Skripta Matematický seminář

e rovnic:
x y 5z = 0 (1)
y + 4314z = 4315 (2)
219z = 219 (3)
Tato soustava m a troj uheln kov y tvar a jej re sen ur c me snadno takto: Z t ret rovnice
po d elen c slem 219 dost av ame: z = 1: Dosazen m do druh e rovnice vypo cteme
y = 114(15 43) = 2
a po dosazen do prvn rovnice vych az x = 2 + 5 = 3:
Dostali jsme re sen x = 3; y = 2; z = 1:
P r klad 5.5 V R3 re ste soustavy rovnic:
a) x+ 2y + 3z = 7 b) x+ 2y + 3z = 1 c) x+ 2y + 3z = 1
3x y +z = 6 x+ 3y + 5z = 2 2x+ 4y + 6z = 2
x+y +z = 4 2x+ 5y + 8z = 12 x y +z = 4
Re sen :
Soustavy budeme re sit Gaussovou elimina cn metodou.
a) x+ 2y + 3z = 7 x+ 2y + 3z = 7 x+ 2y + 3z = 7
3x y +z = 6 ) 7y 8z = 15 ) y + 2z = 3
x+y +z = 4 y + 2z = 3 6z = 6
Matematick y semin a r 32
Tato soustava m a troj uheln kov y tvar a m u zeme jej snadno vy re sit.
Postupn e dost av ame z = 1; y = 3 2z = 1; x = 7 2y 3z = 7 2 3 = 2:
Dostali jsme tedy re sen x = 2; y = 1; z = 1:
b) x+ 2y + 3z = 1 x+ 2y + 3z = 1 x+ 2y + 3z = 1
x+ 3y + 5z = 2 ) y + 2z = 1 ) y + 2z = 1
2x+ 5y + 8z = 12 y + 2z = 10 0 = 9
Z trojuheln kov eho tvaru vid me, ze soustava nem a re sen .
c) x+ 2y + 3z = 1 x+ 2y + 3z = 1 x+ 2y + 3z = 1
2x+ 4y + 6z = 2 ) 0 = 0 ) 3y + 2z = 3
x y +z = 4 3y + 2z = 3
) soustava m a nekone cn e mnoho re sen .
Zvol me-li z = t; pak postupn e m ame
y = 23t 1 a x = 1 + 43t+ 2 3t = 3 53t:
Re sen m soustavy potom bude uspo r adan a trojice x = 3 5
3t; y = 1
2
3t; z = t; t2R:
P r klad 5.6 Re ste v R R soustavy line arn ch rovnic:
a) 8x 3y + 12 = 0 b) 2x 6y = 2 c) x+ 2y = 4
3x+ 2y 33 = 0 x 3y = 4 2x+ 4y = 8
[a) x = 3;y = 12; b) nem a re sen ; c) x = 4 2a;y = a;a2R]
P r klad 5.7 P reveden m na troj uheln kov y tvar re ste v R3 soustavy rovnic:
a) 2x 3y + 4z = 8 b) x+ 4y 3z = 0 c) x+ 2y + 4z = 31
3x+ 5y z = 10 x 3y z = 0 5x+y + 2z = 29
7x y + 7z = 15 2x+y 4z = 0 3x y +z = 10
[a) nem a re sen ; b) x = 13t=7;y = 2t=7;z = t; c) x = 3;y = 4;z = 5]
P r klad 5.8 P reveden m na troj uheln kov y tvar re ste v R4 soustavy rovnic:
a) 2x 3y + 6z u = 1 b) x+ 2y z 2u = 2
x+ 2y z = ‘0 2x+y +z +u = 8
x+ 3y z u = 2 x y z +u = 1
9x y + 15z 5u = 1 x+ 2y + 2z u = 4
[a) soustava nem a re sen ; b) x = 1;y = 2;z = 1;u = 3]
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 33
P r klad 5.9 Ur cete vz ajemnou polohu t r rovin:
: 2x 3y +z = 0
: x+ 2y z 3 = 0
: 2x+y +z 12 = 0
[roviny se prot naj v bod e [2;3;5]]
P r klad 5.10 U zit m Gaussovy elimina cn metody re ste v R3 soustavu rovnic v z avislosti
na parametru a.
