- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice II
BA02 - Matematika II
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálVYSOK´E UˇCEN´I TECHNICK´E V BRNˇE
FAKULTA STAVEBN´I
MATEMATIKA II
MODUL 4
OBYˇCEJN´E DIFERENCI´ALN´I ROVNICE 2
STUDIJN´I OPORY
PRO STUDIJN´I PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
Typeset by LATEX2ε
c© Josef Dibl´ık, Oto Pˇribyl 2004
Obsah
1 Struktura ˇreˇsen´ı LDR 3
1.1 Jak´e line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice budeme studovat? . . . . . . . . . . 4
1.2 Z´akladn´ı pojmy z teorie LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Princip superpozice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Line´arn´ı z´avislost syst´emu funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Wronski´an syst´emu ˇreˇsen´ı LDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Obecn´e ˇreˇsen´ı HLDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.9 Poˇcet nezavisl´ych ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.10 Obecn´e ˇreˇsen´ı NHLDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.11 LDR s pravou stranou nez´avislou na ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.12 Sn´ıˇzen´ı ˇr´adu homogenn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Homogenn´ı LDR s konstantn´ımi koeficienty 29
2.1 Exponenci´aln´ı tvar ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Symbolick´e oper´atory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Aplikace rovnic druh´eho ˇr´adu – harmonick´e kmity . . . . . . . . . . . 41
3 Partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı LDR 47
3.1 Metoda odhadu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Metoda variace konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
i
ii OBSAH
´Uvod
C´ıle modulu
C´ıle studia tohoto modulu jsou pr˚ubˇeˇznˇe popisov´any na zaˇc´atku kaˇzd´e kapitoly,
ke kter´e se vztahuj´ı.
Poˇzadovan´e znalosti
Pro zvl´adnut´ı tohoto modulu je nezbytn´e zvl´adnout problematiku modulu BA02_M03:
Obyˇcejn´e diferenci´aln´ı rovnice 1.
Doba potˇrebn´a ke studiu
Pˇribliˇznˇe lze odhadnout potˇrebnou dobu ke studiu tohoto modulu na 25 hodin. Pro
z´ısk´an´ı dostateˇcn´e poˇcetn´ı praxe bude jeˇstˇe zˇrejmˇe zapotˇreb´ı dalˇs´ı ˇcas z´avisl´y na
individu´aln´ıch schopnostech studenta.
Kl´ıˇcov´a slova
Homogenn´ı line´arn´ı rovnice, line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice, nehomogenn´ı line´arn´ı
rovnice, princip super pozice, line´arn´ı nez´avislost syst´emu funkc´ı, Wronski´an, funda-
ment´aln´ı syst´em ˇreˇsen´ı, exponeci´aln´ı tvar ˇreˇsen´ı, charakteristick´a rovnice, symbol-
ick´y diferenci´aln´ı oper´ator, harmonick´e kmity, kriticky tlumen´e kmity, silnˇe tlumen´e
kmity, slabˇe tlumen´e kmity, amplituda, netlumen´e kmity, metoda neurˇcit´ych koefi-
cient˚u, metoda odhadu, rezonance, metoda variace konstant.
1
2 OBSAH
Kapitola 1
Struktura ˇreˇsen´ı line´arn´ıch
diferenci´aln´ıch rovnic vyˇsˇs´ıch
ˇr´ad˚u;
line´arn´ı nez´avislost ˇreˇsen´ı,
wronski´an
Pan Hodn´y, v´aˇs hodn´y pr˚uvodce studiem: V t´eto ˇc´asti bude osvˇetlena
struktura obecn´eho ˇreˇsen´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu. Uvid´ıme, ˇze
obecn´e ˇreˇsen´ı m´a jednoduch´y a logick´y tvar. Pr´avem je tato ˇc´ast chloubou obyˇcejn´ych
diferenci´aln´ıch rovnic. Pochopen´ım tvaru ˇreˇsen´ı vstˇreb´ate jak´ysi nadhled nad situac´ı,
kter´y budete potˇrebovat v dalˇs´ıch ˇc´astech modulu pˇri ˇreˇsen´ı konkr´etn´ıch diferenci´aln´ıch
rovnic.
D´ılˇc´ı c´ıl:
Po prostudov´an´ı t´eto ˇc´asti:
• si d´ale upevn´ıte znalosti z´ıskan´e v 1. kapitole prvn´ıho modulu o diferenci´aln´ıch
rovnic´ıch;
• budete vˇedˇet, jak m´a obecn´e ˇreˇsen´ı vypadat, i kdyˇz jeho pˇresn´y konkr´etn´ı tvar
vypoˇc´ıtat nep˚ujde;
• nauˇc´ıte se pracovat s pojmem line´arn´ı z´avislosti a nez´avislosti ˇreˇsen´ı difer-
enci´aln´ıch rovnic;
• pozn´ate wronski´an a naˇc´ıte se s n´ım pracovat.
