- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Skripta - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
BA01 - Matematika I
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálVYSOK U¨EN˝ TECHNICK V BRN
FAKULTA STAVEBN˝
MATEMATIKA I
MODUL BA01¡M05, GA01¡M04
DIFERENCI`LN˝ PO¨ET I
LIMITA A SPOJITOST FUNKCE
STUDIJN˝ OPORY
PRO STUDIJN˝ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
1
0Typeset by LATEX 2"
c O. Dlouh , V. Tryhuk, Brno 2004
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Obsah
1 vod 5
1.1 C le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Po adovanØ znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Kl ŁovÆ slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Limita a spojitost funkce 7
2.1 Posloupnost reÆln ch Ł sel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Vlastnosti posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 ZÆkladn vlastnosti limit posloupnost . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Algebra limit posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Pojem limity funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 De nice limity funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 ZÆkladn vlastnosti limity funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1 Testovac œlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Kontroln otÆzky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 V sledky cviŁen ,
Testy ke zpracovÆn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Rejstł k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 OBSAH
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 1
vod
1.1 C le
C le jednotliv ch odstavcø tohoto modulu jsou nÆsleduj c :
2.1 SeznÆmit se s vlastnostmi posloupnost , kterØ jsou souhrn uvedeny v ta-
bulce. Na uveden ch pł kladech si promyslet, e jsou skuteŁn spln ny podm nky,
kterØ charakterizuj jednotlivØ druhy posloupnost .
2.2 Um t de novat limitu posloupnosti. SeznÆmit se se zÆkladn mi vlast-
nostmi limit a s algebrou limit posloupnost . Um t łe„it jednoduchØ œlohy na
v poŁet limit posloupnost .
2.3 Dobłe si prostudujte œvodn motivaŁn pł klady, kterØ vÆm pomohou po-
chopit de nici limity funkce.
2.4 Um t Heineovu de nici limity funkce. Pochopen de nice si ov łte na ur-
ŁovÆn limit u uveden ch obrÆzkø. ZvlÆdnout v poŁet jednoduch ch limit funkc
u it m posloupnost .
2.5 ZnÆt de nici spojitosti funkce v bod . Porozum t vztahu mezi existenc
limity a spojitost funkce v bod . Um t de novat jednostrannØ limity, jedno-
strannou spojitost a spojitost na otevłenØm Łi uzavłenØm intervalu. Je zde takØ
uvedena Cauchyova de nice limity, kterou v„ak nemus te znÆt.
2.6 Znalost vlastnost limit nÆm umo n łe„it slo it j„ œlohy na v poŁet li-
mit. Pro jejich sprÆvnØ pou vÆn je nezbytnØ znÆt tzv. neurŁitØ v razy, kterØ
nejsou de novÆny. K døle it m tvrzen m patł v ta o limit slo enØ funkce a v ta
o limit v razø typu 10; kterØ se budou vyu vat płi urŁovÆn asymptot a prøb hu
funkce. Vyłe„te si autotest a podrobn si zdøvodn te postup v poŁtu na zÆklad
teoretick ch poznatkø uveden ch v odstavci.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 vod
1.2 Po adovanØ znalosti
Pro potłeby zvlÆdnut tohoto modulu płedpoklÆdÆme znalosti studentø v rozsahu
modulu Matematika I: BA01¡M04.
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu
¨as potłebn ke zvlÆdnut tohoto modulu je odhadnut pro prøm rnØho studenta
jako hodnota nejmØn 8 hodin.
1.4 Kl ŁovÆ slova
Posloupnost reÆln ch Ł sel, limita posloupnosti, algebra limit posloup-
nost , limita funkce, limita slo enØ funkce, spojitost funkce.
Na konci modulu załazen Rejstł k, ve kterØm jsou dal„ kl ŁovÆ slova płehledn
uspołÆdÆna i s odkazy na odpov daj c strÆnky.
