Skripta Elektrotechnika 1

Vlivem tzv. rozdělujících sil
(těchže sil elektromagnetické povahy, které způsobovaly pohyb nábojů ve smyčce uzavřené a
tedy i vznik indukovaného proudu) však dochází k přesunu nábojů opačné polarity směrem k
rozpojeným koncům smyčky. Na jejich svorkách bychom naměřili indukované napětí
dt
d
u
i
Φ
= . ( 1.44 )
Srovnáním s ( 1.43 ) vidíme, že indukované napětí se oproti napětí elektromotorickému liší
pouze ve znaménku. Jedná se o další možný (v elektrotechnice častější) způsob vyjádření
Faradayova indukčního zákona. Pokud bychom smyčku podle Obr. 1.17 „zatížili“ nějakým
spotřebičem, uzavřeným elektrickým obvodem by začal protékat proud – smyčka by plnila
funkci zdroje elektrické energie. Z tohoto hlediska je indukované napětí dle ( 1.44 ) vlastně
napětím vnitřním (naprázdno) takového zdroje. O zdrojích elektrické energie viz v kap. 2.4.1.
Indukce napětí časově proměnným magnetickým polem je základem fungování např.
transformátorů, tlumivek a dalších elektrotechnických zařízení. Pro dosažení vyšších hodnot
indukovaných napětí se však neužívá samotných smyček, ale cívek s větším počtem závitů N.
Výsledné indukované napětí je pak dáno součtem příspěvků od jednotlivých závitů
∑∑
==
Φ
==
N
k
k
N
k
iki
dt
d
uu
11
,
( 1.45 )
kde
k
Φ je magnetický tok spřažený s k–tým závitem cívky. Zaměníme-li pořadí sumace a
derivace, dostáváme při uvážení ( 1.38 ) rovnici
dt
d
u
i
Ψ
= , ( 1.46 )
kde Ψ je spřažený magnetický tok. Rovnice ( 1.46 ) je považována za zobecněný tvar
indukčního zákona.
Faradayův indukční zákon platí bez ohledu na to, zda magnetické pole bylo vytvořeno
vnějšími příčinami (jak znázorňuje Obr. 1.17) nebo zda šlo o magnetické pole vyvolané
proudem protékajícím smyčkou (jak bylo znázorněno dříve na Obr. 1.15). V obou případech
platí pro indukované napětí na svorkách smyčky rovnice ( 1.44 ) – v prvním případě se hovoří
o napětí vzájemné indukce (je-li zdrojem tohoto pole jiná smyčka), ve druhém případě pak o
napětí vlastní indukce. Podrobněji se k problematice vrátíme při výkladu principů ideálních
obvodových prvků – induktoru v kap. 2.3.3 a vázaných induktorů v kap. 2.3.4.
K indukci elektrického napětí však dochází také v časově neproměnném magnetickém
poli za předpokladu, že je vodič (nejčastěji cívka) vůči tomuto poli v pohybu. Toho využívají
některé elektrické stroje a zařízení jako generátory, dynama aj. Jev elektromagnetické indukce
zde nastává v důsledku silového působení magnetického pole na volné elektrické náboje
(elektrony) uvnitř vodiče, viz Obr. 1.9. Uvažujme např. nejjednodušší případ, kdy se bude
přímý vodič délky l pohybovat konstantní rychlostí v
r
v homogenním magnetickém poli s
indukcí B
r
. Soustava je přitom uspořádána tak, že vektory elementu délky ld
r
, magnetické
indukce B
r
a rychlosti v
r
jsou trvale navzájem kolmé. Použitím dříve uvedených základních
vztahů lze dokázat, že na koncích vodiče (resp. na sběrnici, po které se vodič pohybuje)
dochází k indukci ustáleného stejnosměrného napětí velikosti
BlvU
i
= .
( 1.47 )
V obecném případě je situace poněkud komplikovanější a nebudeme ji zde diskutovat.
24 Elektrotechnika 1
1.5 Elektromagnetické pole
V kap. 1.4 jsme dospěli k důležitému poznatku, že časově proměnný elektrický proud
vytváří časově proměnné magnetické pole. Na druhé straně časově proměnné magnetické pole
indukuje časově proměnné elektrické napětí, které v důsledku může opět vyvolat průtok
časově proměnného elektrického proudu. Proto při změnách proudu, napětí, elektrického
náboje nebo magnetického toku nemůžeme elektrické pole oddělit od pole magnetického.
Hovoříme pak o poli elektromagnetickém a pole elektrické i magnetické bereme pouze jako
jeho zvláštní případy.
Základem obecného popisu elektromagnetického pole jsou čtyři tzv. Maxwellovy
rovnice (poprve uveřejněné v r. 1873 skotským vědcem J. C. Maxwellem, později novým
způsobem matematicky formulované anglickým vědcem O. Heavisidem), ke kterým se
zpravidla připojuje zákon o zachování elektrického náboje. Maxwellovy rovnice jsou
vlastně zobecněním a matematickou formulací dříve nalezených zákonů: zákona celkového
proudu (I. M. r.), zákona elektromagnetické indukce (II. M. r.), Gaussovy věty pro elektrické
pole (III. M. r.) a Gaussovy věty pro magnetické pole (IV. M. r.). Zatímco rovnice I. a II.
vyjadřují vztah mezi elektrickým a magnetickým polem, rovnice III. a IV. vyjadřují, co je
zdrojem těchto polí.
V elektrotechnice pracujeme převážně s elektrickými obvody. Jejich rozbor a návrh
s použitím obecných zákonů elektromagnetického pole by byl sice přesný, ale nesmírně
