Lineární prostory a operátory

a120 a50 a82
vztahy
a1020(a120) = 1a59 a1021(a120) = 1 +a120a59 a1022(a120) = a1202a59 a1023(a120) = 1 +a120+ 2a58a1202
vyberte libovolným zp˚usobem tři funkce lineárně nezávislé v a803 a vyjádřete, je-li
to možné, jako jejich lineární kombinace v a803 funkce a39 a a32 předepsané pro každé
a120a50a82 vztahy
a39(a120) = a1203a59 a32(a120) = a01a03a58a120+ 4a58a1202a58
Řešení: Úloha není zřejmě zadána jednoznačně; nejsnazší by mělo být vyloučit
z dalších úvah funkci a1023 = a1021 + 2a58a1022. Musíme však ještě ověřit, že funkce a1020, a1021
a a1022 jsou lineárně nezávislé. Předpokládejme opak: existují tedy takové reálné
koeficientya110,a111 aa112 (jejichž pořadová čísla jsme přizp˚usobili pořadovým čísl˚um
zadaných funkcí), z nichž aspoň jeden je nenulový, že
a110a1020 +a111a1021 +a112a1022 = a111;
a111 je zde funkce, jež vrací číslo 0 pro každé reálné a120. Volíme-li postupně a120 = 0,
a120 = 1 a a120 = a01, obdržíme soustavu
a50
a54a52 1 1 01 2 1
1 0 1
a51
a55a53a1
a50
a54a52 a110a11
1
a112
a51
a55a53 =
a50
a54a52 00
0
a51
a55a53 a58
Determinant matice této soustavy je
a12a12
a12a12
a12a12
a12
1 1 0
1 2 1
1 0 1
a12a12
a12a12
a12a12
a12
= 1a58
a12a12
a12a12
a12
2 1
0 1
a12a12
a12a12
a12a01a58
a12a12
a12a12
a12
1 1
1 1
a12a12
a12a12
a12 = 1a582a01a580 = 2 a54= 0a58
2. Lineární závislost a nezávislost 12
Tím však dospíváme ke sporu – matice soustavy je regulární, takže soustava má
pouze triviální řešení a110 = a111 = a112 = 0, které jsme předem vyloučili. Zbývá ještě
(je-li to možné) vyjádřit a39 a a32 jako lineární kombinaci a1020, a1021 a a1022. Pokusme se
o to současně pro a39 i pro a32: stačí nalézt nějaké takové reálné součinitele a120, a121 a
a122, resp.a130, a131 a a132, aby platilo
a39 = a120a1020 +a121a1021 +a122a1022a59 a32 = a130a1020 +a131a1021 +a132a1022a58
Volíme-li postupně a120 = 0, a120 = 1, a120 = a01 a a120 = 2, obdržíme soustavu
a50
a54a54
a54a52
1 1 0
1 2 1
1 0 1
1 3 4
a51
a55a55
a55a53a1
a50
a54a52 a120a12
1
a122
a51
a55a53 =
a50
a54a54
a54a52
0
1
a01
8
a51
a55a55
a55a53 a59
resp.soustavu a50
a54a54
a54a52
1 1 0
1 2 1
1 0 1
1 3 4
a51
a55a55
a55a53a1
a50
a54a52 a130a13
1
a132
a51
a55a53 =
a50
a54a54
a54a52
a01
0
6
9
a51
a55a55
a55a53 a58
Gaussovou eliminací vychází
a50
a54a54
a54a52
1 1 0 0 a01
1 2 1 1 0
1 0 1 a01 6
1 3 4 8 9
a51
a55a55
a55a53a24
a50
a54a54
a54a52
1 1 0 0 a01
0 1 1 1 1
0 a01 1 a01 7
0 2 4 8 10
a51
a55a55
a55a53a24
a50
a54a54
a54a52
1 1 0 0 a01
0 1 1 1 1
0 0 2 0 8
0 0 2 6 8
a51
a55a55
a55a53a24
a50
a54a54
a54a52
1 1 0 0 a01
0 1 1 1 1
0 0 2 0 8
0 0 0 6 0
a51
a55a55
a55a53 a58
Nepravdivý závěr 6 = 0 v posledním řádku nás v prvním případě informuje, že a39
nelze v a803 získat jako lineární kombinaci a1020, a1021 a a1022. I ve druhém případě musíme
být obezřetní: poslední rovnice sice vypadne a z prvních tří dostáváme postupně
a132 = 4,a131 = a03 aa130 = 2, není však ještě zcela jasné, že pro jinou volbua120bychom
neskončili stejně jako v prvním případě. Zdá se však, že a32 = 2a58a1020 a03a58a1021 + 4a58a1022.
