Skripta Matematika 3

teré použí-
váme při hodnocení získaného přibližného výsledku - absolutní a relativní chybou - a s
tím, co se děje při používání zaokrouhlených čísel během výpočtu.
2.1 Zdroje a typy chyb
Pomineme-li jako zdroj chyb člověka dopouštějícího se omylů, můžeme chyby rozdělit na
několik základních druhů:
- chyby matematického modelu – vznikají nahrazením reálné fyzikální situace
matematickým modelem. Může se jednat například o popis nějakého fyzikálního
děje pomocí diferenciální rovnice.
- chyby vstupních dat – jsou způsobeny nepřesnostmi při měření fyzikálních veličin.
- chyby numerické metody – vznikají při náhradě původní matematické úlohy
jednodušší úlohou numerickou. Často se jedná o náhradu nekonečného procesu pro-
cesem konečným, např. při výpočtu hodnoty některé elementární funkce pomocí
součtu několika prvních členů její nekonečné Taylorovy řady nebo při aproximaci
určitého integrálu součtem konečného počtu funkčních hodnot. Odhad této chyby
je důležitou součástí řešení každé numerické úlohy.
- chyby zaokrouhlovací– vznikají tím, že při výpočtech pracujeme s čísly zaokrouh-
lenými na určitý, relativně nevelký, počet míst. Tyto chyby se při výpočtu mohou
kumulovat, nebo naopak navzájem rušit. Při velkém počtu operací je posouzení
jejich vlivu velmi náročné.
2.2 Definice chyb
Je-li ˆx přesná hodnota nějakého čísla a x její aproximace, jejich rozdíl
E(x) = ˆx−x
Matematika 3 11
nazýváme absolutní chyba aproximace. Obvykle se budeme zabývat odhadem této
chyby, ale je-li přesná hodnota veličiny velmi malá nebo velmi velká, má větší význam
užívat relativní chybu
RE(x) = ˆx−xx ,
která se též často vyjadřuje v procentech.
Například absolutní chyba 106 se může na první pohled zdát velmi velká. Je-li ovšem
přesná hodnota veličiny 1015, už se chyba tak závažná nejeví. Tento fakt lze nejlépe vyjá-
dřit pomocí relativní chyby, v tomto případě je RE = 10−9 = 10−7 %.
Přesnou hodnotu chyb zpravidla neznáme. Proto jsou důležité odhady chyb.
Každé nezáporné číslo ME(x), pro které platí
|ˆx−x| ≤ ME(x) ,tj. ˆx ∈ 〈x−ME(x),x+ME(x)〉
nazýváme odhad absolutní chyby aproximace x nebo mezní absolutní chyba.
Každé nezáporné číslo MR(x), pro které platí
|ˆx−x|
|x| ≤ MR(x), x negationslash= 0
nazýváme odhad relativní chyby nebo mezní relativní chyba.
Často užíváme symbolických zápisů
ˆx = x±ME(x), resp. ˆx = x(1±MR(x)).
2.3 Zaokrouhlování. Šíření chyb při výpočtu
Je-li x reálné číslo, které má obecně nekonečné dekadické vyjádření, pak číslo x(d), které
má d desetinných míst, je správně zaokrouhlenou hodnotou čísla x, platí-li
|x−x(d)| ≤ 12 10−d (2.1)
Tedy např. má-li být x(1) správně zaokrouhlená hodnota čísla x na jedno desetinné místo,
nesmí se od x lišit o více než o 12 10−1 = 0,05.
Jestliže číslo x, které chceme zaokrouhlit na d desetinných míst, má právě d + 1 desetin-
ných míst, z nichž poslední je pětka, často se používá pravidlo (čtenáři snad známé ze
základní školy), že pětka po liché číslici se zaokrouhluje nahoru, po sudé dolů. Lze ale
také (a některé počítačové programy tak činí) volit vždy zaokrouhlení nahoru nebo vždy
zaokrouhlení dolů.
Při numerických výpočtech pracujeme se zaokrouhlenými čísly. Výsledky početních ope-
rací s těmito čísly jsou opět zaokrouhlovány a dále se s nimi pracuje. Tím se zaokrouhlovací
chyby šíří. Budeme se nyní zabývat tím, co se děje při základních aritmetických operacích.
