Skripta Optika

iže
vznik obrazu je podmíněn přítomností zrakové soustavy pozorovatele, jde o virtuální obraz.

Tvoření obrazu

1. Kulové zrcadlo:





Obr. 35.9 (a) Předmět O mezi vydutým zrcadlem a jeho ohniskema jeho virtuální obraz I. (b)
Předmět v ohnisku F. (c ) Předmět ve vzdálenosti větší než ohnisková vzdálenost a jeho reálný
obraz.

Kulová zrcadla, kulové lámavé povrchy a tenké čočky mohou vytvářet obrazy světelného zdroje
— předmětu změnou směru paprsků vycházejících ze zdroje. Obraz vzniká, jestliže se
přesměrované paprsky protínají (při tvoření reálného obrazu), nebo když se protínají zpětně
prodloužené paprsky (tvoření virtuálního obrazu). Jsou-li paprsky dostatečně blízké centrální ose,
platí následující vztahy pro předmětovou vzdálenost p (která je kladná) a obrazovou vzdálenost i
(která je kladná pro reálné obrazy a záporná pro virtuální obrazy):

rfip
2111
==+
(35.4, 35.3)


kde f je ohnisková vzdálenost zrcadla a r je jeho poloměr křivosti. Rovinné zrcadlo je zvláštní
případ kulového zrcadla, pro něž r , takže p = -i. Reálné obrazy se tvoří na téže straně zrcadla,
kde je umístěn předmět, zatímco virtuální obrazy jsou na opačné straně.


Obr. 35.10 (a, b) Čtyři paprsky, jejichž narýsováním můžeme nalézt obraz libovolného předmětu
vytvořený vydutým zrcadlem. Pro polohu předmětu na obrázku vznikne reálný a převrácený
obraz menší než předmět. (c, d) Čtyři podobné paprsky pro případ vypuklého zrcadla. Toto
zrcadlo vytvoří vždy virtuální obraz orientovaný stejně jako předmět a menší než předmět.
(Paprsek 2 v obr. (c) směřoval původně do ohniska F.)

2. Lámavý kulový povrch:

r
nn
i
n
p
n
1221
−
=+
jeden povrch (35.8)

kde n
1
je index lomu prostředí, v němž je umístěn předmět, n
2
je index lomu na druhé straně
lámavého povrchu a r je poloměr křivosti povrchu. Je-li předmět před vypuklým lámavým
povrchem, je poloměr r kladný, je-li předmět před vydutým povrchem, je r záporné. Reálný
obraz se vytvoří na opačné straně lámavého povrchu, než je předmět, virtuální obraz na téže
straně jako předmět.


Obr. 35.11 Šest možných způsobů, při nichž vznikne obraz lomem na kulovém povrchu
poloměru r se středem křivosti C. Povrch (rozhraní) odděluje dvě prostředí s indexy lomu n
1
a n
2
.
Bodový zdroj O je vždy v prostředí s n1 nalevo od povrchu. Prostředí s menším indexem lomu
není vystínováno (myslete si, že je to vzduch, zatímco druhé prostředí je vyplněno sklem). Reálné
obrazy vznikají v případech (a) a (b), virtuální obrazy vznikají v ostatních čtyřech případech.


3. Tenká čočka

Čočka je průhledné (transparentní) těleso se dvěma lámavými plochami, jejichž centrální osy
splývají. Společná centrální osa je centrální osou čočky. Je-li čočka obklopena vzduchem, láme
se světlo ze vzduchu do čočky, prochází čočkou a znovu se láme do vzduchu. Při každém lomu se
může změnit směr chodu světla. Čočku, která způsobí, že paprsky původně rovnoběžné s
centrální osou se sbíhají (konvergují), nazveme spojkou neboli spojnou (konvergentní) čočkou.
Jestliže čočka místo toho způsobí, že takové paprsky se rozbíhají (divergují), jde o rozptylku
neboli čočku rozptylnou (divergentní).
Umístíme-li předmět před čočky obou typů, mohou lomené světelné paprsky vytvořit obraz
tohoto předmětu. Budeme se zabývat pouze speciálním případem tenké čočky, tj. čočkou, jejíž
nejtlustší část je tenká ve srovnání s předmětovou vzdáleností p, s obrazovou vzdáleností i a s
poloměry křivosti r
1
a r
2
obou povrchů čočky. Budeme také uvažovat pouze světelné paprsky,
které svírají malé úhly s centrální osou (v obrázcích jsou tyto úhly zveličeny).









