skripta MO5

uštění a zředění kmitajících částic.
Musíme ho sečíst se statickým tlakem prostředí, např. s atmosférickým
tlakem p
0
. Výsledný tlak při šíření zvukové vlny v plynném prostředí je
pak součet p+p
0
. Akustický tlak je časově proměnná veličina, která
nabývá kladných i záporných hodnot, výsledný tlak tedy kolísá kolem
stálé hodnoty statického tlaku. Jednotkou akustického tlaku je pascal
(Pa).
2.2.2 Akustická rychlost
Akustická rychlost v
r
je rychlost, kterou kmitají částice prostředí, které
tvoří akustickou vlnu, kolem svých rovnovážných poloh. Na rozdíl od
akustického tlaku je to vektor, který má u podélného vlnění směr šíření
vlny, u příčného vlnění směr kolmý na směr šíření vlny. Akustická
rychlost je časově periodicky proměnná veličina. Nesmíme ji zaměňovat
s rychlostí šíření akustické vlny. Jednotkou akustické rychlosti je m.s
-1
.
2.2.3 Souvislost akustického tlaku s akustickou rychlostí
Naším úkolem bude nalézt vztahy mezi veličinami zvukového pole a odvodit
vlnovou rovnici. Nejprve vyjdeme z
druhého Newtonova zákona síly,
který aplikujeme na elementární
vzduchový objem dzdydxdV = .
Podle obr. 2.2 působí na plochu
dzdydS = zleva akustický tlak p,
zprava akustický tlak
dx
x
p
p
∂
∂
+
.
Výsledná síla
dzdydx
x
p
dSdpdF
x
∂
∂
−=−=
p
z
x
y

obr. 2.2 K odvození souvislosti
akustického tlaku a akustické rychlosti
Fyzikální akustika
- 11 (45) -
způsobuje ve směru x zrychlení a
x
elementu vzduchu o hmotnosti
dzdydxdm ρ= , kde ρ je hustota vzduchu, která se sice působením
akustického tlaku mění, ale změny jsou tak malé, že je lze zanedbat. Podle
Newtonova zákona síly dále platí rovnice


t
v
dmadmdF
x
xx
∂
∂
== , (8)
po dosazení


t
v
dxdydzdxdydz
x
p
x
∂
∂
=
∂
∂
− ρ , (9)
a po úpravě


t
v
x
p
x
∂
∂
−=
∂
∂
ρ , (10)
Tuto rovnici vynásobíme jednotkovým základním vektorem i
r
. Dostaneme


i
dt
dv
=i
x
p
x
rr
ρ−
∂
∂
,
(11)
Pro vlnění šířící se obecným směrem můžeme napsat další složky


j
t
v
=j
y
p
y
rr
∂
∂
−
∂
∂
ρ ,
k
t
v
=k
z
p
z
rr
∂
∂
−
∂
∂
ρ .
(12)
Sečtením těchto tří rovnic dostaneme


t
v
=p
∂
∂
−
r
ρgrad , (13)
kde operátor grad představuje vektorovou operaci


);;(grad
zyx
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
(14)

Rovnice (13) představuje důležitou souvislost mezi akustickým tlakem a
akustickou rychlostí. V akustice se nazývá Eulerova rovnice.
2.3 Vlnová rovnice pro akustický tlak
Akustická vlnová rovnice je obecná diferenciální rovnice druhého řádu, jejíž
řešení poskytuje informace o šíření akustické vlny prostředím. Vlnová rovnice
pro akustický tlak má tvar
základní vektory
kji
rrr
,, jsou vektory
ležící v osách
x, y, z s velikostí 1.
Aplikovaná fyzika · Akustika
- 12 (45) -

2
2
2
2
1
t
p
c
p
∂
∂
=∇ ,
(15)
kde p je akustický tlak a c je rychlost šíření vlnění v prostředí.
2
∇ je Laplaceův
operátor


