Skripta Analogové el.obvody

ale i na vyšších a nižších harmonických složkách základního kmitočtu, popřípadě na
zlomkovém kmitočtu ωm/n, a to za nepřítomnosti těchto harmonických složek v napětí
napájecího zdroje. Vznik intenzivních kmitů na subharmonickém kmitočtu ω/n, kde ω je
kmitočet napětí zdroje zapojeného v obvodu a n = 2, 3, 4, .. . , nazýváme subharmonickou
rezonancí.
Automodulaci rozumíme periodickou změnu amplitudy proudu a napětí v obvodu bez
působení vnějšího modulačního signálu.
Přerušovaná rezonance je jev, při němž periodicky vzniká a zaniká rezonance na
jakémkoliv vyšším, subharmonickém nebo zlomkovém kmitočtu. Nejčastěji lze přerušovanou
rezonanci pozorovat při automodulaci.
Kmity s neperiodickou obalovou křivkou jsou kmity, jejichž obalová křivka má výrazný
neperiodický charakter.
V nelineárních obvodech střídavého proudu, obsahujících nelineární prvky, jejichž AV
charakteristiky jsou typu S nebo N, jsou možné klopné jevy. Klopným jevem nazýváme
prudkou (skokovou) změnu výstupní obvodové veličiny při nepatrné plynulé změně vstupní
veličiny nebo některého parametru obvodu.
1.1.8 Platnost některých zákonů pro nelineární a parametrické obvody
Kirchhoffovy zákony. Oba Kirchhoffovy zákony platí j ak pro lineární, tak i pro
nelineární a parametrické obvody, tj.
Ge5
=
=
n
k
k
i
1
0
Ge5
=
=
n
k
k
u
1
0
Rovnice pro nelineární obvod sestavujeme tedy stejným způsobem jako pro obvod
lineární, tj. na základě Kirchhoffových zákonů. Při sestavování rovnic obvodu, obsahujícího
nelineární rezistory, musíme však brát v úvahu dané AV charakteristiky rezistoru. Je-li
rezistor napěťově závislý s AV charakteristikou i(u), je třeba sestavit rovnici vzhledem k
napětí u. Je-li známa VA charakteristika u(i), sestavujeme rovnici vzhledem k proudu i.
16 FEKT Vysokého učení technického v Brně
Stejná doporučení platí i pro obvody obsahující nelineární kapacitory s charak-
teristikami q(u) nebo u(q), nebo nelineární induktory s charakteristikami ψ(i) či i(ψ).
Obsahuje-li obvod jak nelineární rezistor, tak i nelineární kapacitor (nebo nelineární
induktor), je třeba sestavit diferenciální vzhledem k té proměnné, která je argumentem v
charakteristice nelineárního kapacitoru (nebo nelineárního induktoru) a je tzv. stavovou
proměnnou. Ostatní proměnné lze určit až po nalezení uvedené proměnné.
Princip superpozice. Princip superpozice platí pro všechny lineární obvody, tedy i pro
parametrické lineární obvody. Dokážeme si toto tvrzení.
U parametrických lineárních obvodů je závislost mezi výstupním signálem y(t) a
vstupním signálem x(t) vyjádřena vztahem
)()()( txtPty = (1.14)
Sestává-li vstupní signál z N složek
Ge5
=
=+++=
N
n
nN
txtxtxtxtx
1
21
)()(...)()()(
(1.15)
bude výstupní signál (odezva)
)()(...)()()()()()()(
21
txtPtxtPtxtPtxtPty
NN
+++==
Ge5
(1.16)
roven součtu odezev na každou složku vstupního signálu
Ge5
=
=+++=
N
n
nN
tytytytyty
1
21
)()(...)()()(
(A17)
Vidíme, že stejně jako u lineárních obvodů s konstantními parametry, odezva
parametrického lineárního obvodu na působení součtu signálů je rovna součtu odezev na
působení každého signálu zvlᚻ. V tom spočívá princip superpozice.