Dosadíme-li sem za a32, a1020, a1021 a a1022, dostáváme identitu
a01a03a58a120+ 4a58a1202 = 2a03a58(1 +a120) + 4a58a1202
pro libovolné a120 a50 a82; a32 lze tedy skutečně popsaným zp˚usobem vyjádřit jako
lineární kombinaci a1020, a1021 a a1022 v a803.
V posledním příkladě jsme se propracovávali k výsledk˚um poměrně kompli-
kovanými výpočty. Kdybychom měli k dispozici více informací o vlastnostech
3. Báze a dimenze lineárního prostoru, určování souřadnic 13
prostoru a802, mohli bychom na ně odkazovat a většinu odvození vynechávat. Zís-
káváme tak motivaci k hlubšímu zkoumání vlastností prakticky užitečných speci-
álních tříd funkcí (zde konkrétně polynomických), na které se zaměříme později.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 2.4: Najděte všechny takové reálné parametry a11, pro něž jsou vek-
tory a117 = [1a592a594a591]a84, a118 = [4a592a591a591]a84 a a119 = [1a59a11a591a592a615]a84 lineárně závislé v a824.
Výsledek: Jediným řešením je a11 = 4a615.
Příklad 2.5: V a824 jsou dány lineárně nezávislé vektory a97, a98 a a99. Zjistěte,
jsou-li vektory a117, a118 a a119 zadané předpisem
a117 = 2a58a97a03a58a98a59 a118 = 3a58a117a0a98+a99a59 a119 = a117+a118+a97a02a58a99
lineárně závislé.
Výsledek: Nejsou.
3 Báze a dimenze lineárního prostoru, určování
souřadnic
Při studiu lineární závislosti a nezávislosti v lineárním prostoru a76 jsme si za-
tím (obecně ani v konkrétních příkladech) nesnažili položit otázku, kolik lineárně
nezávislých prvk˚u prostoru a76 je třeba zvolit, aby již bylo možno libovolný pr-
vek prostoru a76 určit jako jejich lineární kombinaci. Na tuto problematiku se
soustřed’ují následující definice.
Definice 3.1: Množinu všech prvk˚u lineárního prostoru a76, které lze vyjádřit
jako lineární kombinaci prvk˚u nějaké uspořádané množinya71, nazvemelineárním
obalem prostoru a76. Uspořádanou množinu a71 nazveme bází prostoru a76, právě
když jsou všechny prvky množiny a71 lineárně nezávislé v prostoru a76 a současně je
lineární obal množiny a71 totožný s celým prostorem a76. Počet prvk˚u báze nazveme
dimenzí prostoru a76.
V předchozí definici se často vynechává předpoklad, že množina a71 je uspořá-
daná. V našich úvahách však budeme (hlavně pro zvýšení srozumitelnosti) vždy
dodržovat pořadí prvk˚u této množiny: typicky přitom bude a71 = a102a1031a59a58a58a58a59a103a110a103 pro
prostor dimenze větší nebo rovné a110 a50 a78, přičemž a1031a59a58a58a58a59a103a110 jsou nějaké prvky
a76. Všimněme si rovněž, že definice lineárního obalu je záměrně formulována tak,
aby lineární obal každé uspořádané množinya71byl již automaticky podprostorem
a76 (obsahuje totiž vzájemné součty všech svých prvk˚u i jejich reálné násobky).
Praktická konstrukce báze v jednoduchém prostoru konečné dimenze bude zřejmá
z následujícího příkladu.
Příklad 3.1: Dokažte, že množina všech diagonálních matic a822a22a68 tvoří pod-
3. Báze a dimenze lineárního prostoru, určování souřadnic 14
prostor prostoru a822a22. Najděte nějakou bázi tohoto podprostoru a stanovte jeho
dimenzi.