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem
Text je uspołÆdÆn podle stejn ch zÆsad, jako ostatn dł ve studovanØ moduly
płedm tu Matematika.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 2
Limita a spojitost funkce
2.1 Posloupnost reÆln ch Ł sel
Posloupnosti patł k nejzÆkladn j„ m pojmøm matematickØ anal zy. Vyu vaj se
napł klad płi de novÆn : limity funkce, souŁtu nekoneŁnØ Ł selnØ łady, røzn ch
typø integrÆlø, v numerickØ matematice a podobn . Jak ji v te ze stłedn „koly,
posloupnost reÆln ch Ł sel (dÆle jen posloupnost ), rozum me funkci f : N!R
(tØ p „eme f : n 7! an;n 2 N), jej m de niŁn m oborem je mno ina N płiro-
zen ch Ł sel a oborem hodnot je podmno ina reÆln ch Ł sel R: FunkŁn hodnotu
f(n) znaŁ me obvykle an a naz vÆme ji n{t m Łlenem posloupnosti. Samotnou
posloupnost pak oznaŁujeme symbolem (an)1n=1 nebo zkrÆcen (an)11 nebo jen
(an); n 2 N: Lze ji tØ zapsat v rozepsanØm tvaru (a1;a2;:::;an;:::): ¨asto
nÆm mø e pomoci gra ckØ znÆzorn n posloupnosti. M jme napł klad posloup-
nost (2n¡1)1n=1: Pak an = 2n¡1 a tedy a1 = 1;a2 = 3;a3 = 5;a4 = 7;a5 = 9;::: :
NÆsleduj c obrÆzek ukazuje mo nosti gra ckØho znÆzorn n a) v rovin , b) na re-
ÆlnØ ose.
- n
1
‘a
2
‘a
3
‘a
4
‘a
5
‘a
6
y
12
34
56
78
9
a)
- n
0 1
aa1
2 3
aa2
4 5
aa3
b)
8 Limita a spojitost funkce
2.1.1 Vlastnosti posloupnost
vlastnost podm nka pł klad
1: (an) je shora ohraniŁenÆ existuje Ł slo k 2R takovØ, an = 2n¡1n
e an • k pro v„echna n 2N
2: (an) je zdola ohraniŁenÆ existuje Ł slo h 2R takovØ, an = 2+n2n2
e an ‚ h pro v„echna n 2N
3: (an) je ohraniŁenÆ existuj Ł sla h;k 2R takovÆ, e an = cosn…
h • an • k pro v„echna n 2N
4: (an) je rostouc plat an < an+1 an = 2n¡1n
pro v„echna n 2N
5: (an) je klesaj c plat an > an+1 an = 2+n2n2
pro v„echna n 2N
6: (an) je neklesaj c plat an • an+1 an = n¡ 1+(¡1)n2
pro v„echna n 2N
7: (an) je nerostouc plat an ‚ an+1 an = 1+(¡1)n2 ¡n
pro v„echna n 2N
8: (an) je monot nn (an) je nerostouc an = n¡ 1+(¡1)n2
nebo neklesaj c
9: (an) je ryze monot nn (an) je rostouc an = 2n¡1n
nebo klesaj c
10: (an) je stacionÆrn an = an+1 pro v„echna n 2N an = (¡1)2n+4
11: (an) je aritmetickÆ an = a1 + (n¡ 1)d; d 2R an = 5n¡ 2
pro v„echna n 2N (d diference)
12: (an) je geometrickÆ an = a1 ¢qn¡1; q 2R an = 3n¡152n
pro v„echna n 2N (q kvocient)
Pł klad 2.1.1: Pro posloupnosti vypsanØ v tabulce vytvołte tabulku prvn ch
„esti Łlenø posloupnosti a v sledky gra cky znÆzorn te na reÆlnØ ose.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Limita posloupnosti 9
Pł klad 2.1.2: Zjist te, zda posloupnost (an) =
‡
2+n2
n2
·
bodu 5. tabulky je
klesaj c posloupnost .
e„en : Potłebujeme porovnat n{t Łlen posloupnosti an = 2+n2n2 = 1 + 2n2
s (n + 1){n m Łlenem posloupnosti an+1 = 1 + 2(n+1)2 . Pro ka dØ n 2N plat
an+1 = 1 + 2(n + 1)2 < 1 + 2n2 = an ;
a proto je posloupnost posloupnost klesaj c .
