´ım v mechanick´ych syst´emech,
kde vznik´a jako projev tˇren´ı a r˚uzn´ych me-
chanick´ych nepˇresnost´ı. V nˇekter´ych pˇr´ıpadech
m˚uˇze b´yt do regulaˇcn´ıho obvodu i umˇele
vkl´ad´ana jako prostˇredek k omezen´ı oscilac´ı.
V´ystup nelinearity typu necitlivost je pops´an
vztahem
y =



(x−a)tgα x ≥ a
0 b < x < a
(x−b)tgβ x ≤ b
(3.42)
V˚ule v pˇrevodech - hystereze
Nelinearita typu v˚ule v pˇrevodech patˇr´ı mezi statick´e neline´arn´ı syst´emy s pamˇet´ı,
jak jiˇz bylo uk´az´ano v kapitole 3.2.2. Jej´ı chov´an´ı nen´ı moˇzn´e urˇcit funkˇcn´ım vztahem,
ale sp´ıˇse algoritmem popisovan´ym v pˇr´ıkladˇe 3.3. Vyskytuje se pˇredevˇs´ım v mecha-
nick´ych syst´emech v d˚usledku mechanick´ych v˚ul´ı nutn´ych pˇri konstrukci pˇrevod˚u. Jin´ym
typick´ym pˇr´ıkladem t´eto nelinearity je existence hystereze v magnetizaˇcn´ıch charakte-
ristik´ach ˇzeleza. Z´avislost mezi vstupn´ım a v´ystupn´ım sign´alem ”v˚ule v pˇrevodech“ je
zobrazena na obr. 3.4(b).
Rel´eov´e charakteristiky
Rel´eov´e charakteristiky zahrnuj´ı nˇekolik moˇzn´ych variant re´alnˇe pouˇz´ıvan´ych blok˚u
typu rel´e. Tato nelinearita se ˇcasto objevuje v regulaˇcn´ıch obvodech v podobˇe rel´eov´ych
regul´ator˚u, jejichˇz pouˇzit´ı bude d´ale diskutov´ano v kapitole 5.
Nejjednoduˇsˇs´ı varianta je zobrazena na obr. 3.8(a). Jedn´a se o charakteristiku ide´aln´ıho
dvoupolohov´eho rel´e, jehoˇz v´ystup lze popsat vztahem
y =
braceleftbigg y
a x ≥ 0
yb x < 0 (3.43)
26 ˇR´ızen´ı a regulace II
x
y
ya
yb
(a) Rel´e bez hystereze
a
b
x
y
ya
yb
(b) Tˇr´ıstavov´e rel´e bez hystereze
a
b
x
y
ya
yb
(c) Rel´e s hysterez´ı
x
y
ya
yb
a1
b1
a2
b2
(d) Tˇr´ıstavov´e rel´e s hysterez´ı
Obr´azek 3.8: Releov´e charakteristiky
Ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚u nav´ıc uvaˇzujeme, ˇze plat´ı yb = −ya, ˇc´ımˇz se vztah (3.43) zjednoduˇs´ı
na
y = ya signx (3.44)
Obr´azek 3.8(b) zachycuje statickou charakteristiku tˇr´ıpolohov´eho rel´e s p´asmem necitli-
vosti v oblasti (b,a). V´ystup nelinearity odpov´ıd´a z´apisu
y =


ya x ≥ a
0 b < x < a
yb x ≤ b
(3.45)
V ˇradˇe re´aln´ych aplikac´ı nalezneme nelinearitu s releovou charakteristikou s hysterez´ı
z obr. 3.8(c). Je zˇrejm´e, ˇze hodnota v´ystupu pro x ∈ (b;a) z´avis´ı na pˇredchoz´ım stavu
v´ystupu a jedn´a se tedy o statickou nelinearitu s pamˇet´ı. Typick´ym pˇr´ıkladem jsou
releov´e regul´atory teploty (ledniˇcka, ˇzehliˇcka, pokojov´e termostaty), u kter´ych je hystereze
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 27
vyuˇz´ıv´ano k omezen´ı ˇcetnosti pˇrep´ın´an´ı. V´ystup releov´eho regul´atoru s hysterez´ı je d´an
vztahem
y =



ya x ≥ a
y ”minul´a“ b < x < a
yb x ≤ b
(3.46)
Releov´a charakteristika s hysterez´ı m˚uˇze b´yt jeˇstˇe rozˇs´ıˇrena o p´asmo necitlivosti, ˇc´ımˇz
dost´av´ame nelinearitu s charakteristikou zobrazenou na obr. 3.8(d) - tˇr´ıpolohov´e rel´e
s hysterez´ı. Chov´an´ı t´eto nelinearity je pak d´ano popisem
y =





ya x ≥ a2
y ”minul´a“ a1 ≤ x < a2
0 b1 < x < a1
y ”minul´a“ b2 < x ≤ b1
yb x ≤ b2
(3.47)
Nelinearita typu tˇren´ı
x
y
ya
yb
α
β
Obr´azek 3.9: Nelinearita tˇren´ı
Nelinearita typu tˇren´ı pˇredstavuje tˇrec´ı s´ıly
a momenty vyskytuj´ıc´ı se pˇredevˇs´ım v me-
chanick´ych syst´emech. Pˇresn´y popis chov´an´ı
t´eto nelinearity je znaˇcnˇe problematick´y a
existuje pro nˇej ˇrada aproximac´ı. Jedna z ˇcasto
pouˇz´ıv