Skripta Řízení a regulace 2

kladu 4.41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.63 Trajektorie syst´emu z pˇr´ıkladu 4.44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.64 Mechanick´y tlumiˇc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.65 Kˇrivky konstantn´ı energie z pˇr´ıkladu 4.45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.66 Objasnˇen´ı vˇety o lok´aln´ı stabilitˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.67 Neline´arn´ı regulaˇcn´ı syst´em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.68 Pr˚ubˇeh neline´arn´ı funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.69 Vysvˇetlen´ı teor´emu o glob´aln´ı stabilitˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.70 ˇR´ızen´a druˇzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.71 Neline´arn´ı regulaˇcn´ı syst´em . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.72 Z´akladn´ı konfigurace regulaˇcn´ıho syst´emu pro pouˇzit´ı Popovova krit´eria
stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.73 Sektor, ve kter´em se m˚uˇze nach´azet nelinearita pˇripouˇzit´ı Popovova krit´eria
stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.74 Zjiˇst’ov´an´ı stabilita podle Popovova krit´eria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.75 Regulaˇcn´ı obvod z pˇr´ıkladu 4.51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.76 Modifikovan´a frekvenˇcn´ı charakteristika syst´emu z pˇr´ıkladu 4.51 . . . . . . 140
4.77 Transformace p´ol˚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.78 Transformace nelinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.79 Charakteristika bistabiln´ıho obvodu s tunelovou diodou . . . . . . . . . . . 146
4.80 Napˇet´ı na tunelov´e diodˇe bˇehem pˇrechodu mezi rovnov´aˇzn´ymi stavy . . . . 146
4.81 Blokov´e schema syst´emu z pˇr´ıkladu 4.57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.82 Modifikovan´a frekvenˇcn´ı charakteristika F∗a(jω) syst´emu z pˇr´ıkladu 4.57 . . 148
4.83 Blokov´e schema syst´emu z pˇr´ıkladu 4.58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.1 Schema syst´emu k v´ykladu n´avrhu regul´atoru pro linearizovan´y syst´em . . 150
5.2 Struktura PI regul´atoru z pˇr´ıkladu 5.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 Blokov´e schema regulaˇcn´ıho obvodu s nasycen´ım akˇcn´ı veliˇciny . . . . . . . 156
5.4 Vznik wind-up jevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
5.5 Potlaˇcen´ı wind-up jevu s mˇeˇren´ım skuteˇcn´e hodnoty akˇcn´ı veliˇciny . . . . . 157
5.6 Potlaˇcen´ı wind-up jevu s modelem omezen´ı akˇcn´ı veliˇciny . . . . . . . . . . 158
5.7 Rel´eov´y regul´ator teploty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.10 Pr˚ubˇeh regulace teploty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.8 Potlaˇcen´ı vibrac´ı elektromechanick´ych sp´ınac´ıch prvk˚u pomoc´ı hystereze . 167
5.9 Stavov´e schema regul´atoru teploty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.11 Sn´ıˇzen´ı hystereze pomoc´ı zpˇetn´e vazby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.12 Principieln´ı sch´ema polohov´eho servomechanismu . . . . . . . . . . . . . . 168
5.13 Stavov´e schema rel´eov´eho servomechanismu . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.14 F´azov´a trajektorie polohov´eho servomechanismu . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.15 F´azov´e trajektorie polohov´eho servomechanismu s dynamick´ym brzdˇen´ım
a z´apornou rychlostn´ı zpˇetnou vazbou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.16 Stavov´y portr´et polohov´eho servomechanismu pracuj´ıc´ıho v ”klouzav´em
reˇzimu“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.17 Stavov´y portr´et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.18 Regulace astatick´e soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8 ˇR´ızen´ı a regulace II
5.20 Trajektorie ˇcasovˇe optim´aln´ıho syst´emu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.19 Trajektorie syst´emu z obr. 5.18 s P regul´atorem s promˇenn´ym zes´ılen´ım . . 175
