Skripta matematický seminář

uhly (napˇr.− pi12,−4pi, atd).
Matematick´y semin´aˇr 71
10.2 Goniometrick´e funkce
V kart´ezsk´e souˇradnicov´e soustavˇe sestrojme kruˇznici o stˇredu v poˇc´atku a polomˇeru 1.
Uvaˇzujme orientovan´y ´uhel o velikosti ψ radi´an˚u jehoˇz vrchol je v poˇc´atku a poˇc´ateˇcn´ı
rameno kladn´a poloosa x. Druh´e rameno protne kruˇznici v bodˇe P. Potom definujeme
kosinus ´uhlu ψ jako x-ovou souˇradnici bodu P. Oznaˇcujeme cosψ.
Podobnˇe y-ov´a souˇradnice bodu P se naz´yv´a sinus ´uhlu ψ. Oznaˇcujeme sinψ.
Obˇe funkce jsou periodick´e, jejich nejmenˇs´ı perioda je 2pi.
Definiˇcn´ım oborem obou funkc´ı je R, oborem hodnot je 〈−1;1〉.
Grafem je sinusoida (kosinusoida).
Snadno se d´a uk´azat, ˇze pro kaˇzd´e x∈R plat´ı cosx = sin
parenleftBig
x+ pi2
parenrightBig
.
–1
1
0
y
x
y = sinx
–1
1
0
y
x
y = cosx
Funkce f : y = sinx, ∀x∈R je lich´a: sin(−x) = −sinx.
Funkce f : y = cosx, ∀x∈R je sud´a: cos(−x) = cosx.
Tangens je funkce, kter´a kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu x, pro nˇeˇz je cosxnegationslash= 0, pˇriˇrad´ı ˇc´ıslo
tgx = sinxcosx.
Definiˇcn´ım oborem t´eto funkce je D = {x∈R,xnegationslash= 2k+12 pi, kde k je cel´e ˇc´ıslo }.
Oborem hodnot je H = R.
Kotangens je funkce, kter´a kaˇzd´emu re´aln´emu ˇc´ıslu x, pro nˇeˇz je sinxnegationslash= 0, pˇriˇrad´ı ˇc´ıslo
cotgx = cosxsinx.
Definiˇcn´ım oborem t´eto funkce je D = {x∈R,xnegationslash= kpi, kde k je cel´e ˇc´ıslo }.
Oborem hodnot je H = R.
72 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
0
y
x
y = tgx
0y
x
y = cotgx
Funkce tgx a cotgx jsou periodick´e funkce s periodou pi.
Obˇe funkce jsou lich´e: tg(−x) = −tgx a cotg(−x) = −cotgx pro vˇsechna x z definiˇcn´ıho
oboru.
V n´asleduj´ıc´ı tabulce jsou vypoˇcteny hodnoty goniometrick´ych funkc´ı pro nˇekter´a x ∈
〈0;2pi), kter´e je vhodn´e si pamatovat.
Tabulka 10.1: Hodnoty goniometrick´ych funkc´ı pro nˇekter´e d˚uleˇzit´e ´uhly
0 pi6 pi4 pi3 pi2 pi 32pi
sinx 0 12
√2
2
√3
2 1 0 −1
cosx 1
√3
2
√2
2
1
2 0 −1 0
tgx 0
√3
3 1
√3 0
cotgx √3 1
√3
3 0 0
D´ale uvedeme nˇekter´e d˚uleˇzit´e vzorce, kter´e budou uˇziteˇcn´e pˇri ˇreˇsen´ı ´uloh souvisej´ıc´ıch
s goniometrick´ymi funkcemi.
