Skripta elektrotechnika II

.......42
O ÁZEK 3.8.11 V ÁNEK RC O ÁZEK 3.8.12 F . DIAGRAMBR ŠEPROPUSTNÝ ČL BR ÁZOR .....43
O ÁZEK 3.8.13 INTEGRAČNÍ LR ČLÁNEK O EK 3.8.14 D IVAČNÍ RL ČLÁNEKBR BRÁZ ER .......44
O ÁZEK 3.8.15 RLC OBVOD BR ............................................................................................44
O ÁZEK 3.8.16 R NÍ KŘIVKY O EK 3.8.17 Š KA PÁSMA BBR EZONANČ BRÁZ ÍŘ ......................46
O ÁZEK 3.8.18 F ZOROVÝ DIAGRAMBR Á ..................................................................................46
O ÁZEK 3.8.19 P ALELNÍ REZONANČNÍ OKRUHBR AR .................................................................47
O ÁZEK 3.8.20 S IOVÝ RLC OBVOD O ÁZEK 3.8.21 P ELNÍ RLC OBVODBR ÉR BR ARAL .48
O ÁZEK 3.8.22 P ACEBR RINCIP KOMPENZ .................................................................................48
O ÁZEK 4.1.1 F RAM A ČASOVÝ PRŮBĚH SOUMĚRNÉBR ÁZOROVÝ DIAG ....................................51
O ÁZEK 4.1.2 F RAM NESOUMĚRNÉBR ÁZOROVÝ DIAG ..............................................................52
O ÁZEK 4.1.3 Z ZENÍ OPERÁTORUBR OBRA ................................................................................53
O ÁZEK 4.1.4 N ANÝ O EK 4.1.5 V NÉ TROJFÁZOVÉ ZDROJE BR EVÁZ BRÁZ ÁZA ..........53
O ÁZEK 4.1.6 F Á A SDRUŽENÁ NAPĚTÍ A PROUDY TROJFÁZOVÉHO ZDROJEBR ÁZOV .................54
O ÁZEK 4.1.7 D UMĚRNÉ TROJFÁZOVÉ SOUSTAVY BR IAGRAMY NESO .......................................54
O ÁZEK 4.1.8 F Á A SDRUŽENÁ NAPĚTÍ A PROUDY TROJFÁZOVÉHO ZDROJEBR ÁZOV .................55
O ÁZEK 4.1.9 Š MĚRNÁ SOUSTAVA NAPĚTÍ A JEJÍ FÁZOROVÝ DIAGRAMBR ESTIFÁZOVÁ SOU .....57
O ÁZEK 4.2.1 T OJFÁZOVÝ SPOTŘEBIČ O ZEK 4.2.2 F ZOROVÝ DIAGRAM BR R BRÁ Á .................58
Elektrotechnika II 7
O ÁZEK 4.2.3 T OJFÁZOVÝ SPOTŘEBIČ SPOJENÝ DO TROJÚHELNÍKA....................................59 BR R
O ÁZEK 4.2.4 Č Ý PRŮBĚH OKAMŽITÉHO VÝKONU P( ) ROJFÁZOVÉ SOUSTAVY A.......60 BR ASOV T T
O ÁZEK 4.2.5 K ICE PŘENOSU ELEKTRICKÉ ENERGIE .............................................61 BR EKONOM
O ÁZEK 4.2.6 K 4.2-2 PŘEPÍNATELNÉ SPOJENÍ SPOTŘEBIČE.................................62 BR PŘÍKLADU
O ÁZEK 4.3.1 N ĚRNÝ ZDROJ - - Č............................64 BR ESOUM VEDENÍ NESOUMĚRNÝ SPOTŘEBI
O ÁZEK 4.3.2 T RAFICKÝ DIAGRAM..............................................................................65 BR OPOG
O ÁZEK 4.3.3 K 4.3-2 NA ANALÝZU TROJFÁZOVÉHO OBVODU............................66 BR PŘÍKLADU
O ÁZEK 4.4.1 T JFÁZOVÁ NESOUMĚRNÁ SOUSTAVA A JEJÍ SOUMĚRNÉ SLOŽKY.................69 BR RO
O ÁZEK 4.4.2 N MĚRNÝ TROJFÁZOVÝ ZDROJ - - ĚRNÝ SPOTŘEBIČ...........71 BR ESOU VEDENÍ SOUM
O ÁZEK 5.2.1 Z Y LINEÁRNÍCH OBVODŮ...........................................76 BR ÁKLADNÍ PASIVNÍ PRVK
O ÁZEK 5.3.1 O ODY 1. ŘÁDU...........................................................................................81 BR BV
O ÁZEK 5.3.2 V JENÍ KONDENZÁTORU.............................................................................81 BR YBÍ