obtížný a výpočetně náročný. Proto se tyto obecné zákony elektromagnetického pole
zjednodušují pro podmínky elektrického obvodu, přičemž jde vždy o zjednodušení s větší či
menší přesností.
Rovnice elektromagnetického pole totiž vedou na řešení, jehož součástí jsou vlny
intenzit E
r
a H
r
. Tyto vlny se šíří prostorem jako rozruch konečnou rychlostí v. Ve vakuu je
tato rychlost rovna rychlosti světla skmc /300000≈ , v každém jiném prostředí je menší.
I když by se mohlo zdát, že je to rychlost obrovská, vlna urazí jen
300 km/ms = 300 m/µs = 300 mm/ns = 0,3 mm/ps.
Při sledování časových průběhů procesů proto musíme obecně brát tuto skutečnost v úvahu a
rozlišovat soustavy se soustředěnými parametry a soustavy s rozprostřenými parametry.
Soustava se soustředěnými parametry se vyznačuje relativně malými fyzickými
rozměry ve srovnání s drahou, kterou elektromagnetické vlnění urazí za dobu, po kterou trvají
typické děje v soustavě. Příklady: zesilovač akustického signálu, analogový integrovaný
obvod, rozvod elektrické energie v domě nebo v obci. Soustavu lze rozdělit na jednotlivé
prvky, jejichž vzájemné propojení je charakterizováno elektrickým schématem. Přitom
nezáleží na tom, jak jsou jednotlivé prvky rozloženy v prostoru. U každého takového prvku je
přitom uvažována přeměna elektrické energie pouze na jeden typ energie. Z matematického
hlediska je soustava popsána obyčejnými diferenciálními rovnicemi s časem jako jedinou
nezávisle proměnnou.
Soustava s rozprostřenými parametry má relativně veliké rozměry. Příklad: vedení
k anténě, dálkové vedení elektrické energie, podmořský telefonní kabel, kabeláž počítače
s vysokým hodinovým kmitočtem. Při popisu soustavy je podstatné nejen vzájemné propojení
jednotlivých částí, ale i jejich prostorové uspořádání. V těchto soustavách dochází obecně k
přeměně elektrické energie současně v energii tepelnou a energie elektrického i magnetického
pole. K popisu takovéto soustavy jsou nutné parciální diferenciální rovnice, v nichž kromě
času vystupují jako nezávisle proměnné také prostorové souřadnice.
Elektrotechnika 1 25
1.6 Shrnutí
V kapitole 1 byly shrnuty základní fyzikální jevy a zákony elektrotechniky a zavedeny
základní pojmy, veličiny a jednotky, které se v elektrotechnice používají.
V podkapitole 1.2 byl diskutován fenomén elektrického náboje, jakožto základní
vlastnosti elementárních částic hmoty. Byla zdůrazněna platnost zákona o zachování náboje
a skutečnost, že všechny hodnoty náboje jsou dány celistvým násobkem elementárního
náboje e = 1,602177.10
-19
C.
V podkapitole 1.3 byly osvětleny projevy silového působení elektrických nábojů –
Coulombův zákon. Byly zavedeny základní veličiny a jednotky pro popis elektrického a
proudového pole: intenzita elektrického pole E
r
, elektrický potenciál ϕ , elektrické napětí u,
kapacita C, permitivita ε, elektrický proud i, proudová hustota J
r
, elektrický odpor R, měrný
elektrický odpor ρ , elektrická vodivost G, měrná elektrická vodivost γ , energie elektrického
pole W
e
a okamžitý výkon p. Byly vysvětleny pojmy homogenního a nehomogenního
elektrického a proudového pole, pojmy siločáry a ekvipotenciály (ekvipotenciální plochy) a
pojem proudnice. Byl uveden základní experimentálně nalezený zákon užívaný v teorii
obvodů – Ohmův zákon, včetně jeho diferenciálního tvaru. Byl vysvětlen způsob značení
směru napětí a proudu pomocí napěťové a proudové čítací šipky.
V podkapitole 1.4 byl vysvětlen vznik magnetického pole, byly popsány jeho silové
účinky na vodiče protékané proudem a na pohybující se elektrické náboje. Byly zavedeny
základní veličiny a jednotky, které se užívají při popisu magnetického pole: magnetická
indukce B
r
, intenzita magnetického pole H
r
, magnetický tok Φ, spřažený magnetický tok Ψ,
indukčnost L, magnetická permeabilita µ a energie magnetického pole W
m
. Byly vysvětleny
pojmy homogenního a nehomogenního magnetického pole a pojem indukční čáry. Bylo
zdůrazněno, že magnetické pole je pole vírové – indukční čáry jsou uzavřené křivky. Byly
uvedeny dva základní zákony – Faradayův indukční zákon a Ampérův zákon celkového
proudu. Byly vysvětleny pojmy elektromotorické napětí e (oběhové napětí
0
u ) a indukované
napětí
i
u .
V podkapitole 1.5 jsou heslovitě zmíněny čtyři fundamentální rovnice makroskopické
teorie elektromagnetického pole – Maxwellovy rovnice. Je zde zdůrazněn obecně vlnový
charakter veličin E
r
a H
r
a konečná rychlost šíření vln prostorem. Je provedeno rozdělení
elektrických soustav na soustavy se soustředěnými a rozprostřenými parametry.
1.7 Neřešené příklady