Nechť x a y jsou aproximace čísel ˆx a ˆy.
12 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
Pro chybu součtu a rozdílu platí
|E(x±y)| = |(ˆx± ˆy)−(x±y)| = |(ˆx−x)±(ˆy −y)| = (2.2)
= |E(x)±E(y)| ≤ |E(x)|+|E(y)| ≤ ME(x) +ME(y)
Odhad chyby součinu a podílu je o něco pracnější. Pro chybu součinu platí
|E(x·y)| = |ˆxˆy −xy| = |E(x)·y +E(y)·x +E(x)·E(y)| ≤ (2.3)
≤ |y|·ME(x) +|x|·ME(y) +ME(x)·ME(y)
Protože součin ME(x)·ME(y) bývá vzhledem k ostatním sčítancům zanedbatelný, do-
stáváme pro relativní chybu součinu
|RE(xy)| ≈
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingleE(x)·y +E(y)·x
xy
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle≤ MR(x) +MR(y) (2.4)
Podobně pro chybu podílu platí
vextendsinglevextendsingle
vextendsingleE(xy)
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsinglex +E(x)
y +E(y) −
x
y
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle=
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingleE(x)·y −x·E(y)
y(y +E(y))
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle≤ |y|ME(x) +|x|ME(y)
|y|(|y|−ME(y)) (2.5)
a je-li ME(y) zanedbatelné vzhledem k y, pak pro relativní chybu podílu dostaneme
vextendsinglevextendsingle
vextendsingleR(xy)
vextendsinglevextendsingle
vextendsingle≤ MR(x) +MR(y)
Nyní se ještě zmíníme obecně o chybě při výpočtu funkční hodnoty. Máme sta-
novit, jaké chyby se dopustíme při výpočtu hodnoty funkce f(x1,x2,...,xn) v bodě
[ˆx1, ˆx2,..., ˆxn], jestliže přesné hodnoty ˆxi nahradíme přibližnými hodnotami xi. Chybu
i-té proměnné označíme Ei. Platí
f(ˆx1, ˆx2,..., ˆxn) = f(x1,x2,...,xn) +
nsummationdisplay
i=1
Ei ∂f∂x
i
+ 12
parenleftBig nsummationdisplay
i=1
Ei ∂∂x
i
parenrightBig2
f +···
kde parciální derivace se berou v bodě [x1,x2,...,xn]. Protože obvykle budeme moci
předpokládat, že členy obsahující součiny chyb jsou malé ve srovnání s ostatními členy na
pravé straně, můžeme psát
f(ˆx1, ˆx2,..., ˆxn)−f(x1,x2,...,xn) ≈
nsummationdisplay
i=1
Ei ∂f∂x
i
(2.6)
Všimněme si, že 2.2, 2.3 a 2.5 jsou speciálními případy tohoto vzorce.
Zde je na místě zmínit se o tom, že při odečítání dvou sobě blízkých čísel se může velmi
zvětšit relativní chyba. Pokud pak takto získaný výsledek použijeme dále jako dělitele,
může dojít i k podstatnému zvětšení absolutní chyby. Tento jev ukážeme na příkladech.
Příklad 2.1 Nechť x = 2,78493 a y = 2,78469 jsou aproximace čísel ˆx a ˆy získané
zaokrouhlením těchto čísel na pět desetinných míst. Určete odhady absolutní a relativní
chyby rozdílu x−y.
Matematika 3 13
Řešení: Mezní absolutní chyby x a y jsou podle 2.1 ME(x) = ME(y) = 12 10−5. Tedy
podle 2.2 |E(x−y)| ≤ 10−5 = ME(x−y).
Mezní relativní chyba x je MR(x) = 1210−52,78493 .= 1,8 · 10−6 (MR(y) vyjde skoro stejně),
zatímco pro rozdíl může být relativní chyba řádově vyšší, její odhad je roven ME(x−y)x−y =
10−5
0,00024
.= 4,2·10−2.
Příklad 2.2 Nechť z = 1,23456 je aproximace čísla ˆz získaná zaokrouhlením tohoto
čísla na pět desetinných míst. Určete odhad chyby podílu zx−y, kde x a y jsou čísla z
příkladu 2.1
Řešení: Z příkladu 2.1 známe odhad chyby jmenovatele. Dále víme, že ME(z) = 12 10−5.
