Skripta Analogové el.obvody

ž se zkoumají vlastnosti lineárních obvodů je princip
superpozice (princip nezávislého působení). To platí jak pro obvody s konstantními
parametry, tak i s parametry časově proměnnými. Avšak zatímco umíme řešit lineární
diferenciální rovnice s konstantními koeficienty exaktně, je situace při řešení lineárních
diferenciálních rovnic s časově proměnnými koeficienty značně složitější. Tato okolnost a
také to, že v lineárních obvodech s proměnnými parametry dochází k přeměně a obohacení
spektra, nás vede k tomu, že tyto obvody obvykle řadíme k obvodům nelineárním.
Poměrně dobře je zpracována teorie diferenciálních rovnic prvního řádu s proměnnými
koeficienty. Existuje rovněž několik rovnic druhého řádu s proměnnými koeficienty, které
byly podrobně zkoumány, což umožnilo získat řadu poznatků o jejich řešení. Je to zejména
tzv. Mathieuova rovnice [2], [46]
8 FEKT Vysokého učení technického v Brně
0)2cos2(
2
2
=++ yba
d
yd
τ
τ
která má velký význam v teorii parametrických obvodů.
Nelineární rovnice se vyznačují tím, že jejich koeficienty závisejí na funkci y viz
rovnice (A7). Jako příklad nelineární rovnice druhého řádu můžeme uvést tzv. van der Polovu
diferenciální rovnici oscilátoru [46]
0)1(
2
2
2
=+−− y
d
dy
ya
d
yd
ττ
Řešení rovnic tohoto typu je nejobtížnější. Obecná řešení nelineárních diferenciálních
rovnic nejsou známa; exaktně umíme řešit jen několik zvláštních případů těchto rovnic. Proto
musíme používat přibližných metod. Pro nalezení přibližných řešení nelineárních rovnic bylo
vypracováno mnoho různých metod. Každá z nich má svou specifickou oblast použití, v níž
se uplatní její výhody a v níž se dají její nedostatky zanedbat. Z toho důvodu je jedním ze
základních úkolů řešení nelineárního obvodu volba nejvhodnější metody pro analýzu daného
konkrétního obvodu.
Při použití přibližných metod řešení nelineárních rovnic se doporučuje použít ne jednu,
ale raději dvě či tři přibližné metody a porovnat získané výsledky. Tím můžeme vyloučit
hrubou chybu, vyhodnotit chyby vzniklé přibližným řešením, popřípadě i objevit něco
nového, co objasňuje vznik chyb při použití některé nevhodné metody.
Při analýze nelineárních obvodů se používají metody analytické nebo grafické; v
poslední době nabývají na významu metody numerické, a to díky rychlému rozvoji a zavádění
samočinných počítačů do praxe.
1.1.2 Idealizace elektronických prvků a obvodů
Při analýze elektronických obvodů nelze nikdy vystihnout dynamické vlastnosti
zkoumaného obvodu zcela přesně. Při uvažování všech vlivů by byla analýza jevů v obvodu
velmi složitá a prakticky neproveditelná. Proto hned v první fázi analýzy přistupujeme k
účinným zjednodušením obvodu a jeho modelu. Zavádíme omezující předpoklady.
Předpoklady umožňující účinné zjednodušení analýzy se týkají především charakteru
signálu, kterým je obvod buzen nebo který obvod vyrábí. Existují dvě základní omezení :
Omezení rychlosti časových změn (kmitočtu) signálu a omezení velikosti signálu.
Oprávněnost zavedení uvedených omezení a s tím spojených možností idealizace
prvků a obvodů si vysvětlíme na jednoduchém příkladě dvojpólu RC (obr. 1.4).
