Skripta elektrotechnika II

cí fázor
Důležitější než okamžitá hodnota je pro praxi amplituda a počáteční fáze sledované
veličiny, kterou vyjadřuje fázor v měřítku amplitudy
. ( 3.3 - 4 )
ψj
mm
eU .=U
Jak je z obr.3.3 - 1 vidět, je tento fázor totožný s rotujícím fázorem v okamžiku t = 0 .
V elektrotechnických aplikacích často pracujeme s efektivními hodnotami veličin, proto
zavádíme fázor i v měřítku efektivních hodnot. Pro fázor v měřítku efektivní hodnoty napětí
tak můžeme psát
. ( 3.3 - 5 )
ψj
eU.=U
Velikost jeho modulu je potom rovna efektivní hodnotě U = U
m
/ 2 .
V komplexní rovině obvykle zobrazujeme více fázorů najednou. Takové zobrazení
nazýváme fázorovým diagramem. Příklad fázorového diagramu, ze kterého je názorně vidět
fázový posun mezi napětím a proudem ϕ = ψ
u
− ψ
i
, je na obr. 3.3 -2a. Jak je z obrázku
patrné, fázory U
m
a I
m
nám jako symboly v komplexní rovině představují amplitudy a fáze
skutečných veličin obvodu, které jsou zobrazeny pomocí časových diagramů na obr.3.3 -2b.
Fázory jsou používány jako symboly, které při analýze zastupují skutečné fyzikální
veličiny. Proto bývá označována tato metoda analýzy také jako symbolická metoda. Při
matematických operacích v komplexní rovině můžeme fázory vyjádřit pomocí komplexních





16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně


Obrázek 3.3.2 Fázorový diagram Obrázek 3.3.3 Časové průběhy

čísel. Nejdůležitější pravidla pro základní operace s fázory jsou shodná s pravidly
komplexního počtu a stručně je zopakujeme v následujícím odstavci.
Poznámka:
Rotující fázor (komplexor) budeme v textu označovat malým tučným písmenem u(t), i(t),
fázory velkým tučným písmenem U, I ,U
m
, I
m
. Jejich absolutní velikosti (moduly) budeme
označovat velkou kurzivou tedy U
m
, I
m
. Při manuálním zápisu fázorů se fázory označují
velkými písmeny s pomocnými znaky (například stříškou nad písmenem U ).
ˆ
3.3.1 Základní operace symbolického počtu
Základní operace s harmonicky časově proměnnými veličinami můžeme převést na
podstatně jednodušší operace s fázory v komplexní rovině. Fázor vyjádřený komplexním
číslem můžeme vyjádřit ve složkovém tvaru

U = u´+ j u´´, (3.3 - 6)
kde u´ a u´´ jsou reálná a imaginární složka komplexního čísla, j = 1− je imaginární
jednotka. Jak je vidět z obr.3.3-3, pro jednotlivé složky fázoru platí
u´=Ucosψ, u´´=Usinψ. (3.3 - 7)
Modul fázoru (absolutní hodnotu, velikost) určíme jako
U = ´´ ´
22
uu + . (3.3 - 8)
Pro argument komplexního čísla platí
m(U) / Re(U ψ = arctg [I )] = arctg (u´´/ u´) . (3.3 - 9)
Argument (úhel) ψ vyjadřujeme v radiánech, ale při
numerických výpočtech se v elektrotechnické praxi často
setkáváme i s vyjádřením úhlu ve stupních.
Přitom úhel ve stupních (jako číslo v desítkové soustavě
s desetinami a setinami stupně) získáme z úhlu v radiánech
vynásobením konstantou 180 /π = 57,2958.