2x+ 9y + 2z = 7a 4
3x+ 3y + 4z = 3a 6
4x 6y + 2z = a 8
[[x;y;z] = [a 2;2a=3; a=2]]
Matematick y semin a r 34
6 Re sen nerovnic
6.1 Operace s nerovnicemi
Jsou-li f a g funkce prom enn e x de novan e na mno zin e D R; pak uloha:
"najd ete v sechna x2D; kter a po dosazen do jednoho ze vztah u:
f(x) g(x); f(x) g(x); f(x) g(x)
daj pravdivou nerovnost" znamen a re sit nerovnici s nezn amou x:
P ri re sen nerovnic pou z v ame ekvivalentn upravy:
1. Z am ena stran nerovnice se sou casnou zm enou znaku nerovnice:
f(x) f(x)
2. P ri cten konstanty nebo funkce h(x); de novan e v D; k ob ema stran am nerovnice:
f(x) 12 ^ x< 4]
4 0)2 x 4 +x) 2 2x)x 1
Dostali jsme, ze
(x> 4 ^ x 1) ) x 1:
b) 4 +x< 0)2 x 4 +x)x 1
Dostali jsme, ze
(x< 4 ^ x 1) ) x< 4:
Tedy x< 4_x 1 cili x2( 1; 4)[h 1;1):
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 37
6.3 Kvadratick a nerovnice
P r klad 6.5 Re ste v R nerovnici x2 4x 5 0:
Re sen :
x2 4x 5 0,(x 5)(x+ 1) 0
, [(x 5) 0^(x+ 1) 0] _ [(x 5) 0^(x+ 1) 0]
x 5 _ x 1 )x2( 1; 1i[h5;1)
Ulohu m u zeme re sit i pomoc nulov ych bod u
polynomu nebo tak e gra cky:
y = x2 4x 5 je rovnice paraboly,
jej vrcholov y tvar je y + 9 = (x 2)2;
vrchol je V[2; 9]; pr use c ky s osou x :
P1[ 1; 0] P2[5; 0];
proto ze (x 2)2 = 9 ,x 2 = 3
)x1 = 5; x2 = 1:
Na crtneme graf.
Vid me, ze y 0 pro x2( 1; 1)[h5;1):
2 5–1
–9
0
V
y
x
P r klad 6.6 Re ste v R nerovnici x+ 3x 1 + x+ 4x 4 2:
Re sen :
P revedeme na pod lov y tvar (x+ 3)(x 4) + (x+ 4)(x 1) 2(x 1)(x 4)(x 1)(x 4) 0 a po
uprav e citatele 12(x 2)(x 1)(x 4) 0:
Pomoc nulov ych bod u:
( 1; 1) (1; 2i (2; 4) (4;1)
x 1 - + + +
x 2 - - + +
x 4 - - - +
zlomek - + - +
x2(1; 2i[(4;1)
Matematick y semin a r 38
6.4 Nerovnice s absolutn mi hodnotami
P r klad 6.7 Re ste v R nerovnici j12 xj> 15 jx+ 3j:
Re sen :
Pomoc nulov ych bod u v yraz u v absolutn ch hodnot ach rozd el me R na intervaly, ve kter ych
nerovnice re s me.
Pro x2( 1; 3i: 12 x> 15 + (x+ 3))x< 3:| {z }
x< 3
Pro x2( 3; 12i: 12 x> 15 (x+ 3))12 < 12:| {z }
x2fg
Pro x2(12;1) : 12 +x> 15 (x+ 3))x> 12:| {z }
x> 12
Cel e re sen rovnice x2( 1; 3)[(12;1):
6.5 Iracion aln nerovnice a soustavy nerovnic
P r klad 6.8 Re ste v R nerovnici px 3 < 5:
Re sen :
Nerovnice m a smysl pouze pro x 3 0 t.j. x 3; potom na obou stran ach nerovnice
jsou nez aporn a c sla a lze umocnit:
x 3 < 25)x< 28:
Re sen je pak x2h3; 28):
P r klad 6.9 Re ste v R nerovnici x+ 1 0 ^ x
3 x2 < 0:
Re sen :
Ekvivalentn soustava je x+ 1 > 0^x2(x 1) < 0:
Na znam enko polynomu nemaj vliv ko reny se sudou n asobnost .