Řešení: Libovolnou matici
a65 =
a34 a97
11 a9712
a9721 a9722
a35
a59
která sestává z 2a22 reálných čísel a9711, a9712, a9721 a a9722, m˚užeme zapsat ve tvaru
a65 = a9711a58a6611 +a9712a58a6612 +a9721a58a6621 +a9722a58a6622a59
kde
a6611 =
a34 1 0
0 0
a35
a59 a6612 =
a34 0 1
0 0
a35
a59 a6621 =
a34 0 0
1 0
a35
a59 a6622 =
a34 0 0
0 1
a35
a58
Množinu a102a6611a59a6612a59a6621a59a6622a103 tak m˚užeme prohlásit za bázi prostoru a822a22. Libo-
volnou diagonální matici
a68 =
a34 a97
11 0
0 a9722
a35
v a822a22 m˚užeme potom analogicky zapsat v ještě jednodušším tvaru
a68 = a9711a58a6611 +a9722a58a6622a58
Prostor a822a22a68 zde vzniká jako lineární obal množiny a71 = a102a6611a59a6622a103, a je tedy
nutně podprostorem a822a22; množina a71 z˚ustává přitom bází prostoru a822a22a68 . Za-
tímco dimenze a822a22 je 4, dimenze a822a22a68 je pouze 2.
Dimenze (v českém textu často také „rozměrcsquotedblright) je zdánlivě jen pomocným po-
jmem pro stručné označení počtu prvk˚u báze. Tento pojem má ovšem rozsáhlé
uplatnění v matematice i v aplikačních disciplínách. Pro jakékoliv přirozené číslo
a110 mají prostory a82a110 i a80a110 evidentně stejnou dimenzi a110. Zvolíme-li ještě další při-
rozené číslo a109, vidíme (ze snadného zobecnění předchozího příkladu), že prostor
a82a109a2a110 má dimenzi a109a58a110. Označme nyní a80 prostor všech reálných polynomických
funkcí jediné proměnné a120 a50 a82 libovolného přirozeného stupně. Pro každé přiro-
zené a110a62 1 je zřejmě a801 a26a80a110 a26a80; jednou z možných bází prostoru a80a110 je přitom
a71 = a102a1020a59a1021a59a58a58a58a59a102a110a103, kde
a1020(a120) = 1a59 a1021(a120) = a120a59 a58a58a58 a59 a102a110(a120) = a120a110
pro každé a120a50a82. Funkce a102a110+1 definovaná předpisem
a102a110+1(a120) = a120a110+1
pro každé a120 a50 a82 není ovšem nikdy lineární kombinací prvk˚u báze a71. Dimenze
prostoru a80 není tedy konečná. Tato vlastnost je typická pro prostory funkcí (i
3. Báze a dimenze lineárního prostoru, určování souřadnic 15
obecnějších zobrazení). Reálné problémy technické praxe vedou většinou k for-
mulaci nějakých diferenciálních nebo integrálních rovnic (případně jejich sou-
stav), jejichž řešení ve vhodném prostoru funkcí nekonečné dimenze je přesně
známo jen u nevelkého množství jednoduchých modelových (oproti realitě zpra-
vidla hrubě zjednodušených) úloh – např.v Kirchhoffově ohybové teorii nosník˚u
nebo u vedení tepla v jediném směru. Zpravidla se namísto přesného řešení hledá
v nějakých podprostorech konečné dimenze zmiňovaného prostoru nekonečné di-
menze posloupnost přibližných řešení p˚uvodního problému. Přitom se věří (a ve
št’astnějších případech i umí dokázat), že přesnost výsledk˚u se zvyšuje s rostoucí
dimenzí podprostoru: např.u výpočtu pr˚uhybu nosník˚u vlivem příčného zatížení
(pokud bychom neuměli nebo nechtěli hledat přesné řešení) bychom si to dokázali
aspoň kvalitativně představit jako nahrazování pr˚uhybové křivky lomenou čarou,
sestávající z konečného (stále se zvyšujícího) počtu úseček. Analýza takových
problém˚u ovšem vyžaduje hlubší znalosti diferenciálního a integrálního počtu.
Prvky lineárního prostoru je užitečné jednoznačně popisovat ve vztahu k jeho
bázi. Za tím účelem se zavádí pojem souřadnic; zde se omezíme (s ohledem na
bezprostřední aplikace) pouze na případ, že lineární prostor je konečné dimenze.
