Skripta Matematika 3

empirická kritéria, jež pro konkrétní úlohy později popíšeme.
3.4 Normovaný vektorový prostor
V prvním semestru se studenti seznámili s vektorovými prostory.
Prvky vektorových prostorů mohou být objekty nejrůznějšího typu. Nemusí to být pouze
„vektorycsquotedblright v tom smyslu, jaký si člověk obvykle pod tímto pojmem představí (tj. uspořá-
dané n-tice reálných čísel).
Nejjednodušším příkladem vektorového prostoru je množina všech reálných čísel R s ob-
vyklými operacemi + a · .
Vektorovým prostorem je i množina všech matic typu (m,n) s operacemi + (sčítání matic)
a · (násobení matice konstantou).
20 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Vektorový prostor může být tvořen též funkcemi jedné nebo více proměnných s určitou
vlastností. V některých oblastech matematiky se často setkáváme např. s prostorem všech
funkcí spojitých na daném intervalu 〈a,b〉, či s prostorem všech funkcí na intervalu 〈a,b〉
integrovatelných.
Studenti jistě vědí, co je absolutní hodnota čísla nebo délka vektoru. Tyto veličiny udávají
velikost daného čísla, resp. vektoru bez ohledu na jeho znaménko, resp. směr. „Velikostcsquotedblright lze
různým způsobem určovat i u jiných objektů. Jakési zobecnění velikosti, které zachovává
její přirozené vlastnosti, se nazývá norma.
Definice.Buď V vektorový prostor. Řekneme, že na tomto prostoru je definovánanorma,
jestliže každému prvku v ∈ V je přiřazeno reálné číslo bardblvbardbl (norma v) tak, že
1) bardblvbardbl ≥ 0 ∀v ∈ V , bardblvbardbl = 0 ⇔ v = 0
2) bardblk ·vbardbl = |k|·bardblvbardbl ∀v ∈ V,∀k ∈R
3) bardblv1 +v2bardbl ≤ bardblv1bardbl+bardblv2bardbl ∀v1,v2 ∈ V (trojúhelníková nerovnost)
Prostor V pak nazýváme normovaný vektorový prostor.
Je známo, že absolutní hodnota rozdílu dvou reálných čísel udává vzdálenost těchto čísel
na číselné ose. Podobně si lze normu rozdílu dvou prvků vektorového prostoru bardblu − vbardbl
představit jako vzdálenost těchto dvou prvků. To znamená, že na vektorovém prostoru
můžeme definovat metriku předpisem
d(v1,v2) = bardblv1 −v2bardbl. (3.10)
Příklady normovaných vektorových prostorů:
Na množině všech reálných čísel R lze zavést normu jako bardblxbardbl = |x| , ∀x ∈R.
Na „obvyklémcsquotedblright vektorovém prostoru všech uspořádaných n-tic reálných čísel Vn můžeme
zavést normu různým způsobem.
Je-li v = (v1,v2,...,vn) ∈ Vn, pak jeho norma může být např. definována jako délka
tohoto vektoru
bardblvbardbl =
radicalBig
v21 +v22 +···+v2n . (3.11)
Tato norma se často značí jako bardblvbardbl2 a nazývá se eukleidovská norma. Existují však i jiné
možnosti. V dalším textu se setkáme s normami
bardblvbardbl1 = |v1|+|v2|+···+|vn| (3.12)
bardblvbardbl∞ = max(|v1|,|v2|,...,|vn|) (3.13)
U matic lze normu počítat podobně jako u vektorů. V kapitole 4 budeme pracovat s
následujícími normami ( A je matice typu (m,n) s prvky aij,i = 1,...,m, j = 1,...,n):
bardblAbardbl∞ = max
i=1,...,m
nsummationdisplay
j=1
|aij| řádková norma (3.14)
bardblAbardbl1 = max
j=1,...,n
msummationdisplay
i=1
|aij| sloupcová norma (3.15)
Matematika 3 21
Příklad 3.1 Vypočtěte řádkovou a sloupcovou normu matice
A =


