Skripta Matematika 1

0
Výsledky
1. a) 152 , b) 12, c) 6, d) ∞, e) 18, f) 6−100;
2. a) 14, b) 0, c) 0, d) 1;
3. a) 56, b) 1, c) 1, d) ∞;
4. a) 0;−∞, b) 0;1, c) 0; 32, d) −2;2, e) 1;−1, f) pi2 ;−pi2 ;
5. a) e, b) e3, c) 1, d) 0, e) 12, f) 1 pro a > 1, 12 pro a = 1, 0 pro a < 1.
3.3 Spojitost
Pomocí limity se zavádí pojem spojitosti funkce (zobrazení):
146 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Definice 3.34: Funkce f se nazývá spojitá v bodě a, platí-li limx→af(x) = f(a); to
znamená, že
a) a∈Df, tj. f(a) je definováno, b) limx→af(x) existuje, c) limx→af(x) = f(a).
Tuto definici můžeme zapsat ve tvaru
∀ε> 0∃δ> 0∀x :|x−a|
0, f(pi) < 0 kde f(x) = cosx−x a f(x) je spojitá funkce. (Viz obr. 3.45 a 3.46)
Obr. 3.45: f(x) = cosx, f(x) = x Obr. 3.46: f(x) = cosx−x
Shrnutí
V této kapitole jsme vyšetřovali pojem spojitosti. Řekneme, že funkce f je
• spojitá v bodě a: je-li limx→af(x) = f(a),
• spojitá zleva (zprava) v boděa: jsou-li příslušné jednostranné limity rovny funkční
hodnotě v bodě a,
• spojitá na intervalu: je-li spojitá v každém bodě intervalu; jedná-li se o uzavřený
nebo polouzavřený interval, v koncovém bodě je spojitá zleva nebo zprava („zevnitřcsquotedblright
intervalu).
Není-li funkce f v bodě a spojitá, má zde
150 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
• nespojitost 1. druhu: existuje-li lim
x→a+
f(x) = f(a+) i lim
x→a−
f(x) = f(a−) a jsou
vlastní; přitom v případě, že se tyto jednostranné limity sobě rovnají, hovoříme o
odstranitelné nespojitosti; rozdíl f(a+)−f(a−) se nazývá skok funkce f v bodě a,
• nespojitost 2. druhu: jestliže alespoň jedna jednostranná limita funkce f v bodě
a neexistuje nebo je nevlastní.
Vlastnosti spojitých funkcí:
• Funkce vzniklé pomocí aritmetických operací ze spojitých funkcí a
• složené funkce vzniklé kompozicí spojitých funkcí
jsou spojité ve všech bodech, ve kterých jsou definované. Odtud plyne, že elementární
funkce jsou spojité všude, kde jsou definované.
Je-li funkce f spojitá na uzavřeném intervalu〈a,b〉, potom
• je zde ohraničená,
• nabývá zde svého maxima a minima,
• nabývá všech hodnot mezi svým maximem a minimem.
Otázky a úkoly
1. Kdy řekneme, že je funkce f spojitá v bodě a? Kdy je spojitá na intervalu〈a,b〉?
2. Uvedli jsme celou řadu funkcí definovaných na R, které byly nespojité pouze v jed-
nom bodě (např. f(x) = sgnx v 0). Může se stát, aby funkce definovaná na R byla
spojitá pouze v jednom bodě? Uveďte příklad takové funkce.
3. Vyšetřete spojitost funkce z obr. 3.43, klasifikujte nespojitosti.
4. Nechť funkce f je v bodě a spojitá a funkce g nespojitá. Zjistěte, zda jsou v bodě a
spojité funkce
a) f +g b) fg c) f◦g d) g◦f.
Uveďte příklady.
5. Nechť funkce f i g jsou v bodě a nespojité. Zjistěte, zda mohou být v bodě a spojité
funkce
a) f +g b) fg c) f◦g d) g◦f.
Uveďte příklady.