Pro kaˇzd´e x∈
parenleftBig
0; pi2
parenrightBig
plat´ı:
sinx = sin(pi−x) = −sin(pi+x) = −sin(2pi−x)
cosx = −cos(pi−x) = −cos(pi+x) = cos(2pi−x)
tgx = −tg(pi−x) ; cotgx = −cotg(pi−x)
Pˇr´ıklad 10.2 Vypoˇc´ıtejte hodnoty goniometrick´ych funkc´ı v dan´ych bodech :
a) α = 53pi b) α = −23pi c) α = 254 pi
Matematick´y semin´aˇr 73
ˇReˇsen´ı:
a) α = 53pi = 2pi− 13pi
sin(2pi− 13pi) = −sin(13pi) = −
√3
2 ⇒ sinα = −
√3
2
cos(2pi− 13pi) = cos(13pi) = 12 ⇒ cosα = 12
tgα = sinαcosα = −√3 cotgα = cosαsinα = −
√3
3
b) α = −23pi
Funkce sinx, cosx jsou periodick´e s periodou 2pi. Plat´ı:
sinα = sin(α+ 2pi) = sin 43pi = sin(pi+ 13pi) = −sin(13pi) = −
√3
2
cosα = cos(α+ 2pi) = cos 43pi = cos(pi+ 13pi) = −12
tgα = sinαcosα = √3 cotgα = cosαsinα =
√3
3
c) α = 254 pi
sin(254 pi) = sin(14pi+ 6pi) = sin 14pi =
√2
2
cos(254 pi) = cos(14pi+ 6pi) = cos 14pi =
√2
2
tgα = cotgα = 1
D˚uleˇzit´e vztahy a vzorce
Pro kaˇzd´e re´aln´e x plat´ı:
sin2x+ cos2x = 1
Pro kaˇzd´e re´aln´e x a cel´e k, xnegationslash= k· pi2 plat´ı:
tgx·cotgx = 1
Funkce dvojn´asobn´eho a poloviˇcn´ıho argumentu
∀x∈R : sin2x = 2sinxcosx;
∀x∈R : cos2x = cos2x−sin2x
∀x∈R :
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglesin x2
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle=
radicalbigg1−cosx
2 ;
∀x∈R :
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglecos x2
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle=
radicalbigg1 + cosx
2
74 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Souˇctov´e vzorce
∀x,y ∈R : sin(x±y) = sinxcosy±cosxsiny
∀x,y ∈R : cos(x±y) = cosxcosy∓sinxsiny
∀x,y ∈R : sinx+ siny = 2sin x+y2 cos x−y2
∀x,y ∈R : sinx−siny = 2cos x+y2 sin x−y2
∀x,y ∈R : cosx+ cosy = 2cos x+y2 cos x−y2
∀x,y ∈R : cosx−cosy = −2sin x+y2 sin x−y2
∀x,y ∈R, x,y negationslash= 2k+12 pi : tg(x±y) = tgx±tgy1∓tgx·tgy
Pˇr´ıklad 10.3 Vypoˇc´ıtejte cos 512pi.
ˇReˇsen´ı:
cos 512pi = cos
parenleftBigpi
4 +
pi
6
parenrightBig
= cos pi4 cos pi6 −sin pi4 sin pi6
√2
2
√3
2 −
√2
2
1
2 =
√6−√2
4
Pˇr´ıklad 10.4 Vypoˇctˇete hodnoty funkc´ı cosα, sin(2α), tg(2α), sin α2, jestliˇze
sinα = 35, 0 0; (sinx)prime = cosx a (ex)prime = ex.