5.21 ˇCasovˇe optim´aln´ı regul´ator polohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.22 Struktura rel´eov´eho syst´emu z pˇr´ıkladu 5.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
5.23 Stavov´a trajektorie regulaˇcn´ıho dˇeje z pˇr´ıkladu 5.11 . . . . . . . . . . . . . 183
5.24 Aproximace rel´eov´e charakteristiky spojitou funkc´ı . . . . . . . . . . . . . 185
6.1 Zapojen´ı s operaˇcn´ım zesilovaˇcem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.2 Model zapojen´ı s operaˇcn´ım zesilovaˇcem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3 Odezva na jednotkov´y skok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6.4 Vliv integraˇcn´ı metody a kroku v´ypoˇctu na v´ysledek simulace . . . . . . . 193
7.1 Princip identifikace parametr˚u syst´emu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.2 Pˇr´ıprava dat pro rekurzivn´ı metodu nejmenˇs´ıch ˇctverc˚u . . . . . . . . . . . 200
7.3 ´Upravy simplexu pˇri minimalizaci funkce metodou Nelder–Mead . . . . . . 202
7.4 V´ystup syst´emu z pˇr´ıkladu 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.5 Model syst´emu z pˇr´ıkladu 7.1 v prostˇred´ı Matlab-Simulink – origsys.mdl . 206
7.6 ”Gray-box“ model syst´emu z pˇr´ıkladu 7.1 v prostˇred´ı Matlab-Simulink –
model.mdl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 9
Seznam tabulek
3.1 V´ysledky linearizace funkce y = eu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Stavov´e trajektorie line´arn´ıch t-invariantn´ıch syst´em˚u prvn´ıho ˇr´adu . . . . 48
4.2 Sloˇzky ekvivalentn´ıch pˇrenos˚u typick´ych nelinearit pˇrisymetrick´em vstupn´ım
sign´alu e = Asinωt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Sloˇzky ekvivalentn´ıch pˇrenos˚u typick´ych nelinearit pˇrinesymetrick´em vstupn´ım
sign´alu e = e0 + Asinωt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 V´yznam funkc´ı v tabulce 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10 ˇR´ızen´ı a regulace II
Test vstupn´ıch znalost´ı
1. Jak´y je rozvoj funkce f(x) do Taylorovy ˇrady v okol´ı bodu x0
2. Jak´y je rozvoj funkce f(x) do Fourierovy ˇrady
3. Pokud je line´arn´ı regulaˇcn´ı obvod namezi stability, frekvenˇcn´ı charakteristika otevˇren´e
smyˇcky v komplexn´ı rovinˇe
a) proch´az´ı vlevo kolem bodu (1,0) pro nar˚ustaj´ıc´ı frekvenci
b) proch´az´ı vpravo kolem bodu (−1,0) pro nar˚ustaj´ıc´ı frekvenci
c) proch´az´ı bodem (−1,0)
d) proch´az´ı bodem (1,0)
4. Vnitˇrn´ım popisem dynamick´eho syst´emu rozum´ıme
a) soustavu diferenci´aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu
b) oper´atorov´y pˇrenos
c) frekvenˇcn´ı charakteristiku
d) stavov´e rovnice v maticov´em z´apisu
5. stavov´e rovnice line´arn´ıho dynamick´eho syst´emu se spojit´ym ˇcasem jsou
(a) dxdt = Ax+Bu y = Cx+Du
(b) dxdt = Ax+Bu dydt = Cx+Du
(c) dxdt = Ax+Bu dydt = Cy+Du
(d) dxdt = Ax+Bu y = Cy +Dx
6. vlastn´ı ˇc´ısla matice A stavov´eho popisu odpov´ıdaj´ı
a) koeficient˚um jmenovatele oper´atorov´eho pˇrenosu
b) koˇren˚um charakteristick´eho polynomu soustavy
c) koeficient˚um ˇcitatele oper´atorov´eho pˇrenosu
7. funkce V(x1,x2) je pozitivnˇe definitn´ı, jestliˇze
a) V(x1,x2) ≥ 0 pro x1 ≥ 0 a x2 ≥ 0
b) V(x1,x2) > 0 pro x1 ≥ 0 a x2 ≥ 0
c) V(x1,x2) > 0 pro jak´ekoli x1,x2
d) V(x1,x2) > 0 pro jak´ekoli x1 negationslash= 0,x2 negationslash= 0 a souˇcasnˇe V (0,0) = 0
Spr´avn´e odpovˇedi jsou uvedeny v dodatku A
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 11
1 ´Uvod
Bˇehem studia pˇredmˇetu Regulace aˇr´ızen´ı I bylyˇreˇseny ´ulohy z oblasti anal´yzy chov´an´ı
a ˇr´ızen´ı syst´em˚u popsan´ych line´arn´ımi z´avislostmi. Pokud se vˇsak podrobnˇeji pod´ıv´ame
na formulaci fyzik´aln´ıch z´akon˚u popisuj´ıc´ıch okoln´ı svˇet, v ˇradˇe pˇr´ıpad˚u zjist´ıme, ˇze
se v nich vyskytuj´ı neline´arn´ı z´avislosti, pˇriˇcemˇz se m˚uˇze jednat o popis i velice jed-
noduch´ych syst´em˚u. Jako pˇr´ıklad lze uv´est kyvadlo zobrazen´e na obr. 1.1.