−3 2 5
1 −4 −2
3 −1 4


Řešení: Řádková norma matice je maximum ze součtů absolutních hodnot prvků v jed-
notlivých řádcích.
Součet absolutních hodnot prvků v prvním řádku matice je|−3|+|2|+|5| = 10, ve druhém
řádku je součet roven 7 a ve třetím 8. Největší z těchto čísel je 10 a proto bardblAbardbl∞ = 10.
Sloupcová norma je maximum ze součtů absolutních hodnot prvků v jednotlivých sloup-
cích. Tedy bardblAbardbl1 = max(7,7,11) = 11.
Čtenář si možná povšiml značné podobnosti norem 3.11, 3.12 a 3.13 s metrikami uve-
denými v kapitole 3.1. Skutečně, všechny tyto metriky můžeme dostat z výše uvedených
norem pomocí 3.10.
Nabízí se otázka, proč jsme označili řádkovou normu matice 3.14 stejně jako normu vektoru
3.13 a sloupcovou normu matice 3.15 stejně jako normu vektoru 3.12.
Tyto normy skutečně mají mnoho společného. Představíme-li si vektor v dimenze n jako
sloupec, můžeme jej považovat za matici o n řádcích a jediném sloupci. Vypočteme-li
nyní řádkovou normu této matice, dostaneme právě normu vektoru 3.13, vypočteme-li
sloupcovou normu matice, dostaneme normu vektoru 3.12.
Dále platí, a to je pro další úvahy podstatnější, že
bardblAvbardbl∞ ≤ bardblAbardbl∞ ·bardblvbardbl∞
bardblAvbardbl1 ≤ bardblAbardbl1 ·bardblvbardbl1
Můžeme říct, že řádková norma matice je přidružená vektorové normě 3.13 a sloupcová
norma matice je přidružená vektorové normě 3.12.
(Obecně se maticová norma přidružená vektorové normě definuje docela složitě, o tom
zde mluvit nebudeme. Např. maticová norma přidružená eukleidovské normě vektoru se
počítá zcela odlišně.)
Shrnutí pojmů
Metrický prostor je množina X, na níž je definována metrika d - funkce s jistými vlast-
nostmi, která každým dvěma prvkům x,y ∈ X přiřadí číslo d(x,y), které lze popsat jako
„vzdálenostcsquotedblright x od y. V metrickém prostoru můžeme definovat limitu posloupnosti slo-
žené z jeho prvků. Má-li posloupnost limitu, řekneme, že je konvergentní. Cauchyovská
posloupnost je posloupnost, jejíž prvky se určitým, v předchozím textu přesně popsa-
ným, způsobem zahušťují. Je-li v metrickém prostoru X každá cauchyovská posloupnost
konvergentní, mluvíme o prostoru úplném.
Mnoho úloh numerické matematicky se dá převést na hledání pevného bodu nějakého
zobrazení. Pevný bod daného zobrazení F : X → X je takové x ∈ X, které se zobrazí
samo na sebe, tj. F(x) = x.
22 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Kontraktivní zobrazení je zobrazení, pro které platí d(F(x),F(y)) ≤ αd(x,y), kde
α ∈ 〈0,1).
Je-li X s metrikou d úplný metrický prostor, pak každé kontraktivní zobrazení F : X → X
má právě jeden pevný bod. Tento pevný bod je roven limitě posloupnosti {xk}∞k=0, kterou
získáme tak, že x0 ∈ X zvolíme libovolně a další členy posloupnosti jsou dány vztahem
xk+1 = F(xk),k = 0,1,2,.... Pevný bod přibližně najdeme pomocí tzv. iteračního pro-
cesu. Počítáme členy posloupnosti {xk}∞k=0, dokud podle nějakého kriteria nerozhodneme,
že už jsme pevný bod s požadovanou přesností našli.
Normovaný prostor je vektorový prostor V, na němž je definována norma bardbl·bardbl - funkce s
jistými vlastnostmi, která každému prvku v ∈ V přiřadí číslo bardblvbardbl, které lze popsat jako
„velikostcsquotedblright v.
Na prostoru všech n-rozměrných vektorů můžeme kromě obvyklé eukleidov-
ské normy definovat normu předpisem bardblvbardbl1 = |v1| + |v2| + ··· + |vn|, resp.
bardblvbardbl∞ = max(|v1|,|v2|,...,|vn|).
Důležitým příkladem normovaného prostoru je prostor všech matic typu m×n s řádkovou
nebo sloupcovou normou. Řádková norma matice A je maximum ze součtů absolutních
hodnot prvků této matice v jednotlivých řádcích, sloupcová maximum ze součtů ve sloup-