−−==+
21
11
)1(
111
rr
n
fip

(35.9, 35.10)



kde f je ohnisková vzdálenost čočky, n je index lomu materiálu čočky, r
1
a r
2
jsou poloměry
křivosti obou stran čočky, což jsou kulové povrchy. Je-li předmět před vypuklým povrchem
čočky, je poloměr křivosti kladný, je-li předmět před vydutým povrchem, je poloměr křivosti
záporný. Reálné obrazy se vytvářejí na opačné straně čočky, než je předmět, virtuální obrazy na
téže straně jako předmět.




Obr. 35.13 (a) Paprsky postupující původně rovnoběžně s centrální osou spojné čočky se
sbíhají do ohniska F
2
čočky. Čočka je tenčí než na obrázku, její tloušťka je srovnatelná
s tloušťkou svislé přímky procházející čočkou, na níž mění paprsky směr. (b) Zvětšená horní
část čočky z obr. (a); normály k povrchům jsou vyznačeny čárkovaně. Povšimněte si, že
oba lomy paprsku na površích směrují paprsky dolů k centrální ose. (c) Tytéž původně
rovnoběžné paprsky se po průchodu rozptylnou čočkou stanou rozbíhavými. Prodloužené
paprsky vycházejí z virtuálního ohniska F
2
. (d) Zvětšená horní část čočky z obr. (c). Povšimněte
si, že při obou lomech se odchylují paprsky nahoru, od optické osy.






Příčné zvětšení
Příčné zvětšení m při zobrazení kulovým zrcadlem nebo čočkou je

p
i
m −= (35.6)

Velikost m je dána vztahem


h
h
m
′
= (35.5)

kde h a h´ jsou výšky (měřené kolmo k centrální ose) předmětu a obrazu.

35.7 OPTICKÉ PŘÍSTROJE
Lidské oko je pozoruhodně účinný orgán. Jeho možnosti můžeme navíc rozšířit ještě mnoha
způsoby pomocí optických přístrojů, např. brýlemi, jednoduchou zvětšující čočkou (lupou),
filmovými projektory, kamerami (včetně televizních), mikroskopy a dalekohledy. Mnohá z
takových zařízení rozšiřují oblast našeho vidění i mimo viditelnou oblast; uveďme jako příklad
infračervené kamery a rentgenové mikroskopy.
Vztahy pro zobrazení zrcadlem a tenkou čočkou můžeme použít pro důmyslné optické přístroje
jen jako aproximace.
Čočky v typickém laboratorním mikroskopu nejsou v žádném případě „tenké“. U většiny
optických přístrojů jde o složené čočky (objektivy), které se skládají z několika prvků a jejichž
rozhraní nemusí mít kulový tvar. Dále probereme tři optické přístroje a budeme pro jednoduchost
předpokládat platnost rovnic pro tenkou čočku.

