Skripta matematický seminář

c) x+ 2y+ 4z = 31
3x+ 5y−z = 10 x−3y−z = 0 5x+y+ 2z = 29
7x−y+ 7z = 15 2x+y−4z = 0 3x−y+z = 10
[a) nem´a ˇreˇsen´ı; b) x = 13t/7,y = 2t/7,z = t; c) x = 3,y = 4,z = 5]
Pˇr´ıklad 5.8 Pˇreveden´ım na troj´uheln´ıkov´y tvar ˇreˇste v R4 soustavy rovnic:
a) 2x−3y+ 6z−u = 1 b) x+ 2y−z−2u = −2
x+ 2y−z = ‘0 2x+y+z +u = 8
x+ 3y−z−u = −2 x−y−z +u = 1
9x−y+ 15z−5u = 1 x+ 2y+ 2z−u = 4
[a) soustava nem´a ˇreˇsen´ı; b) x = 1,y = 2,z = 1,u = 3]
Matematick´y semin´aˇr 33
Pˇr´ıklad 5.9 Urˇcete vz´ajemnou polohu tˇr´ı rovin:
α : 2x−3y+z = 0
β : x+ 2y−z−3 = 0
γ : 2x+y+z−12 = 0
[roviny se prot´ınaj´ı v bodˇe [2,3,5]]
Pˇr´ıklad 5.10 Uˇzit´ım Gaussovy eliminaˇcn´ı metody ˇreˇste v R3 soustavu rovnic v z´avislosti
na parametru a.
2x+ 9y+ 2z = 7a−4
3x+ 3y+ 4z = 3a−6
4x−6y+ 2z = −a−8
[[x,y,z] = [a−2,2a/3,−a/2]]
34 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
6 ˇReˇsen´ı nerovnic
6.1 Operace s nerovnicemi
Jsou-li f a g funkce promˇenn´e x definovan´e na mnoˇzinˇe D ⊂R, pak ´uloha:
”najdˇete vˇsechna x∈D, kter´a po dosazen´ı do jednoho ze vztah˚u:
f(x) g(x), f(x) ≤g(x), f(x) ≥g(x)
daj´ı pravdivou nerovnost” znamen´a ˇreˇsit nerovnici s nezn´amou x.
Pˇri ˇreˇsen´ı nerovnic pouˇz´ıv´ame ekvivalentn´ı ´upravy:
1. Z´amˇena stran nerovnice se souˇcasnou zmˇenou znaku nerovnice:
f(x) f(x)
2. Pˇriˇcten´ı konstanty nebo funkce h(x), definovan´e v D, k obˇema stran´am nerovnice:
f(x) 12 ∧ x< 4]
4 0 ⇒ 2−x≤ 4 +x⇒−2 ≤ 2x⇒x≥−1
Dostali jsme, ˇze
(x>−4 ∧ x≥−1) ⇒ x≥−1.
b) 4 +x< 0 ⇒ 2−x≥ 4 +x⇒x≤−1
Dostali jsme, ˇze
(x 12.bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright
x> 12
Cel´e ˇreˇsen´ı rovnice x∈ (−∞;−3)∪(12;∞).
6.5 Iracion´aln´ı nerovnice a soustavy nerovnic
Pˇr´ıklad 6.8 ˇReˇste v R nerovnici √x−3 < 5.
ˇReˇsen´ı:
Nerovnice m´a smysl pouze pro x− 3 ≥ 0 t.j. x ≥ 3, potom na obou stran´ach nerovnice
jsou nez´aporn´a ˇc´ısla a lze umocnit:
x−3 < 25 ⇒x< 28.
ˇReˇsen´ı je pak x∈〈3;28).
Pˇr´ıklad 6.9 ˇReˇste v R nerovnici x+ 1 0 ∧ x
3 −x2 < 0.
ˇReˇsen´ı:
Ekvivalentn´ı soustava je x+ 1 > 0∧x2(x−1) < 0.
Na znam´enko polynomu nemaj´ı vliv koˇreny se sudou n´asobnost´ı.
Tedy x∈ (−1;0)∪(0;1).
Pˇr´ıklad 6.11 Kter´a pˇrirozen´a ˇc´ısla splˇnuj´ı nerovnici 32x− 2x+ 63 > 4x−25 .
