Skripta Optika

větší je toto rozšíření. Proto je geometrická optika použitelná pouze tehdy, když štěrbiny nebo
jiné clony, které mohou být umístěny do dráhy světla, nemají rozměry srovnatelné s vlnovou
délkou světla nebo menší.

36.4 YOUNGŮV INTERFERENČNÍ POKUS
V roce 1801 Thomas Young experimentálně prokázal, že světlo je vlna, zatímco většina fyziků v
té době pokládala světlo za proud částic. Demonstroval, že světlo vykazuje interferenci stejně
jako vodní vlny, zvukové vlny a všechny ostatní typy vln. Kromě toho dokázal změřit střední
vlnovou délku slunečního světla; jím zjištěná hodnota 570 nm je obdivuhodně blízká dnes
uznávané hodnotě 555 nm. Prozkoumáme nyní Youngův historický pokus jako příklad
interference světelných vln.

Obr. 36.6 uvádí základní uspořádání Youngova pokusu. Světlo ze vzdáleného
monochromatického zdroje osvětluje štěrbinu S na stínítku A. Difrakcí vzniklé světlo osvětluje
dvě štěrbiny S
1
a S
2
ve stínítku B. Difrakcí na těchto dvou štěrbinách vzniknou za stínítkem B
dvě válcové vlny (průsečnice jejich vlnoploch s nákresnou jsou na obrázku zobrazeny částmi
kružnic); v této oblasti vlna z jedné štěrbiny interferuje s vlnou z druhé štěrbiny.
0
V Youngově interferenčním experimentu dochází k difrakci dopadajícího monochromatického
světla na štěrbině S , která působí jako bodový zdroj světla o polokruhových vlnoplochách.
0
Po dopadu na stínítko B je světlo difraktováno na štěrbinách S
1
a S , které působí jako dva
bodové zdroje světla. Světelné vlny postupující ze štěrbin S a S
2
1 2
se vzájemně překrývají a
interferují. Na projekčním stínítku C vzniká interferenční obrazec maxim a minim.




Obr. 36.6 Tento obrázek je příčným řezem; stínítka, štěrbiny a interferenční obrazec jsou
protaženy pod nákresnu a nad ní.

Na „momentce“ obr. 36.6 jsou tečkami vyznačeny body, ve kterých dochází ke konstruktivní
interferenci (vznikají interferenční maxima). Z těchto bodů můžeme pozorovat pouze ty, které
jsou v rovině stínítka, vloženého do šířících se vln.Body interferenčních maxim vytvářejí na
stínítku svítící řady — nazývané světlé pruhy, světlé proužky nebo (volněji řečeno) maxima —
které se rozprostírají napříč stínítka (pod nákresnou v obr. 36.6 a nad ní). Tmavé oblasti—
nazývané tmavé pruhy, tmavé proužky nebo (volněji řečeno) minima — jsou výsledkem
destruktivní interference a jsou patrné mezi světlými proužky. (Přesněji řečeno: maxima a minima
odpovídají středům pruhů.) Struktura světlých a tmavých proužků na stínítku se nazývá
interferenční obrazec. Fotografie interferenčního obrazce je na obr. 36.7; pro úsporu místa je
fotografie pootočena o 90°.



Obr. 36.7 Fotografie interferenčního obrazce vytvořeného v sestavě podle obr. 36.6. Zobrazuje
čelný pohled na část stínítka C a je otočena o 90°. Střídající se maxima a minima se nazývají
interferenční proužky.

Lokalizace proužků
V Youngově dvojštěrbinovém interferenčním pokusu, jak uvedený experiment nazýváme,
vytvářejí vlny proužky, ale jak se vlastně určí jejich poloha? Abychom nalezli odpověď, budeme
uvažovat uspořádání podle obr. 36.8a. Rovinná vlna monochromatického světla dopadá na dvě
štěrbiny S
1
a S na stínítku B; světlo na štěrbinách difraktuje a na stínítku C vytváří interferenční
obrazec. Sestrojíme středovou osu o jako kolmici ke stínítku C ze středu vzdálenosti mezi
štěrbinami.Na stínítku zvolíme libovolný bod P a označíme úhel, který svírá spojnice P se
2
θ
středem mezi štěrbinami a středovou osou. V bodě P končí paprsek r vlny šířící se ze spodní
štěrbiny a paprsek r vlny šířící se z horní štěrbiny.
1
2



