Skripta Matematický seminář

nebo ve sm eru
hodinov ych ru ci cek a tak dostaneme z aporn e uhly (nap r. 12; 4 ; atd).
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 71
10.2 Goniometrick e funkce
V kart ezsk e sou radnicov e soustav e sestrojme kru znici o st redu v po c atku a polom eru 1.
Uva zujme orientovan y uhel o velikosti radi an u jeho z vrchol je v po c atku a po c ate cn
rameno kladn a poloosa x: Druh e rameno protne kru znici v bod e P: Potom de nujeme
kosinus uhlu jako x-ovou sou radnici bodu P: Ozna cujeme cos :
Podobn e y-ov a sou radnice bodu P se naz yv a sinus uhlu . Ozna cujeme sin :
Ob e funkce jsou periodick e, jejich nejmen s perioda je 2 :
De ni cn m oborem obou funkc je R; oborem hodnot je h 1; 1i:
Grafem je sinusoida (kosinusoida).
Snadno se d a uk azat, ze pro ka zd e x2R plat cosx = sin

x+ 2

:
–1
1
0
y
x
y = sinx
–1
1
0
y
x
y = cosx
Funkce f : y = sinx; 8x2R je lich a: sin( x) = sinx:
Funkce f : y = cosx; 8x2R je sud a: cos( x) = cosx:
Tangens je funkce, kter a ka zd emu re aln emu c slu x; pro n e z je cosx6= 0; p ri rad c slo
tgx = sinxcosx:
De ni cn m oborem t eto funkce je D=fx2R;x6= 2k+12 ; kde k je cel e c slo g:
Oborem hodnot je H= R:
Kotangens je funkce, kter a ka zd emu re aln emu c slu x; pro n e z je sinx6= 0; p ri rad c slo
cotgx = cosxsinx:
De ni cn m oborem t eto funkce je D=fx2R;x6= k ; kde k je cel e c slo g:
Oborem hodnot je H= R:
Matematick y semin a r 72
0
y
x
y = tgx
0
y
x
y = cotgx
Funkce tgx a cotgx jsou periodick e funkce s periodou :
Ob e funkce jsou lich e: tg ( x) = tgx a cotg ( x) = cotgx pro v sechna x z de ni cn ho
oboru.
V n asleduj c tabulce jsou vypo cteny hodnoty goniometrick ych funkc pro n ekter a x 2
h0; 2 ); kter e je vhodn e si pamatovat.
Tabulka 10.1: Hodnoty goniometrick ych funkc pro n ekter e d ule zit e uhly
0 6 4 3 2 32
sinx 0 12
p2
2
p3
2 1 0 1
cosx 1
p3
2
p2
2
1
2 0 1 0
tgx 0
p3
3 1
p3 0
cotgx p3 1
p3
3 0 0
D ale uvedeme n ekter e d ule zit e vzorce, kter e budou u zite cn e p ri re sen uloh souvisej c ch
s goniometrick ymi funkcemi.
Pro ka zd e x2

0; 2

plat :
sinx = sin( x) = sin( +x) = sin(2 x)
cosx = cos( x) = cos( +x) = cos(2 x)
tgx = tg ( x) ; cotgx = cotg ( x)
P r klad 10.2 Vypo c tejte hodnoty goniometrick ych funkc v dan ych bodech :
a) = 53 b) = 23 c) = 254
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 73
Re sen :
a) = 53 = 2 13
sin(2 13 ) = sin(13 ) =
p3
2 ) sin =
p3
2
cos(2 13 ) = cos(13 ) = 12 ) cos = 12
tg = sin cos = p3 cotg = cos sin =
p3
3
b) = 23
Funkce sinx; cosx jsou periodick e s periodou 2 : Plat :
sin = sin( + 2 ) = sin 43 = sin( + 13 ) = sin(13 ) =
p3
2
cos = cos( + 2 ) = cos 43 = cos( + 13 ) = 12
tg = sin cos =p3 cotg = cos sin =
p3
3
c) = 254
sin(254 ) = sin(14 + 6 ) = sin 14 =
p2
2
cos(254 ) = cos(14 + 6 ) = cos 14 =
p2
2
tg = cotg = 1
D ule zit e vztahy a vzorce
Pro ka zd e re aln e x plat :
sin2 x+ cos2 x = 1
Pro ka zd e re aln e x a cel e k; x6= k 2 plat :
tgx cotgx = 1
Funkce dvojn asobn eho a polovi cn ho argumentu
8x2R : sin 2x = 2 sinxcosx;
8x2R : cos 2x = cos2x sin2x
8x2R :