Obrázek 3.3.4 Fázor

Při výpočtu argumentu je nutno brát v úvahu, ve kterém kvadrantu komplexní roviny
komplexní číslo leží. Pokud je , hodnota argumentu je dána výrazem (3.3 - 9) a může se
pohybovat v intervalu
0>′u
( )2/,2/ ππ +− . Je-li 0=′u , číslo je čistě imaginární, uj ′′=U a
2/πψ += pro 0 proa 0 2/ ′′ uu πψ . Je-li reálná část komplexního čísla záporná,
fázor leží ve 2. nebo 3. kvadrantu. Je-li dále 0>′′u (2. kvadrant), platí
)/( uuarctg ′′′−=πψ , (3.3 - 10)
je-li u (3. kvadrant), pak 0 0. (Je
vidět, že v intervalu, kde jsou napětí i
proud stejného znaménka , je
okamžitý výkon kladný.)
Ze vztahu (3.6 - 5)je patrné, že pro
rezistor, u kterého je fázový posun
mezi napětím a proudem
ϕ = 0 , je stálá složka rovna amplitudě
kmitavé složky a výkon je stále kladný

Obrázek 3.6.1 Okamžitý výkon

(obr.1.6-2a). Rezistor tedy v každém okamžiku bere výkon z vnějšího obvodu. U induktoru
(kapacitoru) je fázový posun ϕ = + π/2 (- π/2 ), proto je stálá složka výkonu rovna nule,
energie se jen přelévá ze zdroje do spotřebiče a naopak. V tomto případě hovoříme o výkonu
jalovém (obr.3.6 - 2b). Pro praxi jsou velmi důležité výkonové veličiny charakterizující
průměrné účinky výkonu po dobu periody.

Činný výkon je definován jako střední hodnota okamžitého výkonu za dobu periody

P =
∫
T
dttp
T
0
)(
1
. (3.6 - 6)

26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně







Obrázek 3.6.2 Okamžitý výkon (R) Obrázek 3.6.3 Okamžitý výkon (C, L)

Dosadíme-li do vzorce za okamžitý výkon ze vztahu ( 3.6-5), po integraci člen s kmitavou
složkou vymizí a zůstane jen stálá složka. Činný výkon je tedy
ϕcos.IUP= (3.6 - 7)
a udává se ve wattech [W]. Jeho velikost závisí nejen na velikosti napětí U a proudu I ale
také na cosϕ, který se nazývá účiníkem
cosϕ =
IU
P
.
. (3.6 - 8)
Je roven jedné při čistě odporové zátěži a menší než jedna, jde-li o obecnou zatěžovací
impedanci. (Je-li P 0, tj. cosϕ 0, je dvojpól pasivní, neboť u něho převažuje spotřeba
výkonu z vnějšího obvodu. Mezní případ, kdy P = 0 je možný jen u ideálních akumulačních
prvků. Je-li P < 0, to znamená, že cos ϕ < 0 (
≥ ≥
ϕ > π/2 nebo ϕ < - π/2 ), je uvažovaný dvojpól
zdrojem, převažuje u něho dodávka výkonu do vnějšího obvodu.)
Dalšími výkonovými parametry, užívanými zejména v energetice, jsou jalový výkon a
zdánlivý výkon.
Jalový výkon je definován vztahem
ϕsin.IU=Q . (3.6 - 9)
Pro odlišení jeho charakteru od výkonu činného (nekoná práci) se udává ve voltampérech
reaktančních [var].
Zdánlivý výkon je definován jako součin efektivních hodnot napětí a proudu
S = U. I (3.6 - 10)
a udává se ve voltampérech [VA]. Charakterizuje výkonové možnosti energetických zařízení,
např. generátorů. Ty jsou navrhovány na určité jmenovité napětí a na určitý jmenovitý proud.
Součin těchto veličin, tj.zdánlivý výkon, charakterizuje pak energetické možnosti zařízení.
Jak je vidět ve srovnání se vztahem (1.6 - 7), je zdánlivý výkon roven maximálnímu
činnému výkonu, který je možné obdržet při daných hodnotách napětí U a proudu I .
Pro výpočet činného, jalového i zdánlivého výkonu je možno využít symbolického vyjádření
harmonických veličin pomocí fázorů. Jestliže předpokládáme u pasivního dvojpólu fázory
napětí a proudu v měřítku efektivních hodnot
, I , (3.6 - 11), (3.6 - 12)
u
j
eU
ψ
.=U
i
j
eI
ψ
.=
potom formální součin