O ÁZEK 5.3.3 P BĚH NAPĚTÍ A PROUDU PŘI VYBÍJENÍ KONDENZÁTORU ............................82 BR RŮ
O ÁZEK 5.3.4 P BĚH PROUDU V OBVODU RL.....................................................................84 BR RŮ
O ÁZEK 5.3.5 P BĚHY NAPĚTÍ PŘI NABÍJENÍ KONDENZÁTORU .........................................85 BR RŮ
O ÁZEK 5.3.6 DĚJ V OBVODU RL PŘI NAPÁJENÍ HARMONICKÝM NAPĚTÍM BR ...........................86
O ÁZEK 5.3.7 P ICKÉ OBDÉLNÍKOVÉ NAPĚTÍ NA VSTUPU OBVODU...............................87 BR ERIOD
O ÁZEK 5.3.8 PŘECHODNÝ DĚJ V OBVODU RC BR .....................................................................87
O ÁZEK 5.3.9 P BĚH NAPĚTÍ NA REZISTORU V USTÁLENÉM PERIODICKÉM STAVU.............89 BR RŮ
O ÁZEK 5.3.10 O OVĚ KAPACITNÍ DĚLIČ ( ÁNEK)........................................89 BR DPOR VAZEBNÍ ČL
O ÁZEK 5.3.11 P BĚHY NAPĚTÍ NA KONDENZÁTORECH
21
a CC .........................................92 BR RŮ
O ÁZEK 5.3.12 P BĚHY NAPĚTÍ NA KONDENZÁTORECH C
1
A C V ZÁVISLOSTI NA ČASE....92 BR RŮ
2
O ÁZEK 5.3.13 Z AM PŘECHODNÉHO DĚJE V SOUŘADNÉ SOUSTAVĚ................................93 BR ÁZN
O ÁZEK 5.3.14 S IOVÝ OBVOD RLC.................................................................................94 BR ÉR
O ÁZEK 5.3.15 A RIODICKY TLUMENÝ DĚJ V OBVODU RLC .............................................95 BR PE
O ÁZEK 5.3.16 K ITAVÝ DĚJ V OKRUHU RLC ....................................................................96 BR M
O ÁZEK 5.3.17 S .TRAJEKTORIE......................................................................................97 BR TAV
O ÁZEK 5.3.18 S OVÉ TRAJEKTORIE PŘECHODNÝCH DĚJŮ V OKRUHU RLC ....................97 BR TAV
O ÁZEK 5.3.19 S OVÉ TRAJEKTORIE DĚJŮ V OKRUHU RLC.............................................98 BR TAV
O ÁZEK 5.5.1 S HÉMATICKÉ ZNÁZORNĚNÍ VYUŽITÍ LAPLACEOVY TRANSFORMACE.....102 BR C
O ÁZEK 5.5.2 K ENÍ ČASOVĚ OMEZENÝCH FUNKCÍ...................................................104 BR E ZNAČ
O ÁZEK 5.5.3 S APĚTÍ................................................................................................106 BR KOK N
O ÁZEK 5.5.4 JEDNORÁZOVÝ OBDÉLNÍKOVÝ IMPULSBR .........................................................106
O ÁZEK 5.5.5 JEDNORÁZOVÝ TROJÚHELNÍKOVÝ O EK 5.5.6 H .........108 BR BRÁZ ARMONICKÝ
O ÁZEK 5.5.7 O OD K PŘÍKLADU 5.5-11..........................................................................113 BR BV
O ÁZEK 5.5.8 N R. SCHÉMATA KAPACITORU O EK 5.5.9 N R. .........114 BR ÁH BRÁZ ÁH SCHÉMATA
O ÁZEK 5.5.10 K PŘÍKLADU 5.5-12 BR ...................................................................................114
O ÁZEK 5.5.11 Z ODUŠENÍ SCHÉMATU.........................................................................115 BR JEDN
O ÁZEK 5.5.12 K PŘÍKLADU 5.5-13BR ....................................................................................116
O ÁZEK 5.5.13 V ÍTANÝ PRŮBĚH NAPĚTÍ NA REZISTORU ...........................................117 BR YPOČ