Obr. 36.8 (a) Vlny ze štěrbin S
1
a S
2
(nad a pod nákresnou) se skládají v libovolném bodě P na
stínítku C ve vzdálenosti y od středové osy. Úhel č je vhodnou veličinou ke stanovení polohy P.
(b) Pro h >> d můžeme r
1
a r
2
považovat přibližně za rovnoběžné paprsky, šířící se pod úhlem θ
vzhledem ke středové ose o.

Tyto vlny mají při výstupu ze štěrbin stejnou fázi, protože jsou částmi téže vlnoplochy dopadající
vlny. Aby ale obě vlny dospěly od štěrbin do téhož bodu P, musí projít různé vzdálenosti. Je to
podobný případ jako v čl. 18.4 se zvukovými vlnami, takže dospíváme k závěru:
Jestliže se dvě vlny šíří dráhami o různých délkách, jejich fázový rozdíl se může změnit.
Změna fázového rozdílu je způsobena dráhovým rozdílem L cest, kterými se vlny šíří.
Uvažujme dvě vlny se stejnou fází, které se šíří cestami s dráhovým rozdílem L a potom
procházejí nějakým společným bodem. Jestliže je L nula nebo celočíselný násobek vlnové
délky, vlny dospějí do společného bodu ve fázi a interferují konstruktivně.
∆
∆
∆
Jestliže to platí pro vlny s dráhami r
1
a r na obr. 36.8, pak bod P leží na světlém proužku.
Pokud je L lichý násobek poloviny vlnové délky, dopadají vlny do společného bodu přesně s
opačnou fází a interferují destruktivně. Jestliže to platí pro dráhy r
1
a r
2
, bude v bodě P tmavý
proužek. (A samozřejmě můžeme mít přechodný stav interference s takovým osvětlením v P,
které odpovídá hodnotám mezi světlým a tmavým proužkem.) Tedy:
2
∆
To, co se objeví v Youngově interferenčním pokusu v každém bodě stínítka, je určeno dráhovým
rozdílem L paprsků, které do tohoto bodu dospěly. ∆
Polohu každého světlého nebo tmavého proužku můžeme určit z úhlu od středové osy o k
proužku. Abychom nalezli , musíme jej vyjádřit pomocí L
θ
θ
∆
∆ . Podle obr. 36.8a začneme
nalezením takového bodu E na paprsku r
1
, ve kterém je délka dráhy z E do P rovna délce dráhy z
S do P. Pak dráhový rozdíl L mezi oběma paprsky je právě vzdálenost |S
1
E|.
2
Vztah mezi úhlem a vzdáleností |S
1
E| je složitý, ale můžeme jej značně zjednodušit, jestliže
uspořádáme experiment tak, aby vzdálenost h od štěrbin ke stínítku byla mnohem větší, než je
vzdálenost d mezi štěrbinami.V takovém případě můžeme považovat paprsky r
1
, r za vzájemně
θ
2
rovnoběžné a šířící se pod úhlem k ose (obr. 36.8b). Potom také můžeme považovat
trojúhelník S
1
S E za pravoúhlý s vnitřním úhlem θ u vrcholu S . Pro tento trojúhelník je sin θ
= L/d a tedy
θ
2 2
∆
L = d sin θ (dráhový rozdíl). (36.12) ∆

Ukázali jsme, že pro světlý proužek musí být L nula nebo celočíselný násobek vlnové délky.
Užitím rov. (36.12) můžeme tento požadavek vyjádřit jako
∆

L = d sin θ = (celé číslo)(∆ λ) (36.13)

neboli

d = mλ, kde m = 0, 1, 2,… sin θ
(maxima - světlé proužky). (36.14)

Pro tmavé proužky musí být L lichým násobkem poloviny vlnové délky. Opět užitím rov.
(36.12) můžeme tento požadavek vyjádřit jako
∆

