Lineární prostory a operátory

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
JIŘÍ VALA
MATEMATIKA
MODUL 2
LINEÁRNÍ PROSTORY A OPERÁTORY
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
ca13 Jiří Vala 2004
OBSAH 3
Obsah
0 Úvod 4
0.1 Cíle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2 Požadované znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Doba potřebná ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.4 Klíčová slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Pojem lineárního prostoru a podprostoru 7
2 Lineární závislost a nezávislost 9
3 Báze a dimenze lineárního prostoru, určování souřadnic 13
4 Norma v lineárním prostoru, normy reálných vektorů a matic 17
5 Geometrická interpretace reálných vektorů 20
6 Skalární součin a ortogonalita 25
7 Lineární operátory, vlastní čísla a vektory reálných čtvercových
matic 34
8 Ukázka kontrolního testu 54
Úvod 4
0 Úvod
Název tohoto učebního textu se m˚uže zdát poněkud zavádějící: přinejmenším ze
skript [8] už totiž známe základní metody a přístupy lineární algebry, a vyzradíme-
li navíc, že v matematické literatuře se běžně jako synonyma používají pojmy
„lineární prostorcsquotedblright a „vektorový prostorcsquotedblright, mohli bychom snad očekávat, že se
nyní (aspoň po teoretické stránce) nedozvíme mnoho nového, poněvadž (takzvaný
aritmetický) vektor m˚užeme definovat jako zvláštní matici, (tedy obdélníkové
schéma, sestávajícími z reálných čísel), o jednom sloupci (nebo řádku). Bylo by
ovšem hrubě zjednodušující se domnívat, že nyní stačí jen přisoudit pojmu vek-
toru (zřejmě o třech složkách) geometrický význam, vyšetřit jeho některé vlast-
nosti a závěry (již v navazujícím učebním textu) aplikovat na zkoumání lineárních
geometrických objekt˚u (bod˚u, přímek, rovin atd.) v trojrozměrném euklidovském
prostoru.
0.1 Cíle
Posláním tohoto učebního textu je ukázat, že pojem vektoru lze chápat v da-
leko obecnějším smyslu – např.v dnes již klasické učebnici [7], určené „poslu-
chač˚um vysokých škol technického směrucsquotedblright, se vektorem rozumí jakýkoliv prvek
tzv.vektorového (lineárního) prostoru, tj.množiny jistých objekt˚u, opatřené arit-
metickými operacemi vzájemného sčítání a násobení reálnou konstantou, vyho-
vující určitým předepsaným požadavk˚um. Tato abstrakce není samoúčelná – její
význam spíše s časem nar˚ustá, tak jak se s rozvojem technických věd, teoretické
i aplikované matematiky i počítačového hardwaru a softwaru stává realističtěj-
ším věrohodný korektní matematický (nejen zjednodušený empirický) popis stále
složitějších jev˚u a proces˚u v přírodě i v technické praxi. V zájmu odstranění
dvojakosti pojmenování však (na rozdíl od [7]) budeme v tomto učebním textu,
p˚ujde-li o zkoumání takových obecných objekt˚u, hovořit o „lineárním prostorucsquotedblright,
resp.o „prvku lineárního prostorucsquotedblright, a pojem „vektorcsquotedblright skutečně ponecháme pro
uspořádanou množinu sestávající z konečného počtu reálných čísel. Budeme se
také snažit minimalizovat počet a duplicitu nově zaváděných pojm˚u: budeme
např.d˚usledně mluvit o „vlastních číslechcsquotedblright a „vlastních vektorechcsquotedblright reálných čtver-
cových matic, i když se často v literatuře, mj.i v [8], ve stejném smyslu píše i
o „charakteristických číslechcsquotedblright a „charakteristických vektorechcsquotedblright).