26 Elektrotechnika 1
2 Základy elektrických obvodů
2.1 Cíle kapitoly
Kapitola si klade za cíl vysvětlit základní pojmy z topologie elektrických obvodů a
základní zákony elektrických obvodů – Kirchhoffovy zákony a způsoby jejich aplikace. Dále
popisuje pasivní obvodové prvky – rezistor, kapacitor, induktor a vázané induktory, včetně
příkladů charakteristik a vysvětlení rozdílů mezi prvky lineárními a nelineárními. Konečně se
zabývá popisem aktivních obvodových prvků – nezávislých a řízených zdrojů elektrické
energie, včetně poznámky o ideálním operačním zesilovači.
2.2 Základní pojmy a zákony
Pod pojmem elektrický obvod rozumíme takové uspořádání obvodových prvků, jehož
účelem je určitá funkce, např. přenos či přeměna elektrické energie nebo zpracování
elektrického signálu. V souvislosti s tím rozlišujeme analýzu a syntézu elektrického obvodu.
Analýzou rozumíme postup, při kterém zkoumáme obvodové veličiny (napětí, proudy)
v obvodu, jehož struktura i hodnoty parametrů jednotlivých prvků jsou dány. Cílem analýzy
je pak výpočet a tabelární nebo častěji grafické vyjádření důležitých průběhů a následné
posouzení funkce obvodu. Analýza je často důležitou podmínkou pro dokonalé pochopení
podstaty dějů v obvodu. Je to v principu postup jednoznačný, i když různé metody analýzy
mohou vést k cíli rozdílnými a různě složitými cestami.
Syntézou rozumíme návrh konfigurace obvodu a výpočet parametrů jeho prvků tak, aby
co nejlépe plnil předem stanovenou funkci. Obecně může syntéza vést k celé řadě různých
způsobů realizace výsledného obvodu. Úkolem konečné fáze syntézy bývá optimalizace
výsledného řešení např. z hlediska přesnosti splnění výchozích požadavků, z hlediska
výrobních nákladů, náročnosti na údržbu apod.
Při analýze vycházíme z elektrického schématu obvodu. Jednotlivé obvodové prvky
jsou vzájemně propojeny prostřednictvím svých svorek. Místo, kde jsou spojeny svorky
minimálně dvou prvků, se nazývá uzel. Část obvodu mezi dvěma uzly je větev. Počet uzlů a
větví v obvodu určuje složitost obvodu a v důsledku toho i počet nezávislých rovnic, které
potřebujeme k úplnému popisu procesů v obvodu. Dobrou představu o konfiguraci obvodu
dává tzv. topologické schéma. Jeho příklad je na Obr. 2.1. V topologickém schématu jsou
znázorněny jednotlivé uzly jako body, v nichž se stýkají větve znázorněné čarami. Konkrétní
složení větví není z tohoto schématu patrno.