2
2
2
2
2
2
2
dzdydx
∂
+
∂
+
∂
=∇ .
(16)
2.3.1 Odvození vlnové rovnice
Tlakové změny, ke kterým dochází při šíření vlnění ve vzduchu jsou tak rychlé,
že nemůže docházet k vyrovnání teploty prostředí, jinými slovy, nedochází
k výměně tepla jedné části prostředí s jinou. Proto může být prostředí popsáno
zákonem pro adiabatický děj. Jak už jsme poznamenali, celkový tlak v
prostředí se skládá z atmosférického tlaku p
0
, který můžeme považovat za
konstantní, a proměnného akustického tlaku p. Potom je příslušná adiabatická
změna dána výrazem


.)(
0
konstVpp =+
γ
, (17)
kde ρ je hustota prostředí a γ je Poissonova konstanta známá z termodynamiky,
kterou jsme komentovali na str. 9. Po dosazení
ρ
m
V = bude

.
0
konst=
p+p
ρ
γ

(18)
Derivujme rovnici (18) podle času. Vzhledem k
0
pp I
2
, tedy r
2
> r
1

1
2
12
log20
r
r
LL ⋅−=

(63)
Tato rovnice udává, jak klesá hladina intenzity při vzdalování od bodového
zdroje. Tento pokles hladiny intenzity zvuku nazveme sférický útlum.
Dosadíme-li za r
2
/r
1
= 2, tj. vzdálení na dvojnásobek, bude mít sférický útlum,
v souladu s rovnicí (63), hodnotu -6 dB.
Při šíření zvuku ve vzduchu dochází též k absorpci zvukové energie. Tuto
absorpci nazveme atmosférický útlum. Zvuková energie ubývá ve vzduchu
podle Knesera dvěma způsoby: v prvém případě ubývá vlivem vedení a
vyzařování tepla, viskozity prostředí a difúze. To je tzv. klasický útlum, který
je úměrný druhé mocnině kmitočtu. Pro nízké kmitočty je klasický útlum

obr. 4.1 Šíření sférické vlny
Aplikovaná fyzika · Akustika
- 30 (45) -
zanedbatelný. Pro vyšší kmitočty je však nutno klasický útlum uvažovat,
protože např. pro 10 kHz dosahuje hodnoty asi 1,5 dB na 100 m.
V druhém případě, při tzv. molekulárním útlumu, dochází k úbytku zvukové
energie vlivem relaxace pohybu molekul kyslíku. Molekulární útlum závisí
především na množství vody obsažené ve vzduchu, dále na teplotě a kmitočtu.
Mění se v širokém rozsahu hodnot a může dosáhnout až 20 dB na 100 m pro
extrémní případy. Označíme-li pokles hladiny intenzity L"∆ v důsledku
atmosférického útlumu a α činitel útlumu na dráze 1 m, platí

)(
12
rrL" −−=∆ α . (64)
Oba atmosférické útlumy, jak klasický, tak molekulární, rostou lineárně se
vzdáleností, tj. jsou přímo úměrné dráze zvukového paprsku, na němž útlum
počítáme. Pokles hladiny intenzity způsobený sférickým útlumem stanovíme
z rovnice (63)

