Lineární prostory a operátory

že bud’ a117 = a0a118, a potom dospíváme ke sporu 1 = a11a580, takže žádné
řešení neexistuje, nebo a117 a54= a0a118, a potom je řešení dvojznačné: přípustné je jak
a11 = a107a117 + a118a107a01, tak a11 = a0a107a117 + a118a107a01, což budeme stručně zapisovat ve formě
a11 = a6a107a117+a118a107a01. V našem případě je evidentně a117a54= a0a118; dostáváme tedy
a119 = a6 a117+a118a107a117+a118a107a59
a117+a118 = [0a593a594a590]a84 a dále
a107a117+a118a107 = a11232 + 42 = 5a59
5. Geometrická interpretace reálných vektorů 20
takže a119 = a6[0a593a615a594a615a590]a84.
Rovněž v prostoru reálných matic
a65 =
a50
a54a52 a9711 a58a58a58 a971a110a58a58a58 a58a58a58 a58a58a58
a97a1091 a58a58a58 a97a109a110
a51
a55a53 a59
přesněji v prostoru a82a109a2a110, kde a109a59a110a50a78, lze sestrojit řadu norem, z nichž každá
následně určuje poněkud jiný normovaný prostor, např.
a107a65a107 = max
a105a50a1021a59a58a58a58a59a109a103
a110a88
a106=1
a106a97a105a106a106a59 a107a65a107 = max
a106a50a1021a59a58a58a58a59a110a103
a109a88
a105=1
a106a97a105a106a106a59 a107a65a107 =
a118a117
a117a116 a109a88
a105=1
a110a88
a106=1
a972a105a106 a58
V praxi se však často používá ještě d˚umyslněji konstruovaná norma; seznámíme
se s ní v rámci výkladu o vlastních číslech reálných čtvercových matic (ačkoliv
maticea65obecně není čtvercová, tj. nemusí platita109 = a110). Samotný předpis, podle
něhož se taková norma počítá, však bude dosti složitý (srov.příklad 7.6 včetně
komentáře k němu).
Poznamenejme též, že v prostoru a80a110, kde a110 a50 a78, nebo dokonce i v prostoru
a80 lze zavést tzv.Čebyševovu normu
a107a102a107 = maxa120a50a82 a106a102(a120)a106
pro libovolnou polynomickou funkci a102 a50 a80a110, resp.a102 a50 a80. Problematika kon-
strukce norem v prostorech funkcí (a také např.v prostoru reálných posloupností
a83) je ovšem obecně mnohem složitější.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 4.3: Zvažte, m˚uže-li být absolutní hodnota determinantu čtvercové
matice třetího řádu alternativní normou a823a23.
Výsledek: Nem˚uže.
Příklad 4.4: Určete, pro které a11a50a82 m˚uže být funkce a39 definovaná předpi-
sem
a39(a1171a59a1172) = 2a58a106a1171a106+ (a11a01)a58a106a1172a106
pro všechna a1171a59a1172 a50 a82 alternativní normou prostoru a822 pro libovolný vektor
a117 = [a1171a59a1172]a84 a50a822.
Výsledek: Pro a11a62 1.
5 Geometrická interpretace reálných vektorů
Řada vlastností vektor˚u v lineárním normovaném prostoru a76 má názornou ge-
ometrickou interpretaci. Názornost pochopitelně klesá s obecností prostoru a76;
5. Geometrická interpretace reálných vektorů 21
zde se pro jednoduchost soustředíme pouze na prostor a823 jako na typického re-
prezentanta prostor˚u a82a110 s a110 a50 a78. Na ilustrativních obrázcích tak mohou vždy
být jen jisté kolmé pr˚uměty do vhodné roviny, nazývané v deskriptivní geometrii
„pr˚umětnacsquotedblright, tj.vlastně do určitého prostoru reálných vektor˚u dimenze 2.