Pro odhad chyby podílu stačí dosadit do 2.5:
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingleE
parenleftbigg z
x−y
parenrightbiggvextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle ≤ |x−y|·ME(z) +|z|·ME(x−y)
|x−y|(|x−y|−ME(x−y)) =
= 0,00024·
1
2 ·10
−5 + 1,23456·10−5
0,00024·(0,00024−10−5)
.= 2,2·102
Tedy, zatímco vstupní hodnoty x,y a z měly chybu řádově v stotisícinách, výsledek může
mít chybu řádově ve stovkách!
Proto, je-li to možné, je žádoucí se odečítání blízkých čísel vyvarovat.
2.4 Podmíněnost numerických úloh a numerická stabilita algo-
ritmů
Při numerickém řešení různých úloh musíme zkoumat, jaký vliv na výsledek mají malé
změny ve vstupních hodnotách a zaokrouhlování během výpočtu.
Řešení numerických úloh můžeme považovat za postup, kterým přiřazujeme vstupním
údajům výstupní data. Je-li toto přiřazení spojité zobrazení, pak říkáme, že numerická
úloha je korektní úloha, v opačném případě se jedná o úlohu nekorektní.
Pro tyto úlohy má zásadní význam relativní citlivost výsledku na malé změny ve vstupních
parametrech úlohy. Korektní úloha je dobře podmíněná, jestliže malým relativním
změnám vstupních údajů odpovídají malé relativní změny výstupních údajů. Číslo
Cp = relativní chyba výstupních údajůrelativní chyba vstupních údajů
nazýváme číslo podmíněnosti úlohy. Pro dobře podmíněné úlohy je číslo Cp blízké
číslu 1.
Pokud malé relativní změny na vstupu způsobí velké relativní změny na výstupu, pak
mluvíme o špatně podmíněné úloze. Řešení špatně podmíněných úloh je nejlépe se
vyhnout, protože výsledky jakéhokoli algoritmu jsou velmi nespolehlivé.
Podobně řekneme, že je algoritmus dobře podmíněný, je-li málo citlivý na poruchy ve
vstupních datech. Kromě nepřesností ve vstupních údajích ovlivňuje výsledek použitého
14 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
algoritmu i zaokrouhlování čísel během výpočtu. Je-li vliv zaokrouhlovacích chyb na vý-
sledek malý, mluvíme o numericky stabilním algoritmu. Algoritmus dobře podmíněný
a numericky stabilní se nazývá stabilní.
Shrnutí pojmů
Při sestavování numerické úlohy se dopouštíme chyby už tím, že reálnou situaci nahradíme
zjednodušeným matematickým modelem. Další chyby mohou vzniknout kvůli nepřesnosti
vstupních dat. Podstatným zdrojem chyb je nahrazení původní matematické úlohy úlo-
hou numerickou (konkrétní příklady těchto nahrazení uvidíme v dalších kapitolách). A
konečně, nemalý vliv mohou mít chyby, které vzniknou zaokrouhlováním čísel během vý-
počtu.
Kvalitu výsledku získaného nějakou numerickou metodou můžeme popsat pomocí abso-
lutní chyby - rozdílu přesné a přibližné hodnoty. Někdy je výstižnější relativní chyba
- podíl absolutní chyby a vypočtené přibližné hodnoty. Protože však přesnou hodnotu
často neznáme a tím pádem absolutní chybu nejsme schopni určit, důležité jsou odhady
absolutní a relativní chyby.
Používáme-li při výpočtu zaokrouhlená čísla, chyby se šíří. Zvlášt nebezpečné je odečítání
sobě blízkých čísel.
2.5 Otázky a příklady ke cvičení
U následujících výroků rozhodněte, zda se jedná o výrok pravdivý či nepravdivý.
Otázka 2.1 Relativní chyba závisí na velikosti absolutní chyby.
Otázka 2.2 Je-li x > 106, bude relativní chyba RE(x) určitě velmi malá.
Otázka 2.3 Je-li absolutní chyba E(x) < 10−6, je určitě i relativní chyba RE(x) < 10−6.
Otázka 2.4 Jestliže x aproximuje přesnou hodnotu ˆx s chybou E(x) = 0,01, pak y = 2x
aproximuje ˆy = 2ˆx s chybou E(y) = 0,02.