Lupa (jednoduchá zvětšující čočka)
Normální lidské oko může zaostřit obraz na sítnici (v zadní části oka), je-li předmět umístěn
kdekoli od nekonečna až po určitý bod, který nazýváme blízkým bodem P
n
. Posouvá- li se
předmět blíže k oku, před blízký bod, vnímaný obraz na sítnici se rozostří. Poloha blízkého bodu
se mění s věkem. Všichni známe lidi, kteří neužívají brýle, ale při čtení drží noviny v natažených
rukou; jejich blízký bod se vzdálil. Chcete-li najít svůj blízký bod, odložte brýle nebo kontaktní
čočky, zavřete jedno oko a přibližujte stránku k otevřenému oku, až se stane nezřetelnou. V
následujícím textu klademe blízký bod do vzdálenosti 25 cm od oka, trochu dále, než je jeho
typická vzdálenost ve dvaceti letech.
Na obr. 35.17a je předmět O umístěn do blízkého bodu P
n
oka. Velikost obrazu vytvořeného na
sítnici závisí na úhlu θ, který předmět zabírá v zorném poli oka (zorném úhlu). Posouváním
předmětu blíže k oku (obr. 35.17b) se zvětší zorný úhel a tedy i možnost rozlišení detailů
předmětu. Protože je však předmět blíže než blízký bod, není již zaostřený, tzn. je nezřetelný.


Obr. 35.17 (a) Předmět O výšky h v blízkém bodě Pn našeho oka zaujímá zorný úhel č. (b) Aby
se zorný úhel zvětšil, posuneme předmět blíže k sobě. Pak však nedokážeme předmět zaostřit. (c)
Mezi předmět a oko umístíme spojnou čočku tak, že předmět leží blízko ohniska F1 čočky (mezi
nim a čočkou). Obraz vytvořený čočkou je pak dostatečně daleko, abychom na něj mohli oko
zaostřit. Zorný úhel θ obrazu I je nyní větší než zorný úhel předmětu O v případě (a). pokud úhly
θ a θ´ jsou malé.

Ostrost obrazu můžeme obnovit tím, že jej prohlížíme přes spojnou čočku (obr. 35.17c); tu
umístíme tak, že se předmět O nachází blízko ohniska F
1
, mezi ohniskem a čočkou.
Pak prohlížíme virtuální obraz I předmětu O vytvořený čočkou. Tento obraz je mnohem dále než
blízký bod a oko jej vidí ostře.
Zorný úhel θ´, pod kterým vidíme virtuální obraz, je navíc větší než největší úhel θ, pod nímž
vidíme ostře samotný předmět. Úhlové zvětšení
θ
m (nezaměňovat s příčným zvětšením m)
definujeme jako podíl

´/θ = θ
θ
=m
f
cm
m
25
=&
θ
(35.12)
kde f je ohnisková vzdálenost čočky.
Z obr. 35.17 plyne za předpokladu, že předmět O je umístěn v ohnisku čočky,

θθ= =h/25 cm a = h/f,tg
•
θθ ′=′
•
tg

Slovy: úhlové zvětšení lupy dostaneme porovnáním zorného úhlu obrazu vytvořeného lupou a
zorného úhlu předmětu umístěného do blízkého bodu pozorovatele.




Mikroskop
Na obr. 35.18 je nakreslen mikroskop složený z tenkých čoček. Přístroj sestává z objektivu (čočka
bližší předmětu) s ohniskovou délkou f
ob
a z okuláru (čočka bližší oku) s ohniskovou délkou f
ok
.
Užívá se k prohlížení malých předmětů, které se kladou blízko objektivu.
Pozorovaný předmět O se umísťuje nalevo od prvého ohniska F
1
natolik blízko k němu, že
můžeme přibližně nahradit předmětovou vzdálenost p ohniskovou vzdáleností f
ob
. Vzdálenost
mezi čočkami nastavujeme tak, že zvětšený a převrácený reálný obraz I vytvořený objektivem se
nachází blízko ohniska F
1
okuláru (mezi ohniskem a okulárem). Délka tubusu s (přesněji
nazývaná optickým intervalem) vyznačená na obr. 35.18 je podstatně větší než f
ob
a můžeme jí
přibližně nahradit vzdálenost i mezi objektivem a obrazem I.


Obr. 35.18 Znázornění mikroskopu složeného z tenkých čoček (není v měřítku). Objektiv vytváří
reálný obraz I předmětu O blízko ohniska F
1
okuláru. Obraz I se pak stane předmětem pro okulár,
který vytváří konečný virtuální obraz I; ten je prohlížen pozorovatelem. Ohnisková vzdálenost
objektivu je f
ob
, ohnisková vzdálenost okuláru je f
ok
, délka optického intervalu (tubusu) je s.