Jak jsme viděli už v příkladu 3.2, v kartézské soustavě splývají složky vektor˚u
s jejich souřadnicemi. Pro geometrickou interpretaci vektor˚u je navíc nezbytné si
uvědomit, že každému vektoru musíme nejprve přiřadit nějaké umístění, nejlépe
počáteční bod. Pro libovolný vektor a117 a50 [a1171a59a1172a59a1173]a84 a50 a823 budeme používat
normu
a107a117a107 =
a113
a11721 +a11722 +a11723 ;
skutečnost, že jsme vektor a117 opatřili počátečním bodem a65, budeme naznačovat
tak, že namísto a117 budeme psát a117a65. Polohu bodu a65 v a823 budeme přitom charak-
terizovat polohovým vektorem, který označíme a114a65. Symbol a114 vyhradíme nadále
pro polohové vektory, o nichž budeme d˚usledně předpokládat, že jejich počáteční
bod je totožný s počátkem souřadnic a79. Kromě počátečního bodu lze u každého
vektoru zjistit i koncový bod: tak koncový bod a66 vektoru a117a65 je určen polohovým
vektorem a114a66 = a114a65+a117a65. Zřejmě a117a65 = a114a66a0a114a65, takže také a107a117a65a107 = a107a114a66a0a114a65a107; to je
vlastně délka úsečky a65a66. Z této představy vychází také často zmiňované chápání
vektoru a117a65 jako „orientované úsečkycsquotedblright. Je-li na obrázku, který znázorňuje kolmé
pr˚uměty na p˚udorysnu, a114a65 = [3a594a590]a84 a a114a66 = [6a592a596]a84, je nutně a117a65 = [3a59a02a596]a84.
Zřejmě je
a107a114a65a107 = a11232 + 42 = 5a59 a107a114a66a107 = a11262 + 22 + 62 = a11276a59
a107a117a65a107 =
a113
32 + (a02)2 + 62 = 7a58
Na pr˚umětech vektor˚u a114a65, a114a66 a a117a65 jsou zvýrazněny úseky jednotkové délky; ve
skutečné velikosti se však tyto úseky zobrazují pouze v případě vektoru a114a65, jenž
leží v p˚udorysně.
a79a19
a19
a19
a19
a19
a19
a19
a19a55
a113
a113
a113
a113
a113
a113a65
a114a65
a16a16a16
a16a16a16
a16a16a16
a16a16a16a49
a113 a113
a113 a113
a113 a113
a113 a113 a66
a114a66
a81a81
a81a81
a81a81a115
a113 a113
a113 a113
a113 a113
a113
a117a65
Je-li vektor a118a65 nenulový, patří všechny vektory a11a58a118a65 pro reálný součinitel a11
jediné přímce. Pro a11 a62 0 jsou vektory a118a65 a a11a58a118a65 souhlasně orientované, pro
a11 a60 0 nesouhlasně orientované. Pro a11 = 0 degeneruje vektor a118a65 v jediný bod
a65 (a o orientaci nemá smysl rozhodovat). Ilustrativní obrázek ukazuje speciální
případy a11 = 1, a11 = 2 a a11 = a01a612 (bez ohledu na polohu počátku souřadnic,
polohu pr˚umětny i směr promítání, stejně jako i další obrázky).
5. Geometrická interpretace reálných vektorů 22
a65 a45a118a65 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112 a112a45
2a58a118a65a112a112a112a112a112a112a112a112a112a112a27a0a118a65a612
Jednoduchou geometrickou interpretaci mají součet a rozdíl vektor˚u: pro a97 =
a117+a118 a a98 = a117a0a118 ji demonstruje následující obrázek. Z něho také m˚užeme vidět,
jak asi vzniklo tradiční pojmenování „trojúhelníková nerovnostcsquotedblright požadavku c)
v definici 4.1: zde máme např.a107a97a107 = a107a117+a118a107a20a107a117a107+a107a118a107. V konkrétním případě
na obrázku je ovšem nerovnost ostrá; v rovnost by se změnila jedině tehdy, byly-li
by vektorya117aa118 lineárně závislé. S lineární závislostí vektor˚u pracuje i následující
definice, využitelná zejména v analytické geometrii.
a65
a66
a67
a24a24a24a24
a24a24a24a24a58a117
a65a2
a2
a2
a2
a2
a2a14
a118a65
a24a24a24a24
a24a24a24a24a58a117
a67
a2
a2
a2
a2
a2
a2a14
a118a66
a2
a2
a2
a2
a2
a2a13
a0a118a66a112
a112 a112 a112
a112 a112 a112
a112 a112 a112
a112 a112 a112
a112 a112 a112
a112 a112 a112
a112a62
a97a65
a112a112a112
a112a112
a112a112a112
a112
a115
a98a67
a112a112a112
a112a112a112
a112a112a112
a112
a115
a98a65
Definice 5.1: Nenulové vektory a1171a59a58a58a58a59a117a109, kde a109 je přirozené číslo, v a823
nazveme kolineárními, právě když bud’ a109 = 1 nebo a1172a59a58a58a58a59a117a109 jsou reálnými
násobky a1171. Nenulové vektory a1171a59a58a58a58a59a117a109, kde a109 je přirozené číslo větší než 1,
v a823 nazveme komplanárními, právě když bud’ a109 = 2 nebo lze vybrat takové
indexy a105a59a106 a50 a1021a59a58a58a58a59a109a103, že libovolný vektor a117a107 pro index a107 a50 a1021a59a58a58a58a59a109a103 r˚uzný
od a105 a a106 je lineární kombinací vektor˚u a117a105 a a117a106.