Pan Pˇr´ısn´y, v´aˇs pˇr´ısn´y pr˚uvodce studiem: Vyuˇzijeme nˇekter´ych poznatk˚u
z pˇredchoz´ıho modulu. P˚ujde, napˇr´ıklad, o samotn´y pojem line´arn´ı diferenci´aln´ı
3
4 KAPITOLA 1. STRUKTURA ˇREˇSEN´I LDR
rovnice n-t´ehoˇr´adu, pojemˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice, partikul´arn´ıhoˇreˇsen´ı
a parametrick´e mnoˇziny ˇreˇsen´ı, definici a pojem obecn´eho ˇreˇsen´ı. Proto je
bezpodm´ıneˇcnˇe nutn´e, si tyto pojmy opˇet ˇr´adnˇe zopakovat!
Pan Hodn´y, v´aˇs hodn´y pr˚uvodce studiem: Alespoˇn mal´e ,,osvˇeˇzen´ı“ by
mˇelo pˇrij´ıt i v pˇr´ıpadˇe poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro rovnici n-t´eho ˇr´adu.
1.1 Jak´e line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice budeme stu-
dovat?
V centru naˇs´ı pozornosti bude speci´aln´ı pˇr´ıpad line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice n-t´eho
ˇr´adu
an(x)y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = g(x). (1.1)
Bez omezen´ı obecnosti pˇredpokl´adejme nejenom, ˇze an(x) negationslash= 0 na intervalu I (v
opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe by rovnice nebyla rovnic´ı n-t´eto ˇr´adu), ale i to, ˇze tento koeficient
poloˇz´ıme identicky roven jedn´e, tj. an(x) ≡ 1 na intervalu I. Pokud tento pˇredpoklad
nen´ı splnˇen, lze jednoduˇse takovou rovnici na rovnici s jednotkov´ym koeficientem
pˇrev´est. To je moˇzn´e zajistit vˇzdy dˇelen´ım cel´e rovnice na nenulov´y koeficient an(x) a
n´asledn´ych pˇreznaˇcen´ım novˇe vznikl´ych koeficient˚u. Tento postup ilustrujme takto:
Za pˇredpokladu an(x) negationslash= 0 na intervalu I z rovnice (1.1) dˇelen´ım na an(x) dostaneme
y(n) + an−1(x)a
n(x)
y(n−1) +···+ a1(x)a
n(x)
yprime + a0(x)a
n(x)
y = g(x)a
n(x)
.
Utvoˇr´ıme-li nov´e funkce pomoc´ı pˇredpis˚u
An−1(x) := an−1(x)a
n(x)
,...,A1(x) := a1(x)a
n(x)
, A0(x) := a0(x)a
n(x)
, G(x) := g(x)a
n(x)
,
pak m´a nov´a line´arn´ı rovnice n-t´eho ˇr´adu tvar
y(n) +An−1(x)y(n−1) +···+A1(x)yprime +A0(x)y = G(x).
Bez omezen´ı obecnosti se pˇridrˇz´ıme p˚uvodn´ıho znaˇcen´ı pomoc´ı mal´ych p´ısmen a
budeme se d´ale odvol´avat na line´arn´ı rovnici n-t´eho ˇr´adu
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = g(x). (1.2)
1.2. Z´AKLADN´I POJMY Z TEORIE LDR 5
1.2 Homogenn´ı a nehomogenn´ı rovnice,
dalˇs´ı pouˇzit´e term´ıny a nˇekter´e z´akladn´ı vlast-
nosti
V teorii line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic se vˇzily a dodnes se pouˇz´ıvaj´ı urˇcit´e n´azvy
a term´ıny. Nebylo by vˇsak ´uˇceln´e kdybychom se s nimi nesezn´amili nebo kdyby-
chom se je snaˇzili nahradit nˇejak´ymi jin´ymi, kter´e by dle naˇseho n´azoru byly tˇreba
i v´ystiˇznˇejˇs´ı. Hodnˇe bychom t´ım ztratili a ztr´ata pravdˇepodobnˇe nejz´avaˇznˇejˇs´ı by
byla ve zt´ıˇzen´ı nebo dokonce znemoˇznˇen´ı komunikace s tˇemi odborn´ıky, kteˇr´ı by
uˇz´ıvali terminologii standardn´ı. K tomu, bohuˇzel, nˇekdy ve vˇedeck´ych a odborn´ych
discipl´ın´ach doch´az´ı. Moˇzn´a je to ˇc´asteˇcnˇe podm´ınˇeno bouˇrliv´ym v´yvojem nˇekter´ych
z nich, kdy je nutno v kr´atk´e dobˇe pojmenovat nov´e jevy, tj. zav´est ,,novou“ termi-
nologii. St´av´a se vˇsak,ˇze odborn´ıci si v pˇrekotn´e pr´aci nevˇsimnou,ˇze nˇeco podobn´eho
je tˇreba jiˇz pojmenov´ano v jin´em vˇedn´ım oboru. Tak m˚uˇze vzniknout a vˇz´ıt se jin´e
n´azvoslov´ı. Nechme ale tutoˇsirokou problematiku term´ınov´eho chaosuˇci term´ınov´eho
babylnu stranou a vrat’me se k line´arn´ım diferenci´aln´ım rovnic´ım a k pˇr´ısluˇsn´e ter-
minologii.