[x∈{49,50,51,...} ]
Pˇr´ıklad 6.12 ˇReˇste v R nerovnice:
a) 1−3xx+ 4 < 2 b) x+ 21−x ≤−2 c) 3x−1x+ 1 < 2 d) x
2 +x
x2 + 1 ≤ 1
[a) (−∞;−4)∪(−75;∞); b) (1;4〉; c) (−1;3); d) (−∞;1〉]
Pˇr´ıklad 6.13 V mnoˇzinˇe cel´ych z´aporn´ych ˇc´ısel ˇreˇste nerovnici
x+ 3
2 −
x−2
3 −5 >
x−1
2 .
[x∈{−8,−9,−10,...} ]
Pˇr´ıklad 6.14 Jak´e mus´ı b´yt ˇc´ıslo k, aby rovnice 5kx−9 = 10x−3k mˇela kladn´e ˇreˇsen´ı?
[2 0 b) 20x−x2 ≥ 36
c) x2 +x+ 1 < 0 d) x2 −0,2x+ 0,01 ≤ 0
[a) x∈ (−∞;−12)∪(2;∞); b) x∈〈2;18〉; c) x∈{}; d) x = 0,1]
Pˇr´ıklad 6.16 Pro kter´a m ∈ R bude platit x2 + 6x+ (5m−1)(m−1) > 0 pro vˇsechna
re´aln´a x?
[m∈ (−∞;−45)∪(2;∞) ]
40 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 6.17 ˇReˇste v R nerovnice:
a) x+ 2x+ 3 − 2x−13x+ 1 ≥ 0 b) x(x2 −7x+ 10) > 0
c) x
2 −9x+ 18
x2 −x−2 < 0 d)
x4
x+ 2 +
x4
3−x <
(10x−6)x2
−x2 +x+ 6
[a) x∈ (−∞;−3)∪(−13;∞); b) x∈ (0;2)∪(5;∞);
c) x∈ (−1;2)∪(3;6); d) x∈ (−∞;−2)∪(3;∞)]
Pˇr´ıklad 6.18 V oboru re´aln´ych ˇc´ısel ˇreˇste nerovnice:
a) |x−3|> 5 b) |x+ 2|< 8
[a) x∈ (−∞;−2)∪(8;∞); b) x∈ (−10;6) ]
Pˇr´ıklad 6.19 Pomoc´ı absolutn´ı hodnoty zapiˇste nerovnice:
a) −2 0
[a) x∈ (−1;0); b) x∈ (−∞;0); c) x∈〈−32; 12〉; d) x∈R; e) x∈ (0; 43)∪(2;∞);
f) x∈ (−∞; 12〉; g) x∈∅; h) x∈R; i) x∈R,xnegationslash= −4,2,3 ]
Pˇr´ıklad 6.21 ˇReˇste v R iracion´aln´ı nerovnice:
a) √x2 +x−12 ≤ 6−x b) x−3√x−4 ≥ 0
c) √x+ 2 4
e) √−x2 + 8x−12 >√3
[a) x∈ (−∞;−4〉∪〈3; 4813〉; b) x∈〈16;∞); c) x∈ (10;∞);
d) x∈ (3;∞); e) x∈ (3;5)]
Matematick´y semin´aˇr 41
Pˇr´ıklad 6.22 ˇReˇste v R soustavu nerovnic
x2 −4x−5 < 0 ∧ x2 −8x+ 15 < 0.
[x∈ (3;5)]
Pˇr´ıklad 6.23 Najdˇete x∈R, kter´a splˇnuj´ı sloˇzenou nerovnost.
a) x2 −1 0.
Pak V = 29b3.
2/9
0V
b
–1
12
y
–1
1
2
x
Pˇr´ıklad 7.8 Urˇcete definiˇcn´ı obor funkc´ı:
a) y = √2x−6 b) y =
radicalbiggx−1
x+ 1
ˇReˇsen´ı:
a) Aby byla funkce y = √2x−6 definovan´a, mus´ı b´yt 2x−6 ≥ 0, tedy x≥ 3.
M˚uˇzeme tedy ps´at, ˇze
D(f) =< 3,∞)
b) Definiˇcn´ım oborem funkce bude ˇreˇsen´ı nerovnice x−1x+ 1 ≥ 0, xnegationslash= −1
Nulov´e body ˇcitatele a jmenovatele jsou x = −1 a x = 1.