sin x2

=
r1 cosx
2 ;
8x2R :

cos x2

=
r1 + cosx
2
Matematick y semin a r 74
Sou ctov e vzorce
8x;y2R : sin(x y) = sinxcosy cosxsiny
8x;y2R : cos(x y) = cosxcosy sinxsiny
8x;y2R : sinx+ siny = 2 sin x+y2 cos x y2
8x;y2R : sinx siny = 2 cos x+y2 sin x y2
8x;y2R : cosx+ cosy = 2 cos x+y2 cos x y2
8x;y2R : cosx cosy = 2 sin x+y2 sin x y2
8x;y2R; x;y6= 2k+12 : tg (x y) = tgx tgy1 tgx tgy
P r klad 10.3 Vypo c tejte cos 512 :
Re sen :
cos 512 = cos

4 +

6

= cos 4 cos 6 sin 4 sin 6
p2
2
p3
2
p2
2
1
2 =
p6 p2
4
P r klad 10.4 Vypo ct ete hodnoty funkc cos ; sin(2 ); tg (2 ); sin 2; jestli ze
sin = 35; 0 < < 2:
Re sen :
jcos j= cos =
p
1 sin2 =
r
1 925 = 45
sin(2 ) = 2 sin cos = 2 3 425 = 2425
cos(2 ) = cos2 sin2 = 1625 925 = 725 )tg (2 ) = sin(2 )cos(2 ) = 247
0 < < 2 ) 0 < 2 < 4 )