Tedy x2( 1; 0)[(0; 1):
P r klad 6.11 Kter a p rirozen a c sla spl nuj nerovnici 32x 2x+ 63 > 4x 25 :
[x2f49;50;51;:::g ]
P r klad 6.12 Re ste v R nerovnice:
a) 1 3xx+ 4 < 2 b) x+ 21 x 2 c) 3x 1x+ 1 < 2 d) x
2 +x
x2 + 1 1
[a) ( 1; 4)[( 75;1); b) (1; 4i; c) ( 1; 3); d) ( 1; 1i]
P r klad 6.13 V mno zin e cel ych z aporn ych c sel re ste nerovnici
x+ 3
2
x 2
3 5 >
x 1
2 :
[x2f 8; 9; 10;:::g ]
P r klad 6.14 Jak e mus b yt c slo k; aby rovnice 5kx 9 = 10x 3k m ela kladn e re sen ?
[2 0 b) 20x x2 36
c) x2 +x+ 1 < 0 d) x2 0;2x+ 0;01 0
[a) x2( 1; 12)[(2;1); b) x2h2; 18i; c) x2fg; d) x = 0;1]
P r klad 6.16 Pro kter a m2R bude platit x2 + 6x + (5m 1)(m 1) > 0 pro v sechna
re aln a x?
[m2( 1; 45)[(2;1) ]
Matematick y semin a r 40
P r klad 6.17 Re ste v R nerovnice:
a) x+ 2x+ 3 2x 13x+ 1 0 b) x(x2 7x+ 10) > 0
c) x
2 9x+ 18
x2 x 2 < 0 d)
x4
x+ 2 +
x4
3 x <
(10x 6)x2
x2 +x+ 6
[a) x2( 1; 3)[( 13;1); b) x2(0; 2)[(5;1);
c) x2( 1; 2)[(3; 6); d) x2( 1; 2)[(3;1)]
P r klad 6.18 V oboru re aln ych c sel re ste nerovnice:
a)jx 3j> 5 b)jx+ 2j< 8
[a) x2( 1; 2)[(8;1); b) x2( 10; 6) ]
P r klad 6.19 Pomoc absolutn hodnoty zapi ste nerovnice:
a) 2 0
[a) x2( 1; 0); b) x2( 1; 0); c) x2h 32; 12i; d) x2R; e) x2(0; 43)[(2;1);
f) x2( 1; 12i; g) x2;; h) x2R; i) x2R;x6= 4;2;3 ]
P r klad 6.21 Re ste v R iracion aln nerovnice:
a)px2 +x 12 6 x b) x 3px 4 0
c)px+ 2 4
e)p x2 + 8x 12 >p3
[a) x2( 1; 4i[h3; 4813i; b) x2h16;1); c) x2(10;1);
d) x2(3;1); e) x2(3; 5)]
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 41
P r klad 6.22 Re ste v R soustavu nerovnic
x2 4x 5 < 0 ^ x2 8x+ 15 < 0:
[x2(3; 5)]
P r klad 6.23 Najd ete x2R; kter a spl nuj slo zenou nerovnost.
a) x2 1 0:
Pak V = 29b3:
2/9
0
V
b
–1
1
2
y
–1 1 2
x
P r klad 7.8 Ur cete de ni cn obor funkc :
a) y =p2x 6 b) y =
rx 1
x+ 1
Re sen :
a) Aby byla funkce y =p2x 6 de novan a, mus b yt 2x 6 0; tedy x 3:
M u zeme tedy ps at, ze
D(f) =< 3;1)
b) De ni cn m oborem funkce bude re sen nerovnice x 1x+ 1 0; x6= 1
Nulov e body citatele a jmenovatele jsou x = 1 a x = 1:
Dostaneme
D(f) = ( 1; 1)[< 1;1)
Matematick y semin a r 48
Mocninn a funkce s cel ym z aporn ym exponentem je funkce
f : y = x n; n2N
De ni cn obor t eto funkce Df = R f0g:
Grafem je hyperbola n-t eho stupn e.