Z toho plyne, ˇze :
a)
integraldisplay 6dx
x = 6
integraldisplay dx
x = 6lnx+c, x> 0
b) integraltext(7cosx−ex) dx = 7integraltext cosxdx−integraltext exdx = 7sinx−ex +c
Matematick´y semin´aˇr 79
Tabulka 11.1: Vzorce pro integraci element´arn´ıch funkc´ı
Funkce f Vzorec pro neurˇcit´y integr´al Podm´ınky platnosti vzorce
y = 0 integraltext 0 dx = c (c∈R) x∈ (−∞,∞)
y = 1 integraltext 1 dx = x+c x∈ (−∞,∞)
y = xn, n∈ N integraltext xn dx = xn+1n+1 +c x∈ (−∞,∞)
y = xr, r ∈ R, r negationslash= −1 integraltext xr dx = xr+1r+1 +c x∈ (0,∞)
y = 1x integraltext 1x dx = ln|x|+c x∈ (−∞,0)∪(0,∞)
y = ex integraltext ex dx = ex +c x∈ (−∞,∞)
y = ax integraltext ax dx = axlna +c x∈ (−∞,∞)
y = sinx integraltext sinx dx = −cosx+c x∈ (−∞,∞)
y = cosx integraltext cosx dx = sinx+c x∈ (−∞,∞)
y = 1(cosx)2 integraltext 1(cosx)2 dx = tgx+c xnegationslash= (2k+ 1)pi2, k ∈ Z
y = 1(sinx)2 integraltext 1(sinx)2 dx = −cotgx+c xnegationslash= kpi, k ∈ Z
Pˇr´ıklad 11.3 Vypoˇctˇete integr´aly:
a) integraltext(2x+ 1) dx b) integraltext(5x4 −sinx) dx c) integraltext √x3 dx d) integraltext 3(ex + 2√x) dx
ˇReˇsen´ı:
a) integraltext(2x+ 1)dx = 2integraltext x dx+integraltext 1 dx = 2x22 +x+c = x2 +x+c
b) integraltext 5x4 −sinx dx = 5integraltext x4 dx−integraltext sinx dx = 5x
5
5 −(−cosx) +c = x
5 + cosx+c
80 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
c) integraltext √x3 dx =integraltext x32 dx = 13
2 + 1
x32+1 +c = 25x52 +c = 25
radicalbig
(x5) +c
d) integraltext 3(ex + 2√x) dx =integraltext(3ex + 6√x) dx = 3integraltext exdx+ 6integraltext √x dx =
3ex + 6 11
2 + 1
x32 +c = 3ex + 623
√
x3 +c = 3ex + 4
√
x3 +c
Pˇr´ıklad 11.4 Vypoˇctˇete integr´aly:
a)
integraldisplay dx
sin2x cos2x b)
integraldisplay x+ 1
√x dx c)
integraldisplay tgx
sin2x dx
ˇReˇsen´ı:
a) Funkci, kterou chceme integrovat, nejdˇr´ıve uprav´ıme. Vyuˇzijeme vztah
sin2x+ cos2x = 1.
Potom m˚uˇzeme ps´at
integraldisplay dx
sin2x cos2x =
integraldisplay sin2x+ cos2x
sin2x cos2x dx =
integraldisplay sin2x
sin2x cos2x dx+
integraldisplay cos2x
sin2x cos2x dx =
integraldisplay 1
cos2x dx+
integraldisplay 1
sin2x dx = tgx−cotgx+c
b)
integraldisplay x+ 1
√x dx =
integraldisplay x
√x dx+
integraldisplay 1
√x dx =
integraldisplay √
x dx+
integraldisplay 1
√x dx =
integraldisplay
x12 dx+
integraldisplay
x−12 dx = 23x32 + 2x12 +c = 23
√
x3 + 2√x+c
c)
integraldisplay tgx
sin2x dx =
integraldisplay sinx
cosx
2sinxcosx dx =
integraldisplay sinx
2sinxcos2x dx =
integraldisplay 1
2cos2x dx =
1
2tgx+c
Matematick´y semin´aˇr 81
11.2 Urˇcit´y integr´al
Geometrick´y v´yznam urˇcit´eho integr´alu
Mˇejme nez´apornou spojitou funkci f na < a,b > . Obsah obrazce ohraniˇcen´eho grafem
b
y = f(x)
a0
1
2
3
y
0.5 1 1.5 2x
Obr´azek 11.1: Urˇcit´y integr´al z nez´aporn´e funkce y = f(x) na
funkce f, osou x a rovnobˇeˇzkami s osou y veden´ymi body a,b m˚uˇzeme spoˇc´ıtat pomoc´ı
urˇcit´eho integr´alu:
P =
integraldisplay b
a
f(x) dx = F(b)−F(a)
kde funkce F je primitivn´ı funkc´ı k f na .
Podle stejn´eho vzorce m˚uˇzeme spoˇc´ıtat urˇcit´y integr´al z libovoln´e spojit´e funkce (ne nutnˇe
nez´aporn´e) na .