sin 2

= sin 2 =
s
1 45
2 =
r 1
10
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 75
10.3 Goniometrick e rovnice
Goniometrick e rovnice jsou rovnice, kter e obsahuj nezn amou jako argument jedn e
nebo n ekolika goniometrick ych funkc .
P r klad 10.5 Vy re ste v R goniometrick e rovnice:
a) 2 sin(3x) =p2 b) sin2 x cos2 x = 0;5 c) 2 sin2 x 5 cosx+ 1 = 0
Re sen :
a) Uprav me: sin(3x) =
p2
2 :
Funkce sinus m a kladn e hodnoty v I. a II. kvadrantu.
Tedy 3x = 4 + 2k _ 3x = 34 + 2k ; k2Z: Odtud
x = 12 + 23k _ x = 4 + 23k ;k2Z:
b) Uprav me levou stranu rovnice:
sin2 x cos2 x = (cos2 x sin2 x) = cos(2x):
Potom rovnice m a tvar cos(2x) = 0;5; tzn. cos(2x) = 0;5:
Funkce kosinus m a z aporn e hodnoty v II. a III. kvadrantu.
Potom 2x = 3 + 2k _ 2x = + 3 + 2k ; k2Z: Odtud
x = 13 +k _ x = 23 +k ;k2Z:
c) Uprav me levou stranu rovnice:
2 sin2 x 5 cosx+ 1 = 2(1 cos2 x) 5 cosx+ 1 = 2 cos2 x 5 cosx+ 3
Potom rovnice m a tvar 2 cos2 x 5 cosx+ 3 = 0 t.j. 2 cos2 x+ 5 cosx 3 = 0:
Polo z me y = cosx a dostaneme kvadratickou rovnici 2y2 + 5y 3 = 0:
Tato rovnice m a ko reny y1 = 3 a y2 = 12:
Proto ze j 3j> 1; re s me jen rovnici cosx = 12:
Funkce kosinus m a kladn e hodnoty v I. a IV. kvadrantu. Dostaneme
x = 13 + 2k _ x = 53 + 2k ;k2Z:
Matematick y semin a r 76
P r klad 10.6 Vypo c tejte n asleduj c uhly v obloukov e m re:
a) = 135 b) = 75 c) = 200
[a) 34 ; b) 512 ; c) 109 ]
P r klad 10.7 Vypo c tejte hodnoty goniometrick ych funkc sinx; cosx; tgx; cotgx v
dan ych bodech :
a) = 73 b) = 214 c) = 56 d) = 114
[a)
p3
2 ;
1
2;
p3; p3
3 ; b)
p2
2 ;
p2
2 ;1;1; c)
1
2;
p3
2 ;
p3
3 ;
p3;
d)
p2
2 ;
p2
2 ;1;1]
P r klad 10.8 Vypo c tejte hodnoty goniometrick ych funkc sinx; cosx; tgx jestli ze plat ,
ze cotgx = 3 a x2h32 ; 2 i:
[
p10
10 ;
3p10
10 ;
1
3]
P r klad 10.9 Doka zte, ze pro ka zd a dv e re aln a c sla ; plat vzorce:
sin cos = 12[sin( + ) + sin( )]
sin sin = 12[cos( ) cos( + )]
cos cos = 12[cos( ) + cos( + )]
[postupn ym se cten m a ode cten m sou ctov ych vzorc u pro funkce sinus a kosinus]
P r klad 10.10 Vy re ste v R goniometrick e rovnice:
a) cos(x 4 ) =
p3
2 b) 2 cos
2 x 3 cosx+ 1 = 0
c) sinxp2 + cosx = 1 d)p3 tg 2x 4 tgx+p3 = 0
e) 2 sinx =p3 tgx f) sinx+ cos 2x = 1
g) sin4 x cos4 x = 12 h) 1 + sinx = 2 cos2 x
[a)1312 + 2k _ 1712 + 2k ; k2Z; b) 2k _ 3 + 2k _ 53 + 2k ; k2Z;
c) 14 + 2k _ 34 + 2k ; k2Z; d) 3 +k _ 6 +k ; k2Z;
e) k _ 6 + 2k _ 116 + 2k ; k2Z; f) k _ 6 + 2k _ 56 + 2k ; k2Z;
g) 3 +k _ 23 +k ; k2Z; h) 6 + 2k _ 56 + 2k _ 32 + 2k ; k2Z]
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 77
P r klad 10.11 Re ste v intervalu h0; 2 i rovnici tgx+ 1tgx 1 = 2 +p3:
[ 3; 43 ]
P r klad 10.12 Re ste v intervalu h0; 2i rovnici sin2 x+ tg 2x = 32:
[ 4 ]
P r klad 10.13 Upravte n asleduj c v yrazy pro ka zd e x2R; pro kter e jsou de nov any:
a) 2 sinx+ sin 2xcos2 x
2
b) sin
3 x sinx
cos3 x cosx
c) sin
2 x tg 2x
cos2 x cotg 2x d)
(sinx+ cosx)2
1 + sin 2x
[a)4 sinx; b) cotgx; c) tg 6x; d) 1]
P r klad 10.14 Na crtn ete grafy funkc :
a) y = sin(3x) b) y = 1 + cos x2 c) y = 2 + cotgx d) y = 5 + 2 sin(x+ )
Matematick y semin a r 78
