Skripta - Základy lineární algebry

j)n,m. Dále platí, že matice (A·C)T a CT·AT jsou stejného typu (p,m).
Označíme-li D = A·C, pak dTik = dki = summationtextnj=1 akjcji = summationtextnj=1 aTjkcTij = summationtextnj=1 cTijaTjk.
Poslední součet je však prvkem i-tého řádku a k-tého sloupce matice CT ·AT, takže
matice (A·C)T a CT ·AT jsou si rovny.
Poznámka 8. Pojem transponované matice se mimo jiné často vyskytuje
v souvislosti se symetrickou maticí. Transponovanou matici ke čtvercové matici
získáme „překlopenímcsquotedblright kolem hlavní diagonály. Je-li matice symetrická, potom
zřejmě transponovaná matice je rovna původní matici, tj. AT = A. Podobně se
dá ověřit, že čtvercová matice je antisymetrická, právě když AT =−A.
Pro každou čtvercovou matici A je A + AT symetrická matice a A−AT
antisymetrická matice. Protože platí
A = 12(A + AT) + 12(A−AT) ,
dostáváme tvrzení, že každou čtvercovou matici lze psát jako součet symetrické
a antisymetrické matice. Není obtížné ověřit, že takový rozklad čtvercové matice
na součet symetrické a antisymetrické matice je jednoznačný.
Příklad 15. Matici A =

 2 −1 13 −1 −1
−1 5 3

 rozložíme na součet symetrické a
antisymetrické matice.
Řešení. Podle předcházející poznámky platí A = B + C, kde B = 12(A + AT)
je symetrická matice a C = 12(A−AT) je antisymetrická matice. V našem případě
B = 12

 2 −1 13 −1 −1
−1 5 3

+ 1
2

 2 3 −1−1 −1 5
1 −1 3

 =

 2 1 01 −1 2
0 2 3

,
C = 12

 2 −1 13 −1 −1
−1 5 3

−1
2

 2 3 −1−1 −1 5
1 −1 3

 =

 0 −2 12 0 −3
−1 3 0

.
Tedy máme A =

 2 1 01 −1 2
0 2 3

+

 0 −2 12 0 −3
−1 3 0

.
21
Lineární algebra
2.3 Hodnost matice
Jedním z důležitých pojmů při studiu systémů lineárních algebraických rovnic je
pojem hodnosti matice.
Definice 14. Uvažujme matici
A =



a11 a12 ··· a1n
a21 a22 ··· a2n
...................
am1 am2 ··· amn



typu (m,n). Hodností matice A rozumíme přirozené číslo, udávající maximální
počet lineárně nezávislých řádkových vektorů matice A. Hodnost matice budeme
značit h(A).
Poznámka 9. Zřejmě hodnost nulové matice je nula. Později si ukážeme, že
počet lineárně nezávislých řádků matice A je roven počtu lineárně nezávislých
sloupců téže matice. Hodnost matice je zdola ohraničena číslem nula a shora
minimem z čísel m,n (rozměrů matice). Tj. platí 0≤h(A)≤min(m,n).
Příklad 16. Matice
parenleftBigg 1 0 1
0 1 0
parenrightBigg
má hodnost 2, neboť její řádky jsou lineárně
nezávislé.
Příklad 17. Matice
parenleftBigg 3 5 −2
6 10 −4
parenrightBigg
má hodnost 1, neboť druhý řádek je
dvojnásobkem nenulového (a tedy lineárně nezávislého) řádku prvního.
Příklad 18. Určíme hodnost matice A =