α
m
l
Obr´azek 1.1: Kyvadlo
Pohybov´a rovnice kyvadla je d´ana vztahem
mld
2α
dt2 = −mgsinα (1.1)
kde g je t´ıhov´e zrychlen´ı. Nen´ı pochyb, ˇze uveden´a z´avislost
je neline´arn´ı vzhledem k pˇr´ıtomnosti neline´arn´ı funkce sinus.
Pouze pro velmi mal´e hodnoty v´ychylky kyvadla α lze
pˇribliˇznˇe napsat
α ≪ 1 ⇒ sinα ≈ α (1.2)
a pohyb kyvadla popsat line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnic´ı
mld
2α
dt2 = −mgα (1.3)
V nˇekter´ych pˇr´ıpadech je tedy moˇzn´e naj´ıt takov´y line´arn´ı
popis dan´eho syst´emu, ˇze pˇri dodrˇzen´ı zvolen´ych omezuj´ıc´ıch
podm´ınek bude line´arn´ı popis dobˇre reprezentovat studovan´y
neline´arn´ı syst´em. V ˇradˇe pˇr´ıpad˚u vˇsak vhodn´y line´arn´ı popis nen´ı moˇzn´e pouˇz´ıt a pak
mus´ı b´yt pouˇzity metody anal´yzy a n´avrhu ˇr´ıd´ıc´ıch algoritm˚u urˇcen´e pˇr´ımo pro neline´arn´ı
syst´emy. Tyto metody budou obsahem studia pˇredmˇetu Regulace a ˇr´ızen´ı II. Uˇcebn´ı
text pro tento pˇredmˇet vych´az´ı ˇc´asteˇcnˇe ze skript, kter´a lze doporuˇcit jako doplˇnkovou
literaturu
2 Z´akladn´ırozd´ılymeziline´arn´ımianeline´arn´ımisys-
t´emy
2.1 Motivace
Bˇehem kurzu Regulace a ˇr´ızen´ı I byly ˇreˇseny ´ulohy z oblasti line´arn´ıch syst´em˚u.
Neline´arn´ı syst´emy jsou pops´any obecnˇe neline´arn´ımi funkcemi. Mnoˇzina neline´arn´ıch
syst´em˚u je tedy nadmnoˇzinou syst´em˚u line´arn´ıch. Z toho vypl´yv´a, ˇze veˇsker´a tvrzen´ı
platn´a pro neline´arn´ı syst´emy je moˇzn´e aplikovat na syst´emy line´arn´ı, ne vˇsak nao-
pak. Z´asadn´ımi rozd´ıly v chov´an´ı line´arn´ıch a neline´arn´ıch syst´em˚u se budeme zab´yvat
v n´asleduj´ıc´ı ˇc´asti.