Pł klad 2.1.3: Zjist te, zda posloupnost (an) =
‡
n¡ 1+(¡1)n2
·
bodu 6. tabulky
je neklesaj c posloupnost .
2.2 Limita posloupnosti
pp KomentÆł 2.2.1:
Uva ujme nyn napł klad posloupnost (an) = ¡2n¡1n ¢: V„imn te si toho,
e an = 2 ¡ 1n a e s rostouc m n se an neomezen płibli uje k Ł slu 2,
tj. jan ¡ 2j se bl k nule. To lze potvrdit napł klad tak, e zvol me-li si
libovoln malØ kladnØ Ł slo " napł. " = 0:001; pak pro v„echny Łleny an
posloupnosti, kde n > 1000; plat jan¡2j = j2¡ 1n¡2j = 1n < 0:001: Je pak
płirozenØ ł ci, e posloupnost ¡2n¡1n ¢ mÆ limitu rovnou dv ma. P „eme
limn!1an = 2 nebo liman = 2 nebo an ¡! 2 pro n ! 1: DostÆvÆme se
tak k de nici limity posloupnosti.
De nice 2.2.1: kÆme, e posloupnost (an) mÆ limitu a 2R; jestli e ke ka -
dØmu " 2 R; " > 0; existuje n0 2 N tak, e pro v„echna n 2 N; n ‚ n0 plat
jan ¡aj < ":
kÆme, e posloupnost (an) mÆ limitu 1 (event. ¡1), jestli e ke ka dØmu h 2R
existuje n0 2N tak, e pro v„echna n 2N; n ‚ n0 plat an > h (event. an < h):
Posloupnost, kterÆ
mÆ vlastn limitu, se naz vÆ konvergentn ,
mÆ nevlastn limitu, se naz vÆ divergentn ,
limitu nemÆ, se naz vÆ osciluj c .
CviŁen 2.2.1: Zkuste si sami podle de nice ov łit, e posloupnost
‡
n2+1
n
·
diverguje a posloupnost
‡
1+(¡1)n
2
·
osciluje.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 Limita a spojitost funkce
2.2.1 ZÆkladn vlastnosti limit posloupnost
Je-li (an) posloupnost a (kn) je rostouc posloupnost płirozen ch Ł sel (indexø),
pak posloupnost (akn) se naz vÆ vybranÆ posloupnost z posloupnosti (an):
Pł klad 2.2.1: Posloupnosti
(a2n) = (1;1;:::;1;:::); (a2n¡1) = (0;0;:::;0;:::)
jsou vybranØ posloupnosti sud ch a lich ch Łlenø z posloupnosti
(an) =
‡
1+(¡1)n
2
·
:
1. Ka dÆ posloupnost mÆ nejv „e jednu limitu.
2. Je-li liman = a; pak pro ka dou vybranou posloupnost (akn) z po-
sloupnosti (an) plat limn!1akn = a:
3. Monot nn posloupnost je konvergentn prÆv tehdy, kdy je ohrani-
ŁenÆ.
4. Je-li liman = a; limbn = b a pro v„echna n 2 N; n > k0 2 N plat
an • bn; pak takØ a • b:
5. Zm n me-li v posloupnosti koneŁn poŁet Łlenø, pak se jej limita ne-
zm n .
6. Je-li (bn) ohraniŁenÆ posloupnost a liman = 0; pak limanbn = 0:
7. Je-li an > 0 pro n 2N; pak liman = 0 () lim 1an = 1:
CviŁen 2.2.2: Promyslete si odpov di na nÆsleduj c otÆzky:
1. Co mø ete ł ci o neklesaj c shora ohraniŁenØ posloupnosti?
2. Pomoc vybran ch posloupnost zdøvodn te oscilaci posloupnosti
(cosn…)1n=1:
pp KomentÆł 2.2.2: Nyn si uvedeme døle it v sledek o konvergenci po-
sloupnosti (qn); q 2R: Plat
lim
n!1
qn =
8
>><
>>:
0 pro q 2 (¡1;1);
1 pro q = 1;
1 pro q > 1;
neexistuje pro q •¡1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Limita posloupnosti 11
Tento v sledek znÆte ji ze stłedn „koly. Jeho platnost napł klad pro q > 1 vy-
pl vÆ z toho, e lze psÆt qn = (1+h)n > 1+nh; kde h > 0: Odtud limn!1nh = 1
a tedy limn!1qn = 1: Ostatn v sledky lehce obdr te vyu it m vlastnost 2, 7.