0.2 Požadované znalosti
Celý učební text je napsán tak, aby byl srozumitelný pro studenty s běžnými stře-
doškolskými znalostmi matematiky; navíc se předpokládá jedině znalost pojm˚u a
základních vět z prvních 4 kapitol [8], např.Frobeniovy věty o řešitelnosti soustav
Úvod 5
lineárních algebraických rovnic. Zcela se nepodařilo vyhnout problematice vlast-
ností reálných funkcí jedné reálné proměnné, které se daleko podrobněji věnuje
[10]; výklad (i za cenu některých vágních formulací a prezentace nedokazovaných
tvrzení) je však zásadně veden tak, aby byl srozumitelný i bez hlubších zna-
lostí teorie funkcí, resp.jejich diferenciálního a integrálního počtu. Při případném
pozdějším studiu např.polynomických funkcí však bude užitečné si uvědomit, jak
tzv.Hornerovo schéma pro výpočet funkčních hodnot m˚uže být užitečné při řešení
algebraické rovnice obecného přirozeného stupně, ke které zpravidla vede problém
nalezení tzv.vlastních čísel a vektor˚u reálné čtvercové matice. Zájemc˚um o hlubší
pochopení této problematiky je možno doporučit klasickou knihu [5], která byla
vydána jako součást populární ediční řady „Teoretická knižnice inženýracsquotedblright. Další
studium by se také mělo zaměřit na zaplnění mezery mezi jednoduchými instruk-
tivními příklady (zvládnutelnými vesměs jen s tužkou a papírem), vyskytujícími
se v tomto učebním textu, a skutečnými úlohami generovanými technickou praxí
(mnohem většího rozsahu, vyžadujícími optimální nasazení vhodné výpočetní
techniky); přes svou letitost k tomu m˚uže svým přehledem efektivních výpo-
čtových algoritm˚u účinně napomoci učebnice [9] (pochopitelně s přihlédnutím
k vývoji počítačového hardwaru i softwaru uplynulých desetiletí). S vybranými
numerickými algoritmy (např.s iteračními metodami pro řešení soustav lineár-
ních algebraických rovnic a s mocninnou metodou pro výpočet vlastních čísel a
vektor˚u reálných čtvercových matic) se lze také seznámit ve skriptech [2]. Pozna-
menejme, že některé podklady pro samostatné studium (domácí i zahraniční) jsou
volně k dispozici i v elektronické podobě, často však vyžadují hlubší předběžné
(nejen jazykové) znalosti a schopnosti orientace v r˚uzných partiích matematiky
(srov.[6]) případně se (jako např.[11]) tématicky překrývají s naším učebním tex-
tem jen částečně. Z klasických tištěných učebnic, opakovaně vydávaných (a proto
poměrně dostupných), prověřených v podmínkách FAST několika generacemi stu-
dent˚u, zmiňme aspoň [4] a [12]. Rozsáhlou zásobu zadání běžných typ˚u příklad˚u
k procvičování (podrobně neřešených, pouze doplněných správnými výsledky),
zpracovanou kolektivem učitel˚u FAST VUT, obsahují skripta [3].
0.3 Doba potřebná ke studiu
Pro studium lineárních prostor˚u a operátor˚u je v současném učebním plánu řád-
ného studia na FAST VUT v Brně vyhrazeno celkem 8 hodin pří mé výuky,
z toho 4 hodiny přednášek a 4 hodiny cvičení. Vzhledem k rozsahu problematiky
a k jejímu uplatnění v navazujících modulech předmětu „Matematikacsquotedblright i v odbor-
ných předmětech stavební ho inženýrství se přitom spoléhá na vlastní přípravu
každého studenta, jejíž časová náročnost je individuální, souvisíc s předběžnými
znalostmi středoškolské matematiky i rozvíjením schopnosti logické ho myšlení.
To ještě ve větší míře platí pro studenty kombinované formy studia. Přes snahu
autor˚přístupnost výkladu neníı tento text lehkým čtením – nejde zde totiž pri-
Úvod 6
márně o zvládnutí balíku faktografických znalostí ani souhrnu algoritm˚u, které lze
během další ho studia postupně bez následk˚u zapomínat, ale o osvojení tvořivého
přístupu k technickým problém˚s využitím moderních matematických prostředk˚u.
0.4 Klíčová slova
Klíčová slova: lineární prostor a podprostor, lineární závislost, báze, dimenze,
souřadnice, norma, aritmetický a geometrický vektor, skalární součin, lineární
operátor, vlastní číslo matice, vlastní vektor matice.