11 Integr al funkce jedn e prom enn e
11.1 Primitivn funkce
P ri re sen mnoha matematick ych, fyzik aln ch a technick ych probl em u se setk avame i s
ulohou:
K dan e funkci f naj t na dan em intervalu takovou funkci, jej z derivace v tomto intervalu
se rovna f. Takov a funkce F : (a;b)!R se naz yva primitivn funkce k re aln e funkci na
intervalu (a;b) jestli ze plat pro v sechna x2(a;b), ze
F0(x) = f(x):
Primitivn funkce nen ur cena jednozna cn e. P ri cteme-li k dan e primitivn funkci kon-
stantu, dostaneme zase primitivn funkci. Primitivn funkci tak e r k ame neur cit y integr al
a p seme Z
f(x)dx = F(x) +c:
P r klad 11.1 Spo c tejte R 3x2dx:
Re sen :
(x3)0 = 3x2. Z toho plyne, ze R 3x2dx = x3 +c; kde c2R:
P ri v ypo ctu neur cit eho integr alu se casto u z vaj n asleduj c vlastnosti a vzorce:
Necht’ pro funkce f;g existuj neur cit e integr aly na (a;b) R a necht’ k2R; potom
Z
kf(x)dx = k
Z
f(x)dx
a Z
(f(x) +g(x))dx =
Z
f(x)dx+
Z
g(x)dx:
P r klad 11.2 Vypo ct ete integr aly:
a)
Z 6dx
x b)
Z
(7 cosx ex) dx
Re sen :
V me, ze plat (lnx)0 = 1x pro x> 0; (sinx)0 = cosx a (ex)0 = ex.
Z toho plyne, ze :
a)
Z 6dx
x = 6
Z dx
x = 6 lnx+c; x> 0
b) R(7 cosx ex) dx = 7R cosxdx R exdx = 7sinx ex +c
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 79
Tabulka 11.1: Vzorce pro integraci element arn ch funkc
Funkce f Vzorec pro neur cit y integr al Podm nky platnosti vzorce
y = 0 R 0 dx = c (c2R) x2( 1;1)
y = 1 R 1 dx = x+c x2( 1;1)
y = xn; n2N R xn dx = xn+1n+1 +c x2( 1;1)
y = xr; r2R; r6= 1 R xr dx = xr+1r+1 +c x2(0;1)
y = 1x R 1x dx = lnjxj+c x2( 1;0)[(0;1)
y = ex R ex dx = ex +c x2( 1;1)
y = ax R ax dx = axlna +c x2( 1;1)
y = sinx R sinx dx = cosx+c x2( 1;1)
y = cosx R cosx dx = sinx+c x2( 1;1)
y = 1(cosx)2 R 1(cosx)2 dx = tgx+c x6= (2k + 1) 2; k2Z
y = 1(sinx)2 R 1(sinx)2 dx = cotgx+c x6= k ; k2Z
P r klad 11.3 Vypo ct ete integr aly:
a) R(2x+ 1) dx b) R(5x4 sinx) dx c) Rpx3 dx d) R 3(ex + 2px) dx
Re sen :
a) R(2x+ 1)dx = 2R x dx+R 1 dx = 2x22 +x+c = x2 +x+c
b) R 5x4 sinx dx = 5R x4 dx R sinx dx = 5x
5
5 ( cosx) +c = x
5 + cosx+c
Matematick y semin a r 80
c) Rpx3 dx = R x32 dx = 13
2 + 1
x32 +1 +c = 25x52 +c = 25
p
(x5) +c
d) R 3(ex + 2px) dx = R(3ex + 6px) dx = 3R exdx+ 6Rpx dx =
3ex + 6 11
2 + 1
x32 +c = 3ex + 623
p
x3 +c = 3ex + 4
p
x3 +c
P r klad 11.4 Vypo ct ete integr aly:
a)
Z dx
sin2 x cos2 x b)
Z x+ 1
px dx c)
Z tgx
sin 2x dx
Re sen :
a) Funkci, kterou chceme integrovat nejd r ve uprav me. Vyu zijeme vztah
sin2 x+ cos2 x = 1:
Potom m u zeme ps at
Z dx
sin2 x cos2 x =
Z sin2 x+ cos2 x
sin2 x cos2 x dx =
Z sin2 x
sin2 x cos2 x dx+
Z cos2 x
sin2 x cos2 x dx =
Z 1
cos2 x dx+
Z 1
sin2 x dx = tgx cotgx+c
b)
Z x+ 1
px dx =
Z x
px dx+
Z 1
px dx =
Z p
x dx+
Z 1
px dx =
Z
x12 dx+
Z
x 12 dx = 23x32 + 2x12 +c = 23
p
x3 + 2px+c
c)
Z tgx
sin 2x dx =
Z sinx
cosx
2 sinxcosx dx =
Z sinx
2 sinxcos2 x dx =
Z 1
2 cos2 x dx =
1
2tgx+c
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 81
11.2 Ur cit y integr al
Geometrick y v yznam ur cit eho integr alu
M ejme nez apornou spojitou funkci f na < a;b > : Obsah obrazce ohrani cen eho grafem