Pro nelineární obvody princip superpozice neplatí. O tom se snadno přesvědčíme na
příkladě jednoduché nelineární závislosti
2
axy = (1.18)
Sestává-li vstupní signál ze dvou složek x = x
l
+ x
2
, pak odezva
21
2
2
2
1
2
21
2)( xaxaxaxxxay ++=+= (1.19)
se liší od součtu odezev na každou složku branou odděleně (tj. ax
1
+ ax
2
), a to o novou
složku 2ax
l
x
2
. Odezva na součet dvou složek vstupního signálu se tedy nerovná součtu odezev
na každou složku branou zvlᚻ.
Analogové elektronické obvody 17
Obr. 1.8: Náhrada nelineárního rezistoru zdrojem napětím
To, že pro nelineární obvody princip superpozice neplatí, je jedna z nejdůležitějších
zvláštnosti nelineárních obvodů.
Princip kompenzace. Na základě věty o kompenzaci můžeme v nelineárním obvodu
nahradit nelineární proudově závislý rezistor proudově závislým zdrojem napětí, aniž by se
změnil stav obvodu. Velikost napětí zdroje se rovná úbytku napětí na nelineárním rezistoru a
jeho smysl je shodný se smyslem proudu procházejícího nelineárním rezistorem (obr. 1.8).
Abychom dokázali tento teorém, vyčleníme z obvodu D jednu větev s nelineárním
rezistorem (obr. 1.8a). Jeho odpor je proudově závislý. Do této větve můžeme podle obr. 1.8c
zařadit dva proudově závislé zdroje napětí u
Z
(i) jejichž napětí jsou stejně velká, ale opačné
polarity; tím se stav v obvodu nezmění. Když bude
)()()( iuiiRiu
z
== (1.20)
pak mezi body 1-1' je rozdíl potenciálů nulový, takže můžeme tyto body spojit nakrátko
(obr. 1.8d) a ve větvi zbude pouze proudově závislý zdroj napětí u
Z
(i) (obr. 1.8b).
Obdobně můžeme napěťově závislý rezistor nahradit napěťově závislým zdrojem
proudu. Řízenými zdroji napětí nebo proudu je možné podle principu kompenzace nahradit
odpovídajícím způsobem i nelineární induktory, popř. kapacitory.
18 FEKT Vysokého učení technického v Brně
1.2 VLASTNOSTI A MODELY OBVODOVÝCH PRVKŮ
1.2.1 Důvody k idealizaci vlastností obvodových prvků
Technické realizace dvojpólových a vícepólových obvodových prvků jsou založeny na
využití řady fyzikálních jevů, např. zákonitostí pohybu nosičů nábojů ve vakuu, plynném a
pevném prostředí pod působením více či méně složitých, časově proměnných elektrických a
magnetických polí, závislostí materiálových parametrů na vnějších podmínkách apod. Úkol
vyjádřit elektrické vlastnosti těchto obvodových prvků matematickými modely, které by
vystihovaly jejich chování ve všech možných dynamických situacích je proto neobyčejně
obtížný.
Pro účely analýzy signálů v elektrických a elektronických obvodech reálné obvodové
prvky nahrazujeme modely, složenými z několika ideálních obvodových prvků tak, aby reálné
prvky i jim odpovídající modely měly v předpokládaných provozních podmínkách přibližně
stejné vlastnosti. U mnoha aplikací vystačíme s nejjednoduššími modely těchto prvků, které
dostaneme úplnou abstraktní idealizací jejich elektrických vlastností (jinak řečeno prvním
přiblížením v popisu těchto vlastností). V těchto případech vyšetřujeme pouze základní
závislosti mezi elektrickými, resp. magnetickými veličinami - napětím, proudem, nábojem,
celkovým magnetickým tokem. Tyto závislosti charakterizují základní vlastnosti daného
obvodového prvku, a proto pro ně používáme názvu charakteristiky.