6. Jsou dány funkce f a g předpisy
f(x) =
braceleftbigg x 0 0) b) (ln|x|)prime = 1x c) (xa)prime = axa−1 (a∈R)
Řešení:
a) y = ax = ex lna je složená funkce s vnitřní složkouu = x lnaa vnější složkouy = eu:
dy
dx =
dy
du·
du
dx = e
u·lna = ex lna·lna = ax lna
b) Pro x> 0 je nám vztah již znám.
Je-li x< 0, potom y = ln|x|= ln(−x); y = lnu, u =−x:
dy
dx =
dy
du·
du
dx =
1
u·(−1) =
1
−x·(−1) =
1
x
c) y = xa = ea lnx, y = eu, u = a lnx, x> 0:
dy
dx =
dy
du·
du
dx = e
u·a
x = e
a lnx·a
x = x
a·a
x = a·x
a−1
V následujícím příkladu použijeme odvozené vztahy při výpočtu derivace komplikovaněj-
ších funkcí:
Příklad 3.62: Máme vypočítat fprime, je-li f zadaná předpisem
a) f(x) = 4
radicalBig
x−√1+x2
x+√1+x2, b) f(x) = arctg
cosx
1+sinx c) f(x) = (sinx)
cosx
Matematika 1 159
Řešení: a)
f(x) =
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBigg1
4
; fprime(x) = 14
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBigg−3
4
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBiggprime
=
= 14
bracketleftBigg
x+√1 +x2
x−√1 +x2
bracketrightBigg3
4
·
·(x−(1 +x
2)12)prime (x+ (1 +x2)12)−(x−(1 +x2)12)(x+ (1 +x2)12)prime
(x+√1 +x2)2 =
= 14
bracketleftBigg
x+√1 +x2
x−√1 +x2
bracketrightBigg3
4
·
·(1−
1
2(1 +x
2)−12 2x)(x+ (1 +x2)12)−(x−(1 +x2)12)(1 + 1
2(1 +x
2)−12 2x)
(x+√1 +x2)2 =
=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle po úpravě (1. a 3. závorku v čitateli převedeme na společného jmenovatele,který je roven√1 +x2, a roznásobíme) dostaneme
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle=
=− 12√1 +x2
bracketleftBigg
x+√1 +x2
x−√1 +x2
bracketrightBigg3
4 x−√1 +x2
x+√1 +x2 =−
1
2√1 +x2
bracketleftBigg
x−√1 +x2
x+√1 +x2
bracketrightBigg1
4
.
b)
fprime(x) = 1
1 +bracketleftbig cosx1+sinxbracketrightbig2
bracketleftbigg cosx
1 + sinx
bracketrightbiggprime
=
= (1 + sinx)
2
(1 + sinx)2 + cos2x
(cosx)prime(1 + sinx)−cosx(sinx)prime
(1 + sinx)2 =
= 12 + 2sinx [−sinx(1 + sinx)−cos2x] =−12.
c)
f(x) = (sinx)cosx = ecosx lnsinx, fprime(x) = ecosx lnsinx (cosx lnsinx)prime =
= (sinx)cosx
parenleftbigg
−sinx lnsinx+ cosx 1sinx cosx
parenrightbigg
=
= (sinx)cosx−1parenleftbigcos2x−sin2x lnsinxparenrightbig.
160 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 3.63: Kondenzátor s kapacitou C se vybíjí přes rezistor s odporem R. Máme
najít intenzitu proudu v čase t, jestliže pro náboj na deskách kondenzátoru platí
Q = 0,001e−t/5
kde náboj Q je vyjádřen v coulombech a čas t v sekundách. Máme zjistit, za jak dlouho
klesne intenzita proudu na polovinu své počáteční hodnoty.
Řešení: Intenzita elektrického proudu v ampérech je
i = dQdt = (0,001e−t/5)prime =−0,0002e−t/5
Pro t = 0 je
i0 =−0,0002A =−0,2mA
Čas v sekundách,za který klesne intenzita proudu na polovinu, najdeme z podmínky
i0
2 =−0,0002e
−t/5 neboli 1
2 = e
−t/5.
Tedy t = 5 ln2 .= 3,47s.
Příklad 3.64: Máme najít rovnici tečny a normály ke grafu funkce y = lnx, jestliže
tečna je rovnoběžná s přímkou x−y+ 5 = 0.