Předpokládejme, že tento dvojpól představuje náhradní obvod neboli model skutečného
rezistoru majícího odpor R a nežádoucí (parazitní) kapacitu C. Nechť je
Analogové elektronické obvody 9
Obr. 1.4. Model skutečného rezistoru
napětí u dodávané zdrojem harmonické a nechť má úhlový kmitočet cca, tj. u = U cos
ωt. Pak amplituda I
R
proudu i
R
procházejícího rezistorem R je rovna
R
U
I
R
= (1.9)
a amplituda proudu I
C
proudu i
C
, procházejícího kapacitorem C je
CUI
C
ω=
(1.10)
Vidíme, že amplituda I
R
nezávisí na kmitočtu, tj. obecněji na rychlosti časových změn
signálu, avšak amplituda I
C
na kmitočtu závisí a je tím menší, čím je kmitočet nižší, tj. čím
jsou časové změny signálu pomalejší [50]. Při ω → 0 bude I
C
→ 0 a → a vliv kapacitoru se
neprojeví. Skutečný rezistor se v tomto případě chová jako ideální prvek s odporem R; jeho
model bude představován pouze ideálním rezistorem R.
Při vysokých kmitočtech se však kapacitance kapacitoru uplatní. Proto v těchto
případech předepisujeme jistou maximální chybu, které se ještě smíme při řešení dopustit,
např. aby proud I
C
byl menší než 1% hodnoty proudu I
R
, tj. I
C
< 10
- 2
I
R
. Vezmeme-li v úvahu
rovnice (1.9) a (1.10), dostaneme podmínku
m
RC
ωω =<
−2
10
(1.11)
Splňuje-li tedy úhlový kmitočet signálu podmínku (A11), lze při zvolené přípustné
chybě řešení kapacitor C vypustit a řešit obvod tak, jako by obsahoval pouze lineární rezistor
R. To platí pro všechny úhlové kmitočty ω∈. Každý signál, jehož kmitočet splňuje
tuto podmínku, lze označit jako relativně pomalý signál pro uvažovaný obvod.
U složitějších obvodů je teoretický postup při vyšetřování kritéria pomalosti signálu
často obtížnější než vlastní řešení obvodu; proto se obvykle opíráme o experimentální zjištění,
zda je či není daný signál relativně pomalý, a zda tedy můžeme některé parametry v obvodu
zanedbat.
Obdobně postupujeme i při vyšetřování otázky velikostí signálu, kdy rozhodujeme,
zda je signál relativně malý či velký. Přitom vycházíme z definice, podle které je možné
považovat signál v daném obvodu za relativně malý tehdy, jestliže při daných požadavcích na
přesnost řešení jsou složky proudu způsobené nelinearitou obvodu zanedbatelné.
10 FEKT Vysokého učení technického v Brně
Poznamenejme ještě, že kdybychom si předem neomezili rychlost změn obvodových
veličin, museli bychom mnohdy použít nelineárních modelů s rozprostřenými parametry.
Jejich analýza je však prakticky velmi obtížná a ve většině případů nemožná. Proto budeme
předpokládat, že vyšetřované obvody se chovají jako nelineární či parametrické obvody se
soustředěnými parametry [51].
1.1.3 Stavy a děje v nelineárních a parametrických obvodech
Stav obvodu můžeme definovat jako souhrn okamžitých hodnot obvodových veličin ve
vyšetřovaném obvodu; tento souhrn uvedených veličin charakterizuje okamžitý stav obvodu.
Dějem pak nazýváme určitou časovou posloupnost okamžitých stavů obvodových veličin ve
zkoumaném obvodu. V elektronických obvodech rozlišujeme dva druhy dějů [31]
a) Děje, při kterých se jednotlivé okamžité stavy neopakují; nazýváme je ději
přechodnými.
b) Děje charakterizované tím, že v obvodu se okamžité stavy opakují ; souhrnně je
nazýváme ději ustálenými.
Ustálené děje můžeme dále rozdělit na dva základní druhy : Stejnosměrný ustálený děj
nazýváme též klidový stav, který nastává v obvodu tehdy, když se obvodové veličiny s časem
nemění. Druhý je periodický ustálený děj, při kterém všechny obvodové veličiny mají
periodický časový průběh s konečnou a nenulovou periodou.