1
2
12
log20
r
r
LLL' −=−=∆ .
(65)
Celkový pokles hladiny od bodového zdroje zahrnuje jak sférický, tak
atmosférický útlum
)(log20
12
1
2
rr
r
r
L"L'L −−−=∆+∆=∆ α .
(66)
Hodnoty atmosférického útlumu pro teplotu 15 °C a relativní vlhkost 75 %, tj.
tzv. standardní meteorologické podmínky, jsou v tab. 4.1. Pro nižší kmitočty je
atmosférický útlum zanedbatelný.
Hodnoty atmosférického útlumu
Kmitočet / Hz 500 1000 2000 4000 8000
Atmosférický útlum dB/100m 0,16 0,38 0,95 2,42 4,73
tab. 4.1 Hodnoty atmosférického útlumu pro t = 15 °C a relativní vlhkost 75 %
4.3 Akustika interiéru
Možné metody řešení akustiky uzavřeného prostoru jsou tři: vlnová akustika
(řešení vlnové rovnice), geometrická akustika (sledování akustických paprsků
a řešení jejich odrazů od překážek) a statistická akustika. Ve většině případů
bývají uzavřené prostory nepravidelného tvaru, odrazivé vlastnosti stěn nelze
jednoduše vyjádřit a proto není možno stanovit řešení vlnové rovnice. Ze
stejného důvodu pak není možno dospět k řešení pomocí geometrické akustiky.
Nejhodnotnější výsledky řešení akustiky uzavřených prostorů poskytuje
metoda statistické akustiky, která řeší vytvoření a zánik zvukového pole na
základě velkého počtu odrazů. Nepravidelný tvar interiéru poskytuje řešení
touto metodou dokonce kvalitnější výsledky než u pravidelných tvarů. Metodu
statistické akustiky si přiblížíme podrobněji.
Fyzikální akustika
- 31 (45) -
4.3.1 Podmínky použití statistické akustiky
Pro běžné uzavřené prostory je možné učinit některé zjednodušující
předpoklady, které umožní nalézt hodnoty energetických akustických veličin
na základě statistické teorie. Z důvodu mnohočetných odrazů akustických vln
od stěn je možné předpokládat, že požadované zjednodušující podmínky, které
uvádíme dále, budou splněny. U statistické metody vycházíme z představy, že
k vytvoření zvukového pole v určitém místě přispívají odrazy od stěn a jiných
ploch (překážek). Vzhledem k jejich nepravidelnému uspořádání a vzhledem k
velkému počtu odrazů zvuku budou vztahy akustických veličin podléhat
zákonitostem velkého počtu jevů, tedy statistickým zákonům.
Tři předpoklady platnosti statistické akustiky jsou:
1) Ve všech bodech uzavřeného prostoru je objemová hustota zvukové
energie stejná. Hustota zvukové energie je dána součtem energie
přicházející přímo od zdroje zvuku a energie, která do daného bodu
dospěje díky odrazům.
2) V každém elementu uzavřeného prostoru je celková energie dána
součtem středních hodnot všech energií, které do zvoleného bodu
dospěly díky odrazům od stěn a překážek. Teorie se nezabývá
okamžitými hodnotami energetických veličin, ale jejich středními
hodnotami. Uvažujeme pouze nekoherentní (nezávislé) zdroje zvukové
energie, neboť teorie nepřipouští vliv interferenčních jevů v daném
prostoru.
3) Všechny úhly dopadu zvukových vln v libovolném bodu prostoru jsou
stejně pravděpodobné.
Zvukový prostor, splňující podmínky 1) až 3), se nazývá difúzní zvukové
pole, které je vhodné pro aplikaci statistické akustiky.
4.3.2 Výkon dopadající na stěnu
Pro další úvahy bude mít význam střední časová hodnota akustického výkonu,
který jsme zavedli v článku 2.5.2. Vzhledem k tomu, že v dalším výkladu
budou všechny energetické veličiny střední časové hodnoty, budeme je pro
jednoduchost označovat bez pruhu a nebudeme v jejich názvech upřesňovat, že
se jedná o střední časové hodnoty.
Pro rovinnou vlnu bude mít akustický výkon dopadajícího na stěnu, v souladu s
rovnicí (43) a definicí intenzity, tvar SIP = . Pro difúzní zvukové pole je
tomu ale jinak. Vzhledem ke všesměrovému dopadu a vzhledem ke stejné
pravděpodobnosti všech úhlů dopadu, vychází ze statistické teorie pro výkon
dopadající na rovinnou stěnu o ploše S vztah
SIP
4
1
= . (67)
Vzhledem k tomu, že cwI = , viz (49), lze podobně pro výkon dopadající na
rovinnou stěnu o ploše S psát
Pokud bychom byli
důslední, označili
bychom střední
hodnotu P , pro
jednoduchost však
uvádějme jen P