Tento vztah se naz´yva Newton-Leibnitz˚uv vzorec:
integraldisplay b
a
f(x) dx = F(b)−F(a), kde Fprime(x) = f(x), x∈
Pˇr´ıklad 11.5 Uˇzit´ım Newton - Leibnitzova vzorce vypoˇctˇete:
a) integraltext10 (2x−x2) dx b) integraltextpi0 sinx dx c) integraltext2pi0 sinx dx d) integraltextpipi
2
cosx dx
ˇReˇsen´ı:
a) Nejdˇr´ıv spoˇc´ıt´ame primitivn´ı funkci k funkci f(x) = (2x−x2).
82 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Dostaneme F(x) =integraltext(2x−x2) dx = x2 − x33 +c.
Potom podle Newton - Leibnitzova vzorce
integraldisplay 1
0
(2x−x2) dx = [x2 − x
3
3 +c]
1
0 = (1−
1
3 +c)−(0−0 +c) = (
2
3 +c)−c =
2
3
Vid´ıme, ˇze integraˇcn´ı konstantu c pˇri v´ypoˇctu urˇcit´eho integr´alu v bodˇe b pˇriˇcteme a v
bodˇe a zase odeˇcteme, proto ji d´ale nebudem ps´at.
b) integraltextpi0 sinx dx = [−cosx]pi0 = (−cospi)−(−cos0) = −(−1) + 1 = 2
c) integraltext2pi0 sinx dx = [−cosx]2pi0 = (−cos2pi)−(−cos0) = −1 + 1 = 0
d) integraltextpipi
2
cosx dx = [sinx]pipi
2
= sinpi−sin pi2 = 0−1 = −1
Vlastnosti urˇcit´eho integr´alu.
Vˇeta o line´arnosti urˇcit´eho integr´alu.
Necht’ f,g jsou spojit´e na intervalu , a c a d jsou libovoln´e re´aln´e konstanty. Pak
plat´ı: integraldisplay
b
a
(cf(x) +dg(x)) dx = c
integraldisplay b
a
f(x) dx+d
integraldisplay b
a
g(x) dx.
Vˇeta o aditivnosti urˇcit´eho integr´alu.
Je-li funkce f spojit´a na intervalu a c∈ (a,b), pak plat´ı
integraldisplay b
a
f(x) dx =
integraldisplay c
a
f(x) dx+
integraldisplay b
c
f(x) dx.
Vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe.
Je-li funkce f spojit´a na intervalu < a,b >, pak existuje alespoˇn jeden takov´y bod c ∈
(a,b), ˇze plat´ı integraldisplay
b
a
f(x) dx = f(c)(b−a)
ˇC´ıslof(c) = 1
b−a
integraldisplay b
a
f(x) dxse naz´yv´a stˇredn´ı hodnota funkcef na intervalu
.
Pˇr´ıklad 11.6 Vypoˇctˇete integr´al integraltext3−1 |x−1| dx.
ˇReˇsen´ı:
Matematick´y semin´aˇr 83
Plat´ı, ˇze
f(x) = |x−1| = x−1 pro x∈< 1,∞),
f(x) = |x−1| = −(x−1) = 1−x pro x∈ (−∞,1).
Proto pouˇzijeme vˇetu o aditivnosti urˇcit´eho integr´alu.
integraltext3
−1 |x−1| dx =
integraltext1
−1 |x−1| dx+
integraltext3
1 |x−1| dx =
integraltext1
−1(1−x) dx+
integraltext3
1 (x−1) dx =
[x− 12x2]1−1+[12x2−x]31 = (1− 12)−(−1− 12)+(129−3)−(12 −1) = 2+ 32 −(−12) = 2+2 = 4
Pˇr´ıklad 11.7 Spoˇc´ıtejte stˇredn´ı hodnotu funkce f(x) = ex na intervalu < 0,1 >.
ˇReˇsen´ı:
S = 11−0
integraldisplay 1
0
ex dx = 1[ex]10 = e−1
Pˇr´ıklad 11.8 Vypoˇc´ıtejte obsah rovinn´e oblasti ohraniˇcen´e parabolou y = 4x−x2 a
osou x.
ˇReˇsen´ı:
Parabola protne osu x v bodech x1 = 0, x2 = 4 a na intervalu (0,4) je funkce y = 4x−x2
P
y = f(x)–1
0
1
2
3
4
y
1 2 3 4 5x
Obr´azek 11.2: Obsah oblasti ohraniˇcen´e parabolou y = 4x−x2 a osou x
kladn´a. Obsah oblasti mezi parabolou a osou x m˚uˇzeme spoˇc´ıtat jako urˇcit´y integr´al.