12 ˇR´ızen´ı a regulace II
2.2 Neplatnost principu superpozice
Pro kaˇzd´y line´arn´ı syst´em plat´ı tak zvan´y princip superpozice definovan´y vˇetou
Vˇeta 2.1 Pro kaˇzd´y line´arn´ı dynamick´y syst´em plat´ı princip superpozice: Necht’ u1(t)
a u2(t) jsou dva rozd´ıln´e pr˚ubˇehy vstupn´ıch sign´al˚u p˚usob´ıc´ı na syst´em s poˇc´ateˇcn´ımi
podm´ınkami x1(t0),x2(t0). D´ale y1(t) a y2(t) jsou pˇr´ısluˇsn´e pr˚ubˇehy v´ystup˚u syst´emu
a x1(t),x2(t) pr˚ubˇehy stavov´ych veliˇcin pro uveden´e dva vstupn´ı sign´aly. Je-li pˇri poˇc´ateˇcn´ı
podm´ınce
x(t0) = α1x1(t0) + α2x2(t0) (2.1)
na vstup line´arn´ıho syst´emu pˇriveden sign´al
u(t) = α1u1(t) + α2u2(t) (2.2)
syst´em odpov´ı na sv´em v´ystupu sign´alem
y(t) = α1y1(t) + α2y2(t) (2.3)
pˇriˇcemˇz pr˚ubˇeh stavov´ych veliˇcin bude d´an vztahem
x(t) = α1x1(t) + α2x2(t) (2.4)
U neline´arn´ıch syst´em˚u princip superpozice neplat´ı, coˇz je moˇzn´e snadno ovˇeˇrit jak je
uk´az´ano v n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe
Pˇr´ıklad 2.1 Je d´an syst´em, jehoˇz struktura je zachycena na obr´azku 2.1.
X
0
u y
cosintegraltext
Obr´azek 2.1: Neline´arn´ı syst´em
Chov´an´ı syst´emu lze popsat rovnicemi
dx
dt = 0
y = ucosx
(2.5)
jejichˇz ˇreˇsen´ı je velice jednoduch´e a vede na
x(t) = x(t0)
y(t) = u(t)cosx(t0) (2.6)
Pˇri vstupn´ım sign´alu u1(t) a poˇc´ateˇcn´ım stavu x1(t0) pak bude platit pro stav syst´emu
x1 (t) = x1 (t0) (2.7)
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 13
a v´ystup
y1 (t) = u1 (t)cosx1 (t0) (2.8)
Obdobnˇe pro vstupn´ı sign´al u2(t) a poˇc´ateˇcn´ı stav x2(t0) dostaneme
x2 (t) = x2 (t0)
y2 (t) = u2 (t)cosx2 (t0) (2.9)
Nyn´ı pˇredpokl´adejme, ˇze syst´em bude v ˇcase t0 v poˇc´ateˇcn´ım stavu
x3 (t0) = αx1 (t0) + βx2 (t0) (2.10)
a na syst´em bude p˚usobit vstupn´ı sign´al
u3 (t) = αu1 (t) + βu2 (t) (2.11)
Pro stav syst´emu pak plat´ı
x3 (t) = x3 (t0) = αx1 (t0) + βx2 (t0) = αx1 (t) + βx2 (t) (2.12)
a princip superpozice je splnˇen. V´ystup syst´emu je d´an vztahem
y3 (t) = u3 (t)cosx3 (t0) = [αu1 (t) + βu2 (t)]cos[αx1 (t0) + βx2 (t0)] (2.13)
Pro splnˇen´ı principu superpozice by muselo platit
y3 (t) = αu1 (t)cosx1 (t0) + βu2 (t)cosx2 (t0) (2.14)
Je vˇsak zˇrejm´e, ˇze
[αu1 (t) + βu2 (t)]cos[αx1 (t0) + βx2 (t0)] negationslash=
negationslash= αu1 (t)cosx1 (t0) + βu2 (t)cosx2 (t0) (2.15)
a princip superpozice tedy splnˇen nen´ı. Zkouman´y syst´em obsahuje neline´arn´ı z´avislost
vzhledem k pouˇzit´ı funkce kosinus pro v´ypoˇcet hodnoty v´ystupu a v´ysledek ˇreˇsen´eho pˇr´ıkladu
tedy odpov´ıd´a pˇredpokladu, ˇze neline´arn´ı syst´emy nesplˇnuj´ı princip superpozice.