Definice 3.2: V lineárním prostoru a76 dimenze a110a50a78 nazveme uspořádanou
a110-tici reálných čísel (a1181a59a58a58a58a59a118a110) souřadnicemi prvku a118 a50 a76 vzhledem k bázi
a71 = a102a1031a59a58a58a58a59a103a110a103 prostoru a76, právě když
a118 = a1181a58a1031 +a58a58a58+a118a110a58a103a110a58
Přesvědčme se o tom, že souřadnice prvku a118 jsou touto definicí určeny jedno-
značně. Předpokládejme opak: je tedy také
a118 = a1191a58a1031 +a58a58a58+a119a110a58a103a110
pro nějaké souřadnice (a1191a59a58a58a58a59a119a110) prvku a118 vzhledem k téže bázi a71. Z porovnání
obou vyjádření a118 je zřejmé, že musí platit
a111 = (a1181 a0a1191)a58a1031 +a58a58a58+ (a118a110 a0a119a110)a58a103a110a58
Poněvadž prvky báze a71 jsou v prostoru a86 lineárně nezávislé, dospíváme ihned
ke sporu
a1181 = a1191a59 a58a58a58 a59 a118a110 = a119a110a58
V prostorech a82a110 s přirozeným a110 je dobrým zvykem pracovat s velmi speciální
bází a69a110 = a102a1011a59a58a58a58a59a101a110a103, kde
a1011 = [1a590a59a58a58a58a590]a84 a59 a1012 = [0a591a59a58a58a58a590]a84 a59 a58a58a58 a59
a101a110a01 = [0a590a59a58a58a58a591a590]a84 a59 a101a110 = [0a590a59a58a58a58a590a591]a84 a58
3. Báze a dimenze lineárního prostoru, určování souřadnic 16
Souřadnice vzhledem k této bázi bývají tradičně nazývány „kartézskýmicsquotedblright.
Příklad 3.2: Prvek a118 a50a824 je určen souřadnicemi (1a590a591a592) vzhledem k bázi
a71 = a102a1031a59a1032a59a1033a59a1034a103, kde
a1031 = [1a590a591a590]a84 a59 a1032 = [0a591a590a591]a84 a59 a1033 = [1a592a590a591]a84 a59 a1034 = [0a590a591a592]a84 a58
Najděte jednak souřadnice (a1181a59a1182a59a1183a59a1184) prvku a118 vzhledem k bázi a694, jednak
souřadnice (a1191a59a1192a59a1193a59a1194) téhož prvku vzhledem k bázi a66 = a102a1011a59a1032a59a1013a59a1034a103.
Řešení: Ze soustavy (s jednotkovou maticí soustavy, za niž vděčíme speciální
bázi a694)
a50
a54a54
a54a52
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
a51
a55a55
a55a53a1
a50
a54a54
a54a52
a1181
a1182
a1183
a1184
a51
a55a55
a55a53 =
a50
a54a54
a54a52
1 0 1 0
0 1 0 1
1 2 0 1
0 0 1 2
a51
a55a55
a55a53a1
a50
a54a54
a54a52
1
0
1
2
a51
a55a55
a55a53 =
a50
a54a54
a54a52
2
2
3
5
a51
a55a55
a55a53
dostáváme okamžitě a1181 = 2, a1182 = 2, a1183 = 3 a a1184 = 5. Pravá strana se pro výpočet
souřadnic vzhledem k bázi a66 nezmění. Pro soustavu
a50
a54a54
a54a52
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 1 2
a51
a55a55
a55a53a1
a50
a54a54
a54a52
a1181
a1182
a1183
a1184
a51
a55a55
a55a53 =
a50
a54a54
a54a52
2
2
3
5
a51
a55a55
a55a53 a59
která ještě nemá zcela trojúhelníkovou (tím méně diagonální) matici soustavy,
použijeme Gaussovu eliminaci
a50
a54a54
a54a52
1 0 0 0 2
0 1 0 1 2
0 0 1 0 3
0 0 1 2 5
a51
a55a55
a55a53a24
a50
a54a54
a54a52
1 0 0 0 2
0 1 0 1 2
0 0 1 0 3
0 0 0 2 2
a51
a55a55
a55a53 a58
Přímo m˚užeme vypočítat a1191 = 2, a1193 = 3 a a1194 = 1, následně též a1192 = 1.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 3.3: Rozhodněte, tvoří-li množina všech čtvercových reálných hor-
ních trojúhelníkových matic přirozeného řádu a110 podprostor a82a110a2a110. Pokud ano,
stanovte jeho dimenzi.