 2 0 21 2 3
2 6 8

.
Řešení. Připusťme, že h(A) = 3, tj. že matice má tři lineárně nezávislé řádky.
Označíme-li a1 = (2,0,2) , a2 = (1,2,3) , a3 = (2,6,8) , pak musí platit
α1a1 + α2a2 + α3a3 = o jen pro α1 = α2 = α3 = 0. Ověřme tento předpoklad.
Rozepíšeme-li uvedenou rovnici do složek, dostaneme soustavu
2α1 + α2 + 2α3 = 0
2α2 + 6α3 = 0
2α1 + 3α2 + 8α3 = 0
Z druhé rovnice soustavy plyne α2 =−3α3 a po dosazení do první rovnice sou-
stavy α1 = α32 . Dohromady má soustava řešení α1 = k2, α2 =−3k, α3 = k, kde k
je libovolné reálné číslo. Existují tedy i nenulová α1,α2,α3, tj. vektory a1,a2,a3
jsou lineárně závislé. Platí a3 = 3a2−12a1, proto h(A)negationslash= 3, tj. h(A) < 3. Protože
22
2. Matice
první a druhý řádek matice nejsou úměrné, a1,a2 jsou lineárně nezávislé. Tedy
h(A) = 2.
Příklad 19. Matice B =



b11 b12 ··· b1m ··· b1n
0 b22 ··· b2m ··· b2n
...........................
0 0 ··· bmm ··· bmn


,
kde bii negationslash= 0, bij = 0 pro i > j, i = 1,2,...,m, m ≤ n, tj. v hlavní diagonále
nenulové prvky a pod hlavní diagonálou samé nuly, má hodnost m.
Označíme-li totiž její řádky po řadě symboly b1,b2,...,bm, potom z rovnice
β1b1 + β2b2 + ... + βmbm = o plynou porovnáním složek obou stran pro čísla
βi vztahy β1b11 = 0 a odtud β1 = 0, β1b12 + β2b22 = 0 a odtud β2 = 0, atd. až
βm = 0. Tedy řádky uvažované matice jsou lineárně nezávislé. Matice B má proto
hodnost h(B) = m.
Poznámka 10. Určení hodnosti matice přímo z definice není vždy jednoduché
(viz příklad 18). Proto se matice upravuje na jednodušší tvar (viz příklad 19),
samozřejmě tak, aby se při úpravách její hodnost neměnila.
Definice 15. Mějme matici A = (aij) typu (m,n). Elementárními úpravami
matice A budeme rozumět kteroukoliv z následujících úprav:
(i). přehození i-tého a j-tého řádku (resp. sloupce);
(ii). vynásobení i-tého řádku (resp. sloupce) nenulovým číslem;
(iii). přičtení k-násobku i-tého řádku (resp. sloupce) k j-tému řádku (resp. sloupci).
Poznámka 11. Pokud upravujeme jen řádky, hovoříme o řádkových úpra-
vách, analogicky zavádíme sloupcové úpravy. Jestliže matice B vznikla elemen-
tární úpravou matice A, používáme pro označení vztahu mezi nimi značku A∼B.
Dá se ukázat, že pomocí elementárních úprav lze nenulovou matici A převést
na tzv. schodovitou matici B = (bij) téhož typu (m,n) tvaru







0 ··· 0 b1j1 ··· ··· ··· b1n
0 ··· ··· 0 b2j2 ··· ··· b2n
...................................
0 ··· ··· ··· 0 brjr ··· brn
0 0 ··· ··· ··· ··· ··· 0
...................................
0 0 ··· ··· ··· ··· ··· 0







,
kde 1≤j1 < j2 n, která má hodnost h. Pak pro čísla
m,n,h musí platit: a) n + h = m; b) h = n; c) h = m; d) h≤n; e) h < n.
75
Lineární algebra
•6. Určete hodnost matice



2 −4 1 3 2
−1 4 1 −3 1
−2 0 −4 1 −2
−1 0 −2 1 1


.
•7. Je dána matice
parenleftBigg 3 −1
x 1
parenrightBigg
. Zvolte x tak, aby k ní: a) existovala; b) neexis-
tovala inverzní matice.
•8. Vypočtěte inverzní matici k matici