Periodický ustálený děj může v obvodu vznikat bud' vlivem periodického signálu
přiváděného na jeho vstupní svorky, nebo u nestabilních obvodů samovolně. Nepůsobí-li na
vstupní svorky obvodu s časově neproměnnými parametry žádný časově proměnný signál,
neobsahuje jeho diferenciální rovnice explicitně vyjádřený čas. Takové obvody označujeme
jako autonomní. Za určitých podmínek (je-li obvod nestabilní - o tom bude řeč později)
vznikají v něm vlastní kmity. Působí-li na vstup obvodu vnější signál, který je časově
proměnný nebo mění-li se parametry obvodu v závislosti na čase, objeví se v příslušné
diferenciální rovnici explicitně vyjádřený čas a takové obvody nazýváme neautonomní. Děje
v neautonomních obvodech popisují tedy nehomogenní rovnice, děje v autonomních
obvodech homogenní rovnice.
Uvedené třídění platí jak pro lineární a nelineární obvody, tak také pro parametrické
obvody, u nichž se parametry prvků mění periodicky (od t → -∞ do t → +∞). Jestliže však
dojde ke změně zákona, podle kterého se mění parametry parametrického prvku, vzniká
přechodný děj, vyvolaný těmito změnami. V parametrických obvodech je tedy nutné uvažovat
i přechodné děje způsobené změnou parametru prvku.
1.1.4 Formulace úkolu při analýze a syntéze nelineárních a parametrických obvodů
Principiálně není rozdíl mezi formulací úkolu při analýze a syntéze lineárních a
nelineárních či parametrických obvodů. Při analýze obvodu můžeme úkol formulovat takto:
Je znám obvod, tj. parametry a charakteristiky jeho prvků a schéma jejich zapojení. U
neautonomních obvodů je znám též vstupní signál x(t). Je třeba vyšetřit, jaký bude výstupní
signál y(t), popřípadě jaká bude závislost výstupního signálu na vstupním, tzv. přenosová
charakteristika y(x). V některých případech může být naopak zadán výstupní signál y(t) a je
třeba vyšetřit, jaký musí být vstupní signál x(t).
Analogové elektronické obvody 11
Při syntéze obvodu je obyčejně zadán jak vstupní signál x(t), tak i výstupní y(t).
Úkolem je vyšetřit, jaké prvky (včetně jejich parametrů a charakteristik) musí obvod
obsahovat a jak musí být tyto prvky zapojeny (tj. najít schéma obvodu).
Obr. 1.5: Nelineární měnič tvaru signálu
Syntéza obvodů je značně složitější a obtížnější než jejich analýza a zdaleka ne vždy má
v obecné podobě řešení. Mimoto nejsou řešení jednoznačná. V současné době umíme řešit
syntézou pouze některé, většinou jednoduché úkoly. Např. provést syntézu charakteristik
násobičů kmitočtu tak, abychom na výstupu násobiče dostali pouze užitečný produkt, nebo
provést syntézu měniče, přeměňujícího harmonický signál na signál trojúhelníkový (obr. 1.5).
Protože syntéza obvodů je téměř ve všech případech (kromě nejjednodušších) složitým
úkolem a rozsah učebnice je omezen, budeme se zabývat převážně analýzou obvodů.
1.1.5 Řešení obvodů v časové a kmitočtové oblasti
Při řešení obvodů s periodickým ustáleným dějem lze využít skutečnosti, že časové
průběhy obvodových veličin obvykle splňují podmínky pro existenci Fourierova rozvoje. To
nám umožňuje řešit a zkoumat jevy v nelineárních i parametrických obvodech spektrálními
metodami v kmitočtové oblasti. Řešení v kmitočtové oblasti využíváme v těch případech, u
nichž nás zajímají především otázky přeměny (transformace) spektra signálů. Zajímáme-li se
v prvé řadě o přeměnu tvaru (tj. časového průběhu) .signálu, používáme metod řešení v
časové oblasti.