Výsledek: Tvoří; dimenze je a110a58(a110+ 1)a612.
Příklad 3.4: Lineární prostor je zaveden jako lineární obal množiny funkcí
a102a1020a59a1021a59a1022a59a1023a59a58a58a58a103 definovaných předpisem
a1020(a120) = 1a59 a1021(a120) = cos(a120)a59 a1022(a120) = cos(2a58a120)a59 a1023(a120) = cos(3a58a120)a59 a58a58a58
4. Norma v lineárním prostoru, normy reálných vektorů a matic 17
pro všechna a120 a50 a82. Zjistěte, patří-li do něho funkce a39, a32 a a33 definované pro
všechna a120a50a82 předpisem
a39(a120) = cos2a120a0sin2a120a59 a32(a120) = sin2 a1202 + 14 sin2 7a58a1202 a59 a33(a120) = sin a1202 a58
Výsledek: Pouze a39 a a32 (podle známých trigonometrických vzorců).
4 Norma v lineárním prostoru, normy reálných
vektorů a matic
Ve všech úvahách a výpočtech jsme se dosud zarputile vyhýbali tomu, abychom
prvk˚um lineárního prostoru přisuzovali nějakou délku či velikost. Existují smyslu-
plné příklady lineárních prostor˚u, v nichž to skutečně není možné nebo potřebné,
v tomto učebním textu se však jimi nebudeme zabývat. Při počítání s čísly z a82
nebo z a67 nicméně rozumíme pojmu „absolutní hodnotacsquotedblright (a pro libovolné reálné
nebo komplexní číslo a11 pro ni používáme označení a106a11a106), z elementární vektorové
algebry v a822 zase známe pojem „délka vektorucsquotedblright. Zp˚usob zavedení obdobného
pojmu v dostatečně obecném lineárním prostoru umožňuje následující definice.
Definice 4.1: Lineární prostor a76 nazveme lineárním normovaným pro-
storem, právě když ke každému prvku a117 a50 a76 existuje takové nezáporné reálné
číslo a107a117a107 (tzv.norma prvku a117 v prostoru a76), že pro libovolné prvky a117a59a118 a50 a76 a
jakékoliv číslo a11a50a82 platí:
a) a107a117a107 = 0, právě když a117 = a111,
b) a107a11a58a117a107 = a106a11a106a58a107a117a107,
c) a107a117+a118a107a20a107a117a107+a107a118a107.
Následující příklad ukazuje, jakým zp˚usobem lze v konkrétním případě roz-
hodnout, že nějaké konkrétní přiřazení nezáporného reálného čísla každému prvku
lineárního prostoru skutečně vyhovuje požadavk˚um z předchozí definice. Zatímco
splnění požadavk˚u a) a b) bývá často jen záležitostí rutinních algebraických
úprav, ověření požadavku c), známého jako „trojúhelníková nerovnostcsquotedblright (p˚uvod
tohoto názvu si vysvětlíme později, až se budeme věnovat geometrické interpre-
taci vektor˚u v a82a110) m˚uže vyžadovat i znalost méně obvyklé d˚ukazové techniky.
Příklad 4.1: Zjistěte, jakým zp˚usobem je třeba zvolit nezáporná reálná čísla
a261a59a58a58a58a59a26a110, aby předpisem
a107a117a107 =
a113
a261a11721 +a58a58a58a26a110a1172a110
4. Norma v lineárním prostoru, normy reálných vektorů a matic 18
pro každé a117 = [a1171a59a58a58a58a59a117a110]a84 bylo možno z prostoru a82a110, kde a110 a50 a78, vytvořit
normovaný lineární prostor.