P r klad 7.9 Nakreslete grafy funkc f1 : y = 1x a f2 : y = 1x2:
Re sen :
1
1
0
y
x
f1 : y = 1x
1
1–1
0
y
x
f2 : y = 1x2
Line arn lomen a funkce je funkce dan a p redpisem
f : y = ax+bcx+d; kde a;b;c;d2R;x6= dc;c6= 0:
De ni cn obor t eto funkce je Df = R f dcg:
Nejjednodu s s p r pad nastane proa = d = 0;paky = kx a grafem je rovnoos a hyperbola.
V ostatn ch p r padech dostaneme po uprav e
y ac = ac
b
a
d
c
x+ dc
op et rovnoosou hyperbolu se st redem v bod e S[ dc; ac], asymptoty proch azej st redem a
jsou rovnob e zn e s osami sou radn ymi.
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 49
P r klad 7.10 Nakreslete graf funkce f : y = kx (nep r m a um ernost).
Re sen :
1
k
0
y
x
f : y = kx k> 0
1
k
0
y
x
f : y = kx k< 0
P r klad 7.11 V kart ezsk em sou radnicov em syst emu nakreslete graf funkce
f : y = 1 xx 2:
Re sen :
Uprav me y = 1 x+ 2 2x 2 = x+ 2 1x 2 = 1 1x 2; tedy y + 1 = 1x 2:
Asymptoty proch azej bodem S[2; 1]:
M u zeme ur cit pr use c ky se sou radnicov ymi osami: X[1; 0]; Y[0; 0;5]
S[2,–1]
1
0
y
x
Matematick y semin a r 50
7.4 Exponenci aln funkce a logaritmick a funkce
Exponenci aln funkce o z akladu a> 0 ^ a6= 1 je ka zd a funkce
f : y = ax:
De ni cn obor t eto funkce Df = R:
Obor hodnot Hf = (0;1):
Pro p r pad a = e dostaneme p rirozenou exponenci aln funkci.
Gra cky:
0
1
y
x
y = ax; a> 1
0
1
y
x
y = ax; 0 0 ^ a6= 1: Zna c me
f : y = logax:
De ni cn obor Df =fx2R;x> 0g:
Obor hodnot Hf = R:
Pro z aklad a = e dostaneme p rirozen e logaritmy, kter e pou z v ame nej cast eji.
Gra cky:
0 1
y
x
y = logax; a> 1
0 1
y
x
y = logax; 0 0 8x2D(f) : x2U(a; ))f(x)2U(L;"):
Plat , ze funkce f m a v bod e a nejv y se jednu limitu.
Ka zd a z akladn elelment arn funkce f m a v ka zd em bod e de ni cn ho oboru D(f) limitu
rovnou funk cn hodnot e v tomto bod e.
V eta o limit e sou ctu, rozd lu, sou cinu a pod lu funkc .
Maj -li funkce f;g v bod e a2R limity, tj. existuj -li limity lim
x!af(x) a limx!ag(x); pakmaj v tomto bod e limity i funkce f +g; f g; fg; cf kde c2R je konstanta , a je-li
limx!ag(x)6= 0; tak e funkce fg a plat :
lim
x!a
(f(x) +g(x)) = lim
x!a
f(x) + lim
x!a
g(x)
limx!a(f(x) g(x)) = limx!af(x) limx!ag(x)
limx!a(f(x) g(x)) = limx!af(x) limx!ag(x)
lim
x!a
(c f(x)) = c lim
x!a
f(x)
lim
x!a
f(x)
g(x) =
limx!af(x)
limx!ag(x)
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 59
P r klad 8.4 Ur cete limity funkc :
a) limx!1(x2 5x+ 7) b) limx!0 (1 cosx) c) limx! 1 x+ 1x 1
Re sen :
a) Funkce f : y = x2 5x + 7 je polynomick a funkce, kter a je de nov ana na cel em R;
tedy i v bod e x = 1: Dostaneme:
limx!1x2 5x+ 7 = 12 5 1 + 7 = 3
Podobn e postupujeme i v c asti b) a c):
b) lim
x!0 (1 cosx) = limx!0 1 limx!0 cosx = 1 1 = 0
c) lim
x! 1
x+ 1
x 1 =
lim
x! 1x+ 1
lim
x! 1x 1
= 1 + 1 1 1 = 0
Pro v ypo cet limit funkce se casto pou zije tato v eta:
Jestli ze pro dv e funkce f;g plat , ze pro v sechna x 6= a z jist eho okol bodu a je
f(x) = g(x); potom lim
x!af(x) existuje, pr av e kdy z existuje limx!ag(x) a plat
lim
x!af(x) = limx!ag(x):
P r klad 8.5 Ur cete limity n asleduj c ch funkc :
a) limx!1 x
2 +x 2
x 1 b) limx!0
tgx+ sinx
sinx c) limx! 5