Neplatnost principu superpozice m´a v´yznamn´e n´asledky. Principu superpozice totiˇz
vyuˇz´ıvaj´ı integr´aln´ı transformace, kter´e jsou ve velk´e m´ıˇre pouˇz´ıv´any v oblasti line´arn´ıch
syst´em˚u. Pro popis neline´arn´ıch syst´em˚u pak nen´ı moˇzn´e pouˇz´ıt oper´atorov´y pˇrenos
(Laplaceova transformace) ani frekvenˇcn´ı charakteristiky (Fourierova transformace). Ne-
platnost principu superpozice je rovnˇeˇz tˇreba zv´aˇzit pˇri pouˇz´ıv´an´ı blokov´e algebry.
14 ˇR´ızen´ı a regulace II
2.3 Stabilita neline´arn´ıch syst´em˚u
Stabilita line´arn´ıch dynamick´ych syst´em˚u byla studov´ana v kurzech Sign´aly a syst´emy
a rovnˇeˇz v kurzu Regulace aˇr´ızen´ı 1. Pˇripomeˇnme jen, ˇze stabilita line´arn´ıho dynamick´eho
syst´emu popsan´eho vstupnˇe-v´ystupn´ım popisem prostˇrednictv´ım oper´atorov´eho pˇrenosu
F(p) = Y(p)U(p) = B(p)A(p) (2.16)
kde Y(p) je obraz v´ystupn´ıho sign´alu y(t) v Laplaceovˇe transformaci, U(p) je obraz
vstupn´ıho sign´alu, A(p) je polynom ve jmenovateli oper´atorov´eho pˇrenosu F(p) a B(p)
je polynom v ˇcitateli oper´atorov´eho pˇrenosu, je urˇcena polohou koˇren˚u polynomu A(p).
Line´arn´ı syst´em jestabiln´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz vˇsechny koˇreny polynomuA(p) (p´oly oper´ato-
rov´eho pˇrenosu) leˇz´ı v lev´e polorovinˇe komplexn´ı roviny ”p“. Obdobnˇe stabilita line´arn´ıho
dynamick´eho syst´emu zadan´eho stavov´ym popisem
dx
dt = Ax+Bu (2.17)
kde x je vektor stavov´ych veliˇcin, u je vektor vstupn´ıch hodnot, A je matice zpˇetn´ych
vazeb a B je matice vazeb vstup˚u na stavov´e veliˇciny, je urˇcena polohou vlastn´ıch ˇc´ısel
maticeA. Plat´ı,ˇze line´arn´ı dynamick´y syst´em je stabiln´ı pr´avˇe tehdy, kdyˇz vˇsechna vlastn´ı
ˇc´ısla matice A leˇz´ı v lev´e polorovinˇe roviny ”p“. Je tedy zˇrejm´e, ˇze v pˇr´ıpadˇe line´arn´ıch
syst´em˚u je stabilita urˇcena v´yhradnˇe vnitˇrn´ı strukturou syst´emu a line´arn´ı dynamick´y
syst´em bude tedy vˇzdy stabiln´ı (respektive nestabiln´ı) bez ohledu na hodnotu vstup˚u
nebo poˇc´ateˇcn´ı stav.
V pˇr´ıpadˇe neline´arn´ıch syst´em˚u je situace zcela jin´a. Neline´arn´ı syst´em m˚uˇze b´yt pro
urˇcit´e hodnoty vstup˚u a poˇc´ateˇcn´ı stav stabiln´ı, pro jin´e hodnoty nestabiln´ı. Detailnˇe
bude tato vlastnost diskutov´ana v kapitole 4.