b
y = f(x)
a0
1
2
3
y
0.5 1 1.5 2x
Obr azek 11.1: Ur cit y integr al z nez aporn e funkce y = f(x) na
funkce f; osou x a rovnob e zkami s osou y veden ymi body a;b m u zeme spo c tat pomoc
ur cit eho integr alu:
P =
Z b
a
f(x) dx = F(b) F(a)
kde funkce F je primitivn funkc k f na .
Podle stejn eho vzorce m u zeme spo c tat ur cit y integr al z libovoln e spojit e funkce (ne nutn e
nez aporn e) na :
Tento vztah se naz yva Newton-Leibnitz uv vzorec:
Z b
a
f(x) dx = F(b) F(a); kde F0(x) = f(x); x2
P r klad 11.5 U zit m Newton - Leibnitzova vzorce vypo ct ete:
a) R10 (2x x2) dx b) R 0 sinx dx c) R2 0 sinx dx d) R
2
cosx dx
Re sen :
a) Nejd r v spo c t ame primitivn funkci k funkci f(x) = (2x x2):
Matematick y semin a r 82
Dostaneme F(x) = R(2x x2) dx = x2 x33 +c:
Potom podle Newton - Leibnitzova vzorce
Z 1
0
(2x x2) dx = [x2 x
3
3 +c]
1
0 = (1
1
3 +c) (0 0 +c) = (
2
3 +c) c =
2
3
Vid me, ze integra cn konstantu c p ri v ypo ctu ur cit eho integr alu v bod e b p ri cteme a v
bod e a zase ode cteme, proto ji d ale nebudem ps at.
b) R 0 sinx dx = [ cosx] 0 = ( cos ) ( cos 0) = ( 1) + 1 = 2
c) R2 0 sinx dx = [ cosx]2 0 = ( cos 2 ) ( cos 0) = 1 + 1 = 0
d) R
2
cosx dx = [sinx]
2
= sin sin 2 = 0 1 = 1
Vlastnosti ur cit eho integr alu.
V eta o line arnosti ur cit eho integr alu.
Necht’ f;g jsou spojit e na intervalu ; a c a d jsou libovoln e re aln e konstanty. Pak
plat : Z
b
a
(cf(x) +dg(x)) dx = c
Z b
a
f(x) dx+d
Z b
a
g(x) dx:
V eta o aditivnosti ur cit eho integr alu.
Je-li funkce f spojit a na intervalu a c2(a;b); pak plat
Z b
a
f(x) dx =
Z c
a
f(x) dx+
Z b
c
f(x) dx:
V eta o st redn hodnot e.
Je-li funkce f spojit a na intervalu < a;b >; pak existuje alespo n jeden takov y bod c2
(a;b); ze plat Z
b
a
f(x) dx = f(c)(b a)
C slo f(c) = 1
b a
Z b
a
f(x) dx se naz yv a st redn hodnota funkce f na intervalu
:
P r klad 11.6 Vypo ct ete integr al R3 1jx 1jdx:
Re sen :
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 83
Plat , ze
f(x) =jx 1j= x 1 pro x2< 1;1);
f(x) =jx 1j= (x 1) = 1 x pro x2( 1;1):
Proto pou zijeme v etu o aditivnosti ur cit eho integr alu.
R3
1jx 1jdx =
R1
1jx 1jdx+
R3
1 jx 1jdx =
R1
1(1 x) dx+
R3
1 (x 1) dx =
[x 12x2]1 1 +[12x2 x]31 = (1 12) ( 1 12)+(129 3) (12 1) = 2+ 32 ( 12) = 2+2 = 4
P r klad 11.7 Spo c tejte st redn hodnotu funkce f(x) = ex na intervalu < 0;1 >:
Re sen :
S = 11 0
Z 1
0
ex dx = 1[ex]10 = e 1
P r klad 11.8 Vypo c tejte obsah rovinn e oblasti ohrani cen e parabolou y = 4x x2 a
osou x:
Re sen :
Parabola protne osu x v bodech x1 = 0; x2 = 4 a na intervalu (0;4) je funkce y = 4x x2
P
y = f(x)–1
0
1
2
3
4
y
1 2 3 4 5x
Obr azek 11.2: Obsah oblasti ohrani cen e parabolou y = 4x x2 a osou x
kladn a. Obsah oblasti mezi parabolou a osou x m u zeme spo c tat jako ur cit y integr al.
P =
Z 4
0
(4x x2) dx = [2x2 13x3]40 = 2:16 1364 = 96 643 = 323 j2
Matematick y semin a r 84
Necht’ pro spojit e funkce f a g na intervalu plat , ze g(x)
b.) Po c t ame obsah vy srafovan e oblasti z obr azku. Vid me, ze P = P1 +P2 +P3; kde
P1 =
Z
2
0
cosx dx = [sinx] 20 = sin 2 = 1
P2 =
Z 3
2