V rovnici (1.2), tj. v rovnici
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = g(x)
je y = y(x), y : I → R hledanou funkc´ı a y(i)(x) = y(i), i = 1,2,...,n jsou
jej´ı derivace. Pˇripomeˇnme, ˇze symbol I m´a st´ale stejn´y v´yznam, tj., je jedn´ım z
ˇc´ıseln´ych interval˚u tvaru [a,b], (a,b], [a,b), (a,b), (−∞,b], (−∞,b), [a,∞), (a,∞),
nebo (−∞,∞), kde a < b. Funkce ai : I → R, i = 0,1,...,n − 1 naz´yv´ame
koeficienty rovnice (1.2). Pravou stranou rovnice (1.2) naz´yv´ame funkci g : I → R.
Pˇredpokl´ad´ame, ˇze vˇsechny koeficienty ai, i = 0,1,...,n−1 i prav´a strana g jsou
spojit´ymi funkcemi na intervalu I.
Homogenn´ı a nehomogenn´ı rovnice
Pokud nen´ı v rovnici (1.2) prav´a strana identicky nulov´a, tj., pokud g negationslash≡ 0 na
intervalu I, pak rovnici naz´yv´ame (kromˇe jiˇz dalˇs´ıch pˇr´ıvlastk˚u, tj. line´arn´ı a n-t´eho
ˇr´adu) rovnic´ı nehomogenn´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe, tj., pokud g ≡ 0 na intervalu I je
rovnice (1.2) naz´yv´ana homogenn´ı.
Pˇridruˇzen´a homogenn´ı rovnice
Je-li d´ana rovnice (1.2), pak rovnici se stejn´ymi koeficienty a s nulovou pravou
stranou
u(n) +an−1(x)u(n−1) +···+a1(x)uprime +a0(x)u = 0
6 KAPITOLA 1. STRUKTURA ˇREˇSEN´I LDR
naz´yv´ame pˇridruˇzenou (nebo asociovanou) homogenn´ı rovnic´ı k rovnici (1.2). Bez
ztr´aty obecnosti ´uvah nen´ı nutn´e v pˇridruˇzen´e rovnici znaˇcit hledanou funkc´ı jin´ym
symbolem (v naˇsem pˇr´ıpadˇe jsme uˇzili p´ısmena u) a m˚uˇzeme hledanou funkci znaˇcit
stejnˇe jako v nehomogenn´ı rovnici, tj., m˚uˇzeme pˇridruˇzenou rovnici ps´at ve tvaru
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = 0 (1.3)
s vˇedom´ım, ˇze ˇreˇsen´ı pˇridruˇzen´e homogenn´ı rovnice (1.3) a ˇreˇsen´ı v´ychoz´ı neho-
mogenn´ı rovnice (1.2) jsou r˚uzn´ymi funkcemi.
1.3 Poˇc´ateˇcn´ı ´uloha pro line´arn´ı rovnice vyˇsˇs´ıch
ˇr´ad˚u
Sl´ıbili jsme, ˇze se jeˇstˇe vr´at´ıme k ot´azce existence ˇreˇsen´ı poˇc´ateˇcn´ı ´ulohy pro line´arn´ı
rovnice. Uvaˇzujme tedy poˇc´ateˇcn´ı ´ulohu pro line´arn´ı nehomogenn´ı rovnici n-t´eho
ˇr´adu (1.2), tj. uvaˇzujme ´ulohu:
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = g(x),
y(x0) = y0,
yprime(x0) = yprime0,
...
y(n−1)(x0) = y(n−1)0 .
(1.4)
kde x0 ∈ I. N´asleduj´ıc´ı vˇeta m´a na rozd´ıl od vˇet, uveden´ych v Kapitole ?? nelok´aln´ı
charakter.