Řešení: Nechť A = [x0,y0] je bod, ve kterém je hledaná tečna rovnoběžná se zadanou
přímkou. Z podmínky rovnoběžnosti plyne pro směrnicik1 tečny a směrnicik2 dané přímky
vztah k1 = k2 (= 1), neboli
(lnx)primex=x0 = 1, tedy 1x
0
= 1.
Odtud je x0 = 1 a y0 = lnx0 = 0.
Rovnice tečny v bodě A = [1,0] je
y−0 = 1(x−1) neboli x−y−1 = 0
a rovnice normály
y−0 =−11(x−1) neboli x+y−1 = 0.
Matematika 1 161
Diferenciál funkce
Definice 3.65: Nechť funkce f je diferencovatelná v bodě x0. Potom funkci fprime(x0)·h
proměnné h∈R nazýváme diferenciálem funkce f v bodě x0 a značíme
df(x0) = fprime(x0)·h.
Je-li funkce f diferencovatelná na intervalu (a,b), potom fprime(x)·h závisí na dvou pro-
měnných x ∈ (a,b), h ∈ (−∞,∞). Tento výraz nazýváme diferenciálem funkce a
označujeme df(x), nebo df.
Zvolíme-li speciálně f : f(x) = x, potom df(x) = dx = 1.h.
Výsledku dx = h budeme nadále používat všude. Bude tedy
df(x) = fprime(x)·dx, df(x0) = fprime(x0)·dx.
Odtud lze dělením diferenciálem dx získat již dříve uvedené Leibnizovo vyjádření derivace
funkce
fprime(x) = df(x)dx , fprime(x0) = df(x0)dx .
Přírůstek dx nazýváme přírůstkem argumentu.
Geometrický význam diferenciálu
Obr. 3.52: Geometrický význam diferenci-
álu
Rovnice tečny ke grafu funkce
f v bodě [x0, f(x0)] má tvar:
y−f(x0) = tgα(x−x0) =
= fprime(x0)(x−x0).
Označíme-li tedy
x−x0 =trianglex,
f(x)−f(x0) =trianglef(x),
je geometrický význam diferen-
ciálu
df(x0) = fprime(x0)(x−x0)
„přírůstek po tečněcsquotedblright, tak jak je
znázorněno na obr. 3.52.
162 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Aproximace přírůstku funkce diferenciálem
Přírůstek funkce f v bodě x definujeme vztahem ∆f(x) = f(x+h)−f(x).
Je-li fprime(x)negationslash= 0, potom
lim
h→0
∆f(x)
df(x) = limh→0
f(x+h)−f(x)
fprime(x)·h =
lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
fprime(x) = 1.
Proto pro dostatečně malá h je
∆f(x)
df(x) ≈1, tj. ∆f(x)≈df(x)
a můžeme pro malá h přibližně nahradit přírůstek funkce jejím diferenciálem.
Příklad 3.66: S jakou chybou (v procentech) vypočteme objem krychle, jestliže se při
měření strany krychle dopustíme nejvýše 1% chyby?
Řešení: Nechť x značí délku strany krychle a V její objem. Nechť dx značí možnou
chybu v měření x. Relativní chyba dxx je v absolutní hodnotě nejvýše 0,01, tedy
|dx|
x ≤0,01.
DiferenciáldV je odhad chyby při výpočtu objemu, tj. dVV je odhad relativní chyby objemu.
Protože
dV = d(x3) = 3x2dx,
dostaneme
dV
V =
3x2dx
x3 = 3
dx
x .
Tedy relativní chyba objemu je trojnásobek relativní chyby v měření strany, tj. asi 3%.