P =
integraldisplay 4
0
(4x−x2) dx = [2x2 − 13x3]40 = 2.16− 1364 = 96−643 = 323 j2
84 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Necht’ pro spojit´e funkce f a g na intervalu plat´ı, ˇze g(x)
b) Poˇc´ıt´ame obsah vyˇsrafovan´e oblasti z obr´azku. Vid´ıme, ˇze P = P1 +P2 +P3, kde
P1 =
integraldisplay pi
2
0
cosx dx = [sinx]pi20 = sin pi2 = 1
P2 =
integraldisplay 3pi
2
pi
2
−cosx dx = [−sinx]3pi2pi
2
= −sin 3pi2 + sin pi2 = 2
Matematick´y semin´aˇr 85
P3 =
integraldisplay pi
3pi
2
cosx dx = [sinx]pi3pi
2
= sin2pi−sin 3pi2 = 1
Dostaneme P = 1 + 2 + 1 = 4
Pˇr´ıklad 11.10 Vypoˇctˇete integr´aly:
a)
integraldisplay
3x2 + 2x−4 dx b)
integraldisplay √
x3 − 1√x dx c)
integraldisplay
x(x−2)(x−3) dx
[a) x3 +x2 −4x+c b) 2√x5/5−2√x+c c) x4/4−5x3/3 + 3x2 +c]
Pˇr´ıklad 11.11 Funkce nejdˇr´ıve upravte a potom vypoˇctˇete n´asleduj´ıc´ı integr´aly:
a)
integraldisplay
5cosx−6ex2x dx b)
integraldisplay
tg 2x dx c)
integraldisplay
1 + cos2 x2 −sin2 x2 dx
[a) 5sinx−6(ex2x)/ln(2e) +c b) tgx−x+c c) x+ sinx+c]
Pˇr´ıklad 11.12 Uˇzit´ım Newton - Leibnitzova vzorce vypoˇctˇete urˇcit´e integr´aly:
a) integraltext41 (3x−11) dx b) integraltext−2−4 1x dx c) integraltext30 |1−3x| dx d) integraltext1−1ex dx
[a) −21/2 b) −ln2 c) 65/6 d) e−1/e]
Pˇr´ıklad 11.13 Vypoˇc´ıtejte obsah rovinn´e oblasti ohraniˇcen´e parabolou y = 6x−x2 a
osou x.
[36]
Pˇr´ıklad 11.14 Najdˇete stˇredn´ı hodnotu funkce na dan´em intervalu.
a) f(x) = x(1−x) na < 0,1 >
b) f(x) = 2x−1 na
c) f(x) = sinx na < 0,pi>
[a)1/6 b)−2 c)2/pi]
86 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
12 Komplexn´ı ˇc´ısla
12.1 Algebraick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla
Komplexn´ı ˇc´ıslo je ˇc´ıslo z = a + ib, kde a,b jsou re´aln´a ˇc´ısla a i2 = −1. V´yraz je
jednoznaˇcnˇe urˇcen uspoˇr´adanou dvojic´ı [a;b], kde a,b jsou re´aln´a ˇc´ısla.
Pro komplexn´ı ˇc´ısla se daj´ı operace sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı definovat takto:
(a+ib) + (c+id) = (a+c) +i(b+d),
(a+ib)·(c+id) = (ac−bd) +i(ad+bc),
kde a+ib a c+id jsou libovoln´a komplexn´ı ˇc´ısla.
Sˇc´ıt´an´ı a n´asoben´ı komplexn´ıch ˇc´ısel jsou operace asociativn´ı a komutativn´ı. N´asoben´ı je
distributivn´ı vzhledem ke sˇc´ıt´an´ı.
Pˇr´ıklad 12.1 Vypoˇc´ıtejte souˇcin (2 +i)(3 +i).
ˇReˇsen´ı:
(2 +i)(3 +i) = 6 + 3i+ 2i−1 = (6−1) +i(3 + 2) = 5 + 5i
Z´apis z = a+ib naz´yv´ame algebraick´ym tvarem komplexn´ıho ˇc´ısla.