Vˇeta 1. Pˇredpokl´adejme, ˇze koeficienty an−1(x), ... , a1(x), a0(x) rovnice (1.2) a
jej´ı prav´a strana - funkce g(x) - jsou spojit´ymi funkcemi na intervalu I. Pak m´a
poˇc´ateˇcn´ı ´uloha (1.4) jedin´e ˇreˇsen´ı y = y(x), kter´e je definov´ano na cel´em intervalu
I.
1.4 Princip superpozice
V takzvan´em principu superpozice je soustˇredˇena nejd˚uleˇzitˇejˇs´ı vlastnost ˇreˇsen´ı
line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic. T´yk´a se struktury ˇreˇsen´ı jak homogenn´ıch tak i
nehomogenn´ıch rovnic. V pˇr´ıpadˇe homogenn´ıch rovnic (po formulaci principu si
promyslete jakou volbou funkc´ı k homogenn´ımu pˇr´ıpadu dospˇejete) ˇr´ık´a, ˇze souˇcet
ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice je opˇet ˇreˇsen´ım homogenn´ı rovnice a ˇze v´ysledek n´asoben´ı
ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice libovolnou konstantou je opˇet ˇreˇsen´ım homogenn´ı rovnice.
V nehomogenn´ım pˇr´ıpadˇe si princip superpozice m˚uˇzeme zjednoduˇsenˇe vyloˇzit tak,
ˇze kdyˇz m´a prav´a strana komplikovan´y tvar a lze ji rozloˇzit na souˇcet nˇekolika
(jednoduˇsˇs´ıch) funkc´ı tak, ˇze substituce kaˇzd´e z tˇechto jednoduˇsˇs´ıch funkc´ı m´ısto
1.4. PRINCIP SUPERPOZICE 7
p˚uvodn´ı do rovnice vede k rychl´emu nalezen´ı partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı, je souˇcet tˇechto
partikul´arn´ıch ˇreˇsen´ı tak´e partikul´arn´ım ˇreˇsen´ım v´ychoz´ı rovnice. Uved’me znˇen´ı
tohoto principu.
Vˇeta 2 (Princip superpozice) Pˇredpokl´adejme, ˇze funkce g : I → R je line´arn´ı
kombinac´ı dvou funkc´ı g1 a g2 s konstantami K1,K2, tj.,
g(x) = K1g1(x) +K2g2(x).
Oznaˇcme y = y1(x) partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = g1(x) (1.5)
a y = y2(x) partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı rovnice
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y = g2(x). (1.6)
Pˇredpokl´adejme d´ale, ˇze funkce u = u1(x) a u = u2(x) jsou ˇreˇsen´ı asociovan´e ho-
mogenn´ı rovnice se stejn´ymi koeficienty
u(n) +an−1(x)u(n−1) +···+a1(x)uprime +a0(x)u = 0.
Pak je line´arn´ı kombinace
y(x) = K1y1(x) +K2y2(x) +C1u1(x) +C2u2(x)
s libovoln´ymi konstantami C1,C2 ˇreˇsen´ım rovnice (1.2) na intervalu I .
D˚ukaz. Charakter d˚ukazu m´a v´ypoˇcetn´ı charakter a proto jej v r´amci procviˇcen´ı
poˇcetn´ıch ´ukon˚u prob´ıhaj´ıc´ıch v line´arn´ıch rovnic´ıch provedeme. Dosazen´ı funkce
y(x) do lev´e strany rovnice (1.2) d´av´a (samostatnˇe zd˚uvodnˇete rozeps´an´ı prvn´ıho
v´yrazu na n´asleduj´ıc´ı ˇctyˇri)
y(n) +an−1(x)y(n−1) +···+a1(x)yprime +a0(x)y
= K1
parenleftBig
y(n)1 +an−1(x)y(n−1)1 +···+a1(x)yprime1 +a0(x)y1
parenrightBig
+K2
parenleftBig
y(n)2 +an−1(x)y(n−1)2 +···+a1(x)yprime2 +a0(x)y2
parenrightBig
+C1
parenleftBig
u(n)1 +an−1(x)u(n−1)1 +···+a1(x)uprime1 +a0(x)u1
parenrightBig
+C2
parenleftBig
u(n)2 +an−1(x)u(n−1)2 +···+a1(x)uprime2 +a0(x)u2
parenrightBig
= K1g1(x) +K2g2(x) + 0 + 0 = g(x). a50
Na z´avˇer jeˇstˇe poznamenejme,ˇze jsme uvedli variantu principu superpozice se dvˇema
funkcemi g1(x) a g2(x) a dvˇema ˇreˇsen´ımi u1(x) a u2(x). Lze podle vaˇseho n´azoru
tento princip formulovat pro libovoln´y koneˇcn´y poˇcet funkc´ı
g1(x),g2(x),...,gm(x)
8 KAPITOLA 1. STRUKTURA ˇREˇSEN´I LDR
a pro libovoln´y poˇcet ˇreˇsen´ı
u1(x),u2(x),...,us(x)?