1.2.2 Lineární, nelineární, neřízené a řízené prvky
Abychom mohli určit základní elektrické vlastnosti dvojpólu či obecně mnohopólu,
musíme znát vztahy mezi jejich základními svorkovými veličinami, tj. napětím u, proudem i,
nábojem q a celkovým magnetickým tokem ψ. Tyto veličiny zjistíme měřením, pomocí
měřidel připojených ke svorkám dvojpólu či mnohopólu. Svorková napětí a proudy lze měřit
přímo, náboje a celkové magnetické toky můžeme měřit nepřímo integrováním proudu i(t)
nebo napětí u(t), protože
Gf2
= dttitq )()(
Gf2
= dttut )()(ψ (1.21)
Pro jednoduchost se budeme nejprve zabývat jen dvojpóly (jednobrany). Z výsledků
měření můžeme vytvořit vztahy mezi libovolnou dvojicí veličin (pokud ovšem takové vztahy
existují), s výjimkou dvojice i a q a dvojice u a ψ, které jsou sporu vázány vztahy (1.1).
Zbývající kombinace základních veličin vytvářejí tedy čtyři základní vztahy, a to vztah mezi u
a i, vztah mezi u a q, vztah mezi i a ψ a konečně vztah mezi q a ψ. Tyto vztahy odpovídají
čtyřem základním typům dvojpólů. Poslední uvedený vztah má prozatím malý praktický
význam, omezíme se proto jen na první tři případy.
Dvojpól, který je charakterizován vztahem mezi u a i, tedy buď u(i) nebo i(u),
nazýváme ideálním rezistorem. Dvojpól charakterizovaný vztahem mezi u a q, tj. u(q) nebo
q(u), nazýváme ideálním kapacitorem. Závislostí mezi veličinami ψ a i, tj. ψ (i) nebo i(ψ), je
charakterizován ideální induktor. (Poznamenejme, že přívlastek „ideální" mnohdy
vynecháváme.)
Výše uvedené základní vztahy, znázorněné graficky jako funkční závislosti
Analogové elektronické obvody 19
)(xfy = (1.22)
kde y a x představuje některou ze základních veličin u, i, q, ψ, nazýváme charak-
teristikami dvojpólů.
Charakteristiky u(i) budeme nazývat voltampérovými (VA) charakteristikami;
charakteristiky i(u) ampérvoltovými (AV) charakteristikami. Obdobně budeme rozlišovat u
kapacitorů coulombvoltové (CV) charakteristiky q(u) a voltcoulombové (VC) charakteristiky
u(q) a u induktorů ampérweberové (AWb) charakteristiky i(ψ) a weberampérové (WbA)
charakteristiky ψ (i).
V obecném případě jsou tyto závislosti nelineární a takové dvojpóly nazýváme
nelineární dvojpóly. Jsou-li tyto závislosti lineární, říkáme pak takovým dvojpólům lineární.
Pro nelineární dvojpóly budeme používat schematických značek uvedených na obr. 1.9.
V praxi existuje řada dvojpólů, jejichž vlastnosti výrazně závisejí na určité vnější
fyzikální veličině p. Takové dvojpóly nazýváme řízené dvojpóly a nezávisle proměnnou
fyzikální veličinu p nazýváme řídicí veličina. Tato veličina může být elektrická (proud,
napětí) nebo neelektrická (teplota, osvětlení, tlak, síla, rychlost, atd.).
Obr. 1.9: Schématické značky a) nelineárního rezistoru, b) nelineárního kapacitou,
c) nelineárního induktoru
Základní charakteristiky řízených dvojpólů lze tedy obecně vyjádřit funkční závislostí
),( pxfy = (1.23)
která popisuje zakřivenou plochu v trojrozměrném zobrazení. Abychom si usnadnili
měření a grafické znázorňování těchto závislostí, vyjadřujeme si je zpravidla soustavou křivek
s konstantními hodnotami řídicí veličiny p nebo soustavou křivek s konstantními hodnotami
nezávisle proměnné x.
Řízený dvojpól můžeme tedy definovat jako dvojpól, jehož základní charakteristika
závisí v každém okamžiku na hodnotě řídicí veličiny p.
Dostáváme tak tři typy řízených dvojpólů:
1. Řízený rezistor charakterizovaný závislostí i(u, p) nebo u(i, p);
2. řízený kapacitór charakterizovaný závislostí q(u, p) nebo u(q, p) a
3. řízený induktor charakterizovaný závislostí i(ψ, p) nebo ψ (i, p).