Re´aln´e ˇc´ıslo a naz´yv´ame re´alnou ˇc´ast´ı z.
Re´aln´e ˇc´ıslo b naz´yv´ame imagin´arn´ı ˇc´ast´ı z:
z = a+ib, a = Rez, b = Imz.
ˇC´ıslo z = a−ib naz´yv´ame komplexnˇe sdruˇzen´ym ˇc´ıslem k ˇc´ıslu z = a+ib.
Pˇri dˇelen´ı komplexn´ıch ˇc´ısel vyuˇz´ıv´ame komplexnˇe sdruˇzen´e ˇc´ıslo jmenovatele:
a+ib
c+id =
a+ib
c+id ·
c−id
c−id =
ac+bd
c2 +d2 +i
bc−ad
c2 +d2 a+ib,c+id∈C, c,dnegationslash= 0
Pˇr´ıklad 12.2 Vyj´adˇrete v algebraick´em tvaru komplexn´ı ˇc´ıslo 2 +i1−i.
ˇReˇsen´ı:
2 +i
1−i =
2 +i
1−i ·
1 +i
1 +i =
2 + 2i+i+i2
1−i2 =
2−1 + 3i
1−(−1) =
1
2 +
3
2i
Komplexn´ı ˇc´ısla zjednoduˇsujeme podle pravidel:
i2 = −1, i3 = −i, i4 = 1, i5 = i,...,
to znamen´a, ˇze pro kaˇzd´e k ∈Z je
i4k = 1, i4k+1 = i, i4k+2 = −1, i4k+3 = −i.
Matematick´y semin´aˇr 87
Pˇr´ıklad 12.3 Vypoˇc´ıtejte i+i3 +i5 +i7 +i9.
ˇReˇsen´ı:
i+i3 +i5 +i7 +i9 = i+i2i+i4i+i4i3 + (i4)2i = i−i+i−i+i = i
Absolutn´ı hodnotou komplexn´ıho ˇc´ısla a+ib naz´yv´ame nez´aporn´e ˇc´ıslo √a2 +b2,
|z| = √a2 +b2 = √z·z.
Komplexn´ı ˇc´ıslo z, pro kter´e je |z| = 1 naz´yv´ame komplexn´ı jednotkou.
Komplexn´ı rovina(Gaussova rovina komplexn´ıchˇc´ısel) je rovina s kart´ezsk´ym syst´emem
souˇradnic, ve kter´e je kaˇzd´e komplexn´ı ˇc´ıslo a+ib zn´azornˇeno bodem [a;b].
Absolutn´ı hodnota ˇc´ısla z = a+ib se potom rovn´a vzd´alenosti bodu [a;b] od poˇc´atku.
Absolutn´ı hodnota rozd´ılu dvou komplexn´ıch ˇc´ısel se rovn´a jejich vzd´alenosti v komplexn´ı
rovinˇe.
12.2 Goniometrick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla
´Uhel ϕ - orientovan´y ´uhel mezi kladnou ˇc´ast´ı osy x a polopˇr´ımkou spojuj´ıc´ı bod [0;0] s
bodem [a;b] se naz´yv´a argumentem komplexn´ıho ˇc´ısla z = a+ib. Plat´ı, ˇze
cosϕ = a√a2 +b2 sinϕ = b√a2 +b2.
Odtud dostaneme, ˇze
a = |z|cosϕ b = |z|sinϕ.
Z´apis nenulov´eho komplexn´ıho ˇc´ısla z ve tvaru
z = |z|(cosϕ+isinϕ)
naz´yv´ame goniometrick´ym tvarem komplexn´ıho ˇc´ısla z .