L = d sin θ = (liché číslo)( ∆ λ
2
1
) (36.15)

neboli
d = (m + ,)
2
λ
1
kde m = 0, 1, 2,… sin θ
(minima - tmavé proužky). (36.16)

Pomocí rov. (36.14) a (36.16) můžeme nalézt úhel č libovolného proužku a tedy i jeho polohu;
kromě toho můžeme hodnotu m užít k označení proužku. Pro m = 0 udává rov. (36.14), že světlý
proužek leží ve směru θ = 0, tzn. na středové ose.Toto středové (centrální)maximum je místem,
ve kterém vlny, šířící se ze dvou štěrbin, mají dráhový rozdíl L = 0, proto mají i nulový fázový
rozdíl.
∆
Například pro m = 2 rov. (36.14) udává, že světlé proužky jsou ve směru

= arcsinθ )
2
(
d
λ


nahoru nebo dolů vzhledem k ose. Vlny ze dvou štěrbin dospějí do místa těchto proužků při L ∆
= 2 a tedy s rozdílem fází odpovídajícím dvěma vlnovým délkám. Tyto proužky se nazývají
proužky druhého řádu (ve smyslu m = 2) neboli druhá vedlejší maxima (druhá maxima od
středového maxima), nebo jsou označovány jako druhé proužky od středového maxima.
λ
Pro m = 1 z rov. (36.16) vyplývá, že tmavé proužky jsou ve směru

= arcsinθ )
5,1
(
d
λ


nad nebo pod osou. Vlny ze dvou štěrbin dorazí do míst těchto proužků s L = 1,5 a s
fázovým rozdílem odpovídajícím 1,5 vlnové délky. Tyto proužky se nazývají druhé tmavé
proužky neboli druhá minima, protože to jsou druhé tmavé proužky od středové osy. (První
tmavý proužek neboli první minimum se nachází v těch místech, pro která je v rov. (36.16) m =
0.)
∆ λ
Rov. (36.14) a (36.16) byly odvozeny pro případ, že h >> d. Lze je však také užít, jestliže mezi
štěrbiny a projekční stínítko vložíme spojnou čočku a stínítko posuneme do ohniska čočky.
(Stínítko je potom v ohniskové rovině čočky, tzn. v rovině kolmé ke středové ose v ohnisku.)
Paprsky, které se sejdou v libovolném místě stínítka, musí být před dopadem na čočku
rovnoběžné — což odpovídá původně r ovnoběžným paprskům na obr. 35.13a, které jsou
čočkou soustředěny do bodu.

KONTROLA 3: Jaké jsou L (jako násobek vlnové délky ) a fázový rozdíl (ve vlnových
délkách) dvou paprsků na obr. 36.8a, jestliže bod P (a) odpovídá třetímu vedlejšímu maximu a
(b) třetímu minimu?
∆ λ

Vypočtěte PŘÍKLAD 36.2

36.5 KOHERENCE
Nutnou podmínkou, aby se interferenční obrazec objevil na stínítku C je, aby se fázový rozdíl
světelných vln, dopadajících do libovolného bodu P stínítka, neměnil s časem. Protože fázový
rozdíl zůstává konstantní, je světlo ze štěrbin S
1
a S
2
dokonale koherentní.
Přímé sluneční světlo je částečně koherentní; vlny slunečního světla dopadajícího do dvou bodů
mají konstantní fázový rozdíl pouze tehdy, jestliže jsou tyto body blízko u sebe. Štěrbiny ve
dvojštěrbinovém pokusu však nejsou navzájem dostatečně blízko, takže v přímém slunečním
světle je světlo ve štěrbinách vzájemně nekoherentní. Abychom získali koherentní světlo,
propustíme sluneční světlo jedinou štěrbinou; protože je tato štěrbina úzká, světlo, které jí projde,
je koherentní.

Úzká štěrbina dále způsobí, že svazek světla se v důsledku difrakce rozšíří a osvětlí obě štěrbiny
koherentním světlem.