2.4 Shrnut´ı kapitoly 2
Zvl´aˇstnosti neline´arn´ıch syst´em˚u tedy m˚uˇzeme shrnout do n´asleduj´ıc´ıch bod˚u:
• tvrzen´ı platn´a pro neline´arn´ı syst´emy plat´ı i pro syst´emy line´arn´ı, opak neplat´ı
• neplat´ı princip superpozice
• pro popis neline´arn´ıho syst´emu nen´ı moˇzn´e pouˇz´ıt oper´atorov´y pˇrenos v Laplaceovˇe
transformaci
• neline´arn´ı syst´em nen´ı moˇzn´e popsat frekvenˇcn´ı charakteristikou
• stabilita neline´arn´ıch syst´em˚u m˚uˇze b´yt z´avisl´a na poˇc´ateˇcn´ım stavu a pr˚ubˇehu
vstupn´ıch sign´al˚u
• v neline´arn´ım syst´emu mohou vznikat stabiln´ı oscilace a to i jin´eho, neˇz sinusov´eho
pr˚ubˇehu
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe 15
2.5 Kontroln´ı ot´azky pro kapitolu 2
1. Plat´ı pro neline´arn´ı syst´emy princip superpozice?
2. Je moˇzn´e popsat chov´an´ı neline´arn´ıho syst´emu oper´atorov´ym pˇrenosem?
3. Lze zakreslit frekvenˇcn´ı charakteristiku pro syst´em obsahuj´ıc´ı nˇejakou neline´arn´ı
z´avislost?
4. Pˇredpokl´adejte, ˇze zn´ate vnitˇrn´ı strukturu neline´arn´ıho syst´emu. Je moˇzn´e bez
dalˇs´ıch informac´ı rozhodnout o jeho stabilitˇe?
Spr´avn´e odpovˇedi jsou uvedeny v dodatku A.
3 Kategorie neline´arn´ıch syst´em˚u a jejich popis
3.1 Motivace
Oblast neline´arn´ıch syst´em˚u zahrnuje syst´emy s velice r˚uznorod´ym chov´an´ım. V n´asle-
duj´ıc´ı kapitole se pokus´ıme kategorizovat ˇcasto se vyskytuj´ıc´ı nelinearity a objasnit, jak´ym
zp˚usobem lze popsat charakter jejich chov´an´ı.
3.2 Syst´emy bez dynamiky
Za syst´emy bez dynamiky povaˇzujeme v technick´e praxi takov´e syst´emy, kter´e reaguj´ı
na zmˇenu vstupn´ıch sign´al˚u okamˇzitˇe bez jak´ehokoliv pˇrechodov´eho dˇeje a zpoˇzdˇen´ı.
Vesmˇes jde o reprezentaci takov´ych fyzik´aln´ıch syst´em˚u, kter´e reaguj´ı na vstupn´ı sign´aly
velmi rychle tak, ˇze jejich pˇrechodov´y dˇej (dynamika) je zanedbatelnˇe kr´atk´y vzhledem
k dynamice ostatn´ıch spolupracuj´ıc´ıch syst´em˚u. Tak lze napˇr´ıklad zanedbat dynamiku
elektromagnetick´eho stykaˇce, jehoˇz pˇrechodov´y dˇej trv´a zhruba 0,1 s, bude-liˇr´ıdit tepelnou
soustavu s ˇcasov´ymi konstantami okolo 1 hodiny. Dostateˇcn´ym modelem stykaˇce pak bude
jeho statick´a charakteristika.
Syst´emy bez dynamiky pˇredstavuj´ı vˇetˇsinou subsyst´emy nˇejak´ych sloˇzitˇejˇs´ıch syst´em˚u,
kter´e jsou pak pops´any stavov´ymi rovnicemi a chovaj´ı se jako dynamick´e syst´emy. Tyto
subsyst´emy mohou b´yt ze syst´emu fyzik´alnˇe vydˇeliteln´e, napˇr. rel´e, elektronick´e zesilovaˇce
ap., nebo mohou vzniknout pˇri matematick´e formulaci napˇr. jako smyˇcka rychl´e zpˇetn´e
vazby.