Otázka 2.5 Pokud jsme čísla x a y získali zaokrouhlením čísel ˆx a ˆy na n desetinných
míst, pak na n desetinných míst zaokrouhlená hodnota čísla ˆx + ˆy je rovna x + y. (ˆx a ˆy
mohou být libovolná reálná čísla.)
Otázka 2.6 Čím větší je relativní chyba výstupních údajů dané úlohy, tím větší je číslo
podmíněnosti této úlohy.
Příklad 2.1 Přesná hodnota integrálu integraltextpi0 sinxdx je ˆI = 2, numericky vypočtená hod-
nota je I = 2,09. Určete absolutní a relativní chybu I.
Příklad 2.2 Určete mezní absolutní a relativní chybu, které se dopustíme, jestliže k
výpočtu obsahu obdélníka použijeme délky jeho stran zaokrouhlené na 2 desetinná místa,
a = 1,72 a b = 2,15.
Odpovědi na otázky a výsledky příkladů viz 16.1
Matematika 3 15
3 Exkurze do funkcionální analýzy
Cíl kapitoly
Tato kapitola tvoří teoretický základ pro metody probírané v dalších dvou kapitolách.
Protože prostor, který lze této problematice věnovat, je velmi omezený, pokusíme se zde
vysvětlit jen nejnutnější pojmy. Pokud by někoho odrazovala přílišná teoretičnost a „vě-
deckostcsquotedblright této kapitoly a spokojil by se s tím, že metody popsané v kapitolách 4 a 5 fungují,
aniž by se zajímal o to, proč fungují, mohl by snad následující text přeskočit.
3.1 Metrický prostor
Studenti určitě umí vypočítat vzdálenost dvou reálných čísel na číselné ose nebo vzdá-
lenost dvou bodů v rovině či v prostoru. Podobně se dá určovat „vzdálenostcsquotedblright různých
jiných objektů. Této zobecněné vzdálenosti se říká metrika.
Definice. Buď X množina (prvků jakéhokoli typu). Řekneme, že na této množině je
definována metrika d, jestliže každým dvěma prvkům x,y ∈ X je přiřazeno reálné číslo
d(x,y) tak, že
1) d(x,y) ≥ 0 ∀x,y ∈ X , d(x,y) = 0 ⇔ x = y
2) d(x,y) = d(y,x) ∀x,y ∈ X
3) d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z) ∀x,y,z ∈ X (trojúhelníková nerovnost)
Množinu X s metrikou d pak nazýváme metrický prostor.
Příklady metrických prostorů
Asi nejjednodušším příkladem metrického prostoru je množina všech reálných čísel R s
metrikou d definovanou jako d(x,y) = |x−y|.
Jako množinu X však nemusíme brát celé R, může to být i jakákoli jeho podmnožina,
např. interval nebo množina všech racionálních čísel Q.
Jiným příkladem je množina všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Je-li
x = (x1,x2,...,xn) a y = (y1,y2,...,yn), metriku d můžeme definovat různě. Jako
nejpřirozenější se jeví obvyklá vzdálenost dvou bodů:
d(x,y) =
radicalbig
(x1 −y1)2 + (x2 −y2)2 +···+ (xn −yn)2, (3.1)
existují však i jiné možnosti, např.
d(x,y) = |x1 −y1|+|x2 −y2|+···+|xn −yn| (3.2)
nebo
d(x,y) = max
parenleftBig
|x1 −y1|,|x2 −y2|,...,|xn −yn|
parenrightBig
. (3.3)
Jako poslední příklad uvedeme množinu všech funkcí definovaných a spojitých na intervalu
〈a,b〉, která se označuje jako C(〈a,b〉). Jsou-li f,g ∈ C(〈a,b〉), definujeme
d(f,g) = max
x∈〈a,b〉
|f(x)−g(x)|. (3.4)
Obrázky 3.1 a 3.2 poslouží k objasnění některých uvedených metrik.
16 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
B
A
y
y
BA xx
B
A
y=g(x)
y=f(x)
d(f,g)
ba
Obrázek 3.1: „Vzdálenostcsquotedblright bodů A, B
podle metriky 3.2 je délka silné černé
čáry.