O ÁZEK 5.5.14 P IODICKÝ PILOVITÝ.................................................................................118 BR ER
O ÁZEK 5.5.15 P IODICKÁ ČÁST ODEZVY........................................................................120 BR ER
O ÁZEK 5.6.1 Z DNÍ VSTUPNÍ SIGNÁLY ......................................................................122 BR ÁKLA
O ÁZEK 5.6.2 INTEGRAČNÍ OBVODY RCBR .............................................................................123
O ÁZEK 5.6.3 PŘEMOSTĚNÝ ČLÁNEK T BR .............................................................................125
O ÁZEK 5.7.1 K D MELOVA INTEGRÁLU......................................................129 BR ODVOZENÍ UHA
O ÁZEK 5.7.2 K ÁTKÝ IMPULS...........................................................................................130 BR R
O ÁZEK 6.2.1 S MATICKÉ ZNÁZORNĚNÍ DVOJVODIČOVÉHO VEDENÍ..............................134 BR CHÉ
O ÁZEK 6.2.2 N ADNÍ SCHÉMA ELEMENTÁRNÍHO ÚSEKU VEDENÍ DÉLKY DX...............134 BR ÁHR
O ÁZEK 6.3.1 P RY NA VEDENÍ NEKONEČNÉ DÉLKY......................................................139 BR OMĚ
8 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
O ÁZEK 6.3.2 P BĚH NAPĚTÍ NA VEDENÍBR RŮ .........................................................................140
O ÁZEK 6.3.3 T OJROZMĚRNÝ MODEL ROZLOŽENÍ NAPĚTÍ U( ,T)BR R X .....................................140
O ÁZEK 6.3.4 O DENÍBR DRAZ VLNY NA VE .............................................................................141
O ÁZEK 6.3.5 K 6.2-2BR PŘÍKLADU .......................................................................................143
O ÁZEK 6.3.6 K PŘÍKLADU 4.3 BR .........................................................................................144
O ÁZEK 6.3.7 P BĚHY NAPĚTÍ NA NEPŘIZPŮSOBENÉM VEDENÍ BR RŮ .......................................148
O ÁZEK 6.4.1 P NÁ VLNA NA VEDENÍ : ) ENÁ, B) ENÁBR OSTUP A NETLUM TLUM .......................152
O ÁZEK 6.4.2 R PLITUDY NAPĚTÍ A PROUDU PODÉL VEDENÍBR OZLOŽENÍ AM ..........................152
O ÁZEK 6.4.3 V NÍ IMPEDANCE VEDENÍ NAKRÁTKOBR STUP ....................................................154
O ÁZEK 6.4.4 V NAPRÁZDNOBR EDENÍ ZAKONČENÉ ...............................................................155
O ÁZEK 6.4.5 K DANCI VEDENÍ ZAKONČENÉHO REAKTANCÍBR IMPE ......................................155
O ÁZEK 7.1.1 K 3.6 - 2BR PŘÍKLADU ....................................................................................164
O ÁZEK 7.1.2 K 4.3-3BR PŘÍKLADU .......................................................................................170
O ÁZEK 7.1.3 K 5 - 5BR PŘÍKLADU ........................................................................................172
O ÁZEK 7.1.4 K 6-5BR PŘÍKLADU ..........................................................................................176



