Formální komplikovanost druhé části předešlé definice, která zavádí pojem
komplanárních vektor˚u, souvisí s nutností obsloužit i speciální případ, že vektory
a1171 aa1172 jsou kolineární. Pokud bychom totiž tento případ předem vyloučili, stačilo
by požadovat, aby vektorya1173a59a58a58a58a59a117a109 byly lineárními kombinacemia1171 aa1172. Hlavní
poslání definice 5.1 bude zřejmé z následující úvahy, která vychází z geometrické
interpretace vektor˚u. Mějme v a823 bod a65 a nenulové vektory a117, a118 a a119. Jediný
vektor a117 je vždy kolineární. Dva vektory a117 a a118 jsou vždy komplanární. Dva
vektorya117a65 aa118a65 leží v jediné přímce, právě kdyža117aa118 jsou kolineární. Tři vektory
a117a65, a118a65 a a119a65 leží ve stejné rovině, právě když a117, a118 a a119 jsou komplanární. Tato
rovina je určena jednoznačně, právě když a117, a118 a a119 nejsou kolineární. Zobecnění
pro větší počet vektor˚u je zřejmé: vektor a117a65 určuje vždy přímku, o níž se zjišt’uje,
zda jí patří ostatní vektory opatřené počátečním bodem a65; nekolineární vektory
a117a65 a a118a65 určují vždy rovinu, o níž se zjišt’uje, zda jí patří ostatní vektory opatřené
počátečním bodem a65.
Příklad 5.1: Nenulové vektory a97, a98 a a99 v a823 neznáte, víte však, že nejsou
komplanární. Zjistěte, pro která reálná čísla a12 jsou všechny tři vektory a117 = a97+
5. Geometrická interpretace reálných vektorů 23
2a58a98+a12a58a99, a118 = 4a58a97+ 5a58a98+ 6a58a99 a a119 = 7a58a97+ 8a58a98+a122a58a99 kolineární a pro která aspoň
komplanární.
Řešení: Prověřme nejprve, mohou-li být v˚ubec vektory a117 a a118 kolineární. Vek-
tor a117 by musel být reálným násobkem vektoru a118 čili pro nějaké a11a50a82
a97+ 2a58a98+a12a58a99 = a11a58(4a58a97+ 5a58a98+ 6a58a99)a58
Po úpravě dostaneme
(1a04a58a11)a58a97+ (2a05a58a11)a58a98+ (a12a06a58a11)a58a99 = a111a59
kde a111 = [0a590a590]a84. Vzhledem k lineární nezávislosti vektor˚u a97, a98 a a99 musí současně
platit
1 = 4a58a11a59 2 = 5a58a11a59 a12 = 6a58a11a58
Z první rovnice vyplývá a11 = 1a614, již ze druhé však a11 = 2a615, takže třetí se už
nemusíme zabývat – žádné řešení neexistuje. Vektory a117 a a118 (a tedy ani vektory a117,
a118 a a119) nemohou být nikdy kolineární. Zkusíme ověřit, mohou-li být někdy aspoň
vektory a117, a118 a a119 komplanární. Vektor a119 by musel být lineární kombinací vektor˚u
a117 a a118 čili pro nějaké a111a59a112 a50a82
7a58a97+ 8a58a98+a122a58a99 = a111a58(a97+ 2a58a98+a12a58a99) +a112a58(4a58a97+ 5a58a98+ 6a58a99)a58
Po úpravě dostaneme
(7a0a111 a04a58a112)a58a97+ (8a02a58a111 a05a58a112)a58a98+ (a122 a0a12a58a111 a06a58a112)a58a99 = a111a58
Vzhledem k lineární nezávislosti vektor˚u a97, a98 a a99 musí současně platit
7 = a111 + 4a58a112a59 8 = 2a58a111 + 5a58a112a59 a122 = a12a58a111 + 6a58a112a58
Z prvních dvou rovnic lze vypočítat a111 a a112. Pomocí Gaussovy eliminace
a34 1 4 7
2 5 8
a35
a24
a34 1 4 7
0 a03 a06
a35
vychází postupně a112 = 2 a a111 = a01. Dosazením těchto výsledk˚u do dosud nepo-
užité třetí rovnice dostáváme pro neznámý součinitel a12 kvadratickou rovnici
a122 +a12a012 = 0a59
kterou lze snadno přepsat do tvaru
(a12a03)a58(a12 + 4) = 0a58
Vektory a117, a118 a a119 jsou tedy komplanární, právě když a12 a50a102a04a593a103.
