Skripta Matematika 1

. . . . . . . . . 32
1.8 y =tgx,y =arctgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.9 y =cotgx,y =arccotgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.10 arcsinsinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.11 f(x)=5−√x,f−1(x)=(x−5)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.12 Sudá funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.13 Lichá funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.14 Periodické funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.15 Grafy mocninných funkcí y = xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.16 Exponenciální funkce f(x) = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.17 Logaritmické funkce f(x) = logax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.18 sinx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.19 cosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.20 tgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.21 Grafy goniometrických funkcí y = sinx y = cosx . . . . . . . . . . . 46
1.22 Grafy goniometrických funkcí y =tgx y =cotgx . . . . . . . . . . . 46
1.23 arcsinx,arccosx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.24 arctg x,arccotg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.25 sinhx,coshx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.26 tgh x,cotgh x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.27 Grafy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.28 7. a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.29 7. b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.30 7. c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.31 7. d) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.32 7. e) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.33 8. a), b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.34 Obvod k příkladu 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.35 RL obvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.36 i(t) = UR(1−e−(R/L)t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.37 y = x2−1x−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.38 y = 13√x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.39 y = |x|x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.40 K příkladu 3.22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.41 f(x) = sin 1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.42 f(x) = xsin 1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
3.43 Geometrická představa o limitě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.44 Funkce f z příkladu 3.38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.45 f(x) = cosx, f(x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.46 f(x) = cosx−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.47 Geometrický význam derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.48 Polotečny ke grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.49 Svislá tečna a polotečna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.50 Graf funkce f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.51 Graf derivace fprime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.52 Geometrický význam diferenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.53 Rolleova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.54 Lagrangeova věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.55 Funkce z příkladu 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
3.56 Linearizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.57 Taylorovy polynomy funkce√1 +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.58 Taylorovy polynomy funkce ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.59 Stacionární body a extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.60 f(x) = x3 + 3x2−9x+ 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.61 f(x) = 16x6 + 112x4 + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.62 f(x) = 13x3−x2−3x na〈−3, 6〉. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.63 Konvexní a konkávní funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.64 f konvexní – fprime roste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.65 f(x) = 3(x−1)3 +x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.66 f(x) = e−x2 + 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.67 f(x) = x+ 1x−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.68 Znaménko derivace funkce f(x) = x34−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.69 Znaménko druhé derivace funkce f(x) = x34−x2 . . . . . . . . . . . . . 194
3.70 Graf funkce f(x) = x34−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
3.71 Znaménko funkce f(x) = 3√x2−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.72 Znaménko derivace funkce f(x) = 3√x2−x . . . . . . . . . . . . . . 195
3.73 Graf funkce f(x) = 3√x2−x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.74 Znaménko derivace funkce f(x) = xe1x . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.75 Znaménko druhé derivace funkce f(x) = xe1x . . . . . . . . . . . . . 197
3.76 Graf funkce f(x) = xe1x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.77 Dělení intervalu〈0,1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.78 Integrální součet funkce f(x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.79 Integrální součet funkce (x+ 1)sinx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.80 Integrální součty funkce f(x) = x4 lnx pro n = [9,16,25,36,49,64] . . 234