2 px+ 9
x+ 5
Re sen :
a) Funkce f : y = x
2 +x 2
x 1 nen v bod e x = 1 de nov ana. M u zeme v sak v R f1gprov est n asleduj c upravu:
f(x) = x
2 +x 2
x 1 =
(x 1)(x+ 2)
x 1 = x+ 2 = g(x)
Danou limitu pak vypo cteme u zit m posledn v ety:
limx!1 x
2 +x 2
x 1 = limx!1
(x 1)(x+ 2)
x 1 = limx!1(x+ 2) = 1 + 2 = 3
Matematick y semin a r 60
b)
limx!0 tgx+ sinxsinx = lim
x!0
sinx
cosx + sinx
sinx = limx!0
sinx( 1cosx + 1)
sinx = limx!0 (
1
cosx + 1) =
1
1 + 1 = 2
c) Lomen y v yraz roz s r me dvoj clenem 2 +px+ 9:
lim
x! 5
2 px+ 9
x+ 5 = limx! 5
2 px+ 9
x+ 5
2 +px+ 9
2 +px+ 9 = limx! 5
4 (x+ 9)
(x+ 5)(2 +px+ 9) =
lim
x! 5
(x+ 5)
(x+ 5)(2 +px+ 9) = limx! 5
1
2 +px+ 9 =
1
2 +p 5 + 9 =
1
4
R k ame, ze funkce f; kter a je de novan a v okol bodu a2R je spojit a v bod e a;
pr av e kdy z existuje lim
x!af(x) a plat
lim
x!af(x) = f(a):
L
a
–2
–1
0
1
2
1 2 3
Obr azek 8.4: Spojit a funkce v bod e a
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 61
a
–2
–1
0
1
2
y
1 2 3x
Obr azek 8.5: Funkce nen v bod e a spojit a, m a v tomto bod e skok
a
1
2
3
4
y
1 2 3x
Obr azek 8.6: Funkce m a v bod e a nevlastn limity
P r klad 8.6 Zjist ete zda je funkce :
a) y = x
3
sinx b) y = x
2 sinx c) y = sinx
x 1 d) y = e
x cosx
sud a nebo lich a.
[a) sud a b) lich a c) ani sud a ani lich a d) ani sud a ani lich a ]
Matematick y semin a r 62
P r klad 8.7 Ur cete funkci inverzn k funkc m :
a) y = 3x 4 b) y = 10x + 5 c) y = 2x+ 13x 6
[a) (x+ 4)=3 b) log(x 5) c) (6x+ 1)=(3x 2)]
P r klad 8.8 Najd ete p r klad (na crtn ete graf) funkce, kter a je :
a) omezen a zdola na sv em de ni cn m oboru
b) omezen a shora na sv em de ni cn m oboru
c) omezen a shora i zdola na intervalu (0;5)
d) rostouci na sv em de ni cn m oboru
e) klesaj c na intervalu ( 6;0)
f) periodick a na sv em de ni cn m oboru
g) prost a na sv em de ni cn m oboru
h) nen prost a na sv em de ni cn m oboru
P r klad 8.9 Ur cete limity funkc :
a) lim
x!1(5x
2 6x+ 7) b) lim
x!5
x2 25
x 5 c) limx!2
x2 5x+ 6
x2 12x+ 20
[a) 6; b)10; c) 1=8]
P r klad 8.10 Vypo ct ete limity funkc :
a) lim
x!0
px2 + 1 1
x b) limx!3
x 3p
x+ 1 2 c) limx!2
px+ 2 2
px+ 7 3
[a) 0; b)4; c) 3=2]
P r klad 8.11 Vypo ct ete limity funkc :
a) lim
x! 2
(1 + sinx) b) lim
x!0
x4 +x3
x4 2x3 c) limx!3
px2 + 7 4
x2 5x+ 6
[a) 2; b) 1=2; c) 3=4]
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 63
9 Derivace funkce
9.1 Geometrick y a fyzik aln v yznam derivace
Je-li funkce de nov ana v okol bodu x0 a existuje limita limx!x
0
f(x) f(x0)
(x x0) ; naz yv ame ji
derivac funkce f v bod e x0: Zna c me ji f0(x0):
M a-li funkce f derivaci v ka zd em bod e x jist e mno ziny M; potom funkci
f0 : y = f0(x); x2M
naz yv ame derivac funkce f na mno zin e M:
Geometrick y v yznam derivace
Derivace funkce f0(x0) p redstavuje geometricky sm ernici te cny ke grafu funkce v bod e
[x0;f(x0)]: Existuje-li v bod e x0 derivace funkce f; pak te cna ke grafu funkce f v bod e
[x0;f(x0)] m a rovnici
y f(x0) = f0(x0)(x x0):
f(x)
y0
x0
–1
0
1
2
3
4
–1 1 2 3 4 5
Obr azek 9.1: Geometrick y v yznam derivace
Matematick y semin a r 64
P r klad 9.1 Ur cete rovnici te cny ke k rivce y = x2 1 v bod e [2;3] .