Neurčité výrazy, L’Hospitalovo pravidlo
V tomto odstavci uvedeme pravidlo, které výrazně zjednoduší počítání limit funkcí v
bodech, kde není možné přímo dosadit – tak zvaných neurčitých výrazů:
Vyšetřujeme-li limitu lim
x→a
f(x)
g(x), kde limx→ag(x) = 0, nemůžeme použít větu o limitě podílu;
je-li navíc limx→af(x) = 0, nejedná se ani o žádnou nevlastní limitu. Přesto uvedený podíl
limitu může mít a to dokonce vlastní. Podobná situace vzniká, jsou-li limity funkcí f,g
nevlastní, nebo vyšetřujeme-li limitu rozdílu dvou funkcí, z nichž má každá nevlastní
limitu∞a podobně. Tyto a jim analogické případy limit nazýváme neurčité výrazy a
dělíme je do několika typů (lim označuje limx→a):
Matematika 1 163
1. Je-li limf(x) = limg(x) = 0, potom lim f(x)g(x) nazýváme neurčitým výrazem typu 00.
2. Je-li limf(x) = limg(x) =±∞, potom lim f(x)g(x) nazýváme neurčitým výrazem typu
∞
∞.
3. Je-li limf(x) = 0,limg(x) =±∞, potom limf(x)·g(x) nazýváme neurčitým výra-
zem typu 0·∞.
4. Je-li limf(x) = limg(x) =∞, potom limf(x)−g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu∞−∞.
5. Je-li limf(x) = 1,limg(x) =∞, potom lim(f(x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu 1∞.
6. Je-li limf(x) =∞,limg(x) = 0, potom lim(f(x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu∞0.
7. Je-li limf(x) = limg(x) = 0, potom lim(f(x))g(x) nazýváme neurčitým výrazem
typu 00.
Uvedeme metodu na výpočet neurčitých výrazů prvních dvou typů; neurčité výrazy zbý-
vajících typů se vždy snažíme na některý z prvních dvou převést.
Věta 3.67: (První L’Hospitalovo pravidlo)
Nechť funkce f,g jsou diferencovatelné na některémU∗(a) a platí
1) lim
x→af(x) = limx→ag(x) = 0, 2) limx→a
fprime(x)
gprime(x) = b. Potom také limx→a
f(x)
g(x) = b.
Důkaz: Předpokládejme, že a je vlastní, tedy že platí f(a) = g(a) = 0. Potom
limx→a f(x)g(x) = limx→a f(x)−f(a)g(x)−g(a) = limx→a
f(x)−f(a)
x−a
g(x)−g(a)
x−a
=
limx→a f(x)−f(a)x−a
limx→a g(x)−g(a)x−a
= f
prime(a)
gprime(a).
V případě, kdy f(a) nebo g(a) neexistuje (tedy některá z funkcí f, g má v a odstranitelnou singularitu), definiční předpis
změníme tak, že položíme f(a) = g(a) = 0. V případě a = ±∞ použijeme substituci t = 1x a větu o limitě složené funkce.
Věta 3.68: (Druhé L’Hospitalovo pravidlo)
Nechť funkce f,g jsou diferencovatelné na některémU∗(a) a platí
1) lim
x→a
|f(x)|= lim
x→a
|g(x)|=∞ 2) lim
x→a
fprime(x)
gprime(x) = b. Potom také limx→a
f(x)
g(x) = b.
Příklad 3.69: Vypočteme následující limity:
a) limx→1 ln(2x−1)tg4pix b) limx→∞ lnxx c) limx→∞x1x d) limx→0(cotgx− 1x)
164 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Řešení:
a) limx→1 ln(2x−1)tg4pix =
parenleftbigg0
0
parenrightbigg
= lim
x→1
22x−1
4pi
cos2 4pix
= lim
x→1
cos2 4pix
2pi(2x−1) =
1
2pi.
b) limx→∞ lnxx =
parenleftBig∞
∞
parenrightBig
= limx→∞
1x
1 = 0.
c) limx→∞x1x =parenleftbig∞0parenrightbig= lim
x→∞
e1x lnx = eb,
kde b = limx→∞ lnxx = 0, jak jsme vypočítali v předchozím příkladu. Tedy
lim
x→∞x
1
x = e0 = 1.
d) lim
x→0
parenleftbigg
cotgx−1x
parenrightbigg
= (±∞−(±∞)) = lim
x→0
parenleftbiggcosx
sinx−
1
x
parenrightbigg
=
= lim
x→0
xcosx−sinx
xsinx =
parenleftbigg0
0
parenrightbigg
= limx→0 cosx−xsinx−cosxsinx+xcosx =
= lim
x→0
−xsinx
sinx+xcosx =
parenleftbigg0
0
parenrightbigg
= lim
x→0
−sinx
sinx
x + cosx
= 0.