Elektrotechnika II 9

SEZNAM TABULEK


TABULKA 3.4-1 IMPEDANCE....................................................................................................23
TABULKA 3.5-1 IMITANCE PRVKŮ............................................................................................24
TABULKA 5.5-1 T ORMACE MATEMATICKÝCH OPERACÍRANSF ................................................103
TABULKA 5.5-2 S DŮLEŽITĚJŠÍCH ORIGINÁLŮ A ODPOVÍDAJÍCÍCH OBRAZŮLOVNÍK NEJ ..........104
TABULKA 5.5-3 S ÁNÍ HODNOT ORIGINÁLU Z PŘÍKLADŮ 5.5-10 ROVN ....................................111
TABULKA 6.5-1 V RNÍ PARAMETRY C , L A VLNOVÝ ODPOR R ZORCE PRO PRIMÁ
0 0 0
...............159








































10 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

1 Úvod
Předložený studijní materiál slouží jako základní studijní materiál distanční formy
studia předmětu Elektrotechnika 2, který navazuje na předmět Elektrotechnika 1 a spolu s ním
vytváří nezbytně nutné teoretické základy společné pro všechny elektrotechnické obory, které
jsou potřebné pro studium předmětů specializací v dalších ročnících studia.
2 Zařazení předmětu ve studijním programu
Předmět Elektrotechnika 2 je zařazen ve druhém semestru prvního ročníku bakalářského
studia jako jeden ze základních teoretických předmětů společných pro všechny
elektrotechnické obory. Spolu s dalšími základními předměty pomáhá vytvářet potřebný
teoretický základ nezbytný pro další studium předmětů specializací . Předmět Elektrotechnika
2 navazuje bezprostředně na předmět Elektrotechnika 1, který je zařazen v 1. semestru studia
a tvoří druhou část tohoto základního elektrotechnického předmětu vytvářejícího potřebné
teoretické základy. Rozvíjí, prohlubuje a rozšiřuje základní znalosti získané v první části
předmětu.
Navazuje na znalosti základních zákonů elektrotechniky a základních metod řešení
lineárních obvodů v ustáleném stejnosměrném stavu. Rozšiřuje znalosti na metody analýzy
jednofázových a vícefázových lineárních obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Seznamuje
s nejdůležitějšími lineárními obvody prvního a druhého řádu a s jejich vlastnostmi a
možnostmi jejich využití v běžné elektrotechnické praxi. Dává základy metod řešení
přechodných dějů v lineárních obvodech prvního a druhého řádu. Seznamuje také s nezbytně
nutnými znalostmi řešení lineárních obvodů s rozprostřenými parametry., které dnes.
2.1 Úvod do předmětu
Předmět Elektrotechnika 2 navazuje na znalosti získané v první části předmětu
(Elektrotechnika 1), rozšiřuje je a prohlubuje. První kapitola předmětu (kap.3.) seznamuje
s chováním základních lineárních prvků v obvodech harmonického ustáleného stavu a s
metodami analýzy jednofázových lineárních obvodů v harmonickém ustáleném stavu.
Seznamuje s nejdůležitějšími lineárními obvody (RC, RL, RLC) prvního a druhého řádu a
s jejich vlastnostmi a možnostmi využití v běžné elektrotechnické praxi. Následující kapitola
(4.kap) se zabývá základy vícefázových (zejména trojfázových) obvodů a metodami analýzy
souměrných i nesouměrných vícefázových obvodů. V další kapitole (kap.5.) jsou vyloženy
metody analýzy přechodných dějů v lineárních obvodech. Objasněna je klasická metoda i
metoda Laplaceovy transformace, vysvětleny jsou základní vlastnosti obvodů z hlediska
přechodných i impulsních charakteristik obvodů. Závěrečná část (kap.6.) dává nezbytně nutné
základy pro analýzu obvodů s rozprostřenými parametry. Zabývá se základními vlastnostmi
těchto obvodů, jejichž využití se v dnešní době stále více rozšiřuje, v časové i kmitočtové
oblasti.
Osvojení poznatků uvedených kapitol dává základy pro pochopení činnosti analogových
i impulsních obvodů. Umožňuje analyzovat lineární obvody z hlediska ustáleného stavu
stejnosměrného a harmonického, umožňuje sledovat chování těchto obvodů i při řešení
Elektrotechnika II 11
přechodných dějů. Zvládnutí předloženého obsahu vytváří potřebné teoretické základy pro
zvládnutí dalšího studia předmětů navazujících specializací.
2.2 Vstupní test
Vstupní test je určen k vyhodnocení samotným studentem a jeho účelem je ověření
předchozích znalostí studenta, potřebných k úspěšnému zvládnutí studia předkládaného
výukového textu.