Jestliže nahradíme štěrbiny dvěma stejnými, ale nezávislými monochromatickými světelnými
zdroji, jakými jsou dva tenké rozžhavené dráty, fázový rozdíl vln se rychle a náhodně mění. Je to
proto, že světlo je vyzařováno z drátů velkým množstvím atomů, které září náhodně a nezávisle
po velmi krátkou dobu (řádu nanosekund).Následkem toho se v libovolném bodě projekční
plochy rychle mění interference vln z obou zdrojů mezi konstruktivní a destruktivní.

Oko (a většina běžných optických detektorů) takové změny nemůže sledovat a nemůže vidět
interferenční obrazec. Proužky zmizí a stínítko je osvětleno stejnoměrně. A právě takové světlo
nazýváme nekoherentní.

Laser se liší od běžných světelných zdrojů tím, že jeho atomy vyzařují světlo koordinovaně,
takže poskytují koherentní světlo. Toto světlo je navíc téměř monochromatické, je vyzařováno v
úzkém svazku s malou rozbíhavostí a může být fokusováno do stopy, jejíž rozměry jsou
srovnatelné s vlnovou délkou světla.


36.6 INTENZITA PŘI INTERFERENCI SVĚTLA ZE DVOU ŠTĚRBIN
Rov. (36.14) a (36.16) vyjadřují, jak jsou na stínítku C rozložena maxima a minima jako funkce
úhlu č při interferenci ze dvou štěrbin podle obr. 36.8. Chceme nyní odvodit vztah pro intenzitu I
proužků jako funkci . Světlo opouštějící štěrbiny je ve fázi. Předpokládejme však, že složky
vektoru intenzity elektrického pole světelných vln, které dospějí do bodu P na obr. 36.8 ze dvou
θ
štěrbin, nejsou ve fázi a mění se s časem podle vztahů

E (36.19)
1
= E
0
sin ωt
a
(36.20)
2
= E
0
sin(ωt + ϕ),

kde ω je úhlová frekvence obou vln a ϕ je fázová konstanta vlny E . Poznamenejme, že obě vlny
mají stejnou amplitudu E a fázový rozdíl ϕ. Protože se tento fázový rozdíl nemění, vlny jsou
koherentní.Ukážeme, že tyto dvě vlny se budou v bodě P skládat a způsobí osvětlení o intenzitě I,
2
0
dané vztahem
I = 4I
0
cos
2
,
2
1
ϕ (36.21)
kde
=ϕ .sin
2
θ
λ
πd
(36.22)

V rov. (36.21) je I
0
intenzita světla, které přichází na stínítko z jedné štěrbiny, když druhá
štěrbina je dočasně zakryta. Předpokládejme, že ve srovnání s vlnovou délkou jsou štěrbiny tak
úzké, že intenzita světla z jedné štěrbiny je prakticky stejná v celé oblasti stínítka, na kterém
proužky zkoumáme.
Rov. (36.21) a (36.22) vyjadřují průběh intenzity I ve struktuře proužků na obr. 36.8 v závislosti
na úhlu θ . Obsahují také informaci o rozložení maxim a minim. Ověřme si to.
Rozbor rov. (36.21) ukazuje, že maxima intenzity se objeví, když

,
2
1
πϕ m= kde m = 0, 1, 2,… . (36.23)

Jestliže dosadíme tento výsledek do rov. (36.22),nalezneme

,sin
2
2 θ
λ
π
π
d
m = kde m = 0, 1, 2,…
neboli
d = mλ, kde m = 0, 1, 2,… sinθ
(maxima), (36.24)

což je přesně rov. (36.14), tedy vztah, který jsme dříve odvodili pro polohu maxim.
Minima se ve struktuře proužků objeví, když

πϕ )
2
1
(
2
1
+= m, kde m = 0, 1, 2,… .