Na poslední neurčitý výraz jsme L’Hospitalovo pravidlo již nepoužili – výhodnější bylo
dělit čitatele i jmenovatele x.
Závěrem kapitoly o derivaci uvedeme tři důležité věty o funkcích diferencovatelných na
intervalu, které mají značný teoretický, ale i praktický význam:
Věty o přírůstku funkce
Věta 3.70: (Fermatova) Jestliže
a) f je spojitá na〈a,b〉,
b) v bodě ξ∈(a,b) nabývá své největší (nebo nejmenší) hodnoty,
c) existuje fprime(ξ),
pak fprime(ξ) = 0.
Důkaz: Předpokládejme, že f má v ξ maximum, tedy platí
f(x) ≤ f(ξ) ∀x ∈ 〈a,b〉, neboli f(x)−f(ξ) ≤ 0.
Potom pro podíl f(x)−f(ξ)x−ξ platí:
x < ξ ⇒ f(x)−f(ξ)x−ξ ≥ 0, x > ξ ⇒ f(x)−f(ξ)x−ξ ≤ 0.
Matematika 1 165
Tedy
lim
x→ξ−
f(x)−f(ξ)
x−ξ = f
prime−(ξ) ≥ 0, lim
x→ξ+
f(x)−f(ξ)
x−ξ = f
prime+(ξ) ≤ 0.
Protože podle předpokladu existuje fprime(ξ), musí platit
fprime−(ξ) = fprime+(ξ) = fprime(ξ) = 0.
Věta 3.71: (Rolleova) Jestliže
a) f je spojitá na〈a,b〉,
b) f je diferencovatelná na (a,b),
c) platí f(a) = f(b),
pak existuje bod ξ∈(a,b) tak, že fprime(ξ) = 0.
Věta 3.72: (Lagrangeova o přírůstku funkce) Jestliže
a) f je spojitá na〈a,b〉,
b) f je diferencovatelná na (a,b),
pak existuje ξ∈(a,b) takové, že
fprime(ξ) = f(b)−f(a)b−a .
Obr. 3.53: Rolleova věta Obr. 3.54: Lagrangeova věta
Uvedené věty, které se souhrnně nazývají větami o přírůstku funkce, jsou velmi důležité
z teoretického hlediska – pomocí nich se dokazují prakticky všechna důležitá tvrzení o
diferencovatelných funkcích. Důkazy neuvádíme; platnost tvrzení v nich obsažených
názorně ukazují obrázky 3.53 a 3.54.
Důsledek: Funkce f je konstantní na (a,b), právě když fprime(x) = 0 na (a,b).
166 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Shrnutí
V této kapitole jsme definovali základní prostředek diferenciálního počtu – derivaci funkce:
• derivace funkce f v bodě x0: fprime(x0) = limx→x
0
f(x)−f(x0)
x−x0 ,
• derivace zleva (zprava): je definovaná pomocí příslušných jednostranných limit,
• derivace funkce f na intervalu: funkce fprime : x→fprime(x).
Derivace popisuje „rychlost, s jakou se mění daná veličinacsquotedblright, nejen ve fyzice, ale i v chemii,
biologii, ekonomii, managementu,...
Geometrický význam derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke grafu funkce:
• rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x0,f(x0)]: y−f(x0) = fprime(x0)(x−x0),
• rovnice normály ke grafu funkce f v bodě [x0,f(x0)]: y−f(x0) =− 1fprime(x0) (x−x0).
Dále jsme zavedli pojem diferenciál funkce – lineární část přírůstku funkce:
• diferenciál funkce f v bodě x0 vzhledem k přírůstku h : df(x0) = fprime(x0)h.
Ukázali jsme, jak můžeme využít derivací při výpočtu limit tzv. neurčitých výrazů (limit,
které nelze vypočítat jako funkční hodnoty) – uvedli jsme
• L’Hospitalovo pravidlo: je-li lim
x→af(x) = limx→ag(x) = 0, resp. je-li limx→af(x) =
lim
x→ag(x) =∞a současně je limx→a
fprime(x)
gprime(x) = b, je také limx→a
f(x)
g(x) = b.