Vrat’me se nyní (po několika informativních a názvoslovných poznámkách)
k vlastní problematice tohoto učebního textu. V dosavadním studiu matematiky
jsme se setkali s řadou množin, na nichž byly definovány nějaké operace, přičemž
výsledkem těchto operací byly prvky stejné množiny. Tak již pravděpodobně od
první třídy základní školy jsme studovali množinu všech reálných (nejprve celých,
později i racionálních a jiných) čísel a82 s binárními operacemi sčítání a odčítání,
s unární operací změny znaménka a postupně i s binárními operacemi násobení a
dělení (jen dělení nulou bylo zakázáno). Posléze jsme zjistili, že obdobné operace
lze provádět nejen s reálnými čísly, ale i s reálnými funkcemi reálných proměnných
na celém jejich definičním oboru. Jiné zobecnění představoval přechod od operací
na množině a82 k operacím na množině všech komplexních čísel a67 (bez jejichž
znalosti bychom nebyli schopni vyřešit např.ani kvadratickou rovnici s reálnými
koeficienty). Díky prostudování [8] umíme pracovat s maticemi, sestávajícími z čí-
sel z a82, o jistém přirozeném počtu a109 řádk˚u a a110 sloupc˚u; množinu všech takových
schémat pro nějaká a109a59a110 a50 a78, kde a78 = a1021a592a59a58a58a58a103 (symbol a78 vyhradíme pro
množinu všech přirozených čísel), označme a82a109a2a110.
Pro a109a59a110 a50 a78 mějme nejprve matice a65a59a66 a50 a82a109a2a110. Bez potíží dokážeme
určit jejich součet a67 = a65 + a66 a50 a82a109a2a110. Totéž platí o rozdílu a65 a a66, případně
o násobení kterékoliv z těchto matic libovolným reálným číslem. Obtíže nastávají
v případě, chceme-li a65 násobit a66: evidentně by muselo platit a109 = a110, tj.obě
matice by musely být čtvercové, a navíc obecněa65a58a66 a54= a66a58a65. Pokud bychom chtěli
konstruovat např.k matici a65 matici inverzní (čímž se zpravidla obchází chybějící
operace dělení při počítání s maticemi), musela by matice a65 být navíc regulární
(čili deta65 a54= 0). Vidíme tedy, že analogie s počítáním s reálnými čísly funguje
jen u operací sčítání matic a násobení matic čísly z a82 (o odčítání už nemusíme
mluvit zvlášt’, poněvadž rozdíl a65a0a66 lze interpretovat jako součet matic a65 a
a01a58a66). Všimněme si také, že pro libovolnou matici a65 o a110 = 1 sloupci (pro kterou
se používá speciální název „sloupcový vektorcsquotedblright), m˚užeme vždy sestavit součin
a65a84a58a65, jehož výsledkem je pouhé číslo z a82 (totéž by pochopitelně bylo možné pro
a66a58a66a84 a „řádkový vektorcsquotedblright čili matici a66 o a109 = 1 řádku); tuto myšlenku uplatníme
v definici tzv.skalárního součinu.
Naznačené operace bude zřejmě možno zavést i na velmi obecných množi-
1. Pojem lineárního prostoru a podprostoru 7
nách. Jednotný matematický aparát nám následně umožní i jednotný přístup
k r˚uzným problém˚um matematickým, fyzikálním i motivovaným potřebami tech-
nické praxe, bez něhož není mj.možné vytvářet ani tv˚určím zp˚usobem využívat
moderní softwarové nástroje pro analýzu vlastností, navrhování a posuzování sta-
vebních konstrukcí.
1 Pojem lineárního prostoru a podprostoru
Doposud jsme se v praxi (i když jsme to explicitně nezd˚urazňovali) seznámili
s řadou lineárních prostor˚u, např.s již citovanými prostory a82, a67 nebo a82a109a2a110
(a109a59a110 a50 a78). Nyní zavedeme obecnější pojem lineárního prostoru a jeho pod-
prostoru, založený na vlastnostech operací vzájemného sčítání prvk˚u a násobení
prvk˚u reálnou konstantou.