Rov. (67) platí
s přihlédnutím
k tomu, že intenzita
zvuku I je střední
časová hodnota
měrného akustic-
kého výkonu N.
Aplikovaná fyzika · Akustika
- 32 (45) -

ScwP
4
1
= , (68)
kde w je objemová hustota akustické energie.
Vztahy (67) a (68) vlastně říkají, že zvukové vlny dopadající na stěnu ve směru
jiném než kolmém dodají na stěnu menší výkon než vlny šířící se ke stěně
v kolmém směru, přičemž pro difúzní zvukové pole je to ¼ výkonu kolmo
dopadající vlny.
4.3.3 Činitel zvukové pohltivosti
Z akustického výkonu dopadajícího na stěnu se jeho část vrátí do prostoru,
odkud zvuk dopadl a zbývající část zůstane ve stěně (dělícím prvku) nebo
projde na druhou stranu stěny. Z hlediska statistické akustiky považujeme
zvuk, který se nevrátil zpět do prostoru, za pohlcený. Činitel zvukové
pohltivosti stěny definujeme jako poměr pohlceného akustického výkonu P
a

k dopadajícímu P

P
P
α=
a
. (69)
Tento činitel nemůže být záporný a nemůže překročit hodnotu 1. Jedničku lze
realizovat například otvorem (otevřeným oknem). Pokud mají stěny různé
činitele pohltivosti, potom

∑
=
=+++
n
i
iinn
SSSSS=α
1
2211
... αααα ,
(70)
kde
ii
S,α jsou činitelé pohltivosti a plochy jednotlivých stěn a
∑
=
n
i
i
S
1
je plocha
celého povrchu. Činitel zvukové pohltivosti, podobně jako výkon v rovnici
(68), je charakterizován všesměrovým dopadem akustické vlny.
4.3.4 Zvuková pohltivost
Zvuková pohltivost A povrchu o ploše S je schopnost pohltit zvuk.
Definujeme ji rovnicí
SA α= .
(71)
V případě, že je třeba stanovit zvukovou pohltivost většího povrchu
skládajícího se z ploch s odlišnými činiteli zvukové pohltivosti, stanovíme
celkovou zvukovou pohltivost jako součet jednotlivých pohltivostí, tedy

∑
=
=
n
i
ii
SA
1
α ,
(72)
kde
i
α a
i
S je činitel zvukové pohltivosti a velikost i-té plochy.
Fyzikální akustika
- 33 (45) -
4.3.5 Činitel zvukové průzvučnosti a zvuková průzvučnost
Analogicky k definici činitele zvukové pohltivosti a zvukové pohltivosti
definujeme činitel zvukové průzvučnosti

P
Pt
=τ . (73)
a zvukovou průzvučnost
ST τ= .
(74)
Význam veličin v rovnicích je stejný jako v rovnicích (69) až (72)
4.3.6 Činitel zvukové odrazivosti a zvuková odrazivost
Analogicky k předchozím definicím definujeme činitel zvukové odrazivosti