20 FEKT Vysokého učení technického v Brně
Pro tyto dvojpóly budeme používat schematické značky uvedené na obr. 1.10.
Obr. 1.10: Schématické značky
a) nelineárního řízeného rezistoru
b) nelineárního řízeného kapacitoru
c) nelineárního řízeného induktoru
Obr. 1.11. Schématické značky lineárních řízených a)rezistorů, b)kapacitorů,
c)induktorů
U některých dvojpólů může být charakteristika (1.23) vyjádřena ve tvaru
xpPpxfy )(),( == (1.24)
kde veličina y je (při konstantní hodnotě veličiny p) přímo úměrná velikostí veličiny x.
Takové dvojpóly budeme nazývat lineární řízené dvojpóly a značit je ve schématech symboly
uvedenými na obr. 1.11.
Poznamenejme, že v obecném případě mohou vlastnosti dvojpólů záviset na několika
vnějších fyzikálních veličinách (p
1
, p
2
, ..., p
N
). Základní charakteristiky budou vyjadřovat
funkční závislosti typu
),...,,;(
21 N
pppxfy = (1.25)
My se však v dalším omezíme pouze na dvojpóly řízené jednou veličinou.
Analogové elektronické obvody 21
1.2.3 Charakteristiky a parametry dvojpólů
Lineární dvojpóly. Lineární neřízené dvojpóly j sou charakterizovány přímkou
procházející počátkem pravoúhlých souřadnic v rovině y-x (viz obr. 1.12). V obecném případě
jsou tedy charakteristiky vyjádřeny analyticky vztahem
Pxy = (1.26)
kde P = y/x je konstantní veličina nazývaná parametr dvojpólu (prvku). Tento parametr
může být kladný nebo záporný. Je-li kladný, mluvíme o prvku s kladným parametrem; je-li
záporný, mluvíme o prvku se záporným parametrem (obr. 1.12b). Poznamenejme, že lineární
dvojpóly jsou zcela charakterizovány jen jejich parametrem P.
Řízené lineární dvojpóly. Za lineární řízené dvojpóly považujeme takové dvojpóly,
jejichž parametry výrazně závisejí na určité fyzikální veličině p, avšak nezávisejí na
obvodových veličinách.
Obr. 1.12: Charakteristiky lineárních prvků: a)s kladným parametrem (P>0), b) se
záporným parametrem (P> R
0
, takže časovou konstantu určuje prakticky jen R
B
.
Ve zjednodušeném modelu je další „zesilovací" část dále rozdělena řízeným zdrojem proudu
na dvě nezávislé části, pro výsledný externí přenos platí
Obr. 3.25: Tranzistor s kondenzátory v zapojení a)SS, b)SE
Obr 3.26: Lineární model zapojení SS a SE s kondenzátory
,
Ca
ZC
uex
IU
UI
KA =
kde
EEm
EE
m
a
C
pCGg
pCG
g
U
I
++
+
=
(3.57)
Analogové elektronické obvody 135
Obr. 3.27: Asymptoty modulu přenosu samostatné a) vstupní části a b) zesilovací
části a kombinací R
E
C
E
v emitoru
Kmitočtový průběh modulu přenosu I
c
/ U
a
je znázorněn na obr. 3.27 b). Třetí člen
externího přenosu má kmitočtovou závislost modulu obdobnou k závislosti K podle obr. 3.27
a). Jeho charakteristická časová konstanta je C
c
(R
c
+R
Z
). Všechny tři dílčí kmitočtové
závislosti mají na sobě vzájemně nezávislé časové konstanty. Výsledná kmitočtová závislost
externího přenosu napětí vznikne pouhým složením závislostí dílčích. Volbou časových
konstant lze zajistit, aby asymptota modulu přenosu měla maximální sklon 40dB/dek nebo
60dB/dek.
Chování zesilovače s bipolárním tranzistorem se od předešlého liší tím, že ne-
zanedbatelné g
be
tranzistoru spojuje vstupní a střední část modelu do nerozdělitelného bloku.