 1 −2 12 −1 1
−2 0 −1

.
•9. Vyjádřete matici X z rovnice X·A = X·B−C . Určete podmínky, aby se
matice X dala vypočítat.
•10. Najděte řešení maticové rovnice
parenleftBigg 2 1
−1 0
parenrightBigg
·X =
parenleftBigg −1 2
0 3
parenrightBigg
.
•11. Součet prvního a druhého řádku determinantu čtvrtého řádu je stejný jako
součet třetího a čtvrtého řádku. Pak hodnota tohoto determinantu je: a) libo-
volná; b) kladná; c) záporná; d) nulová.
•12. Uveďte, kdy je hodnota subdeterminantu k danému prvku aij determinantu
stejná jako hodnota algebraického doplňku k témuž prvku a kdy se tyto hodnoty
liší.
• 13. Je dán determinant n-tého řádu, který má hodnotu 1. Jaká bude jeho
hodnota, vynásobíme-li všechny prvky determinantu číslem k ?
•14. Stanovte subdeterminant a algebraický doplněk prvku a23 determinantu
A =
−1 2 0 2
0 2 1 −1
3 −1 5 0
2 −2 1 −1
.
•15. Najděte řešení rovnice
1−x −1 0
0 1−x −4
−1 0 4−x
= 0.
76
Závěr
•16. Užitím Cramerova pravidla najděte řešení systému
3x1 − 2x2 + x3 = 11
x1 + x2 − 2x3 = −2
2x1 − x2 + 4x3 = 10.
•17. Kdy soustava lineárních algebraických rovnic nemá řešení?
•18. Je dán systém rovnic
2x1 − x2 = 2
3x1 − a·x2 = b.
Zvolte čísla a,b tak, aby systém měl: a) jediné řešení; b) nekonečně mnoho řešení;
c) neměl řešení.
•19. Najděte řešení systému
2x1 − x2 + x3 − 2x4 = 1
x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 2
x1 − 3x2 − x3 − x4 = −1.
• 20. Jestliže systém homogenních rovnic o třech neznámých má řešení x1 =
x2 = x3 = 1, pak tento systém: a) může; b) musí; c) nemůže mít také řešení
x1 = x2 = x3 =−1.
77
Lineární algebra
Výsledky příkladů
◦1.

 −2 4−10 10
1 0


◦2. a) Např. A =
parenleftBigg 1 2
3 4
parenrightBigg
, B =
parenleftBigg 1 0
0 1
parenrightBigg
;
b) Např. C =
parenleftBigg 1 2
3 4
parenrightBigg
, D =
parenleftBigg 1 1
1 1
parenrightBigg
.
◦3.

 6 7−11 6
−7 8


◦4. a) 0; b) 5. ◦5. h≤n
◦6. h = 3 ◦7. a) xnegationslash=−3; b) x =−3.
◦8.