Užijeme-li těchto aproximací pro p a i, můžeme podle rov. (35.6) zapsat příčné zvětšení objektivu
takto:
ob
f
s
p
i
m −=−= . (35.13)
Protože obraz I je umístěn blízko ohniska okuláru F
1
(mezi F
1
a okulárem), slouží okulár jako
lupa; pozorovatel vidí přes ni výsledný (virtuální, převrácený) obraz I. Celkové zvětšení přístroje
je součin příčného zvětšení m objektivu (rov. (35.13)) a úhlového zvětšení m
č
okuláru (rov.
(35.12)), tj.

okob
f
cm
f
s
mmM
25
−==
θ
(mikroskop). (35.14)

Dalekohled
Jsou dalekohledy různých typů. Popíšeme jednoduchý refrakční dalekohled sestávající z
objektivu a okuláru. Na obr. 35.19 jsou oba prvky reprezentovány jednoduchými čočkami, ačkoli
v praxi u většiny dalekohledů jsou tvořeny složitými systémy čoček.
Uspořádání dalekohledů a mikroskopů jsou podobná, dalekohledy jsou však navrhovány k
pozorování velkých předmětů ve velkých vzdálenostech, jako např. galaxií, hvězd a planet,
zatímco mikroskopy jsou navrhovány k účelům právě opačným. Tento rozdíl vyžaduje, aby u
dalekohledu na obr. 35.19 splývalo druhé ohnisko objektivu F
2
s prvním ohniskem okuláru F
1
,
zatímco u mikroskopu na obr. 35.18 jsou tato ohniska oddělena optickým intervalem (délkou
tubusu) s.


Obr. 35.19 (a) Schéma refrakčního dalekohledu složeného z tenkých čoček.Objektiv vytváří
reálný obraz I vzdáleného světelného zdroje (předmětu); paprsky vstupující do objektivu jsou
přibližně rovnoběžné. (Předpokládáme, že jeden konec předmětu leží na centrální ose.) Ve
společných ohniscích F
2
a F
1
vzniká obraz I, který je předmětem pro okulár; okulár vytváří ve
velké vzdálenosti od pozorovatele konečný virtuální obraz I. Objektiv má ohniskovou vzdálenost
f
ob
, okulár má ohniskovou vzdálenost f
ok
. (b) Obraz I má výšku h = |F
2
X|; paprsek S
ob
X svírá s
osou úhel Θ
ob
, paprsek XS
ok
svírá s osou úhel Θ
ok
.

Na obr. 35.19a dopadají na objektiv rovnoběžné paprsky ze vzdáleného předmětu svírající s osou
dalekohledu úhel Θ
ob
a po průchodu objektivem vytvoří reálný, převrácený obraz I ve společném
ohnisku F
2
= F
1
. Tento obraz je předmětem pro okulár; pozorovatel vidí přes okulár vzdálený
(stále převrácený) virtuální obraz I. Paprsky určující tento obraz svírají s osou dalekohledu úhel
Θ
ok
.

Úhlové zvětšení m
θ
dalekohledu je podíl θ
ok
/θ
ob
. Podle obr. 35.19b za předpokladu, že paprsky
svírají malé úhly s osou, můžeme psát θ
ob
= h´/f
ob
a θ
ok
= h´/f
ok
; z toho dostaneme

ok
ob
f
f
m −=
θ
(dalekohled), (35.15)