Obr. 2.1: Topologické schéma obvodu
V elektrickém schématu vyznačujeme elektrická napětí mezi uzly pomocí čítacích
šipek, jak uvádí Obr. 2.2. Šipka ukazuje nejen to, mezi kterou dvojicí uzlů napětí měříme, ale
i orientaci, tj. odkud a kam je napětí určováno. Pro označení proudů větvemi používáme
proudové šipky, které se tvarově od šipek pro napětí liší, jak je rovněž patrno z Obr. 2.2.

Elektrotechnika 1 27






Obr. 2.2: Způsob vyznačení napětí a proudu
Orientační šipky zakreslujeme do schématu na samém počátku analýzy, kdy často ještě
nemáme představu o skutečných polaritách napětí a proudů v obvodu. Zvolené orientace se
však od tohoto okamžiku musíme při formulaci rovnic důsledně držet. Teprve potom, když
řešením rovnic získáme numerické hodnoty obvodových veličin včetně znamének, můžeme
definitivně určit, jak to s polaritami skutečně je. Kladná hodnota napětí u
AB
označeného na
Obr. 2.2 šipkou mířící od uzlu A k uzlu B znamená, že uzel A je kladný vzhledem k uzlu B.
Je-li však výsledná hodnota u
AB
záporná, je potenciál uzlu A nižší než potenciál uzlu B.
Podobně kladný výsledek pro proud i indikuje, že proud skutečně teče směrem, kterým
ukazuje šipka, záporný výsledek znamená, že proud ve skutečnosti teče směrem opačným.
Všechny metody analýzy vycházejí ze dvou základních vztahů, vyjadřujících tzv.
Kirchhoffovy zákony (formulované v r. 1845 německým badatelem G.R. Kirchhoffem):
První Kirchhoffův zákon (zkratka 1. KZ , tzv. proudový) říká, že algebraický součet
proudů v uzlu je roven nule. Vychází ze skutečnosti, že v uzlu se nemohou elektrické
náboje ani ztrácet ani generovat, je tedy důsledkem platnosti zákona o zachování náboje. Při
formulaci rovnic dodržujeme pravidlo, že proudy, které z uzlu vytékají, bereme s kladným
znaménkem, proudy vtékající se záporným znaménkem. Obecně můžeme psát
∑
=±
k
k
i 0 .
( 2.1 )
Tak např. pro situaci znázorněnou na Obr. 2.3a platí: 0=−+
cba
iii , na Obr. 2.3b pak:
0
321
=−−− iii . Zde samozřejmě předpokládáme, že výsledné proudy i
1
, i
2
a i
3
budou mít
různá znaménka (znaménko jednoho z nich se bude lišit od znaménka zbývajících dvou).