Na závěr kapitoly jsme uvedli tzv. věty o přírůstku funkce:
• Fermatova věta: má-li funkce diferencovatelná na intervalu v nějakém bodě tohoto
intervalu největší resp. nejmenší hodnotu, musí mít v tomto bodě nulovou derivaci,
• Rolleova věta: má-li funkce diferencovatelná na nějakém intervalu v krajních bo-
dech tohoto intervalu nulové hodnoty, musí mít v některém vnitřním bodě tohoto
intervalu nulovou derivaci,
• Lagrangeova věta: pro funkci diferencovatelnou na intervalu (a,b) a spojitou na
〈a,b〉existuje bod ξ∈(a,b) tak, že platí f(b)−f(a) = fprime(ξ)(b−a).
Pomocí pravidel pro počítání s limitami jsme odvodili pravidla pro výpočet derivací a
vztahy pro derivace základních elementárních funkcí; pravidla jsou shrnuty v následujících
tabulkách:
Matematika 1 167
Slovník pro derivace
Vzorce platí všude, kde je definovaná funkce i derivace.
Funkce Derivace Funkce Derivace
c (konst.) 0 x 1
xn nxn−1 xα αxα−1
ex ex ax ax lna
lnx 1x logax 1x lna
sinx cosx cosx −sinx
tgx 1cos2x cotgx − 1sin2x
arcsinx 1√1−x2 arccosx − 1√1−x2
arctgx 11 +x2 arccotgx − 11 +x2
sinhx coshx coshx sinhx
tghx 1cosh2x cotghx − 1sinh2x
Gramatika pro derivace Užitečné vzorce
(af(x) +bg(x))prime = afprime(x) +bgprime(x)
(f(x)g(x))prime = fprime(x)g(x) +f(x)gprime(x)
parenleftbiggf(x)
g(x)
parenrightbiggprime
= f
prime(x)g(x)−f(x)gprime(x)
g2(x)
(f[ϕ(x)])prime = fprime[ϕ(x)]ϕprime(x)
Je-li f(x) > 0, g(x) > 0 platí:
[f(x)]g(x) = eg(x)·lnf(x)
logg(x)f(x) = lnf(x)lng(x)
168 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Otázky a úkoly
1. Co je to derivace funkce a) v bodě, b) na intervalu?
2. Na příkladu funkce f dané předpisem f(x) = x2χ(x) =
braceleftbigg x2 x∈Q
0 xnegationslash∈Q pomocí
definice derivace ukažte, že funkce definovaná na R může mít derivaci pouze v
jednom bodě.
3. Body A = [2,4] a B = [2 + ∆x, 4 + ∆y] paraboly y = x2 prochází sečna. Najděte
směrnici této sečny, jestliže ∆x = 1, ∆x = 0,1, ∆x = 0,01. Najděte též směrnici
tečny paraboly v bodě A.
4. Nechť f je funkce, jejíž hodnota v x je 4x2.
a) Vypočítejte [f(2,1)−f(2)]/0,1.
b) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f znamená celkový zisk jisté
firmy (v milionech dolarů) v prvních x letech činnosti?
c) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f znamená druhou souřadnici
na grafu paraboly y = 4x2 ?
d) Jak můžeme interpretovat zlomek v a), jestliže f udává vzdálenost, kterou
urazí pohybující se částice v prvních x sekundách?
e) Jaký je význam hodnotyfprime(2) v případech c),d)? Jak byste tyto pojmy rozšířili
na případ b)?
5. Na obr. 3.55 jsou grafy tří funkcí f1,f2,f3. Pro která čísla a
a) existuje lim
x→af(x), ale f je nespojitá v a?
b) f je v a spojitá, ale není v a diferencovatelná?
Obr. 3.55: Funkce z příkladu 5
6. O funkcích f a g víme, že f(3) = 2, fprime(3) = 4, g(3) = 5, g(5) = 3, gprime(3) = 1 a
gprime(5) = 7. Pro které x můžeme vypočítat (f◦g)prime a čemu je rovna?