5. Geometrická interpretace reálných vektorů 24
Při zavádění tzv.vektorového součinu dvou vektor˚u v a823 budeme potřebovat
ještě jeden pojem, který má jednoduchou geometrickou interpretaci. Pozname-
nejme, že definice je snadno zobecnitelná pro jakýkoliv prostor a82a110 s přirozenou
dimenzía110; výrazně problematičtější by bylo jen vysvětlování jejího geometrického
významu. K výpočtu determinantu, který v definici vystupuje, se ještě vrátíme,
až budeme zavádět pojem smíšeného součinu tří vektor˚u. Pak uvidíme, že d˚uležité
není jen znaménko výsledku, ale i jeho číselná hodnota – i té přiřadíme užitečný
geometrický význam.
Definice 5.2: Bázi a102a117a59a118a59a119a103 prostoru a823 nazveme pozitivní bází prostoru
a823, právě když pro složky vektor˚u a117 = a102a1171a59a1172a59a1173a103, a118 = a102a1181a59a1182a59a1183a103 a a119 =
a102a1191a59a1192a59a1193a103 platí a12
a12a12
a12a12
a12a12
a1171 a1172 a1173
a1181 a1182 a1183
a1191 a1192 a1193
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a62 0a58
Bázi a102a117a59a118a59a119a103 prostoru a823 nazveme negativní bází prostoru a823, právě když pro
složky vektor˚u a117 = a102a1171a59a1172a59a1173a103, a118 = a102a1181a59a1182a59a1183a103 a a119 = a102a1191a59a1192a59a1193a103 platí
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a1171 a1172 a1173
a1181 a1182 a1183
a1191 a1192 a1193
a12a12
a12a12
a12a12
a12
a60 0a58
a83 a45a117a83 a65a26
a26a26
a26a26
a112 a112 a112 a112
a112 a112 a112 a112a62
a118a83
a66
a3
a3
a3
a3
a3
a3
a3
a3a23
a119a83
a67
a65
a65
a65
a65
a65
a65
a65
a65
a2
a2
a2
a2
a2
a2
a80a80a80
a80a80a80
Tuto definici lze názorně interpretovat geometricky: báze a102a117a59a118a59a119a103 je pozi-
tivní, právě když pro pevně zvolený bod a83 v a823 koncové body a65a59a66a59a67 vek-
tor˚u při pohledu z toho poloprostoru vymezeného rovinou trojúhelníka a65a66a67,
jenž neobsahuje bod a83, jsou vrcholy trojúhelníka a65a66a67 označeny v pozitivním
smyslu (tj.proti směru otáčení hodinových ručiček); báze a102a117a59a118a59a119a103 je negativní,
právě když pro pevně zvolený bod a83 v a823 koncové body a65a59a66a59a67 vektor˚u při
pohledu z toho poloprostoru vymezeného rovinou trojúhelníka a65a66a67, jenž ne-
obsahuje bod a83, jsou vrcholy trojúhelníka a65a66a67 označeny v negativním smyslu
(tj.ve směru otáčení hodinových ručiček). Na ilustrativním obrázku (na němž
je tečkováním naznačena neviditelnost při pohledu na nepr˚uhledný trojúhelník
a65a66a67 z poloprostoru podle předchozího komentáře – výsledná báze a102a117a59a118a59a119a103 je
zde tedy pozitivní) m˚užeme bod a83 umístit v a823 libovolně, aniž by to mělo ně-
jaký vliv na pozitivnost nebo negativnost báze a102a117a59a118a59a119a103. Požadavek, aby trojice
6. Skalární součin a ortogonalita 25
vektor˚u a117a59a118a59a119 tvořila bázi, je přitom ekvivalentní s požadavkem, aby tato tro-
jice vektor˚u nebyla komplanární. V bázi všem záleží i na uspořádání: je-li tedy
a102a117a59a118a59a119a103 pozitivní báze, jsou také a102a118a59a119a59a117a103 a a102a119a59a117a59a118a103 pozitivní báze, zatímco
a102a118a59a117a59a119a103, a102a117a59a119a59a118a103, a102a119a59a118a59a117a103 jsou negativní báze (vesměs prostoru a823). Zejména
nejfrekventovanější ortonormální báze a693 = a102a1011a59a1012a59a1013a103 je evidentně pozitivní:
odhlédneme-li už od obrázku, počítá se v tomto případě v předešlé definici jen
determinant z jednotkové matice třetího řádu, který je roven 1. Negativní jsou
ovšem např.ortonormální báze a102a1011a59a0a1012a59a1013a103 a a102a1012a59a1011a59a1013a103.