4.81 Integrální střední hodnota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.82 f(x) = xx na intervalu〈0,1〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.83 Fundamentální věta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.84 Primitivní funkce jako funkce horní meze . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Matematika 1 9
4.85 Grafy funkcí sinxx a
xintegraltext
0
sint
t dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.86 Objem tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.87 K př. 4.47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.88 Cykloida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
5.89 Integrální kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.90 Integrální kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.91 f(x,y) = e−x2−y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.92 f(x,y) = y2−x2, z≥0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.93 f(x,y) = y2−x2, z≤0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.94 Vrstevnice z = e−x2−y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.95 Vrstevnice z = y2−x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.96 lim
(x,y)→(x0,y0)
x = x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
6.97 x3y−xy3x2+y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
6.98 (x2 +y2) sin 1xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.99 2xyx2+y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
6.100 x4y2x8+y4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.101 x2+y2x−y – vrstevnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.102 x2+y2x−y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
6.103 Parciální derivace podle x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.104 Směrová derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
6.105 f(x,y) = x2−y2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.106 Vrstevnice a gradient funkce f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
6.107 Geometrický význam diferenciálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.108 Plochy a tečné roviny z příkladu 6.34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.109 Funkce a Taylorův polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.110 f(x,y) = x3 +y3−3xy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.111 x2 +y3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.112 x2 +y4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.113 (x−y)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.114 z = xy,x2 +y2 = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.115 x2−2y2 + 4xy−6x−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
1 Úvod
Tento učební text k předmětu Matematika 1 je určen především studentům prvního se-
mestru kombinovaného studia. Tento typ studia je kombinací prezenční a distanční formy,
přičemž těžiště studia je v samostatné práci, pro kterou je nezbytné mít k dispozici dosti
podrobný a srozumitelný studijní materiál. Snažili jsme se proto zavádět pouze skutečně
nezbytné pojmy a postupy potřebné v dalším studiu na FEKT, v mnoha případech uve-
dené motivací. Přitom ale nebylo možné slevit z přesnosti výkladu – proto, i když je to
nepopulární, postupujeme cestou „definice – věta – důkazcsquotedblright. Tato cesta přes veškerou kri-
tiku nematematiků, jíž se jí v současné době dostává, zůstává nejpřehlednější a v podstatě
jedinou možnou formou matematického výkladu. Aby byl usnadněn přechod od teoretic-
kého pochopení výkladu k schopnosti získané vědomosti a dovednosti aplikovat, uvádíme
mnoho ilustrujících řešených příkladů a v závěru každé kapitoly cvičení pro samostudium.
Jak již bylo zmíněno, tento text je určen především pro studenty v kombinovaném studiu,
ale vzhledem k tomu, že osnovy kombinovaného a prezenčního studia jsou stejné, věříme,
že tento text bude plně použitelný i pro studenty studia prezenčního.
Matematika 1 11
V našem kurzu Matematika 1 nebudeme postupovat systematicky od úplného začátku,
ale budeme navazovat na látku ze střední školy. Úvodní kapitola je věnována přehlednému
opakování, popřípadě doplnění nejdůležitějších pojmů, které budeme užívat. Sledujeme i
cíl upřesnit a sjednotit některé názvy a označení.
1.1 Elementy matematické logiky
Výroky
Připomeňme, že výrok chápeme jako jazykové vyjádření myšlenek, jimiž přisuzujeme
předmětům jisté vlastnosti nebo jimiž stanovíme vztahy mezi předměty; je to (jazykový)
výraz, o němž má smysl říci, že je pravdivý nebo nepravdivý.
Například „číslo 3 je sudécsquotedblright je nepravdivý výrok, naproti tomu sdělení „přijď brzy domůcsquotedblright,
„číslo Brno je modrécsquotedblright, „sinx> 0csquotedblright výroky nejsou (druhé sdělení je nesmyslná snůška slov,
třetí sdělení je tzv. výroková funkce s proměnnou x).
Výrokům přiřazujeme tzv. pravdivostní hodnoty: je-li výrok pravdivý, má pravdivostní
hodnotu 1, nepravdivý výrok má pravdivostní hodnotu 0.
Složené výroky sestavujeme pomocí výrokotvorných částic – spojek; jsou-li p,q výroky,
definujeme: negace výroku p ¯p, ¬p, pprime opačný výrok
konjunkce výroků p a q p∧q a, současně
disjunkce výroků p a q p∨q nebo (nevylučovací!)
implikace výroků p a q p⇒q z p plyne q *
ekvivalence výroků p a q p⇔q p je ekvivalentní s q **
* p implikuje q, jestliže p pak q, q je nutná podmínka pro p, p je postačující podmínka
pro q,
**pprávě kdyžq,ptehdy a jen tehdy kdyžq,pkdyž a jen kdyžq,pje nutná a postačující
podmínka pro q.