7. Nechť g je diferencovatelná funkce taková, že její derivace je rovna 1x3+1. Nechť
h(x) = g(x2). Najděte hprime(x).
Matematika 1 169
8. Ukažte, že
a) derivace liché funkce je sudá funkce,
b) derivace sudé funkce je lichá funkce,
c) derivace funkce periodické s periodou p je periodická funkce s periodou p.
9. Dokažte, že bod dotyku tečny k hyperbole o rovnici y = cx půlí úsečku určenou
průsečíky této tečny se souřadnými osami.
10. Odůvodněte, proč nelze použít L’Hospitalovo pravidlo při výpočtu těchto limit:
a) lim
x→0+
x2 sin 1x
sinx b) limx→∞ x−sinxx+ sinx
Cvičení
1. Vypočítejte derivace následujících funkcí (pro zjednodušení uvádíme pouze pravou
stranu definičního předpisu):
a) x3 + 4x3√x+ 4 3√x2− 3x5 + 53√x2 b) 3
radicalBig
x2
radicalbig
x4√x3
c) (x3−2x+ 1)(x4−5x2 + 10) d) (x−1)(x−2)2(x−3)3
e) 3
√x
1− 3√x +
1 +√x
1 +√2x f)
(x+ 1)(x3−2x)
(x2 + 1)(x3−1)
g)
parenleftBig√
x+ 1√x
parenrightBig100
h)
radicalbigg
1−√x
1 +√x
i) 4
radicalBig
(3 + 4 3√2x)3 j) sinx+ cosx2sin2x
k) cosx2cos2x l) 3cotgx+ cotg3x
m) tg 1 +xx n) cotg 5√1 +x5
o) sin(sin(sinx)) p) sin3(cos2(tgx))
q) 43x + 36x4 r) e
√x2+x+1
s) e xlnx t) ln(x+√1 +x2)
u) ln
radicalBig1−sinx
1 + sinx v) arctg x+ 1x−1
w) xex x) (tgx)1/cosx
y) (coshx)lnx z) (lnx)x +xlnx
2. Vypočítejte derivace následujících funkcí a výsledky co nejvíce zjednodušte:
170 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
a) xln(x−√x2−1) +√x2−1
b) 13(1 +x3) + 13 ln x31 +x3
c) arctgx2 + ln
radicalBigx−2
x+ 2
d) 12√2 ln
√2 + 2x2−x
√2 + 2x2 +x + ln(x+√1 +x2)
e) 14 ln 1 +x+x21−x+x2 +
√3
6 arctg x
√3
1−x2
3. Vypočtěte derivace následujících funkcí; v bodech, kde derivace neexistuje, vy-
počtěte derivaci zleva a zprava:
a) |x3| b) radicalbig|x−1| c) ln|3−x|
d) x|x| e) |cosx| f) (−1)[x]
4. Najděte rovnici tečny a normály ke grafu funkce f v bodě A, je-li
a) f(x) = 3x−22x−3, A = [1,?] b) f(x) = 2√2sinx, A = [pi4,?]
c) f(x) = ln(x+ 1), A = [0,?] d) f(x) = e−x cos2x, A = [0,?]
5. Najděte rovnici tečny a normály k parabole y = x2−2x+ 3, jestliže tečna
a) je rovnoběžná s přímkou 3x−y+ 5 = 0,
b) je kolmá na přímku x+y−1 = 0,
c) svírá s přímkou 2x+y−2 = 0 úhel pi4.
6. Vedení vysokého napětí má rozpětí mezi stožáry 80m. Tvar zavěšeného vodiče udává
parabolay = 0,001x2, přičemž její vrchol je stejně vzdálen od obou stožárů. Najděte
úhel mezi vodičem a stožárem.
7. Balon kulového tvaru zmenšuje v důsledku porušení svého obalu svůj průměr o 2cm
za sekundu. Vypočítejte, jakou rychlostí se zmenšuje jeho objem, je-li počáteční
poloměr balonu r = 16m.
8. Jestliže těleso vyhodíme svisle vzhůru s počáteční rychlostí v0 ms−1 je jeho výška
nad povrchem p