Jestliže toto dosadíme do rov. (36.22), dospějeme ihned k rovnici

d = (m + ,)
2
λ
1
kde m = 0, 1, 2,… sinθ
(minima), (36.25)

což je právě rov. (36.16), tedy vztah, který jsme odvodili pro polohu tmavých proužků.
Povšimněte si v rov. (36.21), že intenzita I (která je vždy kladná) se mění od nuly v
minimech do 4I v maximech.
0
Jestliže jsou vlny ze dvou zdrojů (štěrbin) nekoherentní, takže vztah jejich fází je proměnný,
struktura proužků nevznikne a intenzita má ve všech bodech stínítka stejnou hodnotu 2I ; tuto
hodnotu vyjadřuje vodorovná přerušovaná čára na obr. 36.9.
0
Energie nemůže interferencí vznikat ani zanikat, ale pouze se na stínítku přerozdělí. Průměrná
intenzita na stínítku má tedy stejnou hodnotu 2I bez ohledu na to, zda jsou zdroje koherentní
nebo ne. To vyplývá z rov. (36.21); jestliže dosadíme 1/2, což je střední hodnota druhé mocniny
0
funkce kosinus, vztah se redukuje na I = 2I .
0

Proveďte odvození rov. (36.21) a (36.22)

36.7 INTERFERENCE NA TENKÉ VRSTVĚ

Barvy, které vidíme, když sluneční světlo dopadá na mýdlovou bublinu nebo na olejovou skvrnu,
jsou důsledkem interference světelných vln odražených od přední a zadní plochy tenké průhledné
vrstvy. Tloušťka mýdlové nebo olejové vrstvy je obvykle řádově rovna jednotkám vlnových
délek obsažených ve (viditelném) světle. (Nebudeme se zabývat většími tloušťkami, protože ty
potlačí koherenci světla potřebnou k vytvoření barev pomocí interference. Zaměříme se pouze na
menší tloušťky.)
Obr. 36.12 ukazuje tenkou průhlednou vrstvu tloušťky L o indexu lomu n , osvětlenou
intenzívním světlem vlnové délky λ ze vzdáleného bodového zdroje. Předpokládejme, že na obou
stranách vrstvy je vzduch, takže na obr. 36.12 je n
1
= n . Pro zjednodušení také připusťme, že
světelné paprsky jsou téměř kolmé k vrstvě (θ 0). Zajímáme se, zda pro pozorovatele, který se
dívá téměř kolmo, je vrstva světlá, nebo tmavá.
2
3
≈
Světlo, představované paprskem i, dopadá na čelní (levou) plochu vrstvy v bodě A, kde se jednak
odráží, jednak láme. Odražený paprsek r
1
vstupuje do oka pozorovatele. Lomené světlo protíná
vrstvu v bodě B zadního rozhraní, kde se také odráží a láme. Světlo odražené v B se vrací
zpět vrstvou k bodu C, kde se opět jak odráží, tak i láme. Světlo vzniklé v C, představované
paprskem r , vstupuje do pozorovatelova oka také.
2
Jestliže světelné vlny příslušející paprskům r
1
a
2
jsou v oku ve fázi, vytvářejí interferenční
maximum a oblast AC na vrstvě je pro pozorovatele světlá. Jestliže mají opačnou fázi, vytvářejí
interferenční minimum a oblast AC je pro pozorovatele tmavá, přestože je osvětlená. A jestliže
vlny mají fázový rozdíl z intervalu mezi oběma krajními případy, pak dochází k přechodnému
stavu interference a osvětlení pozorované oblasti má odpovídající hodnotu mezi maximální
a minimální intenzitou.



Obr. 36.12 Světelné vlny, představované paprskem i, dopadají na tenkou vrstvu tloušťky h s
indexem lomu n . Paprsky r
1
a r
2
příslušejí světelným vlnám, odraženým na přední a zadní
2
ploše vrstvy. (Všechny tři paprsky jsou ve skutečnosti téměř kolmé k vrstvě.) Interference vln,
znázorněných pomocí r
1
a r
2
, závisí na jejich fázovém rozdílu. Index lomu n
1
prostředí vlevo
se může lišit od indexu lomu prostředí vpravo, ale tentokrát předpokládáme, že obě prostředí
tvoří vzduch. Pro něj je n
1
= n
3
= 1,0, což je menší hodnota než n
2
.