Jednotlivé výrokové spojky mají specifické vlastnosti: například negací pravdivého
výroku získáme výrok nepravdivý a naopak, konjunkce dvou výroků je pravdivá
pouze v případě, jsou-li oba výroky pravdivé atd. Přehledněji vlastnosti jednotlivých
výrokových spojek popíšeme pomocí pravdivostních hodnot:
p ¬p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q
1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
Stejně tak pomocí tabulky pravdivostních hodnot nejsnáze zjistíme, při jaké kombinaci
elementárních výroků je pravdivý nebo nepravdivý komplikovanější výrok.
12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Příklad 1.1: Vyšetříme výrok (p∧q)⇔¬(p⇒¬q).
Řešení: p q ¬q p∧q p⇒¬q ¬(p⇒¬q) (p∧q)⇔¬(p⇒¬q)
1 1 0 1 0 1 1
1 0 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 0 1 0 1
Daný výrok je tedy pravdivý bez ohledu na to, jsou-li výroky p,q pravdivé nebo neprav-
divé.
Složitější výroky jsou někdy nepřehledné vzhledem k vysokému počtu závorek, které udá-
vají pořadí, ve kterém se mají jednotlivé spojky aplikovat; proto užíváme konvenci o
pořadí, jak „silněcsquotedblright spojky vážou elementární výroky. Pořadí je následující:
• negace,
• konjunkce a disjunkce,
• implikace a ekvivalence.
Tedy např. místo
(p∧(q∨r))⇔((p∧q)∨(p∧r)) píšeme p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r),
a místo
((¬p)∧q)⇒(p∨(¬q)) píšeme ¬p∧q⇒p∨¬q.
V příkladu 1.1 jsme viděli, že složený výrok může mít takový tvar, že je vždy pravdivý
bez ohledu na to, jsou-li jednotlivé elementární výroky, ze kterých je tento složený výrok
sestaven, pravdivé nebo nepravdivé (tedy má pravdivostní hodnotu 1 při libovolném
vyhodnocení); takové výroky se nazývají tautologie; výrok, který je vždy nepravdivý
(pro libovolné ohodnocení elementárních výroků má pravdivostní hodnotu 0), se nazývá
kontradikce.
Uvedeme si některé další tautologie (jako cvičení prověřte, že se o tautologie skutečně
jedná):
(p⇔q)⇔(p⇒q)∧(q⇒p)
(p⇒q)⇔(¬q⇒¬p)
(p⇒q)⇔(¬p∨q)
negace implikace ¬(p⇒q)⇔(p∧¬q)
Matematika 1 13
De Morganova pravidla ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q)
¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q)
distributivita p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r)
p∨(q∧r)⇔(p∨q)∧(p∨r)
dvojí negace p⇔¬(¬p)
zákon vyloučeného třetího p∨¬p
Až na poslední vztah mají všechny uvedené tautologie tvar ekvivalence; výroky napravo
jsou pravdivé právě tehdy, když jsou pravdivé výroky nalevo. Pravdivostní hodnota slo-
ženého výroku se tedy nezmění, nahradíme-li dílčí výrok v něm vystupující výrokem
s ním ekvivalentním (provedeme ekvivalentní úpravu). To nám umožňuje složité výroky
postupně zjednodušovat.