Příklady pro samostatné studium:
Příklad 5.2: Zjistěte, pro která a11 a50 a82 tvoří vektory a117 = [1a592a593]a84, a118 =
[2a590a591]a84 a a119 = [a11a591a59a11]a84 pozitivní bázi a102a117a59a118a59a119a103 prostoru a823.
Výsledek: Pro a11a60 5a612.
Příklad 5.3: Body a65 a a66 jsou v a823 dány polohovými vektory a114a65 = [1a591a592] a
a114a66 = [3a594a593]; vektor a97 má počáteční bod v bodě a65. Posud’te, m˚uže-li mít vektor a97
koncový bod v bodě a66, lze-li jej vyjádřit jako lineární kombinaci trojice vektor˚u
a117 = [1a59a03a590]a84, a118 = [1a596a591]a84 a a119 = [3a590a591]a84.
Výsledek: M˚uže.
6 Skalární součin a ortogonalita
V úvahách o r˚uzných objektech v prostoru a823 a jejich vlastnostech jsme mohli
využít (bez zvláštního upozorňování) poznatk˚u z klasické geometrie: víme např.,
co rozumíme kolmostí dvou přímek, kolmostí přímky k rovině apod., a tedy i
kolmým pr˚umětem bodu nebo přímky do roviny. V libovolném lineárním prostoru
(ani v normovaném) však takové pojmy nemáme k dispozici – m˚užeme jen tušit,
že pravděpodobně snesou zobecnění, obdobně jako vzájemné násobení vektor˚u
z a823 jako 2 matic: pro libovolný reálný sloupcový vektor a118 o 3 složkách existuje
vždy součin a118a84a58a118, jehož výsledkem je reálné číslo.
Definice 6.1: Lineární prostor a76 nazveme lineárním prostorem se ska-
lárním součinem, právě když ke každé dvojici prvk˚u a117a59a118 a50 a76 existuje takové
reálné čísloa117 a113a118 (tzv.skalární součin prvk˚ua117aa118 v prostorua76), že pro libovolné
prvky a117a59a118a59a119 a50a76 a jakékoliv číslo a11a50a82 platí:
a) a117 a113a117a21 0, přičemž a117 a113a117 = 0, právě když a117 = a111,
b) (a11a58a117) a113a118 = a11a58(a117 a113a118),
c) a117 a113a118 = a118 a113a117,
c) (a117+a118) a113a119 = a117 a113a118+a117 a113a119,
6. Skalární součin a ortogonalita 26
Tato definice se formálně značně podobá definici 4.1, pouze „trojúhelníková
nerovnostcsquotedblright c) z definice 4.1 je zde nahrazena požadavkem komutativnosti ska-
lárního násobení c) a požadavkem distributivnosti sčítání prvk˚u z a76 vzhledem
k násobení prvkem z a76 d) (srov.obdobné požadavky g) a h) v definici 1.1).
Mezi normovanými prostory a prostory se skalárním součinem skutečně existuje
úzký vztah, který budeme formulovat ve větě 6.2. Nejprve si však všimneme jiné
d˚uležité vlastnosti skalárního součinu, která bývá v matematické i aplikační lite-
ratuře prezentována jako Schwarzova nerovnost (a na r˚uzné úrovni obecnosti
s přihlédnutím k národnosti pisatele též jako Cauchyova, Hölderova nebo Bunja-
kovského nerovnost). Pro její d˚ukaz přitom vystačíme s postupem, který se nám
osvědčil již v příkladu 4.1 při ověřování požadavku c) z definice 4.1.