Mezi tvarem (časovým průběhem) a kmitočtovým spektrem signálu existuje vždy
jednoznačná závislost, vyjádřená Fourierovou transformací. Libovolná změna tvaru signálu
vede ke změně jeho spektra a naopak.
V obecném případě nelineárního měniče můžeme úkol formulovat takto : Na vstup
nelineárního měniče s přenosovou charakteristikou y(x) přivádíme signál x(t), obr. 1.5. Měnič
musí tento signál přeměnit tak, abychom dostali na jeho výstupu signál y(t), lišící se tvarem, a
tedy i spektrem od signálu x(t).
Při řešení problému v časové oblasti musí měnič provést se signálem takovou operaci,
při níž se na výstupu měniče vytvoří signál
))(()( txyty = (1.12)
Např. podle obr.1.5 se přemění signál harmonického průběhu na signál trojúhel-
níkového průběhu.
Při řešení problému v kmitočtové oblasti formulujeme úkol obdobně. Známe
kmitočtové spektrum vstupního signálu x(t), zadané v podobě Fourierovy řady nebo
12 FEKT Vysokého učení technického v Brně
spektrální funkce. Měnič ho musí změnit tak, aby výstupní signál y(t) měl spektrum
požadovaného složení.
Metoda řešení rovnice (A12), popisující závislost mezi funkcemi x(t) a y(t) závisí na
tom, co je zadáno a co je třeba určit; je-li třeba provést syntézu měniče nebo analyzovat
činnost daného měniče. V prvním případě pro známý vstupní signál x(t) a výstupní signál y(t)
najít jejich vzájemnou závislost y(x), tj. vytvořit měnič s přenosovou charakteristikou y(x).
Ve druhém případě je zadán měnič a jeho přenosová charakteristika a pro známý vstupní
signál x(t) hledáme odezvu y(t), tj. analyzujeme přenosové vlastnosti obvodu.
Uvedené úkoly přeměny tvaru (spektra) můžeme řešit buď grafickými, nebo
analytickými metodami. Grafické metody řešení se obvykle používají pro kvalitativní
vyšetřování studovaných jevů. Jsou názorné, vhodné pro jednoduché signály a nevyžadují
aproximaci nelineárních charakteristik v analytickém tvaru. Výsledky řešení nemají však
obecnou platnost, platí pouze pro daný konkrétní případ. Přesnost řešení není u grafických
metod zpravidla velká. Analytické metody umožňují naproti tomu získat výsledky řešení v
obecném tvaru (nikoliv pro konkrétní hodnoty parametrů obvodu). Jsou použitelné i pro
složité signály a přesnost řešení může být velká.
Obr. 1.6: Objasnění grafické metody tří rovin
Obr. 1.7: Parametrický měnič signálu
Při grafickém řešení jednoduchých úkolů se obvykle používá metoda tří rovin s
pravoúhlými souřadnicemi. Např. na obr. 1.6a je znázorněna nelineární přenosová
charakteristika y(x) měniče, na obr. 1.6b časový průběh vstupního signálu x(t) a na obr. 1.6c
odezva (výstupní signál obvodu y(t). Při analýze sestrojíme pro daný signál x(t) a nelineární
Analogové elektronické obvody 13
charakteristiku y(x) závislost y(t) tak, že ve třetí rovině odvodíme pomocí závislostí x(t) a
y(x) příslušné body křivky y(t) způsobem naznačeným v obrázku. Jsou-li zadány signály x(t)
a y(t) (při syntéze), pak můžeme' odvodit pomoci těchto křivek příslušné body charakteristiky
y(x) měniče.
Přenosové vlastnosti parametrického lineárního měniče (obr. 1.7) můžeme vyjádřit
funkční závislostí
)()()( txtPty = (1.13)
kde P(t) je časově proměnný parametr měniče. V obr. 1.7 značí p(t) časový průběh
řídicího signálu působícího na obvod a ovlivňujícího jeho parametr P(t) = P(p(t)).