kde záporné znaménko značí, že obraz I je převrácený. Slovy: Úhlové zvětšení dalekohledu
dostaneme jako podíl zorného úhlu obrazu vytvořeného dalekohledem a zorného úhlu vzdáleného
předmětu, pod kterým pozorujeme předmět bez dalekohledu. Při návrhu astronomického
dalekohledu je požadované zvětšení pouze jedním, snadno dosažitelným faktorem.
Dobrý teleskop by měl mít jasný obraz, což je určeno jeho světelností. To je důležité při
pozorování slabých objektů, jakými jsou např. vzdálené galaxie.Dosahuje se toho volbou co
možná největšího průměru objektivu. U dalekohledu je též důležitá jeho rozlišovací schopnost,
což je schopnost rozlišit dva objekty (řekněme hvězdy), jejichž úhlová vzdálenost je malá.
Dalším důležitým faktorem je zorné pole dalekohledu. Teleskop určený pro pozorování galaxií
(které zaujímají malou část zorného pole) se v mnohém liší od teleskopu navrženého pro
sledování meteorů (které se pohybují v širokém rozmezí zorného pole).
Konstruktér dalekohledu musí též přihlédnout k rozdílům mezi reálnými čočkami a ideálními
tenkými čočkami, o nichž jsme diskutovali. Reálná čočka s kulovými povrchy nevytvoří ostré
obrazy; tato vada se nazývá sférická aberace (otvorová vada). Protože dále úhel lomu na dvou
površích skutečné čočky závisí na vlnové délce, reálná čočka nefokusuje světlo rozdílných
vlnových délek do téhož bodu; tato vada se nazývá chromatická aberace (barevná vada).
Stručná diskuse v žádném případě nevyčerpala faktory pro návrh astronomických dalekohledů; je
jich ještě mnohem více. Podobný výčet bychom ovšem mohli sestavit pro každý další optický
přístroj s vysokým rozlišením.

PROSTUDUJTE § 35.8 TŘI ODVOZENÍ - velmi důležité při návrhu jednoduché optické
soustavy a to:

Pro kulové zrcadlo, lámavou plochu, tenkou čočku






























36. INTERFERENCE

36.1 INTERFERENCE
Duha ukazuje, že sluneční světlo je složeno ze všech barev viditelného spektra. Barvy se objevují
v duze proto, že světlo různých vlnových délek prochází dešťovými kapkami, které duhu
vytvářejí, v různých směrech. Avšak mýdlová bublina nebo olejová skvrna mohou rovněž
vytvářet jasné barvy, které tentokrát nevznikají lomem světla, ale konstruktivní a destruktivní
interferencí světla. Vzájemným skládáním vln se zesilují nebo potlačují určité barvy ve spektru
dopadajícího světla. Interference vln je tedy projevem superpozice vlnění.

Toto selektivní zesílení nebo zeslabení světla určitých vlnových délek má mnoho aplikací, např.
interferenční vrstva, vytvořená na skleněném povrchu, může pomocí destruktivní interference
omezit množství odraženého světla a tím zesílit světlo procházející. Na přítomnost takové vrstvy
ukazuje modré zbarvení objektivů kamer. Interferenční vrstvy mohou být také použity ke zvýšení
— a nikoli ke snížení — sc hopnosti ploch odrážet světlo.

Abychom pochopili interferenci, musíme opustit omezující geometrickou optiku a využít
dokonalejších prostředků vlnové optiky. Jak uvidíme, je vskutku interference asi
nejpřesvědčivější důkaz, že světlo je vlnění — protože interferenci nelze vyložit jinak, než
pomocí vln.

Obr. 36.1 Konstrukce šíření rovinné vlny ve vakuu na základě Huygensova principu.