Dostaneme
D(f) = (−∞,−1) ∪< 1,∞)
48 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Mocninn´a funkce s cel´ym z´aporn´ym exponentem je funkce
f : y = x−n, n∈N
Definiˇcn´ı obor t´eto funkce Df = R−{0}.
Pˇr´ıklad 7.9 Nakreslete grafy funkc´ı f1 : y = 1x a f2 : y = 1x2.
ˇReˇsen´ı:
1
1
0
y
x
f1 : y = 1x
1
1
–1
0
y
x
f2 : y = 1x2
Line´arn´ı lomen´a funkce je funkce dan´a pˇredpisem
f : y = ax+bcx+d, kde a,b,c,d∈R,xnegationslash= −dc,cnegationslash= 0.
Definiˇcn´ı obor t´eto funkce je Df = R−{−dc}.
Nejjednoduˇsˇs´ı pˇr´ıpad nastane proa = d = 0,paky = kx a grafem jerovnoos´a hyperbola.
V pˇr´ıpadˇe, kdy ad−cbnegationslash= 0 dostaneme po ´upravˇe
y− ac = ac ·
b
a −
d
c
x+ dc
opˇet rovnoosou hyperbolu se stˇredem v bodˇe S[−dc; ac], asymptoty proch´azej´ı stˇredem a
jsou rovnobˇeˇzn´e s osami souˇradn´ymi.
Matematick´y semin´aˇr 49
Pˇr´ıklad 7.10 Nakreslete graf funkce f : y = kx (nepˇr´ım´a ´umˇernost).
ˇReˇsen´ı:
1
k
0
y
x
f : y = kx k> 0
1
k
0
y
x
f : y = kx k< 0
Pˇr´ıklad 7.11 V kart´ezsk´em souˇradnicov´em syst´emu nakreslete graf funkce
f : y = 1−xx−2.
ˇReˇsen´ı:
Uprav´ıme y = 1−x+ 2−2x−2 = −x+ 2−1x−2 = −1− 1x−2, tedy y+ 1 = −1x−2.
Asymptoty proch´azej´ı bodem S[2;−1].
M˚uˇzeme urˇcit pr˚useˇc´ıky se souˇradnicov´ymi osami: X[1;0], Y[0;−0,5]
S[2,–1]
1
0
y
x
50 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
7.4 Exponenci´aln´ı funkce a logaritmick´a funkce
Exponenci´aln´ı funkce o z´akladu a> 0 ∧ anegationslash= 1 je kaˇzd´a funkce
f : y = ax.
Definiˇcn´ı obor t´eto funkce Df = R.
Obor hodnot Hf = (0;∞).
Pro pˇr´ıpad a = e dostaneme pˇrirozenou exponenci´aln´ı funkci.
Graficky:
01y
x
y = ax, a> 1
01y
x
y = ax, 0 0 ∧ anegationslash= 1. Znaˇc´ıme
f : y = logax.
Definiˇcn´ı obor Df = {x∈R,x> 0}.
Obor hodnot Hf = R.
Pro z´aklad a = e dostaneme pˇrirozen´y logaritmus, kter´y pouˇz´ıv´ame nejˇcastˇeji.
Graficky:
0
1
y
x
y = logax, a> 1
0
1
y
x
y = logax, 0 0 ∀x∈D(f) : x∈U(a;δ), xnegationslash= a⇒f(x) ∈U(L;ε).
Plat´ı, ˇze funkce f m´a v bodˇe a nejv´yˇse jednu limitu.
Kaˇzd´a z´akladn´ı element´arn´ı funkce f m´a v kaˇzd´em bodˇe definiˇcn´ıho oboru D(f) limitu
rovnou funkˇcn´ı hodnotˇe v tomto bodˇe.
Vˇeta o limitˇe souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu funkc´ı.