cích.
3.5 Otázky a příklady ke cvičení
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 3.1 Může se stát, že pro dva různé prvky metrického prostoru x a y je d(x,y) =
0.
Otázka 3.2 Každá posloupnost, která má limitu, je cauchyovská.
Otázka 3.3 Každý metrický prostor je úplný.
Otázka 3.4 Pevný bod funkce f(x) = sinx je 0.
Otázka 3.5 Každá funkce jedné reálné proměnné má aspoň jeden pevný bod.
Otázka 3.6 Je-li F : X → X kontrakce a x,y ∈ X, pak d(F(x),F(y)) < d(x,y).
Otázka 3.7 Iterační proces je postup, který slouží k nalezení pevného bodu.
Otázka 3.8 V praxi pomocí iteračního procesu vždy najdeme přesnou hodnotu pevného
bodu.
Otázka 3.9 Řádková norma čtvercové matice je vždy různá od sloupcové normy.
Příklad 3.1 Ukažte, že d(x,y) = |x−y| má všechny požadované vlastnosti metriky.
Matematika 3 23
Příklad 3.2 Mějme metriku předepsanou předpisem 3.3, tj.
d(x,y) = max(|x1 −y1|,|x2 −y2|,...,|xn −yn|).
a) Vypočtěte d(x,y) pro x = (1,2,3), y = (0,−2,1)
b)* Ukažte, že d(x,y) má všechny požadované vlastnosti metriky.
Příklad 3.3 Najděte všechny pevné body funkce f(x) = x2 −3x.
(Vyřešte příslušnou rovnici, nepokoušejte se o iterační proces.)
Příklad 3.4 Ukažte, že bardblxbardbl = |x| má všechny požadované vlastnosti normy.
Příklad 3.5 Vypočtěte bardblxbardbl∞ a bardblxbardbl1 pro x = (2,−4,1,−1).
Odpovědi na otázky a výsledky příkladů viz 15.3
24 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
4 Numerické řešení soustavy lineárních rovnic
Cíl kapitoly
Řešení soustav lineárních rovnic patří mezi nejdůležitější části numerické matematiky.
Mnoho praktických úloh nakonec vede k řešení takovýchto soustav, často velmi rozsáhlých.
K obrovským soustavám rovnic dospějeme např. při hledání rozložení nějaké fyzikální
veličiny v určitém tělese. Problém se, velmi zhruba řečeno, může řešit tak, že hledáme
hodnoty této veličiny pouze v konečném počtu bodů (a čím více těchto bodů bude, tím
lépe), a to právě jako řešení soustavy lineárních rovnic.
Cílem této kapitoly je seznámit čtenáře s několika metodami používanými pro řešení těchto
soustav. Zvláštní pozornost bude věnována Gaussově eliminační metodě. Také probereme
dvě iterační metody - Jacobiho a Gauss-Seidelovu. Tyto dvě metody jsou z iteračních
metod asi nejjednodušší. Pokud si je studenti osvojí, bude pro ně snazší pochopit jiné
dnes v praxi používané iterační metody.
Budeme se zabývat řešením soustavy n lineárních rovnic
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
... ...
an1 x1 + an2 x2 + ··· + ann xn = bn
s neznámými x1,x2,...,xn.
Připomeňme, že maticeA = (aij),i,j = 1,...,n,se nazývámatice soustavy a sloupcový
vektor b = (b1,...,bn)T vektor pravých stran.
Soustavu můžeme zapsat maticově ve tvaru
Ax = b (4.1)
Všude v dalším textu budeme předpokládat, že matice soustavy je regulární, tj. že řešená
soustava má právě jedno řešení. (V technických úlohách, kde se problém řešení soustavy
lineárních rovnic může vyskytnout, to tak zpravidla bývá.)
V prvním semestru se studenti seznámili s Gaussovou eliminační metodou a s Cramerovým
pravidlem. Obě tyto metody patří mezi tzv. metody přímé. Druhou skupinou metod
řešení soustav lineárních rovnic jsou metody iterační.
4.1 Přímé metody
Přímé metody vedou k řešení soustavy po konečném počtu kroků. Takto nalezené řešení
by bylo přesné, kdybychom se v průběhu výpočtu nedopouštěli zaokrouhlovacích chyb.
Připomeneme metody, které by studenti měli znát z prvního semestru, a uvedeme některé
další.
Matematika 3 25
4.1.1 Cramerovo pravidlo
Je-li matice soustavy 4.1 regulární, tj. její determinant je nenulový, pak řešení soustavy
lze vypočítat jako