Věta 6.1: Pro libovolnou dvojici prvk˚u a117a59a118 jakéhokoliv lineárního prostoru
se skalárním součinem platí
(a117 a113a118)2 a20 (a117 a113a117)a58(a118 a113a118)a58
D˚ukaz: Studovaný lineární prostor se skalárním součinem označme a76. Zvolme
libovolné reálné číslo a21. Vyjděme z nerovnice
(a117+a21a58a118) a113 (a117+a21a58a118) a21 0a59
která je evidentně splněna pro každé a117a59a118 a50 a76. Tuto nerovnici m˚užeme snadno
převést do tvaru
a117 a113a117+ 2a58a21a58a117 a113a118+a212a58a118 a113a118 a21 0a59
který m˚užeme interpretovat jako kvadratickou nerovnici pro a21. Má-li však být
tato nerovnice vždy splněna, musí být její diskriminant nekladný čili
(2a58(a117 a113a118))2 a04a58(a117 a113a117)a58(a118 a113a118) a20 0a58
Odtud již vyplývá tvrzení věty.
Všimněme si, že Schwarzovu nerovnost lze pomocí goniometrické funkce „ko-
sinuscsquotedblright alternativně zapsat jako rovnost
a117 a113a118 = a112a117 a113a117a58a112a118 a113a118a58cosa39a59
kde předem neznámý reálný parametra39m˚uže nabývat hodnot od 0 doa25. O možné
geometrické interpretaci tohoto parametru se zmíníme později. Nyní odvodíme
slibovaný vztah mezi normou a skalárním součinem.
Věta 6.2: Každý lineární prostor a76 se skalárním součinem je normovaným
lineárním prostorem s normou
a107a117a107 = a112a117 a113a117a58
6. Skalární součin a ortogonalita 27
pro každý prvek a117a50a76.
D˚ukaz: Stačí ověřit, že reálné číslo a107a117a107 přiřazené uvedeným zp˚usobem kaž-
dému prvku prostoru a76 je skutečně normou podle definice 4.1. Z předpokladu
a) definice 6.2 okamžitě vyplývá, že a107a117a1072 = a117 a113a117 = 0, právě když a117 = a111, což je
vlastně předpoklad a) z definice 4.1 (stačí odmocnit). Z předpokladu b) definice
6.2 dostáváme pro každé a11a50a82 přímým výpočtem
a107a11a58a117a107 =
a113
(a11a58a117) a113 (a11a58a117) =
a113
a112a58(a117 a113a117) = a106a11a106a58a112a117 a113a117 = a106a11a106a58a107a117a107a59
což je zase předpoklad b) z definice 4.1. Pro libovolnéa117a59a118 a50a76platí navíc Schwar-
zova nerovnost, takže
a107a117+a118a1072 = (a117+a118) a113 (a117+a118) = a117 a113a117+ 2a58a117 a113a118+a118 a113a118 a20
a107a117a1072 + 2a58a107a117a107a58a107a118a107+a107a118a1072 = (a107a117a107+a107a118a107)2a59
což už je vlastně hledaná „trojúhelníková nerovnostcsquotedblright z definice 4.1 (opět stačí
odmocnit).
Na základě právě dokázané věty m˚užeme Schwarzovu nerovnost psát dokonce
ve tvaru
a117 a113a118 = a107a117a107a58a107a118a107a58cosa39a58
Konkrétní výpočeta117 a113a118 na levé straně závisí ovšem na výběru skalárního součinu,
jak uvidíme z následujícího příkladu.
Příklad 6.1: Navrhněte takový skalární součin v prostoru a82a110, aby prostor
a82a110 se skalárním součinem byl normovaným prostorem s normou z příkladu 4.1.
Řešení: Pro libovolné a117a59a118 a50a82a110 navrhněme
a117 a113a118 = a261a58a1171a58a1181 +a58a58a58a26a110a58a117a110a58a118a110a58
Poněvadž podle věty 6.2 (pokud a117 a113a118 je skalární součin) je
a107a117a107 = a112a117 a113a117 =
a113
a261a58a11721 +a58a58a58+a26a110a58a1172a110a59
což je právě norma z příkladu 4.1, stačí ukázat, že navržený předpisa117 a113a118 skutečně
definuje skalární součin. V předpokladu a) je zřejmě
a117 a113a117 = a261a58a11721 +a58a58a58+a1172a110 a21 0;
ekvivalence
a117 a113a117 = 0 a44a117 = a111
je zřej