Re sen :
t
y = f(x)
–1
0
1
2
3
y
–2 –1 1 2x
Obr azek 9.2: Te cna ke k rivce y = x2 1 v bod e [2;3]
Pro sm ernici te cny v bod e [2;3] plat
k = y0(2) = lim
x!2
x2 1 3
(x 2) = limx!2
(x 2)(x+ 2)
(x 2) = 4:
Po dosazen do rovnice te cny y f(x0) = f0(x0)(x x0) obdr z me
y 3 = 4(x 2) tj: 4x y 5 = 0:
Fyzik aln v yznam derivace
Je-li d ana funk cn z avislost hodnot n ejak e fyzik aln veli ciny na case, pak jej derivace
vyjad ruje okam zitou rychlost zm eny hodnot t eto veli ciny.
Necht’ s = s(t) je rovnice dr ahy p r mo car eho pohybu hmotn eho bodu, p ri cem z t zna c
cas m e ren y od jist eho po c ate cn ho okam ziku a s zna c dr ahu, kterou hmotn y bod urazil
po p r mce od zvolen eho po c ate cn ho bodu.
Derivace dr ahy s(t) podle casu t pro t = t0 de nuje okam zitou rychlost pohybu
hmotn eho bodu v case t0:
v(t0) = s0(t0) = lim
t!t0
s(t) s(t0)
t t0 :
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 65
9.2 V ypo cet derivace
Tabulka 9.1: Vzorce pro derivace element arn ch funkc
Funkce f Vzorec pro derivaci funkce f Podm nky platnosti vzorce
y = c; (c2R) c0 = 0 x2( 1;1)
y = xn; n2N (xn)0 = nxn 1 x2( 1;1)
y = xr; r2R; (xr)0 = rxr 1 x2(0;1)
y = ex (ex)0 = ex x2( 1;1)
y = ax (ax)0 = ax lna x2( 1;1)
y = lnx (lnx)0 = 1x x2(0;1)
y = sinx (sinx)0 = cosx x2( 1;1)
y = cosx (cosx)0 = sinx x2( 1;1)
y = tgx (tgx)0 = 1(cosx)2 x6= (2k + 1) 2; k2Z
y = cotgx (cotgx)0 = 1(sinx)2 x6= k ; k2Z
P r klad 9.2 Zderivujte funkce :
a) y = 1x3 b) y =px
Re sen :
a) y = 1x3 = x 3 ) y0 = ( 3)x 4 = 3x4 b) y0 = (x12 )0 = 12x 12 = 12px
Matematick y semin a r 66
Vzorce pro derivaci sou ctu, rozd lu, sou cinu a pod lu funkce
Jestli ze funkce f : u = f(x); g : v = g(x) maj derivaci v ka zd em bod e x2M , pak plat
n asleduj ci vzorce pro v sechna x2M (u pod lu za p redpokladu, ze g(x)6= 0):
(u+v)0 = u0 +v0
(u v)0 = u0 v0
(uv)0 = u0v +uv0
(cu)0 = cu0; c2R
(uv)0 = u
0v uv0
v2 ; v6= 0
P r klad 9.3 Vypo ct ete v p r pustn ych bodech derivace funkc dan ych p redpisy:
a) y = 5x4 6ex b) y = 6x2 px c) y = (x 1)(x2 + 3x 5) d) y = x+ 1x 1
Re sen :
a) y0 = 20x3 6ex
b) y0 = 12x 12 1px
c) P ri derivov an t eto funkce pou zijeme vzorec pro derivov an sou cinu.