Omez´ıme-li se na −pi 1 je ˇc´ıslo pˇrirozen´e. Tato rovnice m´a v oboru komplexn´ıch ˇc´ısel
pr´avˇe n r˚uzn´ych koˇren˚u. ˇReˇsit binomickou rovnici v C znamen´a vyuˇzit´ım Moivreovy vˇety
naj´ıt vˇsech n komplexn´ıch ˇreˇsen´ı t´eto rovnice. Zap´ıˇsem ˇc´ıslo a v goniometrick´em tvaru:
a = |a|(cosϕ+isinϕ)
Potom podle d˚usledku Moivreovy vˇety dostaneme ˇreˇsen´ı ve tvaru:
zk = |a|1n(cos ϕ+ 2kpin +isin ϕ+ 2kpin ), k = 0,1,...n−1
Matematick´y semin´aˇr 89
Pˇr´ıklad 12.6 V C ˇreˇste rovnici z3 + 27 = 0.
ˇReˇsen´ı:
Uprav´ıme na z3 = −27. Napiˇsme a = −27 v goniometrick´em tvaru:
−27 = 27(cospi+isinpi) = 27(cos(pi+ 2kpi) +isin(pi+ 2kpi))
Z Moivreovy vˇety dostaneme ˇreˇsen´ı
z = √27(cos pi+ 2kpi3 +isin pi+ 2kpi3 ), k = 0,1,2.
⇒z1 = 3(12 +i
√3
2 ) =
3
2 +i
3√3
2
z2 = 3(cospi+isinpi) = −3
z3 = 3(cos 5pi3 +isin 5pi3 ) = 3(12 −i
√3
2 ) =
3
2 −i
3√3
2
Pˇr´ıklad 12.7 Vypoˇc´ıtejte:
a) (2−3i)(4 +i) b) (1 +i)i c) (−1 +i)−2
d) (−i)27 e) i2000 f) 5−8i+ 6i2 −3i3 + 6i4
[a) 11−10i; b) −1 +i; c) i/2; d) i; e) 1; f) 5−5i]
Pˇr´ıklad 12.8 Vyj´adˇrete v algebraick´em tvaru komplexn´ı ˇc´ısla:
a) (i10 −i12 −4i15) : (i5 −i3) b) 2 +i3−i + (i−2)(4−i)
c) (i−1i + 2ii−1)(2i−3)−(i−1)i
[a) 2 +i; b) −13/2 + 13i/2; c) −5 + 5i]
Pˇr´ıklad 12.9 Pˇresvedˇcte se, ˇze 11
1−i −i
− 11
1+i +i
= 2i.
[Plat´ı]
Pˇr´ıklad 12.10 Najdˇete dvojici komplexn´ıch ˇc´ısel tak, aby jejich souˇcet byl 4 a souˇcin 13.
[2 + 3i, 2−3i]
90 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 12.11 Urˇcete re´aln´a ˇc´ısla x,y pro kter´a plat´ı:
a) 3−2i1−i = 2x+yi
b) (x+y)(5−4i) + (x−y)(4−5i) = 94−68i
c) x+ 1 + (y+ 3)i5 + 3i = 1 +i
[a) x = 5/4,y = 1/2; b) x = 9,y = 13; c) x = 1,y = 5]
Pˇr´ıklad 12.12 K ˇc´ıslu z napiˇste ˇc´ıslo komplexnˇe zdruˇzen´e z a vypoˇc´ıtejte |z| :
a) z = 4−3i b) z = 1 + 2i3
[a) 4 + 3i,|z| = 5; b) 1−2i3 ,|z| = √5/3]
Pˇr´ıklad 12.13 Urˇcete komplexn´ı ˇc´ısla z, pro nˇeˇz plat´ı z = z.
[z ∈R]
Pˇr´ıklad 12.14 V komplexn´ı rovinˇe zobrazte mnoˇzinu vˇsech komplexn´ıch ˇc´ısel, pro nˇeˇz
plat´ı:
a) |1 +z|< 2 b) |1−i|≥|z|> 12 c) Imz < 4
Pˇr´ıklad 12.15 Pomoc´ı vztahu |z1z2| = |z1||z2|, z1,z2 ∈ C vypoˇc´ıtejte absolutn´ı hodnotu kom-
plexn´ıho ˇc´ısla
x2 −y2 + 2xyi
xy√2 +iradicalbigx4 +y4, x,y negationslash= 0.