Maj´ı-li funkce f,g v bodˇe a ∈ R limity, tj. existuj´ı-li limity lim
x→af(x) a limx→ag(x), pakmaj´ı v tomto bodˇe limity i funkce f +g, f−g, fg, cf, kde c∈R je konstanta , a je-li
lim
x→a
g(x) negationslash= 0, tak´e funkce fg a plat´ı:
limx→a(f(x) +g(x)) = limx→af(x) + limx→ag(x)
limx→a(f(x)−g(x)) = limx→af(x)− limx→ag(x)
lim
x→a
(f(x)·g(x)) = lim
x→a
f(x)· lim
x→a
g(x)
lim
x→a
(c·f(x)) = c· lim
x→a
f(x)
lim
x→a
f(x)
g(x) =
limx→af(x)
limx→ag(x)
Matematick´y semin´aˇr 59
Pˇr´ıklad 8.4 Urˇcete limity funkc´ı:
a) limx→1(x2 −5x+ 7) b) limx→0 (1−cosx) c) limx→−1 x+ 1x−1
ˇReˇsen´ı:
a) Funkce f : y = x2 −5x+ 7 je polynomick´a funkce, kter´a je definov´ana na cel´em R,
tedy i v bodˇe x = 1. Dostaneme:
limx→1(x2 −5x+ 7) = 12 −5·1 + 7 = 3
Podobnˇe postupujeme i v ˇc´asti b) a c).
b) lim
x→0 (1−cosx) = limx→0 1− limx→0 cosx = 1−1 = 0
c) lim
x→−1
x+ 1
x−1 =
lim
x→−1x+ 1
lim
x→−1x−1
= −1 + 1−1−1 = 0
Pro v´ypoˇcet limit funkce se ˇcasto pouˇzije tato vˇeta:
Jestliˇze pro dvˇe funkce f,g plat´ı, ˇze pro vˇsechna x negationslash= a z jist´eho okol´ı bodu a je
f(x) = g(x), potom lim
x→af(x) existuje, pr´avˇe kdyˇz existuje limx→ag(x), a plat´ı
lim
x→af(x) = limx→ag(x).
Pˇr´ıklad 8.5 Urˇcete limity n´asleduj´ıc´ıch funkc´ı:
a) lim
x→1
x2 +x−2
x−1 b) limx→0
tgx+ sinx
sinx c) limx→−5
2−√x+ 9
x+ 5
ˇReˇsen´ı:
a) Funkce f : y = x
2 +x−2
x−1 nen´ı v bodˇe x = 1 definov´ana. M˚uˇzeme vˇsak v R−{1}prov´est n´asleduj´ıc´ı ´upravu:
f(x) = x
2 +x−2
x−1 =
(x−1)(x+ 2)
x−1 = x+ 2 = g(x)
Danou limitu pak vypoˇcteme uˇzit´ım posledn´ı vˇety:
lim
x→1
x2 +x−2
x−1 = limx→1
(x−1)(x+ 2)
x−1 = limx→1(x+ 2) = 1 + 2 = 3
60 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
b)
limx→0 tgx+ sinxsinx = limx→0
sinx
cosx + sinx
sinx = limx→0
sinx( 1cosx + 1)
sinx = limx→0 (
1
cosx +1) =
1
1 +1 = 2
c) Lomen´y v´yraz rozˇs´ıˇr´ıme dvojˇclenem 2 +√x+ 9.
limx→−5 2−
√x+ 9
x+ 5 = limx→−5
2−√x+ 9
x+ 5 ·
2 +√x+ 9
2 +√x+ 9 = limx→−5
4−(x+ 9)
(x+ 5)(2 +√x+ 9) =
lim
x→−5
−(x+ 5)
(x+ 5)(2 +√x+ 9) = limx→−5
−1
2 +√x+ 9 =
−1
2 +√−5 + 9 =
−1
4
ˇR´ık´ame, ˇze funkce f, kter´a je definovan´a v okol´ı bodu a ∈ R, je spojit´a v bodˇe a,
pr´avˇe kdyˇz existuje lim
x→af(x) a plat´ı
lim
x→af(x) = f(a).
L
a
–2
–1
0
1
2
1 2 3
Obr´azek 8.4: Spojit´a funkce v bodˇe a
Matematick´y semin´aˇr 61
a
–2
–1
0
1
2
y
1 2 3x
Obr´azek 8.5: Funkce nen´ı v bodˇe a spojit´a, m´a v tomto bodˇe skok
a
1
2
3
4
y
1 2 3x
Obr´azek 8.6: Funkce m´a v bodˇe a nevlastn´ı limity
Pˇr´ıklad 8.6 Zjistˇete zda je funkce :
a) y = x
3
sinx b) y = x
2 sinx c) y = sinx
x−1 d) y = e
x cosx
sud´a nebo lich´a.