S =
∗
U.I = [ ] jQPjIUeIUeIUeIe
jjjj
iuiu
+=+===
−−
ϕϕ
ϕψψψψ
sincos......
)(
U (3.6 - 13)

označujeme jako komplexní výkon. V uvedeném vztahu vystupuje komplexně sdružený
fázor proudu proto, aby ve výpočtu fázový posun odpovídal zavedené definici
(rozdílu počáteční fáze napětí a proudu ϕ =
=
∗
I
i
j
eI
ψ−
.
ψ
u
- ψ
i
).
Při použití fázorů v měřítku amplitud je komplexní výkon m
∗
= IUS .
2
1
m
. Ze vztahu
(3.6 - 13) vyplývá, že činný výkon P je reálná část, jalový výkon Q imaginární část a
zdánlivý výkon S modul komplexního výkonu S
Elektrotechnika II 27
P = Re{S}, Q = Im{S}, S = S .

Jsou-li k dispozici pro výpočet jenom napětí nebo proud a imitance dvojpólu, je možno
vyjádřit výkon za pomoci zobecněného Ohmova zákona také jako

S =
∗
U.I = = = . (3.6 - 14)
∗
Z.I.I
2
IZ.
∗∗∗
= YYU.U .
2
U

Příklad 3.6 –1:
Na svorkách lineárního dvojpólu bylo naměřeno napětí u(t) =U ()
um
t ψω +sin =
= 30 sin 314(t) [V] a proud tekoucí dvojpólem i(t) = ( )
im
tI ψω +sin = 1,5 sin(314t – 0,6)
[A].Vypočítejte činný, jalový, zdánlivý a komplexní výkon dodávaný dvojpólu.

Fázový posun je ϕ = ψ
u
- ψ
i
= 0 - (-0,6) = 0,6 [rad],
zdánlivý výkon S = U.I =
2
mm
IU
= 0,5.30.1,5 = 22,5 [VA],
činný výkon P = S.cosϕ = 22,5.cos0,6 = 18,57 [W],
jalový výkon Q = S sinϕ =22,5.sin0,6= 12,70 [var],
komplexní výkon S = P+jQ = 18,57 + j 12,70 = 22,5.
6,0
.
j
e [VA].
Komplexní výkon pomocí fázorů m
∗
= IUS .
2
1
m
= 0,5.30.1,5 . = 22,5. [VA].
6,0j
e
6,0j
e

3.6.1 Výkonové přizpůsobení
Také v obvodech s harmonickým ustáleným stavem nás zajímá podmínka přenosu
maximálního výkonu ze zdroje do pasivní zátěže. Obecnou pasivní zátěž budeme
charakterizovat její impedancí Z =R+jX . Jako aktivní zdroj (dvojpól) budeme uvažovat
náhradní zapojení ideálního harmonického zdroje napětí U
i
se sériovou vnitřní impedancí
Z
i
=R
i
+j X
i
(obr.3.6-3). Pro činný výkon pasivního dvojpólu podle výše uvedeného vztahu
platí
P = Re{S}= Re{
∗
U.I }= Re













+



+
∗
ZZ
U
ZZ
Z
U
i
i
i
i
=
)
=Re
()( )[]()([]







+−++++
+
iiii
i
XXjRRXXjRR
jXR
U
.
2
=
()( )
22
2
.
ii
i
XXRR
RU
+++
. (1.6 - 15)

Z posledního výrazu je zřejmé, že při splnění první podmínky maxima , tj. X = -X
i
, se vyraz
zjednoduší a obdržíme vztah, pro který jsme už našli v předchozí části předmětu podmínku
pro maximální přenos výkonu a to R = R
i
. Obě podmínky