Mus´ı pˇritom platit m = s nebo m˚uˇze b´yt m negationslash= s? Podpoˇrte v´aˇs n´azor konkr´etn´ımi
argumenty!
Pˇr´ıklad 1. Provˇeˇrte, ˇze funkce u1(x) = e3x a u2(x) = e−3x vyhovuj´ı diferenci´aln´ı
rovnici druh´eho ˇr´adu
uprimeprime −9u = 0 (1.7)
na intervalu I = R. Sestavte s pomoc´ı principu superpozice dalˇs´ı ˇreˇsen´ı t´eto rovnice.
ˇReˇsen´ı. Pro dan´e funkce plat´ı
u1(x) = e3x, uprime1(x) = 3e3x, uprimeprime1(x) = 9e3x
a
u2(x) = e−3x, uprime1(x) = −3e−3x, uprimeprime1(x) = 9e−3x.
Nyn´ı je zˇrejm´e, ˇze se jedn´a o ˇreˇsen´ı rovnice (1.7). Podle principu superpozice je
ˇreˇsen´ım tak´e kaˇzd´a funkce
u(x) = C1u1(x) +C2u2(x) = C1e3x +C2e−3x
s libovoln´ymi parametry C1 a C2.
Pˇr´ıklad 2. Provˇeˇrte, ˇze partikul´arn´ım ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı rovnice
yprimeprimeprime +yprimeprime −2yprime = x (1.8)
je funkce
y = y1(x) = −14x(x + 1)
a partikul´arn´ım ˇreˇsen´ım nehomogenn´ı rovnice
yprimeprimeprime +yprimeprime −2yprime = −ex (1.9)
je funkce
y = y2(x) = −13xex.
Sestavte s pomoc´ı principu superpozice partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice
yprimeprimeprime +yprimeprime −2yprime = x−ex. (1.10)
1.5. LINE´ARN´I Z´AVISLOST SYST´EMU FUNKC´I 9
ˇReˇsen´ı. Pro dan´e funkce plat´ı
y1(x) = −14(x2 +x), yprime1(x) = −14(2x + 1), yprimeprime1(x) = −12, yprimeprimeprime1 (x) = 0
a
y2(x) = yprime2(x) = yprimeprime2(x) = yprimeprimeprime2 (x) = −ex.
Nyn´ı je zˇrejm´e, ˇze se jedn´a o ˇreˇsen´ı rovnic (1.8), (1.9). Podle principu superpozice
je partikul´arn´ım ˇreˇsen´ım rovnice (1.10) funkce
y(x) = y1(x) +y2(x) = −14x(x+ 1)− 13xex.
1.5 Co je to line´arn´ı z´avislost a line´arn´ı nez´avislost
syst´emu funkc´ı?
Vysvˇetl´ıme pojmy takzvan´e line´arn´ı z´avislosti a line´arn´ı nez´avislosti syst´emu
funkc´ı. Jejich uˇziteˇcnost brzy ocen´ıme pˇri konstrukc´ıch obecn´ychˇreˇsen´ı homogenn´ıch
a nehomogenn´ıch line´arn´ıch diferenci´aln´ıch rovnic n-t´eho ˇr´adu.
Definice 1. [Line´arn´ı z´avislost] Syst´em funkc´ı v1,v2,...,vk, zobrazuj´ıc´ıch in-
terval I doRnaz´yv´ameline´arnˇe z´avisl´ymsyst´emem na intervalu I, existuj´ı-li
konstanty
C1,C2,...,Ck,
kter´e nejsou vˇsechny rovn´e nule tak, ˇze pro kaˇzd´e x ∈ I plat´ı
C1v1(x) +C2v2(x) +···+Ckvk(x) = 0. (1.11)
Jin´ymi slovy m˚uˇzeme ˇr´ıci, ˇze syst´em funkc´ı je line´arnˇe z´avisl´y, pokud existuj´ı-li
konstanty C1,C2,...,Ck, kter´e nejsou vˇsechny rovn´e nule tak, ˇze line´arn´ı kom-
binace dan´ych funkc´ı s tˇemito konstantami je identicky rovna nule na intervalu
I. Opakem t´eto definice je vysvˇetlen´ı pojmu line´arn´ı nez´avislosti syst´emu funkc´ı.
Uved’me pˇr´ısluˇsnou definici.