[a) sud´a b) lich´a c) ani sud´a ani lich´a d) ani sud´a ani lich´a ]
62 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 8.7 Urˇcete funkci inverzn´ı k funkc´ım :
a) y = 3x−4 b) y = 10x + 5 c) y = 2x+ 13x−6
[a) (x+ 4)/3 b) log(x−5) c) (6x+ 1)/(3x−2)]
Pˇr´ıklad 8.8 Najdˇete pˇr´ıklad (naˇcrtnˇete graf) funkce, kter´a je :
a) omezen´a zdola na sv´em definiˇcn´ım oboru
b) omezen´a shora na sv´em definiˇcn´ım oboru
c) omezen´a shora i zdola na intervalu (0,5)
d) rostouci na sv´em definiˇcn´ım oboru
e) klesaj´ıc´ı na intervalu (−6,0)
f) periodick´a na sv´em definiˇcn´ım oboru
g) prost´a na sv´em definiˇcn´ım oboru
h) nen´ı prost´a na sv´em definiˇcn´ım oboru
Pˇr´ıklad 8.9 Urˇcete limity funkc´ı:
a) lim
x→1(5x
2 −6x+ 7) b) lim
x→5
x2 −25
x−5 c) limx→2
x2 −5x+ 6
x2 −12x+ 20
[a) 6, b)10, c) 1/8]
Pˇr´ıklad 8.10 Vypoˇctˇete limity funkc´ı:
a) limx→0
√x2 + 1−1
x b) limx→3
x−3√
x+ 1−2 c) limx→2
√x+ 2−2
√x+ 7−3
[a) 0, b)4, c) 3/2]
Pˇr´ıklad 8.11 Vypoˇctˇete limity funkc´ı:
a) lim
x→pi2
(1 + sinx) b) limx→0 x
4 +x3
x4 −2x3 c) limx→3
√x2 + 7−4
x2 −5x+ 6
[a) 2, b)−1/2, c) 3/4]
Matematick´y semin´aˇr 63
9 Derivace funkce
9.1 Geometrick´y a fyzik´aln´ı v´yznam derivace
Je-li funkce definov´ana v okol´ı bodu x0 a existuje limita limx→x
0
f(x)−f(x0)
(x−x0) , naz´yv´ame ji
derivac´ı funkce f v bodˇe x0. Znaˇc´ıme ji fprime(x0).
M´a-li funkce f derivaci v kaˇzd´em bodˇe x jist´e mnoˇziny M, potom funkci
fprime : y = fprime(x), x∈M
naz´yv´ame derivac´ı funkce f na mnoˇzinˇe M.
Geometrick´y v´yznam derivace
Derivace funkce fprime(x0) pˇredstavuje geometricky smˇernici teˇcny ke grafu funkce v bodˇe
[x0,f(x0)]. Existuje-li v bodˇe x0 derivace funkce f, pak teˇcna ke grafu funkce f v bodˇe
[x0,f(x0)] m´a rovnici
y−f(x0) = fprime(x0)(x−x0).
f(x)
y0
x0
–1
0
1
2
3
4
–1 1 2 3 4 5
Obr´azek 9.1: Geometrick´y v´yznam derivace
64 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Pˇr´ıklad 9.1 Urˇcete rovnici teˇcny ke kˇrivce y = x2 −1 v bodˇe [2,3] .
ˇReˇsen´ı:
t
y = f(x)
–1
0
1
2
3
y
–2 –1 1 2x
Obr´azek 9.2: Teˇcna ke kˇrivce y = x2 −1 v bodˇe [2,3]
Pro smˇernici teˇcny v bodˇe [2,3] plat´ı
k = yprime(2) = lim
x→2
x2 −1−3
(x−2) = limx→2
(x−2)(x+ 2)
(x−2) = 4.
Po dosazen´ı do rovnice teˇcny y−f(x0) = fprime(x0)(x−x0) obdrˇz´ıme
y−3 = 4(x−2) tj. 4x−y−5 = 0.
Fyzik´aln´ı v´yznam derivace
Je-li d´ana funkˇcn´ı z´avislost hodnot nˇejak´e fyzik´aln´ı veliˇciny na ˇcase, pak jej´ı derivace
vyjadˇruje okamˇzitou rychlost zmˇeny hodnot t´eto veliˇciny.