Příklad 2.2-1
Vypočtěte x :
a) x = sin (25°), b) x=sin (1,25) ,c) x= cos(35°), d) x=sin(- 30°), e) x= cos (132°)

Příklad 2.2-2
Vypočtěte α :
a) 0,25 = sinα, b) 0,8 = cosα c) –0,9 = cosα, d) –0,6 = sinα, e) –0,2 = cosα

Příklad 2.2-3
Vypočtěte derivace funkcí:
a) y = sin x, b) y = cos x ,c) y = e
x
, d) y = e
ax
, e) y = 2x
3
, f) y = ax
n+1

Příklad 2.2-4
Vypočtěte neurčitý integrál funkcí:
a) y = sin x, b) y = cos x ,c) y = e
x
, d) y = e
2x-1
, e) y = 2x
3
, f) y = e
ax + b


Příklad 2.2-5
a) Definujte číslo e , vyčíslete jeho hodnotu ,b) definujte imaginární jednotku j , c) doplňte
Eulerův vztah e
jx
=

Příklad 2.2-6
Komplexní číslo A = 2 +j3 převeďte: a) do exponenciálního, b) do goniometrického tvaru

Příklad 2.2-7
a) Nahraďte v obrázcích větve mezi uzly A a B jedním rezistorem, vypočtěte jejich hodnoty



R
3
R
2
R
1
10 Ω 20 Ω 50 Ω
R
3
A
A B
B
R
2
R
1
10 Ω
20 Ω
50 Ω


12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně


Příklad 2.2-8
a) V obvodech na obrázku vypočtěte pomocí I.Kirchhoffova zákona proud Ix, pomocí II.
Kirchhoffova zákona napětí Ux :


I
1
I
X
U
X
U
1
U
2
U
3I
2
3,8 A
3,8 V
4,5 V
2,5 A
2,5 V


Příklad 2.2-9
a) V obvodu na obrázku vypočtěte napětí U
2
a U
3
metodou smyčkových proudů i metodou
uzlových napětí

R
3
R
4
R
2
R
1
U
1
U
2
U
3
10 Ω
20 Ω
20 Ω
50 Ω
4,5 V
2,0 A


Příklad 2.2-10
a) Efektivní hodnota napětí je U=230 V, jaká je hodnota amplitudy U
m
?
b) Amplituda proudu je I
m
=0,5 A, jaká je efektivní hodnota proudu I ?

Příklad 2.2-11
Vypočtěte x :
a) x
2
+ 2x – 6 = 0 , b) 2x
2
+ 5x + 3 = 0 c) x
2
+ 2.10
5
+1,01.10
12
= 0

Příklad 2.2-12
Vypočtěte y :
a) y = e
0,35
, b) y = e
–0,456
, c) 0,6065 = e
y



Příklad 2.2-13
Vypočtěte parciální derivace :
a) []
22
tax
t
+
∂
∂
, b) [ ]
22
btax
x
+
∂
∂
, c) [ ]
22
32 ttx
x
+
∂
∂
, d) [ ]
22
52 ttx
t
+
∂
∂






Elektrotechnika II 13


3 Harmonický ustálený stav
Cíle kapitoly: Seznámení s chováním základních obvodových prvků ( lineárních
rezistorů, kapacitorů a induktorů) v obvodech harmonického ustáleného stavu. Osvojení
symbolické metody analýzy lineárních obvodů v harmonickém ustáleném stavu.
Seznámení se základními vlastnostmi jednoduchých obvodů prvního a druhého řádu
složených z lineárních rezistorů, kapacitorů a induktorů používaných běžně
v elektrotechnické praxi.