x1 = D1D , x2 = D2D , ... , xn = DnD
kde D je determinant matice soustavy A a Dk,k = 1,...,n jsou determinanty matic, které
vzniknou z matice A nahrazením k-tého sloupce této matice vektorem pravých stran b.
Příklad 4.1 Pomocí Cramerova pravidla najděte řešení soustavy rovnic
2x1 + 3x2 = 5
−x1 + 2x2 = 8
Řešení: Determinant matice soustavy je
D =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle 2 3−1 2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle= 7
a determinanty matic vzniklých nahrazením prvního, resp. druhého sloupce matice sou-
stavy vektorem pravých stran jsou
D1 =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle 5 38 2
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle= −14, D2 =
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle 2 5−1 8
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle= 21.
Řešení soustavy je tedy
x1 = −147 = −2, x2 = 217 = 3.
Cramerovo pravidlo je vhodné pouze pro velmi malé soustavy rovnic, např. pro
soustavu dvou rovnic s „ošklivýmicsquotedblright koeficienty. Pro větší soustavy by bylo nutné počítat
mnoho determinantů vysokého řádu, což je velmi pracné. Proto se pro řešení velkých
soustav rovnic tato metoda nepoužívá.
4.1.2 Gaussova eliminační metoda
Základem této metody je úprava soustavy na trojúhelníkový tvar pomocí elementárních
úprav.
Přidáme-li v soustavě 4.1 vektor pravých stran b jako (n+1)-ní sloupec k matici A,
můžeme soustavu přepsat ve tvaru
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = a1n+1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = a2n+1
... ...
an1 x1 + an2 x2 + ··· + ann xn = ann+1
26 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Nyní se pomocí přičítání vhodných násobků první rovnice budeme snažit z ostatních
rovnic eliminovat x1. (Je-li a11 = 0, vyměníme první rovnici s první takovou rovnicí, která
na prvním místě nulu nemá.)
Odečteme-li postupně první rovnici, vynásobenou číslem ai1a11, od i-té rovnice, pro i =
2,3,...,n, dostaneme
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = a1n+1
a(1)22 x2 + ··· + a(1)2n xn = a(1)2n+1
... ...
a(1)n2 x2 + ··· + a(1)nn xn = a(1)nn+1
Nové koeficienty jsou vypočteny jako a(1)ij = aij− ai1a11 a1j, i = 2,3,...,n,j = 2,3,...,n+1.
Nyní budeme pomocí vhodných násobků druhé rovnice eliminovat x2 v třetí, čtvrté, ...
n-té rovnici. (Opět, je-li a(1)22 = 0, vyměníme druhou rovnici s první z dalších rovnic, ve
které u x2 nula není.)
Tím dostaneme
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ··· + a1n xn = a1n+1
a(1)22 x2 + a(1)23 x3 + ··· + a(1)2n xn = a(1)2n+1
a(2)33 x3 + ··· + a(2)3n xn = a(2)3n+1
... ...
a(2)n3 x3 + ··· + a(2)nn xn = a(2)nn+1
kde a(2)ij = a(1)ij − a(1)i2a(1)
22
a(1)2j , i = 3,4,...,n,j = 3,4,...,n + 1.
Pokračujeme-li dále stejným způsobem, dostaneme po n-1 krocích soustavu v trojúhelní-
kovém tvaru
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ··· + a1n xn = a1n+1
a(1)22 x2 + a(1)23 x3 + ··· + a(1)2n xn = a(1)2n+1
a(2)33 x3 + ··· + a(2)3n xn = a(2)3n+1
...
a(n−1)nn xn = a(n−1)nn+1
Z této soustavy snadno určíme hledané řešení:
xn = a
(n−1)
nn+1
a(n−1)nn
(4.2)
xn−1 = 1
a(n−2)n−1n−1
parenleftBig
a(n−2)n−1n+1 −a(n−2)n−1n xn
parenrightBig
...
x1 = 1a
11
parenleftBig
a1n+1 −a12 x2 −a13 x3 −···−a1n xn
parenrightBig
Postup vedoucí k soustavě 4.2 se nazývá Gaussova eliminace, výpočet neznámých dle
4.2 zpětná substituce nebo též zpětný chod. Číslo a(k−1)kk nazýváme hlavní prvek.
Matematika 3 27
Příklad 4.2 Pomocí Gaussovy eliminace vyřešte soustavu rovnic
1,67x1 − 0,15x2 + 2,51x3 = −0,84
2,15x1 + 3,02x2 − 0,17x3 = 2,32
1,71x1 − 2,83x2 + 1,45x3 = 1,26
Řešení: Koeficienty soustavy opíšeme do matice:


1,67 −0,15 2,51 −0,84
2,15 3,02 −0,17 2,32
1,71 −2,83 1,45 1,26


Od druhého řádku odečteme první řádek vynásobený 2,151,67 a od třetího vynásobený 1,711,67
(všechny mezivýsledky jsou zaokrouhlovány na pět desetinných míst):


1,67 −0,15 2,51 −0,84
0 3,21311 −3,40144 3,40144
0 −2,67641 −1,12012 2,12012


Nyní od třetího řádku odečteme druhý vynásobený −2,676413,21311 . Tím dostaneme


1,67 −0,15 2,51 −0,84
0 3,21311 −3,40144 3,40144
0 0 −3,95339 4,95339

,
což už odpovídá soustavě v trojúhelníkovém tvaru
1,67x1 − 0,15x2 + 2,51x3 = −0,84
3,21311x2 − 3,40144x3 = 3,40144
− 3,95339x3 = 4,95339
Řešení této soustavy je
x3 = 4,95339−3,95339 .= −1,25295
x2 = 13,21311
parenleftBig
3,40144 + 3,40144·(−1,25295)
parenrightBig .
= −0,26777
x1 = 11,67
parenleftBig
−0,84 + 0,15·(−0,26777)−2,51·(−1,25295)
parenrightBig .
= 1,35613
Řešení získané Gaussovou eliminační metodou by bylo přesné, kdybychom se v průběhu
výpočtu nedopouštěli zaokrouhlovacích chyb. U některých soustav může být bohužel vliv
zaokrouhlování na výsledek značný. Algoritmus Gaussovy eliminace se proto někdy mo-
difikuje způsobem popsaným v následující kapitole.
28 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
4.1.3 Eliminace s výběrem hlavního prvku
Eliminace s výběrem hlavního prvku je modifikace Gaussovy eliminační metody, která
slouží ke zmenšení zaokrouhlovacích chyb.
Je-li absolutní hodnota některého z dělitelů a(i−1)ii malá ve srovnání s absolutní hodnotou
prvků a(i−1)ki , k > i, může hrozit nebezpečí velkých zaokrouhlovacích chyb. Zaokrouhlovací
chyba v absolutní hodnotě malého čísla způsobí totiž velkou chybu v jeho převrácené
hodnotě a tedy i v číslech, jimiž násobíme řádky při eliminaci.
Abychom se vyhnuli dělení čísly, která jsou malá vzhledem k ostatním veličinám, použi-
jeme postup zvaný výběr hlavního prvku:
V prvním kroku eliminace najdeme rovnici, která má u x1 v absolutní hodnotě největší ko-
eficient. Vyměníme ji s první rovnicí a pak pomocí jejích násobků eliminujeme x1 z ostat-
ních rovnic. Ve druhém kroku najdeme mezi všemi rovnicemi kromě první tu rovnici, která
má v absolutní hodnotě největší koeficient u x2. Vyměníme ji s druhou rovnicí a pomocí
jejích násobků eliminujeme x2 z dalších rovnic. Obecně v k-tém kroku eliminace najdeme
mezi posledními n−k +1 rovnicemi tu, která má největší koeficient u xk, vyměníme ji s
k-tou rovnicí a pak pomocí ní eliminujeme.
Příklad 4.3 Soustavu z příkladu 4.2 řešte eliminací s výběrem hlavního prvku.
Řešení: Postupujeme podobně jako v předchozím příkladu. Vybraný hlavní prvek je vždy
v rámečku.