[1]
Pˇr´ıklad 12.16 Vyj´adˇrete n´asleduj´ıc´ı komplexn´ı ˇc´ısla v goniometrick´em tvaru:
a) 1−i b) −2 c) 5i d) i−32 +i e) 2−i3i−1
[a)√2(cos(−pi/4) +isin(−pi/4)); b) 2(cospi+isinpi);
c) 5(cos(pi/2) +isin(pi/2)); d)√2(cos(3pi/4) +isin(3pi/4);
e) (√2/2)(cos(−3pi/4) +isin(−3pi/4)]
Pˇr´ıklad 12.17 Napiˇste algebraick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla z = cos pi6 +isin pi6.
[ √3/2 +i/2]
Matematick´y semin´aˇr 91
Pˇr´ıklad 12.18 Vypoˇc´ıtejte algebraick´y tvar souˇcinu a pod´ılu komplexn´ıch ˇc´ısel:
a) z1 = 6(cos pi2 +isin pi2) z2 = 13(cos pi6 +isin pi6)
b) z1 = √3 +i z2 = 6(cos pi3 +isin pi3)
[a) z1z2 = −1 +√3 i; z1/z2 = 9 + 9√3 i; b) z1z2 = 12i; z1/z2 = 16(√3−i)]
Pˇr´ıklad 12.19 Pomoc´ı Moivreovy vˇety vypoˇc´ıtejte:
a) (−1 +i√3)3 b) (
√3
2 −
1
2i)
100
[a) 8; b) −1/2−√3 i/2]
Pˇr´ıklad 12.20 Jestliˇze z = cos pi4 +isin pi4, najdˇete algebraick´y tvar komplexn´ıho ˇc´ısla
z3 + 1z3.
[−√2]
Pˇr´ıklad 12.21 Vyˇreˇste v C kvadratick´e rovnice:
a) z2 + 2z + 2 = 0 b) z2 + 6z + 25 = 0
[a) −1±i; b) −3±4i]
Pˇr´ıklad 12.22 Vyˇreˇste v C n´asleduj´ıc´ı rovnice:
a) z4 = 1 b) z3 = 1/8 c) z6 = −64
[a) 1,i,−1,−i; b) 12,−14(1−√3i),−14(1 +√3i);
c) 2i,−2i,√3 +i,−√3 +i,√3−i,−√3−i]
92 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
13 Posloupnosti a ˇrady
13.1 Aritmetick´a a geometrick´a posloupnost
Nekoneˇcnou posloupnost´ıse naz´yv´a kaˇzd´a funkce, jej´ımˇz definiˇcn´ım oborem je mnoˇzina
vˇsech pˇrirozen´ych ˇc´ısel N.
Koneˇcnou posloupnost´ı naz´yv´ame kaˇzdou funkci, jej´ıˇz definiˇcn´ı obor je mnoˇzina {n∈
N,n≤n0}, kde n0 ∈N je pevnˇe dan´e ˇc´ıslo.
Posloupnost je zad´ana bud’ v´yˇctem prvk˚u, rekurentnˇe, nebo vzorcem pro n-t´y ˇclen.
Pˇr´ıklad 13.1 Posloupnost vˇsech ˇc´ısel dˇeliteln´ych tˇremi zapiˇste v´yˇse uveden´ymi zp˚usoby.
ˇReˇsen´ı:
{an}∞1 = {3,6,9,12,15,...} v´yˇcet prvk˚u
an+1 = an + 3, a1 = 3 rekurentnˇe
an = 3n vzorec pro n-t´y ˇclen
Pˇr´ıklad 13.2 Je dan´a posloupnost {an}∞1 ,an = log3n. Vyj´adˇrete ji rekurentnˇe.
ˇReˇsen´ı:
Pro ∀n∈N je an+1 = log3n+1 = log3n ·3 = log3n + log3.
Zkoumanou posloupnost lze zapsat
an+1 = an + log3, a1 = log3.
Pˇr´ıklad 13.3 Posloupnost zadanou rekurentnˇe a1 = −1, an+1 = −an vyj´adˇrete vzorcem
pro n-t´y ˇclen.
ˇReˇsen´ı:
{an}∞1 = {−1,1,−1,1,...}. Odtud an = (−1)n.
Posloupnost{an}∞1 se naz´yv´aaritmetick´a, pr´avˇe kdyˇz existuje takov´eˇc´ıslod(diference),
ˇz