Definice 1.1: Množinua76, na které lze zavést operace + (sčítání) a . (násobení
číslem z a82), nazveme lineárním prostorem, právě když pro libovolné prvky
a117a59a118a59a119 a50a76 a pro libovolná čísla a11a59a12 a50a82 jsou splněny následující požadavky:
a) uzavřenosti množinya76vzhledem k uvedeným operacím:a117+a118 a50a76aa11a58a117a50a76,
b) komutativnosti sčítání: a117+a118 = a118+a117,
c) asociativnosti sčítání: (a117+a118) +a119 = a117+ (a118+a119),
d) existence nulového prvku při sčítání: existuje takový prveka111a50a76, žea117+a111 =
a117,
e) existence inverzního prvku při sčítání: existuje takový prvek a0a117 a50 a76, že
a117+ (a0a117) = a111,
f) asociativnosti násobení reálným číslem: a11a58(a12a58a117) = (a11a58a12)a58a117,
g) distributivnosti součt˚u prvk˚u z a82 vzhledem k násobení prvkem z a76: (a11+
a12)a58a117 = a11a58a117+a12a58a117,
h) distributivnosti součt˚u prvk˚u z a76 vzhledem k násobení prvkem z a82: a11a58(a117+
a118) = a11a58a117+a11a58a118,
i) existence jednotky pro násobení reálným číslem: : 1a58a117 = a117.
Abychom se přesvědčili, že předchozí definice zahrnuje i užitečné prostory
r˚uzné od těch, které jsme již zmiňovali, uvažujme množinu a80a110 všech reálných
polynomických funkcí jediné proměnné a120 a50 a82 stupně nejvýše a110 a50 a78, tj.funkcí,
které lze zapsat ve tvaru
a102(a120) = a970 +a971a58a120+a58a58a58+a97a110a58a120a110
1. Pojem lineárního prostoru a podprostoru 8
pro nějaké součinitele a970a59a58a58a58a59a97a110 a50 a82. Operaci + lze zavést snadno zvlášt’ pro
každé pevné a120 a50 a82: a102(a120) + a103(a120) je pro libovolnou dvojici funkcí a102a59a103 a50 a80a110 jen
obyčejné sčítání reálných čísel. Stejné zd˚uvodnění m˚užeme uplatnit i v případě
operace a58 a součinu a11a58a102. Ověřování vlastností a) až i) pak degeneruje ve snadné
ověřování týchž vlastností pro prvky a82.
Jiným často používaným příkladem lineárního prostoru je množina a83 všech
posloupností (a981a59a982a59a58a58a58) sestávajících z nekonečně mnoha reálných čísel a981a59a982a59a58a58a58
s obvyklým součtem posloupností a násobením posloupnosti reálným číslem.
Snadno se přesvědčíme, že za nulový prvek a83 musíme volit posloupnost (0a590a59a58a58a58).
Obdobně v prostoru a82a109a2a110 tvoří prvek a111 nulová matice o a109 řádcích a a110 sloup-
cích. Symbolem a111 bude i nadále vyhrazen (už bez explicitního zd˚urazňování) pro
nulový prvek jakéhokoliv lineárního prostoru a76.
Definice 1.2: Neprázdnou množinu a77 nazveme podprostorem lineárního
prostoru a76, právě když platí a117+a118 a50a77 a a11a58a117a50a77 pro každé a117a59a118 a50a77 a a11a50a82
(tj. je-li požadavek a) splněn zvlášt’ pro množinu a77 namísto a76).
Pro ilustraci této definice uvažujme v a83 množinu a83a97 všech aritmetických po-
sloupností (tj.posloupností (a98a59a98+a99a59a98+ 2a58a99a59a58a58a58) pro nějaká a98a59a99 a50 a82) a množinu
a83a103 všech geometrických posloupností (tj.posloupností (a98a59a98a58a99a59a98a58a992a59a58a58a58) pro nějaká
a98a59a99a50a82). Jejich vlastnosti budeme zkoumat v následujícím příkladu.
Příklad 1.1: Zjistěte, tvoří-li množiny a83a97 a a83a103 podprostory lineárního pro-
storu a83.