Necht’ s = s(t) je rovnice dr´ahy pˇr´ımoˇcar´eho pohybu hmotn´eho bodu, pˇriˇcemˇz t znaˇc´ı
ˇcas mˇeˇren´y od jist´eho poˇc´ateˇcn´ıho okamˇziku a s znaˇc´ı dr´ahu, kterou hmotn´y bod urazil
po pˇr´ımce od zvolen´eho poˇc´ateˇcn´ıho bodu.
Derivace dr´ahy s(t) podle ˇcasu t pro t = t0 definuje okamˇzitou rychlost pohybu
hmotn´eho bodu v ˇcase t0.
v(t0) = sprime(t0) = limt→t
0
s(t)−s(t0)
t−t0 .
Matematick´y semin´aˇr 65
9.2 V´ypoˇcet derivace
Tabulka 9.1: Vzorce pro derivace element´arn´ıch funkc´ı
Funkce f Vzorec pro derivaci funkce f Podm´ınky platnosti vzorce
y = c, (c∈R) cprime = 0 x∈ (−∞,∞)
y = xn, n∈ N (xn)prime = nxn−1 x∈ (−∞,∞)
y = xr, r ∈ R, (xr)prime = rxr−1 x∈ (0,∞)
y = ex (ex)prime = ex x∈ (−∞,∞)
y = ax (ax)prime = ax lna x∈ (−∞,∞)
y = lnx (lnx)prime = 1x x∈ (0,∞)
y = sinx (sinx)prime = cosx x∈ (−∞,∞)
y = cosx (cosx)prime = −sinx x∈ (−∞,∞)
y = tgx (tgx)prime = 1(cosx)2 xnegationslash= (2k+ 1)pi2, k ∈ Z
y = cotgx (cotgx)prime = − 1(sinx)2 xnegationslash= kpi, k ∈ Z
Pˇr´ıklad 9.2 Zderivujte funkce :
a) y = 1x3 b) y = √x
ˇReˇsen´ı:
a) y = 1x3 = x−3 ⇒ yprime = (−3)x−4 = − 3x4 b) yprime = (x12)prime = 12x−12 = 12√x
66 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
Vzorce pro derivaci souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu funkce
Jestliˇze funkce f : u = f(x), g : v = g(x) maj´ı derivaci v kaˇzd´em bodˇe x∈M , pak plat´ı
n´asleduj´ıci vzorce pro vˇsechna x∈M (u pod´ılu za pˇredpokladu, ˇze g(x) negationslash= 0):
(u+v)prime = uprime +vprime
(u−v)prime = uprime −vprime
(uv)prime = uprimev+uvprime
(cu)prime = cuprime, c∈R
(uv)prime = u
primev−uvprime
v2 , v negationslash= 0
Pˇr´ıklad 9.3 Vypoˇctˇete v pˇr´ıpustn´ych bodech derivace funkc´ı dan´ych pˇredpisy:
a) y = 5x4 −6ex b) y = 6x2 −√x c) y = (x−1)(x2 + 3x−5) d) y = x+ 1x−1
ˇReˇsen´ı:
a) yprime = 20x3 −6ex
b) yprime = 12x− 12 1√x
c) Pˇri derivov´an´ı t´eto funkce pouˇzijeme vzorec pro derivov´an´ı souˇcinu.
yprime = (x2 + 3x−5) + (x−1)(2x+ 3) = x2 + 3x−5 + 2x2 + 3x−2x−3 = 3x2 + 4x−8
d) Pˇri derivov´an´ı t´eto funkce pouˇzijeme vzorec pro derivov´an´ı pod´ılu.
yprime = (x−1)−(x+ 1)(x−1)2 = −2(x−1)2
Vzorec pro derivaci sloˇzen´e funkce
Jestliˇze je d´ana funkce F : y = f(g(x)) , pˇriˇcemˇz vnitˇrn´ı funkce g m´a derivaci v kaˇzd´em
bodˇe x∈M a vnˇejˇs´ı funkce f m´a derivaci fprime v kaˇzd´em odpov´ıdaj´ıc´ım bodˇe u = g(x),
pak sloˇzen´a funkce F = f ◦g m´a derivaci Fprime v kaˇzd´em bodˇe x∈M, pro niˇz plat´ı:
Fprime(x) = fprime(u)gprime(x).