2
cosx dx = [ sinx]3 2
2
= sin 3 2 + sin 2 = 2
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 85
P3 =
Z
3
2
cosx dx = [sinx] 3
2
= sin 2 sin 3 2 = 1
Dostaneme P = 1 + 2 + 1 = 4
P r klad 11.10 Vypo ct ete integr aly:
a)
Z
3x2 + 2x 4 dx b)
Z p
x3 1px dx c)
Z
x(x 2)(x 3) dx
[a) x3 +x2 4x+c b) 2px5=5 2px+c c) x4=4 5x3=3 + 3x2 +c]
P r klad 11.11 Funkce nejd r ve upravte a potom vypo ct ete n asleduj c integr aly:
a)
Z
5 cosx 6ex2x dx b)
Z
tg 2x dx c)
Z
1 + cos2 x2 sin2 x2 dx
[a) 5 sinx 6(ex2x)=ln(2e) +c b) tgx x+c c) x+ sinx+c]
P r klad 11.12 U zit m Newton - Leibnitzova vzorce vypo ct ete ur cit e integr aly:
a) R41 (3x 11) dx b) R 2 4 1x dx c) R30 j1 3xjdx d) R1 1 ex dx
[a) 21=2 b) ln 2 c) 65=6 d) e 1=e]
P r klad 11.13 Vypo c tejte obsah rovinn e oblasti ohrani cen e parabolou y = 6x x2 a
osou x:
[36]
P r klad 11.14 Najd ete st redn hodnotu funkce na dan em intervalu.
a) f(x) = x(1 x) na < 0;1 >
b) f(x) = 2x 1 na < 3;2 >
c) f(x) = sinx na < 0; >
[a)1=6 b) 2 c)2= ]
Matematick y semin a r 86
12 Komplexn c sla
12.1 Algebraick y tvar komplexn ho c sla
Komplexn c slo je c slo z = a + ib, kde a;b jsou re aln a c sla a i2 = 1. V yraz je
jednozna cn e ur cen uspo r adanou dvojic [a;b], kde a;b jsou re aln a c sla.
Pro komplexn c sla se daj operace s c t an a n asoben de novat takto:
(a+ib) + (c+id) = (a+c) +i(b+d);
(a+ib) (c+id) = (ac bd) +i(ad+bc);
kde a+ib a c+id jsou libovoln a komplexn c sla.
S c t an a n asoben komplexn ch c sel jsou operace asociativn a komutativn . N asoben je
distributivn vzhledem ke s c t an .
P r klad 12.1 Vypo c tejte sou cin (2 +i)(3 +i).
Re sen :
(2 +i)(3 +i) = 6 + 3i+ 2i 1 = (6 1) +i(3 + 2) = 5 + 5i
Z apis z = a+ib naz yv ame algebraick ym tvarem komplexn ho c sla.
Re aln e c slo a naz yv ame re alnou c ast z.
Re aln e c slo b naz yv ame imagin arn c ast z:
z = a+ib; a = Rez; b = Imz:
C slo z = a ib naz yv ame komplexn e sdru zen ym c slem k c slu z = a+ib:
P ri d elen komplexn ch c sel vyu z v ame komplexn e sdru zen e c slo jmenovatele:
a+ib
c+id =
a+ib
c+id
c id
c id =
ac+bd
c2 +d2 +i
bc ad
c2 +d2 a+ib;c+id2C; c;d6= 0
P r klad 12.2 Vyj ad rete v algebraick em tvaru komplexn c slo 2 +i1 i.
Re sen :
2 +i
1 i =
2 +i
1 i
1 +i
1 +i =
2 + 2i+i+i2
1 i2 =
2 1 + 3i
1 ( 1) =
1
2 +
3
2i
Komplexn c sla zjednodu sujeme podle pravidel:
i2 = 1; i3 = i; i4 = 1; i5 = i;:::;
to znamen a, ze pro ka zd e k2Z je
i4k = 1; i4k+1 = i; i4k+2 = 1; i4k+3 = i:
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 87
P r klad 12.3 Vypo c tejte i+i3 +i5 +i7 +i9:
Re sen :
i+i3 +i5 +i7 +i9 = i+i2i+i4i+i4i3 + (i4)2i = i i+i i+i = i
Absolutn hodnotou komplexn ho c sla a+ib naz yv ame nez aporn e c slo pa2 +b2,
jzj=pa2 +b2 =pz z:
Komplexn c slo z, pro kter e je jzj= 1 naz yv ame komplexn jednotkou.
Komplexn rovina (Gaussova rovina komplexn ch c sel) je rovina s kart ezsk ym syst emem
sou radnic, ve kter e je ka zd e komplexn c slo a+ib zn azorn eno bodem [a;b].
Absolutn hodnota c sla z = a+ib se potom rovn a vzd alenosti bodu [a;b] od po c atku.
Absolutn hodnota rozd lu dvou komplexn ch c sel se rovn a jejich vzd alenosti v komplexn
rovin e.
12.2 Goniometrick y tvar komplexn ho c sla
Uhel ’ - orientovan y uhel mezi kladnou c ast osy x a polop r mkou spojuj c bod [0; 0] s
bodem [a;b] se naz yv a argumentem komplexn ho c sla z = a+ib. Plat , ze
cos’ = apa2 +b2 sin’ = bpa2 +b2:
Odtud dostaneme, ze
a =jzjcos’ b =jzjsin’:
Z apis nenulov eho komplexn ho c sla z ve tvaru
z =jzj(cos’+isin’)
naz yv ame goniometrick ym tvarem komplexn ho c sla z .
Omez me-li se na 1 je c slo p rirozen e. Tato rovnice m a v oboru komplexn ch c sel pr av e
n r uzn ych ko ren u. Re sit binomickou rovnici v C znamen a vyu zit m Moivreovy v ety naj t
v sech n komplexn ch re sen t eto rovnice. Abychom mohli vyu z vat vzore cek na re sen t eto
rovnice, je vhodn e v tomto p r pad e zabezpe cit jednozna cnost goniometrick eho vyj ad ren
tak, ze bereme argument z intervalu h0; 2 ):
Potom podle d usledku Moivreovy v ety dostaneme re sen ve tvaru:
zk =jaj1n(cos ’+ 2k n +isin ’+ 2k n ); n2N; k = 0;1;:::n 1
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 89
P r klad 12.6 V C re ste rovnici z3 + 27 = 0:
Re sen :
Uprav me na z3 = 27: Napi sme rovnici v goniometrick em tvaru:
z =jzj(cos’+isin’)
27 = 27(cos +isin ) = 27(cos( + 2k ) +isin( + 2k ))
Z Moivreovy v ety dostaneme re sen
z =p27(cos + 2k 3 +isin + 2k 3 ); k = 0;1;2:
)z1 = 3(12 +i
p3
2 ) =
3
2 +i
3p3
2
z2 = 3(cos +isin ) = 3
z3 = 3(cos 5 3 +isin 5 3 ) = 3(12 i
p3
2 ) =
3
2 i
3p3
2
P r klad 12.7 Vypo c tejte:
a) (2 3i)(4 +i) b) (1 +i)i c) ( 1 +i) 2
d) ( i)27 e) i2000 f) 5 8i+ 6i2 3i3 + 6i4
[a) 11 10i; b) 1 +i; c) i=2; d) i; e) 1; f) 5 5i]
P r klad 12.8 Vyj ad rete v algebraick em tvaru komplexn c sla:
a) (i10 i12 4i15) : (i5 i3) b) 2 +i3 i + (i 2)(4 i)
c) (i 1i + 2ii 1)(2i 3) (i 1)i
[a) 2 +i; b) 13=2 + 13i=2; c) 5 + 5i]