Příklad 1.2: Pomocí výše uvedených ekvivalentních úprav zjednodušíme výrok
¬[(p∧q⇒¬q)∧(p⇒q)]:
¬[(p∧q⇒¬q)∧(p⇒q)] ⇔ (De Morganův vzorec)
⇔ ¬(p∧q⇒¬q)∨¬(p⇒q) ⇔ (negace implikace)
⇔ [(p∧q)∧¬¬q]∨(p∧¬q) ⇔ (dvojí negace)
⇔ (p∧q∧q)∨(p∧¬q) ⇔
⇔ (p∧q)∨(p∧¬q) ⇔ (distributivita)
⇔ p∧(q∨¬q) ⇔
⇔ p
Výrokové funkce – predikáty
Představme si, že pro x∈R zkoumáme výraz x > 3. Tento výraz není výrok; stane se
jím, až za x dosadíme některé konkrétní reálné číslo, a v závislosti na tom, které číslo
zvolíme, bude pravdivý nebo nepravdivý. Takový výraz se nazývá výroková funkce
(forma), také predikát. Výroková funkce obsahuje proměnné; proměnná se dá chápat
jako prázdné místo, kam lze dosazovat libovolné prvky z určité množiny, např R(C),
která se nazývá přípustný obor dané proměnné. Po dosazení za všechny proměnné se
predikát stane výrokem – buď pravdivým nebo nepravdivým. Prvky množiny, pro něž je
výrok pravdivý, tvoří obor pravdivosti výrokové formy.
Příklad 1.3: x2 ∈N je predikát s přípustným oborem (například) R;
dosadíme-li za x například pi, 8,−32, dostaneme výroky pi2 ∈N, 4∈N, −34 ∈N,
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
z nichž druhý je pravdivý a první a třetí nepravdivý. Obor pravdivosti tvoří všechna
kladná sudá čísla.
Kvantifikátory
Je-li V predikát obsahující proměnnou x (event. i další), pak výraz
∃x(V) nebo ∃x : V
∀x(V) nebo ∀x : V
chápeme jako tvrzení
existuje x tak, že platí V
pro každé x platí V
Přitom∃se nazývá existenční kvantifikátor,∀se nazývá všeobecný kvantifikátor.
Poznamenejme, že ve výrazech s kvantifikátory často uvádíme přímo přípustný obor pro
proměnnou; píšeme∀x∈M : V(x), ∃x∈M : V(x).
Jestliže predikátV obsahuje jedinou proměnnoux, je∃x(V) resp.∀x(V) výrok; říkáme, že
proměnnáxje vázaná kvantifikátorem. V opačném případě jde zase o predikát s tzv. vol-
nou proměnnou a můžeme utvořit nové výrazy (predikáty, výroky)∀y∃x(V),∃y∃x(V)
a podobně.
Příklad 1.4: Máme zjistit, který z následujících predikátů s proměnnou x ∈ R je
pravdivý výrok:
a) x≤2 b) ∀x(x≤2) c) ∃x(x≤2)
d) ∀x(x∈(−∞,2〉⇔x≤2)
Řešení:
a) není výrok (proměnná x je volná);
b) je nepravdivý výrok; lze najít číslo a ∈ R (např. a = 3) tak, že výrok a ≤ 2 je
nepravdivý;
c) je pravdivý výrok; stačí najít jedno konkrétní číslo a ∈ R (např. a = 0) tak, že
výrok a≤2 je pravdivý;
d) jedná se o pravdivý výrok, kterým definujeme interval.
Kvantifikátory tedy můžeme řadit za sebou, přičemž na jejich pořadí záleží. Např.
∀x∈R∃y∈R(x2 = y) je jiný výrok než ∃y∈R∀x∈R(x2 = y)
(první je pravdivý, druhý nepravdivý).
Matematika 1 15
Příklad 1.5: Máme vyšetřit pravdivost následujících výroků pro reálné proměnné
x a y:
a) ∀x∃y(x 0∀x∈Df : 0 0∀x∈Df : x>K⇒|f(x)−b| 1 5. lim
x→−∞
ax = 0 proa> 1
Řešení:
1. Jde o limitu konstantní funkce f(x) = c. Zvolíme-li U(c) libovolně, potom f(x) ∈
U(c) pro všechna x a tím spíše pro x z nějakého redukovaného okolí bodu a; to platí
i v tom případě, že bod a je nevlastní.
2. V tomto případě je f(x) = x a pro každéU(a) je f(x)∈U(a), je-li x∈U∗(a).
130 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
3. Zvolme okolí (−ε, ε) bodu 0 (ε> 0). Potom f(x)∈(−ε, ε) znamená, že|1x|K pro x> logaK.
5. |ax|= ax 0. Potom pro všechna x∈ (0, 1K) je 1x ∈
(K,∞), přičemž interval (0, 1K) je průnikem okolí (−1K, 1K) bodu 0 s intervalem (0,∞).