2.2.2 Algebra limit posloupnost
Je-li liman = a; limbn = b; płiŁem a;b 2R⁄; pak plat
1) lim (an §bn) = a§b;
2) lim (an ¢bn) = a¢b;
3) lim anbn = ab;
4) limjanj = jaj;
pokud maj v razy na prav ch stranÆch smysl.
Jak se tyto vlastnosti odvozuj , ukÆ eme si na døkazu vlastnosti 1) pro
a;b 2R: Je-li liman = a; limbn = b; pak pro libovolnØ " > 0 existuje index
n1 2N tak, e pro v„echna n > n1 je jan ¡aj < "2 a index n2 2N takov , e pro
v„echna n > n2 je jbn ¡bj < "2: Polo me-li n0 = maxfn1;n2g; pak pro n > n0 je
j(an + bn) ¡ (a + b)j = j(an ¡ a) + (bn ¡ b)j • jan ¡ aj + jbn ¡ bj < "2 + "2 = ":
Odtud (an + bn) ¡! a + b:
PoznÆmka: Abychom mohli tyto vlastnosti bezchybn vyu vat, potłebujeme
dobłe znÆt, kterØ operace s nevlastn mi Ł sly jsou de novÆny (tj. mø eme pł mo
urŁit v sledek, a to tak, jak jsme zvykl u poŁ tÆn s koneŁn mi reÆln mi Ł sly)
nebo zda jde o tzv. neurŁitØ v razy (v razy, kterØ nejsou de novÆny), kterØ se
sna me płevØst røzn mi œpravami na v razy s de novan mi operacemi.
Mezi de novanØ operace pro reÆlnÆ Ł sla k 2 R a nevlastn Ł sla 1 a ¡1
patł :
1) 1 + 1 = 1; ¡1¡1 = ¡1;
2) k §1 = §1 + k = §1;
3) 1 ¢ 1 = 1; 1 ¢ (¡1) = (¡1) ¢ 1 = ¡1; (¡1) ¢ (¡1) = 1;
¡(¡1) = 1;
4) k ¢ (§1) = (§1) ¢k = §1 pro k > 0;
k ¢ (§1) = (§1) ¢k = currency11 pro k < 0;
5) k§1 = 0;
6)
k1 = 0 pro 0 < k < 1
k1 = 1 pro k > 1
11 = 1:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 Limita a spojitost funkce
Naopak nejsou de novÆny (tzv. neurŁitØ) v razy:
1¡1; ¡1 + 1; 0 ¢1; 0 ¢ (¡1); §1§1; §1currency11; k0; §10 ; (§1)0;
00; 11; k1 pro k < 0:
pp KomentÆł 2.2.3: Nyn si spoŁ tÆme n kolik pł kladø na u it vlastnost
limit.
Pł klad 1.
lim
n!1
3n2 + 2
5n2 + 4n¡ 2 = limn!1
an
bn;
płiŁem limn!1an = 1; limn!1bn = 1 a tedy nelze pou t vlastnost 3 o limit
pod lu, nebo» v raz 11 nen de novÆn. Proto pod l uprav me na tvar
limn!1 3 +
2
n2
5 + 4n ¡ 2n2 =
3
5:
Abychom u dal„ ch pł kladø nemuseli slovn vypisovat o jakØ typy v razø se
jednÆ, zap „eme urŁen typ do hranatØ zÆvorky.