36.2 SVĚTLO JAKO VLNA
Prvním, kdo předložil přesvědčivou vlnovou teorii světla, byl holandský fyzik Christian Huygens
v roce 1678. Jeho teorie není tak rozsáhlá jako pozdější Maxwellova elektromagnetická teorie
světla, je matematicky jednodušší a dodnes se používá. Její velkou předností je, že první
vysvětlila zákon odrazu a lomu pomocí šíření vln a vyložila fyzikální smysl indexu lomu.
Huygensova vlnová teorie je založena na geometrické konstrukci, která dovoluje stanovit, kde se
bude nalézat vlnoplocha v libovolném pozdějším čase, jestliže známe její současnou polohu. Tato
konstrukce vyplývá z Huygensova principu, který zní:
Všechny body na vlnoploše slouží jako bodové zdroje sekundárních kulových vlnoploch. Po
nějakém čase t bude novou polohou vlnoplochy tečná plocha k těmto sekundárním
vlnoplochám.
∆
Uvedeme jednoduchý příklad. Vlevo na obr. 36.1 je poloha vlnoplochy rovinné vlny, šířící se ve
vakuu doprava, reprezentována rovinou AB kolmou k nákresně. Kde bude vlnoplocha po čase
t∆
∆
? Použijme některé body roviny AB (tečky) jako zdroje sekundárních kulových vlnek, které
jsou emitovány v čase t = 0. V čase t bude mít poloměr všech těchto kulových vlnek hodnotu
c t , kde c je rychlost šíření světla ve vakuu. Nakreslíme rovinu DE, tečnou k těmto vlnkám v
čase t. Tato rovina představuje vlnoplochu rovinné vlny v čase t; je rovnoběžná s rovinou
AB a její vzdálenost od ní je c t
∆
∆ ∆
∆ .

Index lomu každého prostředí je definován jako poměr rychlosti světla c ve vakuu k rychlosti
světla v v tomto prostředí. Potom

n =
v
c
(index lomu). (36.3)

Pro naše dvě prostředí máme
n =
1
1
v
c
a n =
2
2
v
c
. (36.4)

a

1
2
2
1
2
1
/
/
sin
sin
n
n
nc
nc
==
θ
θ
(36.5)

neboli
n sinθ = n sinθ (zákon lomu), (36.6)
1 2 2 2

což je zákon lomu zavedený v kap. 34.

Procvičte KONTROLA 1

Prostudujte závislost Vlnové délky a indexu lomu

Proveďte KONTROLA 2


36.3 DIFRAKCE
V následující části rozebereme pokus, který poprvé prokázal, že světlo je vlna. Abychom byli na
to připraveni, musíme zavést pojem difrakce (ohyb) vln, označující jev, který budeme podrobně
zkoumat v kap. 37. Její podstata je následující: jestliže vlna dopadá na překážku s otvorem, jehož
rozměry jsou srovnatelné s vlnovou délkou, část vlny, která otvorem projde, se rozšíří—bude
difraktovat (ohýbat se) — do oblasti za stínítkem. Její šíření odpovídá šíření dílčích vlnoploch v
Huygensově konstrukci na obr. 36.1.
Difrakci vykazují vlny všech typů, tedy nejenom světelné vlny. Obr. 36.5a schematicky
zobrazuje rovinnou vlnu o vlnové délce , dopadající na stínítko se štěrbinou, která má šířku a =
6,0 a je kolmá k nákresně. Za štěrbinou se vlna rozšíří i do stran. Obr. 36.5b (s a = 3,
λ
λ 0λ) a obr.
36.5c (a = 1,5 ) ilustrují základní vlastnost difrakce: čím užší je štěrbina, tím širší je oblast
difrakce.
λ


Obr. 36.5 Schematické znázornění difrakce. Pro danou vlnovou délku je difrakce výraznější pro
menší šířku štěrbiny a. Obrázky ukazují případy pro (a) šířku štěrbiny a = 6,0 , (b) šířku
štěrbiny a = 3,0 , (c) šířku štěrbiny a = 1,5λ. Ve všech třech případech se stínítko se štěrbinou
rozprostírá kolmo pod i nad nákresnu.
λ
λ

Difrakce omezuje použitelnost geometrické optiky, ve které šíření elektromagnetických vln
vyjadřujeme paprsky. Jestliže se skutečně pokoušíme vytvořit paprsek průchodem světla úzkou
štěrbinou nebo soustavou úzkých štěrbin, bude difrakce našemu úsilí bránit, protože vždy způsobí
šíření světla i do stran. Dokonce čím užší štěrbinu použijeme (ve snaze vytvořit užší svazek), tím