Část 2. se ukáže analogicky.
Limita posloupnosti
Protože množina N všech přirozených čísel má jediný hromadný bod ∞, má u posloup-
ností smysl vyšetřovat jen limitu lim
n→∞an . Pro posloupnost můžeme definici limity napsatv následujícím tvaru:
lim
n→∞
an = b ⇔ ∀ε> 0∃K > 0∀n∈N,n>K : |an−b|l: limita je zřejmě rovna nule;
2. k = l: limita je rovna P(a)/Q(a);
3. k 1 platí
parenleftbigg
1 + 1n+ 1
parenrightbiggn
<
parenleftbigg
1 + 1x
parenrightbiggx
<
parenleftbigg
1 + 1n
parenrightbiggn+1
kde n = [x] je celá část x, tj. přirozené číslo n, pro které je
n≤x K, je
an∈U(b).
Dále jsme odvodili pravidla pro počítání limit:
• jsou-li f, g funkce a obě limity limx→af(x) a limx→ag(x) existují a jsou konečné, platí
1. lim
x→a(f(x)±g(x)) = limx→af(x)±limx→ag(x),
2. lim
x→akf(x) = klimx→af(x) pro každou konstantu k∈R,
3. lim
x→af(x)g(x) = limx→af(x) limx→ag(x),
4. lim
x→a
f(x)
g(x) =
limx→af(x)
limx→ag(x), je-li limx→ag(x)negationslash= 0,
5. lim
x→af(x)
g(x) =
parenleftBig
lim
x→af(x)
parenrightBiglim
x→ag(x), je-li lim
x→af(x) > 0;
• je-li lim
x→af(x) = 0 a|g(x)| 0.
a) Pomocí kalkulačky doplňte tabulku
x 1,0 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,01
xx
b) Jaká je asi nejmenší hodnota funkce f na intervalu (0,1)?
c) Myslíte, že lim
x→0+
xx existuje? Jestliže ano, čemu je asi rovna?
Matematika 1 145
Cvičení
1. Vypočítejte následující limity:
a) lim
x→4
x2+7x−44
x2−6x+8 b) limx→1
parenleftbig 1
x2−1−
2
x4−1
parenrightbig c) lim
x→0
(1+3x)4−(1+4x)3
x2
d) limx→∞ x2+2x+15x e) limx→∞
parenleftBig
x2+x−1
2x2−x+1
parenrightBig3
f) limx→∞ (4x−1)100(3x+1)200(6x+5)300
2. Vypočítejte
a) limx→−2
√6+x−2
x+2 b) limx→∞
parenleftbig√x−2−√xparenrightbig
c) lim
x→∞
parenleftbig 3√1−x3 +xparenrightbig d) lim
x→∞
4√x5+ 5√x3+ 6√x8
3√x4+2
3. Vypočítejte
a) lim
x→0
tg5x
tg6x b) limx→0
cosx−cos3 x
x2
c) lim
x→0
arcsinx
x d) limx→0
sinx
x3
4. Vypočítejte limity zprava a zleva daných funkcí f v bodě a, jestliže
a) f(x) = xe−1/x, a = 0 b) f(x) = 11+e1/x, a = 0
c) f(x) = 21/x+331/x+2, a = 0 d) f(x) = x(x+2)|x+2| , a =−2
e) f(x) = x|tgx|, a = 0 f) f(x) = arctg 11+x, a =−1
5. Vypočítejte limity posloupností
a) lim
n→∞
parenleftbig1 + 1
n+5
parenrightbign+6 b) lim
n→∞
parenleftbign+2
n
parenrightbig3n
2 c) lim
n→∞
parenleftbig1 + 1
n
parenrightbig1
n
d) lim
n→∞(
√n+ 2−√n) e) lim
n→∞(
√n(√n+ 1−√n)) f) lim
n→∞
an
1+an, a>