Pˇr´ıklad 9.4 Vypoˇctˇete derivace funkc´ı:
a) y = ln(x2 −8) b) y = ex sin2x c) y = ln x+1x−1
ˇReˇsen´ı:
Matematick´y semin´aˇr 67
a) yprime = 1x2 −8 ·(2x−0) = 2xx2 −8
b) yprime = ex sin2x+ex2sinxcosx = ex sinx (sinx+ 2cosx)
c) yprime = 1x+1
x−1
(x−1)−(x+ 1)
(x−1)2 =
x−1
x+ 1 ·
−2
(x−1)2 =
−2
(x−1)(x+ 1) =
−2
x2 −1
Vzorec pro derivaci inverzn´ı funkce
Jestliˇze funkce f−1 : y = f−1(x), x ∈ (a1,b1), je inverzn´ı funkce k funkci f : y =
f(x), x ∈ (a2,b2), kter´a je na intervalu (a2,b2) spojit´a a ryze monotonn´ı a m´a na nˇem
nenulovou derivaci fprime, pak tak´e inverzn´ı funkce m´a na intervalu (a1,b1) derivaci (f−1)prime,
pˇriˇcemˇz plat´ı:
(f−1)prime(x) = 1fprime(f−1(x)).
Pˇr´ıklad 9.5 Urˇcete rovnice teˇcen ke kˇrivce y = x3 +x2 −2x v jejich pr˚useˇc´ıc´ıch s osou
x.
ˇReˇsen´ı:
Pr˚useˇc´ıky dan´e kˇrivky s osou x urˇc´ıme ˇreˇsen´ım rovnice x3 + x2 − 2x = 0. Rovnici
pˇrevedeme na souˇcinov´y tvar
x(x−1)(x+ 2) = 0
a dostaneme koˇreny x1 = −2, x2 = 0, x3 = 1.
Hled´ame tedy rovnice teˇcen dan´e kˇrivky v bodech T1 = [−2,0], T2 = [0,0], T3 = [1,0].
Pro smˇernici teˇcny v libovoln´em bodˇe [x0,y(x0)] plat´ı
k = yprime(x0).
Protoˇze
yprime(x) = 3x2 + 2x−2,
dostaneme
k = yprime(x0) = 3x20 + 2x0 −2.
Smˇernice teˇcen uvaˇzovan´e kˇrivky v bodech T1, T2, T3 jsou
k1 = yprime(−2) = 6,
k2 = yprime(0) = −2,
k3 = yprime(1) = 3.
Po dosazen´ı do rovnice teˇcny y−f(x0) = fprime(x0)(x−x0) obdrˇz´ıme
pro T1 = [−2,0] a k1 = 6 : y = 6(x+ 2) tj. 6x−y+ 12 = 0
T2 = [0,0], k2 = −2 : y = −2x tj. 2x+y = 0
T3 = [1,0], k3 = 3 : y = 3(x−1) tj. 3x−y−3 = 0.
68 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
y = f(x)
–2
2
4
6
y
–3 –2 –1 1 2 3x
Obr´azek 9.3: Teˇcny ke kˇrivce y = x3 +x2 −2x v jejich pr˚useˇc´ıc´ıch s osou x
9.3 L´Hospitalovo pravidlo
K aplikac´ım diferenci´aln´ıho poˇctu patˇr´ı metoda v´ypoˇctu limit pomoc´ı derivac´ı.
Vyjadˇruje ji l´Hospitalovo pravidlo:
Necht’ funkce f,g maj´ı v bodˇe x0 ∈ R funkˇcn´ı hodnoty f(x0) = g(x0) = 0 a necht’
existuje lim
x→x0
fprime(x)
gprime(x). Potom existuje tak´e limx→x0
f(x)
g(x) a plat´ı
limx→x
0
fprime(x)
gprime(x) = limx→x0
f(x)
g(x).
Pozn´amka. L´Hospitalovo pravidlo plat´ı i v pˇr´ıpadˇe, kdy funkce f a g maj´ı v bodˇe
x0 ∈R nevlastn´ı limitu, tzn. plat´ı:
Jestliˇze limx→x0 f(x) = limx→x0 g(x) = ±∞ a existuje limx→x
0
fprime(x)
gprime(x), potom existuje tak´e
limx→x
0
f(x)
g(x) a plat´ı
limx→x
0
fprime(x)
gprime(x) = limx→x0
f(x)
g(x).