y0 = (x2 + 3x 5) + (x 1)(2x+ 3) = x2 + 3x 5 + 2x2 + 3x 2x 3 = 3x2 + 4x 8
d) P ri derivov an t eto funkce pou zijeme vzorec pro derivov an pod lu.
y0 = (x 1) (x+ 1)(x 1)2 = 2(x 1)2
Vzorec pro derivaci slo zen e funkce
Jestli ze je d ana funkce F : y = f(g(x)) , p ri cem z vnit rn funkce g m a derivaci v ka zd em
bod e x2M a vn ej s funkce f m a derivaci f0 v ka zd em odpov daj c m bod e u = g(x),
pak slo zen a funkce F = f g m a derivaci F0 v ka zd em bod e x2M; pro ni z plat :
F0(x) = f0(u)g0(x):
P r klad 9.4 Vypo ct ete derivace funkc :
a) y = ln(x2 8) b) y = ex sin2 x c) y = ln x+1x 1
Re sen :
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 67
a) y0 = 1x2 8 (2x 0) = 2xx2 8
b) y0 = ex sin2 x+ex2 sinxcosx = ex sinx (sinx+ 2 cosx)
c) y0 = 1x+1
x 1
(x 1) (x+ 1)
(x 1)2 =
x 1
x+ 1
2
(x 1)2 =
2
(x 1)(x+ 1) =
2
x2 1
Vzorec pro derivaci inverzn funkce
Jestli ze funkce f 1 : y = f 1(x); x2 (a1;b1); je inverzn funkce k funkci f : y =
f(x); x2(a2;b2); kter a je na intervalu (a2;b2) spojit a a ryze monotonn a m a na n em
nenulovou derivaci f0; pak tak e inverzn funkce m a na intervalu (a1;b1) derivaci (f 1)0;
p ri cem z plat :
(f 1)0(x) = 1f0(f 1(x)):
P r klad 9.5 Ur cete rovnice te cen ke k rivce y = x3 +x2 2x v jejich pr use c c ch s osou
x:
Re sen :
Pr use c ky dan e k rivky s osou x ur c me re sen m rovnice x3 + x2 2x = 0: Rovnici
p revedeme na sou cinov y tvar
x(x 1)(x+ 2) = 0
a dostaneme ko reny x1 = 2; x2 = 0; x3 = 1:
Hled ame tedy rovnice te cen dan e k rivky v bodech T1 = [ 2;0]; T2 = [0;0]; T3 = [1;0]:
Pro sm ernici te cny v libovoln em bod e [x0;y(x0)] plat
k = y0(x0):
Proto ze
y0(x) = 3x2 + 2x 2;
dostaneme
k = y0(x0) = 3x20 + 2x0 2:
Sm ernice te cen uva zovan e k rivky v bodech T1; T2; T3 jsou
k1 = y0( 2) = 6;
k2 = y0(0) = 2;
k3 = y0(1) = 3:
Po dosazen do rovnice te cny y f(x0) = f0(x0)(x x0) obdr z me
pro T1 = [ 2;0] a k1 = 6 : y = 6(x+ 2) tj: 6x y + 12 = 0
T2 = [0;0]; k2 = 2 : y = 2x tj: 2x+y = 0
T3 = [1;0]; k3 = 3 : y = 3(x 1) tj: 3x y 3 = 0:
Matematick y semin a r 68
y = f(x)
–2
2
4
6
y
–3 –2 –1 1 2 3x
Obr azek 9.3: Te cny ke k rivce y = x3 +x2 2x v jejich pr use c c ch s osou x
9.3 L Hospitalovo pravidlo
K aplikac m diferenci aln ho po ctu pat r metoda v ypo ctu limit pomoc derivac .