R=Ri , X=-Xi (1.6 - 16)

můžeme zapsat souhrnně jako

. (1.6 - 17)
∗
=
i
ZZ

Obrázek 3.6.4 Výkon Maximální přenesený výkon je pak
28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
P
max
=
i
i
R
U
4
2
(1.6 - 18)
a účinnost je
RR
R
P
P
ii
+
==η = 0,5 . (1.6 - 19)

V některých případech můžeme ovlivnit pouze velikost modulu impedance pasivního
dvojpólu a potom hovoříme o částečném nebo neúplném přizpůsobení. Při něm je
samozřejmě přenesený výkon již menší než při úplném přizpůsobení.

3.6.2 Shrnutí podkapitoly 3.6
Symbolická metoda je s výhodou využívána i při výpočtu výkonu. Formální součin
S=
∗
U.I = [ ] jQPjIUeIUeIUeIe
jjjj
iuiu
+=+===
−−
ϕϕ
ϕψψψψ
sincos......
)(
U
je označován jako komplexní výkon, jeho reálná část P určuje reálný výkon, imaginární část
Q jalový výkon a jeho modul S výkon zdánlivý .
K maximálnímu přenosu výkonu ze zdroje do zátěže dojde v případě úplného
přizpůsobení, kdy pro impedanci zdroje a zátěže platí : .
∗
=
i
ZZ

3.6.3 Kontrolní otázky a příklady k podkapitole 3.6
Příklad 3.6 –2:
Určete maximální možný činný výkon, který může dodat zdroj harmonického napětí
u(t) = )(
um
tU ψω +sin = 325 sin (314t) [V] o vnitřní impedanci Z
i
= 120 +j 10 [Ω] do zátěže
Z.

3.7 Metody analýzy lineárních obvodů v harmonickém ustáleném stavu
Z předchozích kapitol vyplývá, že základní operace s harmonicky proměnnými
veličinami v časové oblasti můžeme převést na podstatně jednodušší operace s fázory
v komplexní rovině. Metoda analýzy, která využívá komplexory (rotující fázory) a fázory
jako symboly, které zastupují skutečné fyzikální veličiny (okamžité hodnoty harmonického
napětí a proudu), se nazývá symbolická analýza. Při její aplikaci je však nutno stále mít na
paměti, že představuje určitý druh transformace a odráží jen určitým způsobem skutečné
fyzikální závislosti obvodů v harmonickém ustáleném stavu.

3.7.1 Základní vztahy a zákony v symbolickém tvaru

Protože fázory zastupují skutečné fyzikální veličiny lineárních obvodů, musí platit při
operacích s nimi stejné zákonitosti a vztahy, se kterými jsme se již dříve při popisu lineárních
obvodů setkali, To naznačily již i předchozí poznatky o obecných vlastnostech základních
Elektrotechnika II 29
pasivních prvků a vyústily do definice obecných imitancí. U nich platí mezi fázory napětí a
proudu zobecněný Ohmův zákon
U = Z.I , případně I = Y.U . (3.7 - 1)
Při analýze obvodů můžeme vycházet i z obecné platnosti Kirchhoffových zákonů
v symbolickém tvaru. Pro libovolný uzel obvodu můžeme psát pro fázory proudu 1.Kz, pro
libovolnou obvodovou smyčku pak 2.Kz v symbolickém tvaru :

, . (3.7 - 2), (3.7 - 3) 0
1
=
∑
=
n
i
i
I 0
1
=
∑
=
n
i
i
U

Pro příklad z obr. 3.7-1 tedy platí I
1
+ I
2
– I
3
= 0. Podobně můžeme aplikovat 2.Kz pro fázory
napětí v obvodové smyčce z příkladu na obr.3.7 – 2.
U
1
+ U
2
– U
3
= 0 .
(Přes to, že fázory představují amplitudy a fáze, ne okamžité hodnoty harmonicky
proměnných veličin, přiřazujeme jim zde směr pomocí orientačních šipek napětí a proudu

v duchu již dříve uvedených
zásad.)
V případě, že řešíme
lineární obvody v ustáleném
harmonickém stavu při jediném
kmitočtu, mezi fázory potom platí