P r klad 12.9 P resved cte se, ze 11
1 i i
11
1+i +i
= 2i:
[Plat ]
P r klad 12.10 Najd ete dvojici komplexn ch c sel tak, aby jejich sou cet byl 4 a sou cin 13.
[2 + 3i; 2 3i]
Matematick y semin a r 90
P r klad 12.11 Ur cete re aln a c sla x;y pro kter a plat :
a) 3 2i1 i = 2x+yi
b) (x+y)(5 4i) + (x y)(4 5i) = 94 68i
c) x+ 1 + (y + 3)i5 + 3i = 1 +i
[a) x = 5=4;y = 1=2; b) x = 9;y = 13; c) x = 1;y = 5]
P r klad 12.12 K c slu z napi ste c slo komplexn e zdru zen e z a vypo c tejte jzj:
a) z = 4 3i b) z = 1 + 2i3
[a) 4 + 3i;jzj= 5; b) 1 2i3 ;jzj=p5=3]
P r klad 12.13 Ur cete komplexn c sla z; pro n e z plat z = z.
[z2R]
P r klad 12.14 V komplexn rovin e zobrazte mno zinu v sech komplexn ch c sel, pro n e z
plat :
a)j1 +zj< 2 b)j1 ij jzj> 12 c) Im z < 4
P r klad 12.15 Pomoc vztahu jz1z2j = jz1jjz2j; z1;z2 2C vypo c tejte absolutn hodnotu kom-
plexn ho c sla
x2 y2 + 2xyi
xyp2 +ipx4 +y4; x;y6= 0:
[1]
P r klad 12.16 Vyj ad rete n asleduj c komplexn c sla v goniometrick em tvaru:
a) 1 i b) 2 c) 5i d) i 32 +i e) 2 i3i 1
[a)p2(cos( =4) +isin( =4)); b) 2(cos +isin );
c) 5(cos( =2) +isin( =2)); d)p2(cos(3 =4) +isin(3 =4);
e) (p2=2)(cos( 3 =4) +isin( 3 =4)]
P r klad 12.17 Napi ste algebraick y tvar komplexn ho c sla z = cos 6 +isin 6:
[p3=2 +i=2]
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 91
P r klad 12.18 Vypo c tejte algebraick y tvar sou cinu a pod lu komplexn ch c sel:
a) z1 = 6(cos 2 +isin 2 ) z2 = 13(cos 6 +isin 6 )
b) z1 =p3 +i z2 = 6(cos 3 +isin 3 )
[a) z1z2 = 1 +p3 i; z1=z2 = 9 + 9p3 i; b) z1z2 = 12i; z1=z2 = 16(p3 i)]
P r klad 12.19 Pomoc Moivreovy v ety vypo c tejte:
a) ( 1 +ip3)3 b) (
p3
2
1
2i)
100
[a) 8; b) 1=2 p3 i=2]
P r klad 12.20 Jestli ze z = cos 4 +isin 4; najd ete algebraick y tvar komplexn ho c sla
z3 + 1z3 .
[ p2]
P r klad 12.21 Vy re ste v C kvadratick e rovnice:
a) z2 + 2z + 2 = 0 b) z2 + 6z + 25 = 0
[a) 1 i; b) 3 4i]
P r klad 12.22 Vy re ste v C n asleduj c rovnice:
a) z4 = 1 b) z3 = 1=8 c) z6 = 64
[a) 1;i; 1; i; b) 12; 14(1 p3i); 14(1 +p3i);
c) 2i; 2i;p3 +i; p3 +i;p3 i; p3 i]
Matematick y semin a r 92
13 Posloupnosti a rady
13.1 Aritmetick a a geometrick a posloupnost
Nekone cnou posloupnost se naz yv a ka zd a funkce, jej m z de ni cn m oborem je mno zina
v sech p rirozen ych c sel N:
Kone cnou posloupnost naz yv ame ka zdou funkci, jej z de ni cn obor je mno zinafn2
N;n n0g; kde n0 2N je pevn e dan e c slo.
Posloupnost je zad ana bud’ v y ctem prvk u, rekurentn e, nebo