Obrázek 3.2: „Vzdálenostcsquotedblright dvou spoji-
tých funkcí v metrice 3.4
3.2 Úplný metrický prostor
Již na střední škole se studenti seznámili s posloupnostmi reálných čísel a (snad) i s jejich
limitami.
Připomeňme, že limita posloupnosti reálných čísel {an}∞n=1 je, populárně řečeno, takové
číslo a, ke kterému se členy posloupnosti pro n jdoucí do nekonečna přibližují. Přesněji:
Reálné číslo a se nazývá limitou posloupnosti {an}∞n=1, jestliže ke každému ε > 0 existuje
přirozené číslo N tak, že pro všechna n > N platí |an −a| < ε.
Neboli: ať zvolíme ε libovolně malé, od jistého indexu N se členy posloupnosti budou od
a lišit méně než o ε.
Posloupnosti však můžeme sestavovat i z jiných objektů než z reálných čísel. Stejně tak
můžeme u takových posloupností říci, zda mají, nebo nemají limitu. Pro posloupnosti
sestavené z prvků obecného metrického prostoru se limita definuje velmi podobně, jen je
třeba zobecnit ono „lišení se o méně než εcsquotedblright. To se provede pomocí metriky.
Definice. Buď X metrický prostor s metrikou d a {xn}∞n=1 posloupnost prvků z X. Řek-
neme, že x ∈ X je limitou této posloupnosti, píšeme lim
n→∞
xn = x , jestliže ke každému
ε > 0 existuje přirozené číslo N tak, že pro všechna n > N platí d(xn,x) < ε.
Posloupnost, která má limitu, se nazývá konvergentní.
Nyní definujeme další vlastnost posloupností.
Definice. Buď X metrický prostor s metrikou d a {xn}∞n=1 posloupnost prvků z X. Řek-
neme, že tato posloupnost je cauchyovská, jestliže ke každému ε > 0 existuje přirozené
číslo N tak, že pro všechna n > N a každé přirozené číslo k platí d(xn,xn+k) < ε.
Dá se říci, že cauchyovská posloupnost je taková, jejíž členy se výše popsaným způsobem
zahušťují.
Dá se dokázat, že každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Intuitivně by se mohlo
zdát, že to musí být i naopak. Existují ale prostory, v nichž najdeme cauchyovské po-
Matematika 3 17
sloupnosti, které v daném prostoru limitu nemají. Ukážeme to na následujícím příkladu:
Mějme například množinu všech reálných čísel a v něm posloupnost a1 = 3.1,a2 =
3.14,a3 = 3.141,a4 = 3.1415,.... Tato posloupnost má limitu pi a tedy je cauchyovská.
Nyní vezměme tutéž posloupnost, ale v množině všech racionálních čísel Q. Je to posloup-
nost cauchyovská, ale limitu v Q nemá (protože pi /∈Q).
Existují tedy prostory, v nichž „něco scházícsquotedblright, neobsahují limity některých posloupností,
které se jinak chovají tak, jako by limitu mít měly. Tím se dostáváme k definici úplného
prostoru.
Definice. Metrický prostor se nazývá úplný, jestliže každá cauchyovská posloupnost
v něm má limitu.
Příklady úplných a neúplných prostorů
Množina R s metrikou d(x,y) = |x−y| je úplný metrický prostor.
Jakýkoli uzavřený interval 〈a,b〉 s toutéž metrikou je také úplný prostor.
Otevřený interval s toutéž metrikou není úplný. To můžeme ukázat na příkladu intervalu
(0,1) a posloupnosti xn = 1n. Tato posloupnost je cauchyovská a přitom v intervalu (0,1)
nemá limitu (0 /∈ (0,1)).
Dá se dokázat, že prostor všech uspořádaných n-tic reálných čísel s kteroukoli z metrik
3.1, 3.2, 3.3 je úplný.
3.3 Pevný bod zobrazení, iterační proces
Definice. Řekneme, že F je zobrazení množiny X do množiny Y, píšeme F : X → Y,
jestliže každému prvku x ∈ X je pomocí F přiřazen právě jeden prvek y ∈ Y, y = F(x).
Budeme se zabývat hlavně zobrazeními množiny do sebe sama, tj. zobrazení F : X → X.