Základem toho, co pozorovatel vidí, je tedy fázový rozdíl mezi vlnami, znázorněnými paprsky r
1

a r . Oba paprsky jsou odvozeny z téhož paprsku i
2
, ale během cesty, při které se vytváří paprsek
r , se světlo šíří vrstvou dvakrát (z A do B a potom z B do C
2
), kdežto cesta paprsku r
1

neobsahuje průchod vrstvou. Protože úhel je blízký nule, vyjádříme přibližně dráhový rozdíl
mezi vlnami paprsků r
1
a r
2
hodnotou 2h. Avšak ke zjištění fázového rozdílu mezi vlnami
nedovedeme nalézt počet vlnových délek , který odpovídá dráhovému rozdílu 2h. Je to
nemožné ze dvou důvodů: (1) dráhový rozdíl vzniká v jiném prostředí, než je vzduch, a (2)
odrazy zahrnují jevy, které mohou změnit fázi.
θ
λ
Fázový rozdíl mezi dvěma vlnami se může změnit, jestliže u jedné nebo u obou došlo k odrazu.
Dříve než budeme pokračovat ve výkladu o interferenci na tenké vrstvě, musíme rozebrat změnu
fáze způsobenou odrazem.

Změna fáze při odrazu
Lom na rozhraní dvou prostředí nikdy nezpůsobí fázovou změnu. Ale odraz, v závislosti na
indexu lomu na obou stranách rozhraní, může tuto změnu způsobit. Světlo po odrazu od opticky
hustšího prostředí mění fázi.

Rovnice pro interferenci na tenké vrstvě
V této kapitole jsme poznali tři způsoby, při kterých může docházet ke změně fázového rozdílu
mezi dvěma vlnami:
1. odrazem,
2. šířením vln po různě dlouhých dráhách,
3. šířením vln prostředími o různých indexech lomu.

Odraz světla na tenké vrstvě, při němž vznikají vlny reprezentované na obr. 36.12 paprsky r a
r , poskytuje všechny tři uvedené způsoby. Uvažujme je postupně jeden po druhém.
1
2

Jestliže vlny příslušející paprskům r
1
a r
2
jsou ve fázi, takže konstruktivně interferují, musí
délka dráhy 2h způsobit další fázový rozdíl 0,5, 1,5, 2,5, … vlnových délek. Pouze potom bude
výsledný fázový rozdíl celočíselným násobkem vlnové délky. Aby tedy vrstva byla světlá,
musíme mít

2h =
2
liché
•vlnová délka (pro vlny ve fázi). (36.29)

Vlnovou délkou v uvedených vztazích rozumíme vlnovou délku světla v prostředí
obsahujícím dráhu 2h, tzn. v prostředí s indexem lomu n .Rov. (36.29) můžeme tedy napsat jako
λ
2
2

2h =
2
2
λ⋅
čísloliché
(pro vlny ve fázi). (36.30)

Jestliže namísto toho, aby vlny byly ve fázi, dochází k destruktivní interferenci, dráhový rozdíl 2h
buď nesmí způsobit žádný další fázový rozdíl, nebo musí způsobit fázový rozdíl rovný 1, 2, 3,…
vlnovým délkám. Pouze tehdy zůstane výsledný fázový rozdíl lichým násobkem poloviny
vlnové délky. Vrstva tedy bude tmavá, jestliže bude mít

2h = celé číslo · vlnová délka, (36.31)

kdy opět vlnovou délkou se rozumí vlnová délka 2 v prostředí, obsahujícím dráhu 2h. Máme
tedy
λ
2h = celé číslo ·λ
2
(vlny mají opačnou fázi). (36.32)

Nyní opět uvažujme, že vlna příslušející paprsku r se šíří prostředím o indexu lomu n , kdežto
vlna paprsku r
1
nikoli. Rov. (36.8) ( = /n
2 2
λ
0
λ ) použijeme k vyjádření vlnové délky vlny uvnitř
vrstvy ve tvaru

2
2
n
λ
λ= , (36.33)

kde je vlnová délka dopadajícího světla ve vakuu (a přibližně také ve vzduchu). Dosazení rov.
(36.33) do rov. (36.30) a nahrazení liché číslo/2 výrazem (m + 1/2) dává
λ