Jeho kmitočtová závislost se proto nedá ručně v obecném tvaru analyzovat. Proto se musíme
spokojit jen se spekulativními odhady, kterými určíme možný a jen Přibližný vztah hlavních
parametrů modelu k dolnímu meznímu kmitočtu této části modelu.
Předpokládejme, že v zapojení SE:
1. Odpor R
B
= R
B1
|| R
B2
znatelně nezatěžuje signálový obvod, tj. I
b
→ I
0
,
2. napětí U
e
podle obr. 3.26 je vyvoláno proudem I
e
= I
b
β
3. v oblasti dolního mezního kmitočtu se R
E
již neuplatní, takže celý signálový proud I
e
teče přes C
E
,
4. nebudeme brát v úvahu samostatný člen R
C
– C
C
–

R
z
na výstupu.
Za těchto zjednodušujících předpokladů bude dolní mezní úhlový kmitočet
be
EB
dE
gR
CC
/1
//1
0
+
+
=
β
ω
(3.58)
Při výběru kondenzátorů se dá za rozumnou považovat volba C
E
≈ h
21e
C
B
. Při zapojení SB
a SC lze postupovat obdobně s následujícími výsledky
m
BE
dB
gR
CC
/1
//1
0
+
+
=
β
ω
(3.59)
136 FEKT Vysokého učení technického v Brně
z
BE
dC
R
CC β
ω
//1 +
=
(3.60)
Znovu připomínáme, že v obvodech s kondenzátory a s bipolárními tranzistory se dá jen
odhadovat dolní mezní kmitočet vstupní části včetně tranzistoru bez nároků poznat skutečný
průběh modulu a fáze přenosu pod dolním mezním kmitočtem. Dá se jen očekávat že průběh
modulu může měnit strmost od 20 do 40dB/dek.
Poznatky o chování základních zapojení s vazebními a blokovacími kondenzátory
• Vazební kondenzátory galvanicky od sebe oddělují zdroj signálu, zesilovací blok a
zátěž.
• Blokovací kondenzátory zkratují blokovaný uzel se zemí pro dostatečně vysoké
kmitočty (viz vliv C
E
na obr. 3.25 a 3.26), tzn. že Z
E
≈ 0 platí pro střední a horní
kmitočtové pásmo externího přenosu.
• Všechny tyto kondenzátory omezují kmitočtové pásmo maximálního přenosu zdola.
• Dolní mezní kmitočet je vymezen vztahy (3.57) až (3.60) a může být rozhodujícím
způsobem ovlivněn kterýmkoliv kondenzátorem.
• Na kmitočtech dostatečně vysokých proti dolnímu meznímu (tj. alespoň o řád
vyšších), se všechny kondenzátory chovají vůči signálovým veličinám jako zkrat.
• Ve zvláštních případech lze v zapojení SS a SE použít CE pro kompenzaci poklesu
modulu přenosu v oblasti horního mezního kmitočtu, přitom jsou odpovídající
časové konstanty velmi malé, takže se ve středním pásmu CE chová jako rozpojený
obvod.
3.3.2 Zesilovací stupně s induktivní a rezonanční zátěží
V průběhu existence radiotechniky prošla zapojení těchto zesilovačů řadou významných
změn. Zpočátku byly hojně používány nízkofrekvenční zesilovače s transformátorovou
vazbou mezi stupni a vysokofrekvenční zesilovače s jednoduchými paralelními rezonančními
obvody zapojenými jako zátěž základního zesilovacího stupně s triodou. Ukázalo se, že při
použití zesilovacích triod měly tyto stupně značné sklony k parazitním oscilacím [29], [32].