3.2.1 Syst´emy bez pamˇeti
K syst´em˚um bez dynamiky ˇrad´ıme i syst´emy bez pamˇeti, u kter´ych je relace mezi
v´ystupn´ım sign´alem a vstupn´ım sign´alem vyj´adˇrena funkˇcnˇe napˇr. pro syst´em s jedn´ım
vstupem u a jedn´ım v´ystupem y
y = f(u) (3.1)
16 ˇR´ızen´ı a regulace II
U1 U2
R1
R2
Obr´azek 3.1: Operaˇcn´ı zesilovaˇc
Takov´e syst´emy m˚uˇzeme povaˇzovat za syst´emy
s jedn´ım stavem (stavov´y prostor je mnoˇzina
o jednom prvku), kter´y se nemˇen´ı. Typick´ym
pˇr´ıkladem m˚uˇze b´yt zapojen´ı s operaˇcn´ım zesi-
lovaˇcem z obr. 3.1, jehoˇz dobr´ym modelem je rovnice
u2 = −R2R
1
u1 (3.2)
za pˇredpokladu, ˇze ostatn´ı ˇc´asti syst´emu do kter´eho
je zapojen maj´ı ˇcasov´e konstanty alespoˇn desetkr´at vˇetˇs´ı neˇz m´a tento zesilovaˇc. ˇReˇsen´ı
syst´emu (3.1) nepˇredstavuje v z´asadˇe ˇz´adn´e pot´ıˇze pokud je funkˇcn´ı pˇredpis zad´an
analyticky. V pˇr´ıpadˇe, ˇze je funkce zad´ana graficky nebo tabulkou, je zapotˇreb´ı pro
v´ypoˇcetn´ı ´uˇcely na ˇc´ıslicov´em nebo analogov´em poˇc´ıtaˇci prov´est n´ahradu interpolaˇcn´ı
funkc´ı. K nejˇcastˇejˇs´ım interpolaˇcn´ım funkc´ım patˇr´ı polynomy a funkce po ˇc´astech line´arn´ı.
Pˇripomeˇnme si zde pouze Lagrangeovu interpolaˇcn´ı formuli. Tato formule pˇredpokl´ad´a,
ˇze funkce (3.1) je zn´ama v n ”uzlov´ych“ bodech u0,u1,...,un, tj. jsou zn´amy hodnoty
y0 = f (u0),y1 = f (u1),...,yn = f (un). Uzlov´e body nemus´ı b´yt ekvidistantn´ı. N´ahradn´ı
polynom je polynom n-t´eho stupnˇe ve tvaru
Ln(u) =
nsummationdisplay
j=1
yj
nproductdisplay
k=1,knegationslash=j
u−uk
uj −uk (3.3)
V uzlov´ych bodech plat´ı
f(ui) = Ln(ui) (3.4)
Interpolaˇcn´ı formule je snadno realizovateln´a naˇc´ıslicov´em poˇc´ıtaˇci. Proanalogov´e poˇc´ıtaˇce
se pouˇz´ıv´a n´ahrada funkc´ı poˇc´astech line´arn´ı, kter´a m˚uˇze b´yt formulov´ana pˇri stejn´e volbˇe
uzlov´ych bod˚u jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe n´asledovnˇe
F(u) = yi + yi+1 −yiu
i+1 −ui
(u−ui) u ∈〈ui,ui+1〉 i = 0,1,...,n−1 (3.5)
Protoˇze ˇreˇsen´ı neline´arn´ıch syst´em˚u je obt´ıˇzn´e, b´yv´a ˇcasto prov´adˇena n´ahrada funkce
(3.1) funkc´ı line´arn´ı - linearizace. Pokud syst´em pracuje v bl´ızk´em okol´ı nˇejak´eho pra-
covn´ıho bodu u0, pouˇz´ıv´a se k linearizaci rozvoj funkce do Taylorovy ˇrady, ve kter´e jsou
zanedb´any ˇcleny vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u, tedy
f(u) ˙=T(u) = f(u0) + dfdu
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
u=u0
(u −u0) (3.6)
Podm´ınkou pouˇzit´ı t´eto metody je samozˇrejmˇe existence df/du|u=u0. Zavedeme-li pojem
odchylky ∆u,∆y od pracovn´ıho bodu u0,y0 = f (u0), t.j. ∆u = u−u0,∆y = y−y0, plat´ı
pro linearizaci rozvojem do Taylorovy ˇrady pro odchylku ∆u,∆y
∆y ˙= dfdu
vextendsinglevextendsingle
vextendsingleve