Test předchozích znalostí

Zde jsou uvedené testové příklady, jejichž znalost je nutná pro pochopení textu.
Správné odpovědi na testové příklady jsou uvedeny v dodatcích – odstavec výsledky testů
Příklad 3 - 1
Komplexní číslo A = 5 +j3 převeďte: a) do exponenciálního, b) do goniometrického tvaru
Příklad 3 - 2
Komplexní číslo B = 15 e
j40°
převeďte: a) do složkového, b) do goniometrického tvaru
Příklad 3 - 3
a) V obvodu na obrázku vypočtěte proudy I
1
, I
2
a I
3
metodou zjednodušování a metodou
úměrných veličin

R
3
R
4
R
2
R
1
I
3
I
2
I
1
U
1
10 Ω
20 Ω
20 Ω
20 Ω
10 V






Příklad 3 - 4
a) V obvodu na obrázku vypočtěte proudy I
1
, I
2
a I
3
metodou smyčkových proudů

I
1
I
2
I
3
R
3
R
2
R
1
U
1
10 Ω
20 Ω
20 Ω
5 V
15 V
U
2




Příklad 3 - 5
a) V obvodu na obrázku vypočtěte napětí U
1
,U
2
a U
3
metodou uzlových napětí
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně

R
2
R
3
R
1
U
1
U
2
U
3
I
1
I
2
20 Ω
20 Ω
50 Ω
2,0 A
1,5 A


3.1 Úvod
V lineárních obvodech, které jsou buzeny zdroji harmonického napětí a proudu stejného
dochází po odeznění přechodných dějů vyvolaných připojením zdrojů k ustálenému
harmonickému stavu. Tento režim, při kterém všechny obvodové veličiny ( napětí i
proudy) mají harmonický časový průběh s konstantní amplitudou, je pro elektrotechniku
velmi významný. Výhodné vlastnosti harmonických napětí a proudů využívá převážná část
oborů zabývajících se výrobou, rozvodem a užitím elektrické energie, využívány jsou i
v oblastech sdělovací a měřicí techniky. Harmonický ustálený stav má mimořádný význam i
z hlediska analýzy elektrických obvodů.
3.2 Harmonicky proměnné veličiny
Harmonicky proměnnou veličinu (napětí, proud) je možno popsat pomocí funkce sinus
nebo kosinus. Okamžitou hodnotu časového průběhu harmonického napětí s periodou T
(obr.3.2 - 1) můžeme např. psát :
u(t) U , ( 3.2 – 1 ) = ( )ψω +t
m
sin
kde U je amplituda (maximální hodnota) [ V],
m
ω = 2π/Τ=2π f úhlový kmitočet [rad/s],
ω t + ψ fáze [rad],
ψ počáteční fáze [rad].


Stejný průběh můžeme rovnocenným způsobem popsat

Obrázek 3.2.1 Harmonické napětí

pomocí funkce kosinus
)= ()´cos ψω +t
m
U = ( )2/cos πψω −+t
m
U . ( 3.2 – 2 ) u(t

3.3 Symbolický počet
Jestliže necháme v komplexní rovině rotovat vektor (představující například napětí)
rovnoměrným kruhovým pohybem, jeho průmět do svislé (tj. imaginární) osy reprezentuje
harmonicky proměnný průběh (obr.3.2 - 1), který je popsán vztahem ( 3.2 –1 ). Využití těchto
rotujících vektorů přináší značné zjednodušení zejména při analýze elektrických obvodů
v harmonickém ustáleném stavu. Vzájemné postavení vektorů nám velmi názorně ukazuje
fázové poměry mezi napětími a proudy. Ty jsou však fyzikálně skalárními veličinami, proto
se tyto rotující vektory v elektrotechnice nazývají fázory .
Elektrotechnika II 15
Rotující fázor u(t) , který může (svým průmětem) zastupovat okamžitou hodnotu
skutečné harmonicky proměnné veličiny, se nazývá komplexní okamžitou hodnotou nebo
též komplexorem. Modul této komplexní veličiny je roven amplitudě U
m
a argument je
roven fázi (ω t+ψ ). Reálnou složku komplexoru (jeho průmět do reálné osy) u´ a imaginární
složku komplexoru (jeho průmět do imaginární osy) u´ ´ můžeme
psát jako
u(t)} = )(ψω +t
m
cosU , u´´= Im{u(t)} = ( )ψω +t
m
sinU . ( 3.3 - 1 ), ( 3.3 -2 ) u´= Re{
V souladu s Eulerovým vztahem můžeme proto rotující fázor zapsat
u . ( 3.3 - 3 ) ()
)(
.
´´
...´
ψωωψω +
===+=
tj
m
tjj
m
tj
m
eUeeUeujut U








Obrázek 3.3.1 Harmonické napětí a rotují