Jak snadno zjistíme, model každé cívky obsahuje nejen indukčnost L
s
, ale také sériový
ztrátový rezistor R
s
a paralelní parazitní kapacitor C. .Ze-li tedy cívka nebo transformátor
připojen jako zátěž v kolektoru (drainu) tranzistoru, chová se zátěž jako rezonanční obvod a
pro vyjádření provozního přenosu napětí stupně SS lze použít jednoduchý lineární model
podle obr. 3.28 a). Provozní přenos napětí pak lze popsat vztahem
()
ssrp
m
a
k
uS
LjRCjG
g
U
U
A
ωω +++
−
==
/1
(3.61)
Modul přenosu dosahuje svého maxima při kmitočtu velmi blízkém ke kmitočtu
rezonančnímu, při němž je imaginární složka nulová. Pro rezonanční kmitočet přibližně platí
Thomsonův vztah
Analogové elektronické obvody 137
rs
r
CL
1
=ω
(3.62)
a při nulové imaginární složce A
uS
(jω), tj. při očekávané rezonanci platí
()
2
/
srsp
m
r
m
uSr
LRG
g
G
g
A
ω+
−
=
−
=
(3.63)
Modul A
uSr
. je maximem kmitočtové závislosti, která je znázorněna v horní části obr.
3.28 b). Na tomtéž obrázku dole je znázorněn i kmitočtový průběh fáze.
Obr. 3.28: a) model, b) kmitočtové závislosti modulu a fáze provozního přenosu napětí
zesilovače SS (SE) s rezonanční zátěží
Dosud uvedené vztahy umožňují jen velice zjednodušený pohled na vlastnosti
idealizovaného zesilovače, u něhož se nemůže projevit ani zpětný přenos zesilovací součásti
ani vlastnosti vstupní části zesilovače. Pokud bychom potřebovali úplný obrázek o lineárních
vlastnostech zesilovače, museli bychom vyšetřit jeho externí přenos. Tento postup musejí
uplatnit všichni, kteří mají takový zesilovač spolehlivě navrhnout a analyzovat. Na tomto
místě se spokojíme jen se zjištěním, kdy může dojít k nestabilitě takového zesilovače. Postačí
138 FEKT Vysokého učení technického v Brně
nám zjistit, kdy je do vstupu zesilovače vlivem průchozí kapacity C
p
reflektována negativní
odporová složka. Úpravou rovnice (3.26) dostaneme
())(1)( ωωω jACjjY
uSpaS
−=
(3.64)
Charakter zátěže zesilovače se mění s kmitočtem. Při rezonančním kmitočtu má zátěž
charakter odporový, při kmitočtech vyšších kapacitní, při kmitočtech nižších induktivní.
Zjednodušeně lze pak předpokládat, že bude možné A
us
rozložit na reálnou a imaginární
složku podle vztahu
()())()()( ωωω
uSuSuS
AjAjA ℑ+ℜ=
(3.65)
Z výrazu (3.61) zjistíme, že imaginární složka je kladná při kapacitním charakteru
zátěže a záporná při induktivním charakteru zátěže. Dosazením do (3.64) dojdeme k závěru,
že zátěž kapacitního charakteru v zapojení SS a SE reflektuje do vstupu zesilovače pozitivní
odporovou složku, zátěž induktivního charakteru negativní odporovou složku. Imaginární
složka admitance Y
as
(jω) pak má v celém kmitočtovém rozsahu kapacitní charakter. Dalším
rozborem bychom mohli zjistit, že zesilovači bude hrozit největší nebezpečí rozkmitání, bude-
li do vstupu též připojen paralelní rezonanční obvod se stejným rezonančním kmitočtem.
Kmitočet parazitních oscilací pak bude blízký k dolnímu meznímu kmitočtu provozního
přenosu A
us
(jω).
Je-li jakýmkoliv způsobem zabráněno zpětnému přenosu v zesilovacím bloku, jsou
frekvenční charakteristiky jednotlivých zesilovacích stupňů na sobě nezávislé a při zatížení
jednoduchým rezonančním obvodem odpovídají průběhům z obr. 3.28 b). Připomeňme si
vžitou terminologií a charakteristické vlastnosti zesilovačů s rezonančními obvody.
Rezonanční křivka je ve skutečnosti geometricky souměrná vhledem ke kmitočtu f
r
, takže
platí
hdr
fff = . Obvykle se však geometrická souměrnost nahrazuje souměrností
aritmetickou, tj. f
h
- f
r
= f
r
- f
d
. Pro šíři přenášeného pásma B platí B = f
h
-