P
Pr
=ρ . (75)
a zvukovou odrazivost
SR ρ= .
(76)
Pro zvukovou pohltivost, propustnost a odrazivost logicky platí, že jejich
součet je 1, tedy
1
rtarta
=
++
=++=++
P
PPP
P
P
P
P
P
P
RTA , (77)
neboť výkony v čitateli tvoří celkový zvukový výkon dopadající na povrch.
4.3.7 Výkonová rovnováha v difúzním zvukovém poli
Nejdříve vyšetříme zvukové pole uzavřeného prostoru v ustáleném stavu,
kdy se nemění intenzita zvuku v závislosti na čase. Potom musí platit princip
zachování energie, tedy výkon dodávaný zvukovým zdrojem P do prostoru
musí být celý pohlcen,
a
PP = . V opačném případě by intenzita zvuku
narůstala. V ustáleném stavu, v souladu s rovnicemi (69) a (67), má potom
výkon pohlcený stěnou o ploše S, která má činitel zvukové pohltivosti α,
hodnotu
IAPP
a
4
1
==α , (78)
kde α je střední hodnota činitele zvukové pohltivosti definovaná vztahem (70)
a A je pohltivost uzavřeného prostoru. Jiná situace nastane v neustáleném
stavu. Pokud se hodnota intenzity zvuku časově mění, tedy 0≠
dt
dI
, na rozdíl
od ustáleného stavu se část akustického výkonu využije ke změně intenzity
zvuku v prostoru. Energie vlnění v celém uzavřeném prostoru má hodnotu
Aplikovaná fyzika · Akustika
- 34 (45) -
E = w V, kde V je objem sledovaného interiéru a její časové změně odpovídá
výkon P
V
, který získáme derivací,

dt
dI
c
V
dt
wd
V
dt
dE
P
V
=== , (79)
kde jsme využili rovnici (49)
c
I
w = . Výkonová rovnováha v neustáleném
stavu potom bude
IA
dt
dI
c
V
PPP
aV
4
1
+=+= , (80)
kde P je výkon zvukového zdroje. Pokud 0=
dt
dI
, jedná se o ustálený stav a
výkonová rovnováha v ustáleném stavu přejde na rovnici
IAPP
a
4
1
== . (81)
4.3.8 Názvuk a dozvuk
Názvuk je děj (ne fyzikální veličina), který následuje po uvedení zvukového
zdroje do činnosti. Trvá dokud nedojde k ustálení stavu, jinými slovy, dokud se
neustálí intenzita zvuku nebo objemová hustota energie zvuku. Během názvuku
intenzita zvuku narůstá. Vyšetříme její časovou závislost. Vyjdeme z rovnice
výkonové rovnováhy (80), odkud po úpravě dostáváme
0
4
=−+
V
Pc
I
V
cA
dt
dI
,
(82)
přičemž výkon P zdroje zvuku je nenulový. Řešení této diferenciální rovnice
má tvar

)e1()(
4
0
t
V
cA
ItI
−
−= ,
(83)
kde hodnota intenzity zvuku

A
P
I
4
0
=
(84)
přísluší ustálenému stavu pro ∞→t .
Dozvuk je opak názvuku. Jedná se o děj, který následuje po vypnutí
zvukového zdroje až po ustálený stav, který je v tomto případě zjevně
charakterizovaný hodnotou I = 0. Pro určení časové závislosti intenzity zvuku
vyjdeme opět z rovnice výkonové rovnováhy (80), do níž při vypnutém
zvukovém zdroji dosadíme P = 0. Takže diferenciální rovnice výkonové
rovnováhy je
Fyzikální akustika
- 35 (45) -
0
4
=+
V
cIA
dt
dI

(85)
a její řešení má tvar

t
V
cA
ItI
4
0
e)(
−
= ,
(86)
kde hodnota

A
P
I
4
0
= (87)
je počáteční hodnota intenzity zvuku pro t = 0.
Časový průběh intenzity zvuku při názvuku po zapnutí a dozvuku po vypnutí
zvukového zdroje je uveden na obr. 4.2.
Ve skutečnosti však objemová intenzita vzrůstá i klesá po nepravidelných
skocích, ne plynule jak dokumentují rovnice (83) a (86). Skokové změny jsou
způsobeny vlivem nedostatečného počtu odrazů zvukové vlny od stěn, což
bývá zejména při vysoké akustické pohltivosti stěn (v praxi pro α > 0,2).
Potom, vzhledem k tomu, že statistická akustika je přesná pouze pro vysoký
počet odrazů, budou pro vyšší poh