Řešení: Zabývejme se nejprve množinou a83a97. Uvažujme v ní jakékoliv dvě
posloupnosti (a981a59a981+a991a59a981+2a58a991a59a58a58a58) a (a982a59a982+a992a59a982+2a58a992a59a58a58a58) s a981a59a982a59a991a59a992 a50a82.
Jejich součtem je posloupnost (a98a59a98+a99a59a98+ 2a58a99a59a58a58a58) s a98 = a981 +a982 a a99 = a991 +a992,
která patří opět do a83a97. Ještě jednodušší je ověřit, že reálný násobek posloupnosti
z a83a97 je opět posloupnost z a83a97. a83a97 tedy tvoří podprostor a83. Vyslovme hypotézu, že
také a83a103 tvoří podprostor a83. Mějme nyní speciální posloupnosti z a83a103 (1a591a591a59a58a58a58) a
(1a592a5922a59a58a58a58). Jejich součtem je posloupnost (1 + 1a591 + 2a591 + 4a59a58a58a58). Patří-li tato
posloupnost a83a103, musí ji být možno vyjádřit ve tvaru (a98a59a98a58a99a59a98a58a992a59a58a58a58) pro nějaká
a98a59a99a50a82; musí tedy mj.platit
1 + 1 = a98a59 1 + 2 = a98a58a99a59 1 + 4 = a98a58a992a58
Poněvadž podle první rovnicea98 = 2, dostáváme ze druhé rovnice následněa99 = 3a612
a ze třetí poté nesprávný výsledek 5 = 32a612. Naše hypotéza byla chybná: a83a103
netvoří podprostor a83.
V tomto učebním textu se budeme zanedlouho podrobněji zabývat analytic-
kou geometrií v prostoru a823, tedy v onom prostoru, se kterým převážně pracuje
deskriptivní geometrie. Předem si už m˚užeme uvědomit, že celý prostor a823 je
sám sobě také podprostorem, ale že (z praktického hlediska především) tvoří
podprostory a823 též roviny a přímky (nikoliv však obecnější čáry nebo plochy)
2. Lineární závislost a nezávislost 9
v libovolných polohách.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 1.2: Rozhodněte, zda množina ˜a803 všech funkcí a102 a50 a803 vlastnosti
a102(a120) = a102(a0a120) pro každé a120a50a82 (tj.množina všech sudých polynomických funkcí
nejvýše třetího stupně) tvoří podprostor a803.
Výsledek: Tvoří.
Příklad 1.3: Zjistěte, z˚ustane-li výsledek předešlého příkladu v platnosti,
definujeme-li sčítání v a80a110 pro libovolné funkce a102a59a103 a50 a80a110 a jejich součet a104 a50 a80a110
pro každé a120a50a82 předpisem
a104(a120) = a11a58a102(a120) +a12a58a103(a120)a59
v němž a11 a a12 jsou předem zvolená navzájem r˚uzná reálná čísla.
Výsledek: Nez˚ustane.
2 Lineární závislost a nezávislost
Samotný pojem lineárního prostoru (resp.podprostoru) v sobě nezahrnuje žádnou
informaci, zda a jak jsou prvky příslušného prostoru vzájemně závislé, případně
jaký počet (a v jakém smyslu) nezávislých prvk˚u lze v prostoru nalézt. Tento
nedostatek nám pomohou odstranit následující definice.
Definice 2.1: Prvky a1171a59a58a58a58a59a117a110, kde a110 a50 a78, lineárního prostoru a76 nazveme
lineárně závislými, právě když existují taková čísla a111a59a58a58a58a59a11a110 a50 a82, z nichž
aspoň jedno je nenulové, že
a111a1171 +a58a58a58a11a110a117a110 = a111a58
Prvky a1171a59a58a58a58a59a117a110, kde a110a50a78, lineárního prostoru a76 nazveme lineárně nezávis-
lými, právě když nejsou lineárně závislé.
Definice 2.2: Prvek a118 lineárního prostoru a76 nazveme lineární kombinací
prvk˚u a1171a59a58a58a58a59a117a110 a50a76, kde a110a50a78, právě když existují taková čísla a111a59a58a58a58a59a11a110 a50a82,
z nichž aspoň jedno je nenulové, že
a111a1171 +a58a58a58a11a110a117a110 = a118a58
K pochopení významu těchto definic i zp˚usobu ověřování jejich předpoklad˚u
snad přispějí tři následujících příklady, ve kterých budeme pracovat s již zavede-
nými prostory a823, a822a22 a a802.