 −1 2 10 −1 −1
2 −4 −3


◦9. X = C·(B−A)−1, Anegationslash= B , B−A regulární.
◦10. X =
parenleftBigg 0 −3
−1 8
parenrightBigg
◦11. Nulová. ◦12. Stejná pro i + j sudé, lišící se pro i + j liché.
◦13. kn ◦14. A23 =−3, ¯A23 = 3.
◦15. x1 = 0, x2/3 = 3. ◦16. x1 = 2, x2 =−2, x3 = 1.
◦17. Právě když hodnost matice soustavy je menší než hodnost matice rozšířené.
◦18. a) anegationslash= 32; b) a = 32, b = 3; c) a = 32, bnegationslash= 3.
◦19. x1 = 45(1−q) + p, x2 = 35(1−q), x3 = q, x4 = p.
◦20. Musí.
78
Závěr
Studijní prameny
Seznam použité literatury
[1] Schmidtmayer, J. Maticový počet a jeho použití v technice. Praha, SNTL
1974.
[2] Horský, Z. MVŠT - sešit II. Vektorové prostory. Praha, SNTL 1980.
[3] Demlová, M. a Nagy, J. MVŠT - sešit III. Algebra. Praha, SNTL 1982.
[4] Škrášek, J. a Tichý, Z. Základy aplikované matematiky I. Praha, SNTL 1983.
[5] Mezník, I., Karásek, J. a Miklíček, J. Matematika I pro strojní fakulty. Praha,
SNTL 1992.
[6] Havelka, J. a Chábek, J. Matematika - lineární algebra, analytická geometrie.
FAST VUT Brno 1982.
[7] Černá, B. Matematika - lineární algebra. VŠZ Brno 1987.
[8] Vetchý, V. a Šikulová, B. Lineární algebra. VAAZ Brno 1988.
[9] Berka, M. Operační výzkum. FAST VUT Brno 1991.
[10] Tryhuk, V. Matematika I1. Úvod do matematické logiky a teorie množin.
FAST VUT Brno 1994.
Seznam doplňkové studijní literatury
[11] Tomica, R. Cvičení z matematiky I. FS VUT Brno 1974.
[12] Eliáš, J., Horváth, J. a Kajan, J. Zbierka úloh z vyššej matematiky 1. Brati-
slava, Alfa 1985.
[13] Kolektiv. Sbírka příkladů z matematiky I. FAST VUT Brno 2000.
Odkazy na další studijní zdroje a prameny
[14] Olšák, P. Lineární algebra, přednášky.
http://math.feld.cvut.cz/olsak/linal.html
[15] Zahradník, M. a Motl, L. Pěstujeme lineární algebru.
http://kolej.mff.cuni.cz/∼lmotm 275/skripta
79
Rejstřík
algebra lineární, 3
člen absolutní, 61
defekt (nulita) matice, 26
determinant
druhého řádu, 41
třetího řádu, 43
n-tého řádu, 50
diagonála
hlavní, 12
vedlejší, 12
doplněk algebraický, 48
hodnost matice, 22
index
řádkový, 11
sloupcový, 11
kombinace lineární, 9
matice, 11
adjungovaná, 55
antisymetrická, 13
čtvercová, 12
diagonální, 12
inverzní, 28
jednotková, 13
nulová, 14
obdélníková, 12
opačná, 15
regulární, 26
řádková, 12
schodovitá, 23
singulární, 26
sloupcová, 12
symetrická, 13
transponovaná, 19
trojúhelníková
dolní, 13
horní, 13
zaměnitelná (komutativní), 17
soustavy, 61
rozšířená, 61
metoda
eliminační Gaussova, 65
Jordanova, 66
mocnina matice, 19
násobení
matice číslem, 15
vektoru číslem, 8
nezávislost lineární, 9
pravidlo
Cramerovo, 62
křížové, 42
Sarrusovo, 43
programování lineární, 4
prostor vektorový, 8
prvek matice, 11
rovnice
lineární, 8
maticová, 32
rovnost
matic, 14
vektorů, 8
rozdíl matic, 15
rozklad matice, 21
rozvoj determinantu Laplaceův, 49
řád matice, 12
řádek matice, 11
řešení
nulové (triviální), 70
obecné, 71, 72
systému rovnic, 62
sloupec matice, 11
složka vektoru, 8
80
Závěr
součet
matic, 14
vektorů, 8
součin matic, 16
subdeterminant (minor), 48, 53
submatice, 53
systém (soustava) rovnic lineárních,
61
homogenní, 62, 69
nehomogenní, 62
řešení fundamentální, 71
typ matice, 11
úpravy matice elementární, 23
vektor, 7
aritmetický, 8
kolineární, 10
neznámých, 61
nulový, 8
pravých stran, 61
řádkový, 12
sloupcový, 12
věta Frobeniova, 64
zákon
asociativní, 19
distributivní, 19
komutativní, 17
závislost lineární, 9
81