1,67 −0,15 2,51 −0,84
2,15 3,02 −0,17 2,32
1,71 −2,83 1,45 1,26

∼


2,15 3,02 −0,17 2,32
0 −2,49577 2,64205 −2.64205
0 -5,23195 1.58521 −0,58521

∼


2,15 3,02 −0,17 2,32
0 −5,23195 1.58521 −0,58521
0 0 1,88586 −2,36289


Následovala by zpětná substituce.
Právě popsanou metodu bychom mohli nazvat výstižněji eliminační metodou s částeč-
ným výběrem hlavního prvku.
Úplný výběr hlavního prvku spočívá v tom, že v k-tém kroku volíme za hlavní prvek
ten, který je největší v absolutní hodnotě v submatici vytvořené vynecháním prvních k−1
řádků a sloupců v upravované matici. Nutnost hledat největší prvek v celé submatici a
vyměňovat řádky i sloupce způsobuje větší časovou (a programátorskou) náročnost této
metody. Gaussova eliminační metoda s částečným výběrem je proto obvykle efektivnější
než metoda s úplným výběrem hlavního prvku.
Na závěr poznamenejme, že Gaussova eliminační metoda, ať už s výběrem hlavního prvku
nebo bez, je pro opravdu velké matice časově náročná. Máme-li řešit n rovnic, je u obyčejné
eliminace potřeba vykonat přibližně n3/3 aritmetických operací, což pro velké n dokáže
zaměstnat i relativně výkonný počítač. Proto se hodí nejlépe pro nepříliš rozsáhlé soustavy.
Dnes však existují profesionální programy i pro řešení velkých soustav rovnic s řídkou
maticí koeficientů (řídkou maticí se rozumí taková matice, která má v každém řádku jen
malý počet nenulových prvků).
Matematika 3 29
4.2 Iterační metody
Iterační metody, na rozdíl od přímých metod, nevedou k přesnému řešení po konečném,
předem daném počtu kroků. U iteračních metod zvolíme počáteční aproximaci řešení a
určitým postupem ji v každém kroku metody zlepšíme. K řešení se přibližujeme postupně
a obecně ho dosáhneme až v limitě. Protože výpočet nelze provádět do nekonečna, po
jisté době jej ukončíme. Výsledkem bude přibližné řešení soustavy.
4.2.1 Jacobiho metoda
Nejprve popíšeme, jak se Jacobiho metodou soustavy rovnic řeší a kdy se touto metodou
řešit mohou. Na konci kapitoly teoreticky zdůvodníme, proč Jacobiho metoda funguje.
(Aby čtenář děsící se jakékoli teorie mohl konec kapitoly přeskočit a nebyl hned zpočátku
zastrašen.)
Budeme opět pracovat se soustavou lineárních rovnic
a11 x1 + a12 x2 + ··· + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + ··· + a2n xn = b2
... ...
an1 x1 + an2 x2 + ··· + ann xn = bn
Z první rovnice vyjádříme x1, ze druhé rovnice x2 atd. Dostaneme
x1 = 1a
11
parenleftBig
b1 −a12 x2 −a13 x3 −···−a1n xn
parenrightBig
(4.3)
x2 = 1a
22
parenleftBig
b2 −a21 x1 −a23 x3 −···−a2n xn
parenrightBig
...
xn = 1a
nn
parenleftBig
bn −an1 x1 −an2 x2 −···−ann−1 xn−1
parenrightBig
Řešení soustavy budeme hledat následujícím způsobem:
Libovolně zvolíme počáteční aproximaci řešení x(0) = (x(0)1 ,x(0)2 ,...,x(0)n )T.
Tato čísla dosadíme do pravé strany 4.3. Tím dostaneme novou aproximaci řešení
x(1) = (x(1)1 ,x(1)2 ,...,x(1)n )T. Tu opět dosadíme do pravé strany 4.3 atd.
Obecně každou další aproximaci řešení získáme podle předpisu
x(r+1)1 = 1a
11
parenleftBig
b1 −a12 x(r)2 −a13 x(r)3 −·