Obr. 2.3: K vysvětlení I. Kirchhoffova zákona

Druhý Kirchhoffův zákon (zkratka 2. KZ, tzv. napěťový) říká, že algebraický součet
napětí podél uzavřené smyčky je roven nule. Ve své podstatě je tento zákon zákonem o
zachování energie v elektrickém obvodu, což je zřejmé z definice napětí. Jako uzavřenou
smyčku v této souvislosti chápeme cestu začínající v některém uzlu, pokračující dalšími uzly
a končící v uzlu, ve kterém začala. Žádným uzlem přitom neprochází dvakrát. Prakticky
postupujeme tak, že si nejdříve ve smyčce vyznačíme kladný smysl oběhu. Pak napětí, jejichž
čítací šipky souhlasí se zvoleným kladným smyslem, bereme jako kladná, když nesouhlasí,
tak jako záporná. Obecně můžeme psát
∑
=±
k
k
u 0 .
( 2.2 )
a) b)
28 Elektrotechnika 1
Příklad ukazuje Obr. 2.4a. Platí: 0
1
=+−
BAC
uuu , kdy kladný smysl oběhu byl zvolen ve
směru hodinových ručiček. Přitom není nutné, aby mezi jednotlivými uzly existovala
skutečně větev, jak je znázorněno na Obr. 2.4b.






Obr. 2.4: K vysvětlení II. Kirchhoffova zákona
Poznámka: V teorii obvodů se zpravidla předpokládá, že se daný obvod nenachází v časově
proměnném magnetickém poli, ani že není v pohybu vůči poli časově neproměnnému. Je to
podmínka platnosti rovnice ( 2.2 ), kdy je napětí dle Faradayova indukčního zákona nulové.
2.3 Pasivní obvodové prvky
Za pasivní obvodové prvky pokládáme ty prvky, které nemohou elektrickou energii do
obvodu dodávat. Jsou to prvky disipativní, které energii spotřebovávají (mění na jinou
formu energie) a prvky akumulační, které ji akumulují (dočasně uchovávají) ve formě
energie elektrického nebo magnetického pole.
Skutečné, reálné prvky, se kterými se v praxi setkáváme, obvykle v sobě zahrnují
všechny uvedené způsoby přeměny energie. Většinou je jeden z nich žádoucí a je dominantní
a zbývající jsou obvykle nežádoucí a pokládáme je za parazitní. Pro zjednodušení analýzy a
syntézy definujeme potom ideální obvodové prvky, které se vyznačují pouze jediným
způsobem přeměny energie. Pomocí nich pak vytváříme náhradní schémata, modely
reálných prvků, od jednoduchých až po značně složitá náhradní schémata podle toho, jakou
přesnost náhrady vyžadujeme resp. podle režimu, ve kterém prvky pracují. Je proto třeba
rozlišovat mezi pojmy odpor – rezistor, kondenzátor – kapacitor a cívka – induktor jako
mezi reálnými a ideálními prvky.
2.3.1 Rezistor
Rezistor je disipativní obvodový prvek, který elektrickou energii nevratným způsobem
mění na jinou formu energie. Jeho schématická značka je na Obr. 2.5a spolu s čítacími
šipkami napětí a proudu.