Obrázek 3.7.1 Příklad uzlu Obrázek 3.7.2 Příklad smyčky

také princip superpozice. Všechny metody řešení obvodů vycházející z jeho aplikace
mohou být tedy využity i v symbolické podobě. Při analýze obvodů pomocí fázorů tak
můžeme použít všech metod řešení obvodů v ustáleném stejnosměrném stavu, se kterými
jsme se seznámili v minulém semestru.

3.7.2 Metoda postupného zjednodušování
Je jednou z metod pro speciální použití a vychází z toho, že v obvodě můžeme postupně
nahrazovat v jednotlivých větvích sériově řazené impedance jedinou impedancí, která je
součtem dílčích impedancí
Z =
∑
=
n
i 1
i
Z . (3.7 - 4)
Podobně pak nahrazujeme paralelní spojení admitancí výslednou admitancí, která je
součtem dílčích admitancí
Y =
∑
=
n
i 1
i
Y . (3.7 - 5)
(Pro paralelní spojení dvou dvojpólů s impedancemi Z
1
a Z
2
platí pro výslednou impedanci
21
21
ZZ
ZZ
Z
+
=
.
.)
Na výsledný jednoduchý obvod potom můžeme aplikovat zobecněný Ohmův zákon a snadno
určit hledanou obvodovou veličinu.
30 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Použití uvedené metody ukážeme postupně na několika příkladech.

Příklad 3.7 -1
Vypočítejte výslednou impedanci sériového spojení induktoru L, jehož reaktance je
ωL =50 [Ω] , kapacitoru o reaktanci 1/ ωC = 30 [Ω] a rezistoru o odporu R = 120
[Ω].



Z = R + jωL +1/(j ωC) = R + jωL –j /(ωC) = R + j[ ])1/( Cωω -L( =
= 120 + j50 –j30 = 120 + j20 =121,6553 .e [
165,0j
Ω].

Příklad 3.7 -2
Určete výslednou impedanci sériového spojení rezistoru o odporu R = 100 [Ω] a
kapacitoru C, jehož reaktance je 1/ωC =100 [Ω]. Vypočítejte fázory napětí na jednotlivých
prvcích a fázor celkového napětí na sériovém spojení, protéká-li větví proud I = 1 [A].

Z = Z
1
+ Z
2
= R +1/(j ωC) =100 –j100
=
22
100100 + . =
78,0j
e
−
=141,4214. [Ω] .
78,0j
e
−

U
1
= U
R
=

Z
1
. I = R.I = 100 .1 =
=100+j0=100 [V] .
0j
e
U
2
= U
C
= Z
2
. I = 1/(j ωC).I = -j100 .1 = 0 - j100 =
=100 [V] .
2/πj
e
−
U

= U
1
+ U
2
= 100 + j0 - j100 = 100 –j 100 =
=141,4214 [V] .
78,0j
e
−


Poznámka:
Je vidět, že pro napětí na jednotlivých impedancích platí
2
1
U
U
=
2
1
Z
Z
=
)/(1 Cj
R
ω
.
Zapojení tedy představuje kmitočtově závislý dělič napětí. (O jeho vlastnostech a použití
bude podrobně pojednávat další část kapitoly.) Podobně jako v případě rezistorových obvodů
pro fázory napětí na jednotlivých prvcích děliče platí
U
1
=
21
1
ZZ
Z
U
+
.
,
U
2
=
21
2
ZZ
Z
U
+
.
.