10 KAPITOLA 1. STRUKTURA ˇREˇSEN´I LDR
Definice 2. [Line´arn´ı nez´avislost] Syst´em funkc´ı v1,v2,...,vk, zobrazuj´ıc´ıch
interval I do R naz´yv´ame line´arnˇe nez´avisl´ym syst´emem na intervalu I,
plat´ı-li vztah (1.11) pro kaˇzd´e x ∈ I pouze tehdy, kdyˇz jsou vˇsechny konstanty
nulov´e, tj. v pˇr´ıpadˇe, ˇze
C1 = C2 = ··· = Ck = 0.
Pro ´uplnost jeˇstˇe dodejme n´asleduj´ıc´ı. Naˇse definice pˇredpokl´adaly, ˇze syst´emy
funkc´ı jsou syst´emy re´aln´ych funkc´ı. Je ovˇsem moˇzn´e pˇredpokl´adat, ˇze pracujeme s
funkcemi, kter´e nab´yvaj´ı komplexn´ıch hodnot a znˇen´ı definic z˚ustane stejn´e.
Pˇr´ıklady line´arn´ı (ne:-)z´avislosti syst´em˚u funkc´ı
Pˇr´ıklad 3. Jsou funkce
v1(x) = 2, v2(x) = cos2x, v3(x) = sin2 x
jsou line´arnˇe z´avisl´e na libovoln´em intervalu I?
ˇReˇsen´ı. Protoˇze plat´ı
cos2x = 1−2sin2 x
vid´ıme, ˇze tak´e plat´ı
1
2 ·v1(x)−v2(x)−2v3(x) = 0
pro kaˇzd´e x ∈ I ⊆R. Pro k = 3 a
C1 = 12 , C2 = −1, C3 = −2
je splnˇena Definice 1 o line´arn´ı z´avislosti syst´emu funkc´ı. Dan´y syst´em funkc´ı je
line´arnˇe z´avisl´ym syst´emem funkc´ı na libovoln´em intervalu I.
Pˇr´ıklad 4. Zjistˇete, zda jsou line´arnˇe z´avisl´e funkce v1, v2 : I := (−1,1) → R,
definovan´e pˇredpisy
v1(x) =
braceleftBigg x5 je-li −1 < x ≤ 0,
0 je-li 0 < x < 1;
v2(x) =
braceleftBigg 0, je−li −1 < x ≤ 0,
x5, je−li 0 < x < 1.
1.5. LINE´ARN´I Z´AVISLOST SYST´EMU FUNKC´I 11
ˇReˇsen´ı. Proved’me anal´yzu vztahu
C1v1(x) +C2v2(x) = 0 (1.12)
na intervalu I. M´a-li tento vztah platit na cel´em intervalu I, pak mus´ı platit i pro
hodnotu x = −1/2 ∈ I. V tomto, pˇr´ıpadˇe je vztah (1.12) redukov´an na
−C1 · 132 +C2 ·0 = 0,
tj., vztah (1.12) m˚uˇze platit jen tehdy, kdyˇz C1 = 0. Dosad’me d´ale (za podm´ınky,
ˇze C1 = 0) hodnotu x = 1/2 ∈ I do vztahu (1.12). Potom
C2 · 132 = 0
a C2 = 0. T´ım jsme provˇeˇrili, ˇze vztah (1.12) m˚uˇze platit na cel´em intervalu I jen
tehdy, kdyˇz
C1 = C2 = 0.
Podle Definice 2 jsou funkce v1, v2 line´arnˇe nez´avisl´e na intervalu I.
Pˇr´ıklad 5. Jsou funkce
ω1(x) = 2√x + 4, ω2(x) = −√x + 4x, ω3(x) = 2x + 1, ω4(x) = x5
line´arnˇe z´avisl´e na intervalu I = (0,∞)?
ˇReˇsen´ı. Prok´aˇzeme line´arn´ı z´avislost tohoto syst´emu funkc´ı. M˚uˇzeme se
pˇresvˇedˇcit, ˇze na intervalu I plat´ı
1
2 ·ω1(x) +ω2(x)−2·ω3(x) + 0·ω4(x) = 0.
Pro k = 4 a
C1 = 12 , C2 = 1, C3 = −2, C4 = 0
je splnˇena Definice 1 o line´arn´ı z´avislosti syst´emu funkc´ı. Dan´y syst´em funkc´ı je
line´arnˇe z´avisl´ym syst´emem funkc´ı na intervalu I.
Pˇr´ıklad 6. Syst´em funkc´ı, kter´e seˇcasto objevuj´ı jakoˇreˇsen´ı line´arn´ıch diferenci´aln´ıch
rovnic je syst´em
eλx,xeλx,...,xk−1eλx,
12 KAPITOLA 1. STRUKTURA ˇREˇSEN´I LDR
ve kter´em je ˇc´ıslo λ r˚uzn´e od nuly. Ukaˇzme, ˇze se jedn´a o syst´em line´arnˇe nez´avisl´ych
funkc´ı na intervalu I = R.