Příklad 2.1: Ověřte, jsou-li vektory a117 = [1a592a593]a84, a118 = [3a591a590]a84 a a119 =
2. Lineární závislost a nezávislost 10
[5a595a596]a84 lineárně nezávislé v a823. Jsou-li naopak lineárně závislé, vyjádřete a119 jako
lineární kombinaci a117 a a118.
Řešení: Hledejme takové součinitele a111, a112 a a113, aby platilo
a111a58a117+a112a58a118+a113a58a119 = a111;
zde a111 = [0a590a590]a84. Tuto rovnici (formálně jedinou, ve skutečnosti však reprezen-
tující soustavu 3 lineárních algebraických rovnic o 3 neznámých a111, a112 a a113)
m˚užeme po dosazení složek vektor˚u a117, a118 a a119 přepsat v přívětivějším maticovém
tvaru a50
a54a52 1 2 33 1 0
5 5 6
a51
a55a53a1
a50
a54a52 a111a11
2
a113
a51
a55a53 =
a50
a54a52 00
0
a51
a55a53 a58
Všimněme si, že transpozice v zadání vektor˚u a117, a118 a a119 (a následně při chápání
nulového vektoru a111) je zde nepodstatná – prostor a823 má stejné vlastnosti, at’
jeho prvky chápeme jako vektory řádkové či sloupcové. Dostáváme homogenní
soustavu, která má vždy triviální řešení a111 = a112 = a113 = 0. Musíme zkoumat,
má-li i nějaké jiné řešení. Gaussovou eliminací vychází
a50
a54a52 1 2 33 1 0
5 5 6
a51
a55a53a24
a50
a54a52 1 2 30 a05 a09
0 a05 a09
a51
a55a53 a58
Zvolíme-li libovolné a113 = a116 a50 a82, dostáváme postupně a112 = a09a58a116a615 a a111 =
a03a58a116a02a58(a09a58a116a615) = 3a58a116a615. Vektory a117, a118 a a119 jsou tedy lineárně závislé a (zvolíme-
li např.a116 = 5) platí
3a58a117a09a58a118+ 5a58a119 = a111
neboli
a119 = 95 a1a118a0 35 a1a117a58
Příklad 2.2: Ověřte, že matice
a65 =
a34 1 2
3 0
a35
a59 a66 =
a34 1 2
1 0
a35
a59 a67 =
a34 2 3
0 0
a35
a59 a68 =
a34 1 0
1 1
a35
jsou lineárně nezávislé v a822a22.
Řešení: Stačí ukázat, že maticová rovnice
a111a58a65+a112a58a66 +a113a58a67 +a114a58a68 = a111a59
v níž a111 je nulová matice o dvou řádcích i sloupcích, má jediné řešení a111 = a112 =
a113 = a113 = 0. Tuto rovnici lze evidentně (rozepisujeme-li ji pro jednotlivé prvky
2. Lineární závislost a nezávislost 11
matic a65, a66, a67 a a68 na odpovídajících pozicích v obou řádcích a sloupcích) for-
mulovat ve tvaru a50
a54a54
a54a52
1 1 2 1
2 2 3 0
3 1 0 1
0 0 0 1
a51
a55a55
a55a53a1
a50
a54a54
a54a52
a111
a112
a113
a114
a51
a55a55
a55a53 =
a50
a54a54
a54a52
0
0
0
0
a51
a55a55
a55a53 a58
Determinant matice této soustavy je
a12a12
a12a12
a12a12
a12a12
a12
1 1 2 1
2 2 3 0
3 1 0 1
0 0 0 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12a12
a12
=
a12a12
a12a12
a12a12
a12
1 1 2
2 2 3
3 1 0
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= 9 + 4a012a03 = a02 a54= 0a58
Soustava je regulární, a nem˚uže mít tedy jiné řešení než uvedené triviální řešení.
Příklad 2.3: Ze čtveřice funkcí a1020, a1021, a1022, a1023 zavedených pro každé