Vyjad ruje ji l Hospitalovo pravidlo:
Necht’ funkce f;g maj v bod e x0 2R funk cn hodnoty f(x0) = g(x0) = 0 a necht’
existuje lim
x!x0
f0(x)
g0(x): Potom existuje tak e limx!x0
f(x)
g(x) a plat
limx!x
0
f0(x)
g0(x) = limx!x0
f(x)
g(x):
Pozn amka. L Hospitalovo pravidlo plat i v p r pad e, kdy funkce f a g maj v bod e
x0 2R nevlastn limitu, tzn. plat :
Jestli ze limx!x0 f(x) = limx!x0 g(x) = 1 a existuje limx!x
0
f0(x)
g0(x); potom existuje tak e
limx!x
0
f(x)
g(x) a plat
lim
x!x0
f0(x)
g0(x) = limx!x0
f(x)
g(x):
Fakulta elektrotechniky a komunika cn ch technologi VUT v Brn e 69
P r klad 9.6 U zit m l Hospitalova pravidla vypo ct ete limity funkc :
a) limx!0 sin 2xsin 5x b) lim
x!1
lnx
x2 + 6 c) limx! 1
x3 + 1
x5 + 1
Re sen :
a) limx!0 sin 2xsin 5x = limx!0 (sin 2x)
0
(sin 5x)0 = limx!0
2 cos 2x
5 cos 5x =
2 cos 0
5 cos 0 =
2
5:
b) limx!1 lnxx2 + 6 = limx!1 (lnx)
0
(x2 + 6)0 = limx!1
1
x
2x = limx!1
1
2
1
x2 =
1
2 0 = 0
c) lim
x! 1
x3 + 1
x5 + 1 = limx! 1
(x3 + 1)0
(x5 + 1)0 = limx! 1
3x2
5x4 =
3
5
P r klad 9.7 Vypo ct ete derivace funkc :
a) y = x3 7x b) y = ex(x2 1) c) y = x+ 5x2 d) y = x 2x+ 2
[a) 3 x2 7; b) ex(x2 + 2x 1); c) ( x 10)=x3; d) 4=(x+ 2)2]
P r klad 9.8 Ur cete derivaci funkc :
a) y =psinx b) y = 12(x sinxcosx) c) y = esinx d) y = cosex
[a) cosx=2psinx; b) sin2 x; c) esinx cosx; d) ex sinex]
P r klad 9.9 Ur cete rovnici te cny ke grafu funkce f : y = x
2 2x
x2 4 v bod e T = [1;?]:
[2x 9y + 1 = 0]
P r klad 9.10 Ur cete rovnice te cen ke k rivce y = x3 + x2 6x v jejich pr use c c ch s
osou x:
[15x y + 45 = 0; 6x+y = 0; 10x y 20 = 0]
P r klad 9.11 U zit m l Hospitalova pravidla vypo ct ete limity funkc :
a) lim
x!0
sin 8x
3x b) limx!1
2x 7x2
x2 + 6 c) limx! 1
x+ 1p
x+ 5 2
[a) 8=3; b) 7; c) 4]
Matematick y semin a r 70
10 Goniometrick e funkce
10.1 Obloukov a m ra
V matematice, ve fyzice a v technick e praxi se pou z v a na ur cov an velikosti uhlu tzv.
obloukov a m ra.
Je d an uhel ABC: Sestroj me kru znici se st redem v bod e B; (ve vrcholu uhlu). Jestli ze
r je polom er kru znice a s je d elka oblouku kru znice uvnit r uhlu ABC; potom velikost
tohoto uhlu je sr radi an u.
\ABC = sr rad:
Toto c slo nez avis na polom eru kru znice.
B
s
r
C
A
P r klad 10.1 Vyj ad rete uhel 15 v obloukov e m re.
Re sen :
Kru znice m a d elku 2 r a velikost uhlu 360 v radi anech je 2 rr = 2 :
Z toho 1 = 2 360 = 180 radi an u.
Tedy 15 = 15 180 = 12:
D ale budeme pracovat s orientovan ymi uhly. Orientovan y uhel si m u zeme p redstavit
jako po c ate cn a koncovou polohu polop r mky (nejl epe kladn e poloosy Ox) ot a cej c se
kolem sv eho po c atku a to v jednom ze dvou navz ajem opa cn ych smysl u. Bud’ proti po-
hybu hodinov ych ru ci cek, tak dostaneme kladn e uhly (nap r. 2;6 ; atd),