Pozor, pro velikosti amplitud napětí jednotlivých fázorů zde ale platí :

U
1
= /

U
1
/ =
2
2
2
1
1
.
ZZ
Z
+
U a U
2
= /

U
2
/ =
2
2
2
1
2
.
ZZ
Z
+
U


Elektrotechnika II 31
2,0j
e
2
1
I
I
2
1
Y
Y
Cj
G
ω
21
YY
Y
+
1
21
YY
Y
+
2
2
2
2
1
1
.
YY
Y
I
+
2
2
2
1
2
.
YY
Y
I
+
( )t
m
ωsin
0j
e
9184,0j
Z
U
e 197,6715.
230
j0,9184
9184,0j−
2 2
Příklad 3.7 -3
Vypočítejte výslednou admitanci paralelního spojení rezistoru o odporu R = 20 [Ω] a
kapacitoru C, jehož reaktance je 1/ωC =100 [Ω]. Určete fázory proudů, které protékají
jednotlivými admitancemi a fázor celkového proudu, je-li na svorkách obvodu připojeno
napětí U = 100 [V].

Y = Y
1
+ Y
2
= G +jωC =0,05 + j0,01 =[ S].
I
1
= U. Y
1
= U. G = 100 .0,05 = 5 + j0 [A] .
I
2
= U. Y
2
= U. jωC = 100 .0,01j = 0 + j [A] .
I = I
1
+ I
2
[A] .= 5 + j = 5,599

Poznámka:
Je vidět, že obvod představuje kmitočtově závislý dělič proudu, neboť pro něj platí
= = . Pro jednotlivé proudy je možno psát podobně jako u rezistorových obvodů
I
1
= I.
,
I
2
= I. .
Pozor , pro velikosti modulů fázorů jednotlivých proudů ale platí :
I
1
= /

I
1
a I
2
= /I
2
./ = / =
Příklad 3.7 -4
V obvodu uvedeném na obr.3.7 -3a vypočítejte: a) amplitudu a fázový posun proudu, který
protéká sériovým spojením induktoru o indukčnosti L =0,5 [Η] a rezistoru o odporu R = 120
[Ω], b) výkon (komplexní, činný, jalový), který je dodáván do obvodu zdrojem
harmonického napětí u(t) = U [V] . Napájecí napětí má kmitočet sítě f = 50 [Hz],
efektivní hodnota napětí zdroje je U = 230 [V]. Schéma analyzovaného obvodu s fázory je
na obr. 3.7 -3b
Ad a)
U = 230. = 230 [V] . Celková impedance Z = Z
1
+ Z
2
= R + jωL=
= 120 + j 2.π.50 . 0,5 =120 + j 157,0796 = 197,6715. e [Ω].

Obvod můžeme zjednodušit na elementární obvod (obr.3.7-3c) ,ve kterém platí









Obrázek 3.7.3 K příkladu 3.7-4

I = =1,1635. e [Α], amplituda je tedy =
I
m
= . I = . 1,1635 = 1,6455 [Α] , fázový úhel ψ
i
= -0,9184 [rad] ,
32 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

okamžitá hodnota proudu je i(t) = 1,6455sin [A] . = ( )
im
tI ψω +sin ( )9184,0100 −tπ
∗ 9184,0j 9184,0j
}S }S

Ad b)
S = U.I = 230 . 1,1635 e = 267, 6158. e = 162, 4609 + j212,6609 [VA]
P = Re{ =162, 4609 [W], Q = Im{ = 212,6609 [var], S = /S/= 267, 6158 [VA],
cosϕ = P/S= 0,6071 .


3.7.3 Metoda úměrných veličin

V jednoduchých obvodech s jedním zdrojem je často výhodné místo metody
postupného zjednodušování použít metodu úměrných veličin. Její princip byl vysvětlen u
nesetrvačných obvodů v předchozí části předmětu. Použití metody při řešení obvodů pomocí
fázorů proto jen stručně ukážeme na jednoduchém příkladu.
Příklad 3.7 -4a
Určete výstupní napětí příčkového článku z obr.3.7-3a, který je napájen zdrojem
harmonického napětí u(t) = ) U (t
m
ωsin , jsou