Známe-li při analýze měniče vstupní signál x(t) a zákon časové změny parametru P(t),
snadno vyšetříme odezvu y(t). Složitější je vyhledávání měniče s parametrem P(t) pomocí
známých signálů x(t) a y(t). V tomto případě musíme nejprve nalézt vhodné schéma měniče
(tento úkol nemá jednoznačné řešení a potom teprve hledat závislost P(t).
Vzhledem k tomu, že na výstupu každého měniče nedostáváme při transformaci spektra
obvykle jen samotný užitečný signál, připojujeme v mnoha případech k výstupu měniče
vhodný filtr, který z bohatého spektra výstupního signálu měniče propouští jen jeho užitečné
složky a všechny nežádoucí složky potlačuje. Vliv škodlivých složek, vznikajících v důsledku
nedokonalosti filtru měniče charakterizujeme pomocí činitele (koeficientu) charakterizujícího
nelineární zkreslení. Jakost nelineárního nebo parametrického měniče je tím lepší, čím méně
vytváří na výstupu nežádoucích složek, tj. čím menší je nelineární zkreslení.
1.1.6 Obecná charakteristika základních přeměn v nelineárních a parametrických
obvodech
Pomocí nelineárních a parametrických obvodů můžeme uskutečnit řadu velmi
důležitých přeměn, které často v technické praxi využíváme. Uvedeme si jejich stručný
přehled a jejich obecnou charakteristiku.
1. Přeměna střídavého napětí na stejnosměrné. Obvody umožňující uskutečnit tuto
přeměnu nazýváme usměrňovače.
2. Přeměna stejnosměrného napětí na střídavé. Tuto přeměnu provádíme pomocí
obvodů, které nazýváme oscilátory či generátory, střídače aj.
3. Násobení kmitočtu harmonického signálu, tj. přeměna signálu s úhlovým kmitočtem
ω na signál s kmitočtem nω, kde n = 2, 3, ... . Násobení kmitočtu uskutečňujeme v násobičích
kmitočtu.
4. Dělení kmitočtu harmonického signálu uskutečňujeme v děličích kmitočtu. Je to
přeměna signálu s kmitočtem ω na signál s kmitočtem ω/n, kde n = 2, 3, 4, ... .
5. Transformace kmitočtu harmonického signálu (m/n)krát, kde m = 2, 3, 4, ... a n = 2,
3, 4, ..., přičemž m ≠ n, např. m/n = 3/2. Obvody v nichž uskutečňujeme takovou přeměnu
kmitočtu nazýváme měniče kmitočtu.
6. Transponování spektra signálu neboli směšování uskutečňujeme ve směšovačích. Při
této operaci přivádíme na vstup směšovače dva signály (z nichž jeden může být modulovaný)
s kmitočty ω
1
a ω
2
a na výstupu získáváme po filtraci signál s tzv. kombinačním kmitočtem
nω
1
± mω
2
.
14 FEKT Vysokého učení technického v Brně
7. Stabilizace napětí nebo proudu (stejnosměrného nebo střídavého). Uskutečňujeme ji
pomocí obvodů nazývaných stabilizátory napětí nebo proudu. Na výstupu stejnosměrného
stabilizátoru získáváme téměř konstantní napětí nebo proud, i když se napětí na jeho vstupu
nebo parametry zátěže v určitém rozmezí mění.
8. Přeměna tvaru signálu, např. harmonického signálu na pravoúhlý nebo
trojúhelníkový. Tvarování signálů uskutečňujeme pomocí tvarovacích obvodů, tvarovačů
(okrajovače a vykrajovače signálu, funkční měniče).
9. Omezování amplitudy signálu provádíme pomocí amplitudových omezovačů. Na
výstupu omezovače požadujeme signál s určitou konstantní amplitudou, i když se amplituda
vstupního signálu v určitém rozmezí mění.