Takové zobrazení přiřazuje každému prvku x ∈ X opět (obecně jiný) prvek z X. Nás bude
zajímat, jestli existuje takový prvek x, který se zobrazí sám na sebe, případně jak takový
prvek najít.
Definice. Prvek x ∈ X se nazývá pevný bod zobrazení F : X → X, jestliže platí
F(x) = x.
Jestliže za množinu X vezmeme R, pak zobrazení F : R → R je obyčejná funkce jedné
proměnné. Na obrázku 3.3 jsou vyznačeny pevné body jisté funkce f. Jsou to body, v nichž
se protne graf funkce f s přímkou y = x.
Příklad. Funkce f(x) = x2 má právě dva pevné body, a to x = 0 a x = 1, protože 02 = 0
a 12 = 1.
Hledání pevného bodu zobrazení má v numerické matematice velký význam. Některé
úlohy, jejichž zadání zpočátku vypadá úplně jinak, lze převést právě na problém nalezení
pevného bodu. Proto se nyní budeme zabývat otázkou, jak ověřit, že nějaké zobrazení
pevný bod má a jak jej najít. Dá se dokázat, že jistý druh zobrazení má pevný bod vždy
a existuje postup, který nás k němu dovede.
18 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně
y=x
y=f(x)
)
)
)
3
2
1
f(x
f(x
f(x
321 xxx
Obrázek 3.3: Pevné body reálné funkce
Definice. Buď X metrický prostor. Řekneme, že zobrazení F : X → X je kontraktivní
(kontrakce), jestliže existuje α ∈ 〈0,1) tak, že pro každé dva prvky x,y ∈ X platí
d(F(x),F(y)) ≤ αd(x,y) (3.5)
Číslo α nazýváme koeficient kontrakce.
„Kontrakcecsquotedblright česky znamená „staženícsquotedblright. Dá se tedy, byť poněkud nepřesně, říct, že kon-
traktivní zobrazení je takové, u nějž jsou si obrazy (funkční hodnoty) bližší, než byly
vzory.
y=f(x)
)
)
2
1
f(x
f(x
21 xx
y=f(x)
)
)
2
1
f(x
f(x
21 xx
Obrázek 3.4: Funkce, která je kontrak-
tivní
Obrázek 3.5: Funkce, která není kon-
traktivní
Matematika 3 19
Věta 3.1 Buď X úplný metrický prostor a F : X → X kontraktivní zobrazení. Pak
existuje právě jeden pevný bod tohoto zobrazení ˆx, pro nějž platí
ˆx = lim
n→∞
xn, (3.6)
kde (xn)∞n=1 je tzv. posloupnost postupných aproximací, která je definována takto:
x0 je libovolný prvek z X a další členy posloupnosti jsou definovány předpisem
xk+1 = F(xk), k = 0,1,... (3.7)
Dále pro všechna přirozená čísla n platí:
d(ˆx,xn) ≤ α1−α d(xn,xn−1) (3.8)
d(ˆx,xn) ≤ α
n
1−α d(x0,x1), (3.9)
kde α je koeficient kontrakce.
Tato věta nám dává návod, jak pevný bod zadaného zobrazení alespoň přibližně najít.
Zvolíme x0 ∈ X. Tomuto bodu se říká počáteční aproximace.
Pak počítáme další členy posloupnosti podle předpisu 3.7. Tomuto výpočtu se říká ite-
rační proces, k-tý člen posloupnosti, xk, se nazývá k-tá aproximace.
Protože podle 3.6 je pevný bod limitou posloupnosti (xn)∞n=1, postupné aproximace se
k němu budou přibližovat. Kdybychom v iteračním procesu mohli pokračovat doneko-
nečna, dostali bychom se nakonec k pevnému bodu. To ale není možné, a proto se v určitý
moment zastavíme a řekneme, že pevný bod ˆx je přibližně roven poslednímu vypočtenému
členu posloupnosti.
Kdy iterační proces zastavit, rozhodneme podle toho, s jakou přesností chceme mít pevný
bod vypočtený. Můžeme k tomu použít např. odhad 3.8, který říká, jak je n-tá aproximace
nanejvýš vzdálena od pevného bodu. K tomu ovšem musíme znát hodnotu koeficientu
kontrakce α, která může být u některých úl