Matematick´y semin´aˇr 69
Pˇr´ıklad 9.6 Uˇzit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇctˇete limity funkc´ı:
a) limx→0 sin2xsin5x b) limx→∞ lnxx2 + 6 c) limx→−1 x
3 + 1
x5 + 1
ˇReˇsen´ı:
a) limx→0 sin2xsin5x = limx→0 (sin2x)
prime
(sin5x)prime = limx→0
2cos2x
5cos5x =
2cos0
5cos0 =
2
5.
b) limx→∞ lnxx2 + 6 = limx→∞ (lnx)
prime
(x2 + 6)prime = limx→∞
1
x
2x = limx→∞
1
2 ·
1
x2 =
1
2 ·0 = 0
c) lim
x→−1
x3 + 1
x5 + 1 = limx→−1
(x3 + 1)prime
(x5 + 1)prime = limx→−1
3x2
5x4 =
3
5
Pˇr´ıklad 9.7 Vypoˇctˇete derivace funkc´ı:
a) y = pix3 −7x b) y = ex(x2 −1) c) y = x+ 5x2 d) y = x−2x+ 2
[a) 3pix2 −7, b) ex(x2 + 2x−1), c) (−x−10)/x3, d) 4/(x+ 2)2]
Pˇr´ıklad 9.8 Urˇcete derivaci funkc´ı:
a) y = √sinx b) y = 12(x−sinxcosx) c) y = esinx d) y = cosex
[a) cosx/2√sinx, b) sin2x, c) esinx cosx, d) −ex sinex]
Pˇr´ıklad 9.9 Urˇcete rovnici teˇcny ke grafu funkce f : y = x
2 −2x
x2 −4 v bodˇe T = [1,?].
[2x−9y+ 1 = 0]
Pˇr´ıklad 9.10 Urˇcete rovnice teˇcen ke kˇrivce y = x3 + x2 − 6x v jejich pr˚useˇc´ıc´ıch s
osou x.
[15x−y+ 45 = 0, 6x+y = 0, 10x−y−20 = 0]
Pˇr´ıklad 9.11 Uˇzit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇctˇete limity funkc´ı:
a) limx→0 sin8x3x b) limx→∞ 2x−7x
2
x2 + 6 c) limx→−1
x+ 1√
x+ 5−2
[a) 8/3, b)−7, c) 4]
70 Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe
10 Goniometrick´e funkce
10.1 Obloukov´a m´ıra
V matematice, ve fyzice a v technick´e praxi se pouˇz´ıv´a na urˇcov´an´ı velikosti ´uhlu tzv.
obloukov´a m´ıra.
Je d´an ´uhel ABC. Sestroj´ıme kruˇznici se stˇredem v bodˇe B, (ve vrcholu ´uhlu). Jestliˇze
r je polomˇer kruˇznice a s je d´elka oblouku kruˇznice uvnitˇr ´uhlu ABC, potom velikost
tohoto ´uhlu je sr radi´an˚u.
∠ABC = sr rad.
Toto ˇc´ıslo nez´avis´ı na polomˇeru kruˇznice.
B
s
r
C
A
Pˇr´ıklad 10.1 Vyj´adˇrete ´uhel 15◦ v obloukov´e m´ıˇre.
ˇReˇsen´ı:
Kruˇznice m´a d´elku 2pir a velikost ´uhlu 360◦ v radi´anech je 2pirr = 2pi.
Z toho 1◦ = 2pi360 = pi180 radi´an˚u.
Tedy 15◦ = 15· pi180 = pi12.
D´ale budeme pracovat s orientovan´ymi ´uhly. Orientovan´y ´uhel si m˚uˇzeme pˇredstavit
jako poˇc´ateˇcn´ı a koncovou polohu polopˇr´ımky (nejl´epe kladn´e poloosy Ox) ot´aˇcej´ıc´ı se
kolem sv´eho poˇc´atku a to v jednom ze dvou navz´ajem opaˇcn´ych smysl˚u. Bud’ proti po-
hybu hodinov´ych ruˇciˇcek, tak dostaneme kladn´e ´uhly (napˇr.pi2,6pi, atd), nebo ve smˇeru
hodinov´ych ruˇciˇcek a tak dostaneme z´aporn´e ´