10. Amplitudová, kmitočtová, fázová nebo impulsová modulace signálů. Modulaci
uskutečňujeme v modulátorech.
11. Demodulace signálu, tj. obnovení modulačního signálu demodulací modulovaného
signálu. Demodulaci uskutečňujeme v demodulátorech.
12. Zesilování napětí, proudu nebo výkonu signálu v zesilovačích.
13. Logaritmování a umocňování signálu jako funkce času. Při této přeměně je napětí
nebo proud na výstupu obvodu uskutečňujícího tuto operaci úměrné logaritmu nebo dané
mocnině vstupního napětí nebo proudu.
14. Násobení dvou (nebo více) signálů, jako funkcí času; uskutečňujeme ho v
násobičkách signálů. Na výstupu násobičky získáváme signál, jehož okamžitá hodnota je
úměrná součinu okamžitých hodnot obou vstupních signálů.
15. Dělení dvou signálů, tj. získání podílu dvou časových funkcí. Tuto operaci
uskutečňujeme pomocí obvodů nazývaných děličky signálů.
16. Vytvoření obvodů se záporným odporem, kapacitou nebo indukčností nebo obvodů,
které se chovají jako nelineární (případně řízený) kapacitor nebo induktor. Takové obvody
nazýváme syntetické rezistory, syntetické kapacitory nebo syntetické induktory.
17. Uskutečnění logických funkcí v logických obvodech (logické členy realizující logický
součet, součin, inverzi, popř. složitější logické funkce).
Ve výčtu speciálních měničů a funkcí, které lze nelineárními a parametrickými obvody
uskutečnit, bychom mohli ještě pokračovat. Uvedli jsme ty nejdůležitější, I tak jsme se mohli
přesvědčit o mnohotvárnosti funkcí, které mohou tyto obvody vykonávat.
1.1.7 Některé fyzikální jevy vznikající v nelineárních a parametrických obvodech
V nelineárních a parametrických obvodech stejnosměrného nebo střídavého proudu
mohou vznikat různé fyzikální jevy. Mnoho zajímavých jevů vzniká především v obvodech
střídavého proudu, obsahujících řízené i neřízené nelineární akumulační prvky (kapacitory a
induktory).
Některé tyto jevy mohou být užitečné a chceme je v určitém obvodu vyvolat; některé
jevy jsou však nežádoucí, parazitní, tj. narušují normální činnost daného obvodu.
V autonomních nelineárních a parametrických obvodech, obsahujících pouze zdroje
stejnosměrného napětí, mohou za určitých podmínek vzniknout samovolně buzené ustálené
kmity (autooscilace), popřípadě přerušovaně generované kmity, samovolné buzení parazitních
kmitů s narůstající amplitudou, nebo i jiné složitější jevy.
Analogové elektronické obvody 15
Samovolně buzenými kmity (autooscilacemi) rozumíme ustálené periodické kmity s
určitou vrcholovou hodnotou a opakovacím kmitočtem, vznikající v autonomních obvodech.
U generátorů jsou tyto kmity žádoucí, u zesilovačů naopak nežádoucí.
Přerušovaným generováním kmitů rozumíme periodické buzení a přerušování kmitů s
opakovacím kmitočtem určeným parametry samotného obvodu.
U oscilátorů se setkáváme i se samovolným buzením nežádoucích kmitů; jsou to
přídavné kmity, jejichž kmitočet je zpravidla podstatně odlišný od jmenovitého kmitočtu
oscilátoru.
V nelineárních a parametrických obvodech střídavého proudu mohou za určitých
podmínek vznikat rezonanční jevy (nelineární nebo parametrická rezonance), přerušovaná
rezonance, automodulace a kmity s neperiodickou obalovou křivkou.
Rezonanční jevy mohou vznikat nejen na základním kmitočtu, daném parametry
obvodu,