Obr. 2.5: Rezistor a jeho ampérvoltová charakteristika
a) b)
a) b)
Elektrotechnika 1 29
Základní charakteristikou rezistoru je závislost proudu na napětí, tzv. ampérvoltová
charakteristika. V nejjednodušším případě tzv. lineárního rezistoru je tato závislost
zobrazena v rovině u-i přímkou procházející počátkem, jak je znázorněno na Obr. 2.5b.
Potom je proud přímo úměrný napětí a platí Ohmův zákon
u
R
uGi .
1
. == , ( 2.3 )
kde R je odpor rezistoru, G je jeho vodivost. Rezistor je pak popsán jedinou číselnou
konstantou, parametrem R nebo G.
Existují však také rezistory s lineární charakteristikou, jejíž sklon není konstantní, ale
závisí na nějaké vnější veličině, např. na teplotě, intenzitě osvětlení, mechanickém nastavení
ovládacího prvku, napětí v nějakém jiném místě obvodu apod. Používáme pak schématickou
značku podle Obr. 2.6a a hovoříme o rezistorech parametrických, s parametry obecně
závislými na čase.










Obr. 2.6: Parametrický rezistor a jeho ampérvoltová charakteristika

Jiná situace je zobrazena na Obr. 2.7. Ampérvoltová charakteristika tohoto rezistoru je
nelineární.







Obr. 2.7: Nelineární rezistor a jeho ampérvoltová charakteristika

Pro popis funkce rezistoru pak jedna hodnota nestačí, obvykle je třeba mít k dispozici celou
charakteristiku. Nelineární rezistory tvoří velmi důležitou skupinu obvodových prvků. Řešení
obvodů s těmito rezistory je vždy podstatně složitější než řešení obvodů lineárních. U
nelineárních rezistorů lze také používat pojmů odpor a vodivost, rozlišuje se však mezi tzv.
statickým a dynamickým (diferenciálním) odporem a vodivostí a jedná se o veličiny závislé
na poloze pracovního bodu na dané charakteristice, jak je dále naznačeno na Obr. 2.8.
Statický odpor je definován jako
i
u
iR
s
=)( , ( 2.4 )
a) b)
b)a)
u(t)
i(t)
30 Elektrotechnika 1
statická vodivost je pak rovna
)(
1
)(
uRu
i
uG
s
s
== .
( 2.5 )
V mnoha praktických aplikacích je dán pracovní režim nelineárního rezistoru malými
změnami napětí a proudu v blízkém okolí tzv. klidového pracovního bodu. Pro takový druh
provozu je účelné definovat dynamický odpor pomocí přírůstků napětí a proudů na dané
charakteristice jako
di
du
i
u
iR
i
d
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim)( ,
( 2.6 )
dynamická vodivost je pak rovna
)(
1
lim)(
0
uRdu
di
u
i
uG
d
u
d
==
∆
∆
=
→∆
.
( 2.7 )
Geometricky jsou dynamické parametry určeny směrnicí tečny k charakteristice v daném
pracovním bodě P, viz Obr. 2.8 (směrnicí sečny jsou určeny parametry statické).









Obr. 2.8: K vysvětlení dynamických parametrů nelineárního rezistoru
Také nelineární rezistory mohou být parametrické, kdy A-V charakteristikou je obecně
soustava křivek. Příkladem je např. fotodioda, polovodičová dioda, jejíž charakteristika závisí
na intenzitě dopadajícího světla (viditelného nebo neviditelného).
Bez ohledu na to, zda jde o lineární nebo nelineární rezistor, okamžitý výkon ztracený
v rezistoru je podle ( 1.25 ) roven součinu napětí a proudu v daném okamžiku
() ()()titutp .= . ( 2.8 )
U lineárního rezistoru je možno pomocí Ohmova zákona upravit výraz pro výkon na
() () ()
()
R
tu
tuGtiRtp
2
22
.. === . ( 2.9 )
Energii přeměněnou v teplo v časovém intervalu t;0 pak vypočítáme jako
τττττ diudpW
tt
t
)()()(
00
∫∫
== .
( 2.10 )
u
i

0
P
u
P
i
P
tečna
∆i
∆u
sečna
Elektrotechnika 1 31
Skutečný obvodový prvek,