Řešení: Připust’me a261 = 0, a1171 = 1 a a1172 = a58a58a58a117a110 = 0. Vidíme, že a117 a54= a111, ale
a107a117a107 = 0, což je v rozporu s definičním požadavkem a). Opakováním této argu-
mentace (postupně s nulovým a262a59a58a58a58a59a26a110) dospíváme k závěru, že všechna čísla
a261a59a58a58a58a59a26a110 musejí být kladná. Pak jsou již bez problém˚u pravdivé obě implikace
a1171 = a58a58a58 = a117a110 = 0 a41a117 = a111a59 a117 = a111a41a1171 = a58a58a58 = a117a110 = 0;
a111 je zde nulový reálný vektor o a110 složkách. Jednoduchá algebraická úprava
a113
a112a58(a261a58a11721 +a58a58a58a26a110a58a1172a110) = a106a11a106a58
a113
a261a58a11721 +a58a58a58a26a110a58a1172a110
potvrzuje splnění předpokladu b). Zbývá ověřit požadavek c). Zvolme libovolné
reálné číslo a21. Symbolické sčítání přes všechny indexy a105 a50 a1021a59a58a58a58a59a110a103, které bu-
deme používat v dalších výpočtech, by mělo přispět k úspornosti zápisu. Vyjděme
z nerovnice a110a88
a105=1
a26a105a58(a117a105 +a21a118a105)2 a21 0a59
která je evidentně splněna pro každé a117 = [a1171a59a58a58a58a59a117a110]a84 i a118 = [a1181a59a58a58a58a59a118a110]a84 z a82a110.
Tuto nerovnici m˚užeme snadno převést do tvaru
a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105 + 2a58a21a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a117a105a58a118a105 +a212a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 a21 0a59
který m˚užeme interpretovat jako kvadratickou nerovnici pro a21. Má-li však být
tato nerovnice vždy splněna (neboli příslušná kvadratická rovnice nesmí mít žádné
reálné řešení), musí být její diskriminant nekladný čili
a32
2a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a117a105a58a118a105
a332
a04
a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 a20 0a58
Odtud dostaneme odhad
a110a88
a105=1
a26a105a58a117a105a58a118a105 a20
a118a117
a117a116 a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 a59
který nám bude zanedlouho užitečný. Předpokládejme, že požadavek c) není pro
některé a117a59a118 a50a82a110 splněn. Pak platí
a118a117
a117a116 a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105 +
a118a117
a117a116 a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 a60
a118a117
a117a116 a110a88
a105=1
a26a105a58(a117a105 +a118a105)2a58
4. Norma v lineárním prostoru, normy reálných vektorů a matic 19
Na obou stranách této nerovnice jsou nezáporná čísla, m˚užeme ji tedy umocnit
na druhou. Vychází
a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105 +
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 + 2a58
a118a117
a117a116 a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 a60
a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105 +
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 + 2a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a117a105a58a118a105a58
Aplikujeme-li však na pravou stranu odvozený odhad, dostáváme již spor
a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105 +
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 + 2a58
a118a117
a117a116 a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 a60
a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105 +
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 + 2a58
a118a117
a117a116 a110a88
a105=1
a26a105a58a1172a105a58
a110a88
a105=1
a26a105a58a1182a105 a58
Požadavek c) je tedy splněn. Shrňme: stačí zvolit všechna čísla a261a59a58a58a58a59a26a110 kladná.
V prostoru reálných vektor˚u a118 = [a1181a59a58a58a58a59a118a110]a84, přesněji v prostoru a82a110, kde
a110 a50 a78, lze sestrojit řadu norem (nejen těch z předchozího příkladu), z nichž
každá následně určuje poněkud jiný normovaný prostor, např.
a107a118a107 = max(a106a1181a106a59a58a58a58a59a106a118a110a106)a59 a107a118a107 = a106a1181a106+a58a58a58+a106a118a110a106a59 a107a118a107 =
a113
a11821 +a58a58a58+a1182a110a58
V dalším výkladu, kde budeme v a82a110 pracovat s normou, budeme používat po-
slední z uvedených norem, která se tradičně nazývá „euklidovskou normoucsquotedblright. Tato
norma je zřejmě jednou z norem z předešlého příkladu: stačí zvolit a261 = a58a58a58 =
a26a110 = 1. V analytické geometrii v a823 posléze zaznamenáme, že tato norma nejlépe
odpovídá intuitivní představě o „délce vektorucsquotedblright, navazující na „vzdálenost dvou
bod˚ucsquotedblright. Následující příklad je ukázkou běžných výpočt˚u v a82a110.
Příklad 4.2: K zadaným vektor˚um a117 = [1a590a592a59a02]a84 a a118 = [a01a593a592a592]a84
najděte v prostoru a824 všechny takové vektory a119, pro něž pro nějaké a11a50a82 platí
a119 = a11a58(a117+a118) a současně a107a119a107=1.
Řešení: Máme zadány jisté vektory a117a59a118 a50a824. Ze vztahu
1 = a107a119a107 = a107a11a58(a117+a118)a107 = a106a11a106a58a107a117+a118a107
vidíme,