ˇReˇsen´ı. Pˇri ˇreˇsen´ı postupujeme standardnˇe. Sestav´ıme line´arn´ı kombinaci
C1eλx +C2xeλx +···+Ckxk−1eλx = 0,
kter´a se po kr´acen´ı nenulov´ym v´yrazem eλx st´av´a line´arn´ı kombinac´ı
C1 +C2x +···+Ckxk−1 = 0. (1.13)
Zkuste chvilku pˇrem´yˇslet o tom, jak zd˚uvodnit, proˇc je posledn´ı vztah nulov´y na in-
tervalu I pouze, kdyˇz jsou vˇsechny koeficienty nulov´e, tj. kdyˇz C1 = C2 = ··· = Cn =
0. Cest k tomu vede nˇekolik a vˇetˇsinou vyuˇz´ıvaj´ı poznatky, kter´e byly prob´ır´any jiˇz
na stˇredn´ıch ˇskol´ach. Uk´aˇzeme dvˇe moˇznosti. Dosad’me do posledn´ıho vztahu m´ısto
x postupnˇe k navz´ajem r˚uzn´ych hodnot
x = λ1,x = λ2,...,x = λk.
T´ım zjist´ıme,ˇze koeficientyC1,C2,··· ,Ck vyhovuj´ık line´arn´ım algebraick´ym rovnic´ım
C1 +C2λ1 +···+Ckλk−11 = 0,
C1 +C2λ2 +···+Ckλk−12 = 0,
...
C1 +C2λk +···+Ckλk−1k = 0.
(1.14)
Determinant tohoto syst´emu rovnic
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
vextendsinglevextendsingle
1 λ1 ... λk−11
1 λ2 ... λk−12
... ... ... ...
1 λk ... λk−1k
vextendsinglevextendsingle
vextendsingl
Vloženo: 15.12.2009
Velikost: 772,61 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BA02 - Matematika II
Reference vyučujících předmětu BA02 - Matematika II
Podobné materiály
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BA01 - Matematika I - skripta
- BB01 - Fyzika - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BC01 - Stavební chemie - skripta
- BC02 - Chemie stavebních látek - skripta
- BC03 - Chemie a technologie vody - skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - skripta
- BD04 - Statika II - skripta
- BE01 - Geodézie - skripta
- BF01 - Geologie - skripta
- BF02 - Mechanika zemin - skripta
- BF03 - Zakládání staveb - skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - skripta
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - skripta
- BH05 - Pozemní stavitelství III - skripta
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta
- BH11 - Požární bezpečnost staveb - skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - skripta
- BH55 - Poruchy a rekonstrukce - skripta
- BI01 - Stavební látky - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - skripta
- BJ01 - Keramika - skripta
- BJ02 - Keramika – laboratoře - skripta
- BJ04 - Technologie betonu I - skripta
- BJ07 - Izolační materiály - skripta
- BJ08 - Kovové a dřevěné materiály - skripta
- BJ09 - Technologie stavebních dílců - skripta
- BJ10 - Lehké stavební látky - skripta
- BJ11 - Technická termodynamika - skripta
- BJ12 - Technologie montovaných staveb - skripta
- BJ13 - Speciální izolace - skripta
- BJ14 - Speciální keramika - skripta
- BJ16 - Maltoviny II - skripta
- BJ51 - Maltoviny (M) - skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BL04 - Vodohospodářské betonové konstrukce - skripta
- BL05 - Betonové konstrukce I - skripta
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - skripta
- BL09 - Betonové konstrukce II - skripta
- BL11 - Předpjatý beton - skripta
- BL12 - Betonové mosty I - skripta
- BL13 - Vybrané stati z nosných konstrukcí budov - skripta
- BM01 - Pozemní komunikace I - skripta
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta
- BM52 - Praktické aplikace v pozemních komunikacích - skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - skripta
- BO03 - Dřevěné konstrukce (A,K) - skripta
- BO04 - Kovové konstrukce I - skripta
- BO07 - Kovové a dřevěné konstrukce - skripta
- BP02 - Stokování a čištění odpadních vod - skripta
- BP03 - Vodárenství - skripta
- BP04 - Čistota vod - skripta
- BP05 - Odpadové hospodářství - skripta
- BP06 - Projekt vodní hospodářství obcí - skripta
- BP51 - Inženýrské sítě (V) - skripta
- BP56 - Rekonstrukce vodohospodářských sítí - skripta
- BT01 - TZB II - skripta
- BT02 - TZB III - skripta
- BT03 - Technická zařízení budov (E) - skripta
- BT51 - TZB I (S) - skripta
- BU01 - Informatika - skripta
- BV03 - Ceny ve stavebnictví I - skripta
- BV04 - Finance - skripta
- BV05 - Ekonomika investic - skripta
- BV07 - Právo - skripta
- BV08 - Projektové řízení staveb I - skripta
- BV09 - Řízení jakosti I - skripta
- BV10 - Financování stavební zakázky - skripta
- BV11 - Informační technologie systémová analýza - skripta
- BV12 - Marketing ve stavebnictví - skripta
- BV13 - Projekt – Stavební podnik - skripta
- BV14 - Projekt - Projektové řízení staveb - skripta
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - skripta
- BW01 - Technologie staveb I - skripta
- BW02 - Technologie stavebních prací II - skripta
- BW04 - Technologie staveb II - skripta
- BW05 - Realizace staveb - skripta
- BW06 - Stavební stroje - skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - skripta
- BZ01 - Stavební právo - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- CD03 - Pružnost a plasticita - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta z jiných VŠ
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta
- BA07 - Matematika I/2 - Skripta
- BB01 - Fyzika - Skripta fyzika
- BC01 - Stavební chemie - Skripta
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta
- BD03 - Statika I - Skripta
- BE01 - Geodézie - Skripta Geodézie
- BF02 - Mechanika zemin - Skripta
- BF51 - Zakládání staveb (V) - Skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - Skripta
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - Skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvičení
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - Skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - Skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - Skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Skripta
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Skripta
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta - Hydraulika a hydrologie
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta
- BS01 - Vodohospodářské stavby - Skripta
- BT51 - TZB I (S) - Skripta
- BU01 - Informatika - Skripta
- BV01 - Ekonomie - Ekonomie skripta
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, skripta, podklady
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - Skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BA06/07 - Matematika - Matematika-skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Vodorovné konstrukce - skripta
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Reálná funkce jedné reálné proměnné
- BA01 - Matematika I - Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace
- BA01 - Matematika I - Skripta - Základy lineární algebry
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika, Základy testování hypotéz
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu
- BA02 - Matematika II - Skripta - Reálná funkce dvou a více proměnných
- BA02 - Matematika II - Skripta - Určitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Neurčitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Dvojný a trojný integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Křivkové integrály
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - polohopis
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - výškopis
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Základní pojmy a předpoklady
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Složené případy namáhání prutů, stabilita a vzpěrná pevnost tlačených porutů
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Teorie namáhání prutů
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Silové soustavy
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Průřezové charakteristiky
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce I
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce II
- BJ15 - Technologie betonu II - skripta
- BJ01 - Keramika - miniskripta
- BJ05 - Základy technologických procesů - skripta
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M01
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M02
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M03
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M02
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M03
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M04
- BA05 - Operační výzkum - Skripta
- GE10 - Mapování I - skripta GPS
- BV53 - Stavební podnik - Skripta - stavební podnik
- BV06 - Podnikový management I - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO2
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO3
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO5
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO1
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO2
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO3
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO4
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - operačné systémy
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - počítačové siete
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - technologie internetu
- BA03 - Deskriptivní geometrie - skripta
- BF01 - Geologie - podklady do cvičení + skripta
- BS05 - Vodní hospodářství krajiny II - Skripta
- BS03 - Nádrže a soustavy - Skripta
- BS04 - Vodní hospodářství krajiny I - Skripta
- BR06 - Hydrotechnické stavby I - Skripta
- BR07 - Hydrotechnické stavby II - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta m2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M4
- BV05 - Ekonomika investic - Errata - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvicení
- CV14 - Ekonomické nástroje řízení stavební výroby - skripta
- CH54 - vybrané statě ze stavební fyziky - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta1
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- CZ54 - Inženýrská pedagogika - skripta
- BC01 - Stavební chemie - Spoznámkované 4 moduly skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- 0V4 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, materíály, skripta, prostě vše
- BV012 - Veřejné stavební investice 1 - Skripta BV012
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M03-Obyčejné diferenciální rovnice I
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M04-Obyčejné diferenciální rovnice II
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M04-Obyčejné diferenciální rovnice II
- GA05 - Matematika III - GA05-Matematika III M03-Obyčejné diferenciální rovnice
- GA05 - Matematika III - GA05-Matematika III M04-Obyčejné diferenciální ropvnice II
- BA02 - Matematika II - Diferenciální rovnice
- BA01 - Matematika I - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
- BA01 - Matematika I - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M05-Diferencialni_pocet_I,_Limita_a_spojitost_funkce
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M06-Diferencialni_pocet_I,_Derivace_funkce
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M05-Diferencialni_pocet_I,_Limita_a_spojitost_funkce
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M06-Diferencialni_pocet_I,_Derivace_funkce
- BA02 - Matematika II - Parametrické rovnice kriviek
Copyright 2024 unium.cz