Pł klad 2.
limn!1 2n¡ 33n2 + 4 =
h1
1
i
= limn!1 n
¡2 ¡ 3
n
¢
n2 ¡3 + 4n2¢ = limn!1
¡2 ¡ 3
n
¢
n¡3 + 4n2¢ =
2
1 = 0:
Pł klad 3.
limn!1 n
3 + n2 + 1
2 ¡ 5n2 =
• 1
¡1
‚
= limn!1 n
3 ¡1 + 1
n +
1
n3
¢
n2 ¡ 2n2 ¡ 5¢ =
= limn!1 n
¡1 + 1
n +
1
n3
¢
2
n2 ¡ 5
= 1¢
¡15
¶
= ¡1:
Pł klad 4.
limn!1
2n2
2n¡ 3 ¡
n2
n + 4
¶
= [1¡1] = limn!1 11n
2
2n2 + 5n¡ 12 =
h1
1
i
=
= limn!1 112 + 5
n ¡
12
n2
= 112 :
Pł klad 5.
limn!1
‡p
4n2 + 3n¡ 2n
·
= [1¡1] =
= limn!1
¡p4n2 + 3n¡ 2n¢¡p4n2 + 3n + 2n¢
p4n2 + 3n + 2n = lim
n!1
3np
4n2 + 3n + 2n =
=
h1
1
i
= limn!1 3q
4 + 3n + 2
= 34:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 Pojem limity funkce 13
CviŁen 2.2.3: VypoŁ tejte limity posloupnost :
1) lim
Vloženo: 15.12.2009
Velikost: 654,02 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BA01 - Matematika I
Reference vyučujících předmětu BA01 - Matematika I
Podobné materiály
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BA01 - Matematika I - skripta
- BB01 - Fyzika - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BC01 - Stavební chemie - skripta
- BC02 - Chemie stavebních látek - skripta
- BC03 - Chemie a technologie vody - skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - skripta
- BD04 - Statika II - skripta
- BE01 - Geodézie - skripta
- BF01 - Geologie - skripta
- BF02 - Mechanika zemin - skripta
- BF03 - Zakládání staveb - skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - skripta
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - skripta
- BH05 - Pozemní stavitelství III - skripta
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta
- BH11 - Požární bezpečnost staveb - skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - skripta
- BH55 - Poruchy a rekonstrukce - skripta
- BI01 - Stavební látky - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - skripta
- BJ01 - Keramika - skripta
- BJ02 - Keramika – laboratoře - skripta
- BJ04 - Technologie betonu I - skripta
- BJ07 - Izolační materiály - skripta
- BJ08 - Kovové a dřevěné materiály - skripta
- BJ09 - Technologie stavebních dílců - skripta
- BJ10 - Lehké stavební látky - skripta
- BJ11 - Technická termodynamika - skripta
- BJ12 - Technologie montovaných staveb - skripta
- BJ13 - Speciální izolace - skripta
- BJ14 - Speciální keramika - skripta
- BJ16 - Maltoviny II - skripta
- BJ51 - Maltoviny (M) - skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BL04 - Vodohospodářské betonové konstrukce - skripta
- BL05 - Betonové konstrukce I - skripta
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - skripta
- BL09 - Betonové konstrukce II - skripta
- BL11 - Předpjatý beton - skripta
- BL12 - Betonové mosty I - skripta
- BL13 - Vybrané stati z nosných konstrukcí budov - skripta
- BM01 - Pozemní komunikace I - skripta
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta
- BM52 - Praktické aplikace v pozemních komunikacích - skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - skripta
- BO03 - Dřevěné konstrukce (A,K) - skripta
- BO04 - Kovové konstrukce I - skripta
- BO07 - Kovové a dřevěné konstrukce - skripta
- BP02 - Stokování a čištění odpadních vod - skripta
- BP03 - Vodárenství - skripta
- BP04 - Čistota vod - skripta
- BP05 - Odpadové hospodářství - skripta
- BP06 - Projekt vodní hospodářství obcí - skripta
- BP51 - Inženýrské sítě (V) - skripta
- BP56 - Rekonstrukce vodohospodářských sítí - skripta
- BT01 - TZB II - skripta
- BT02 - TZB III - skripta
- BT03 - Technická zařízení budov (E) - skripta
- BT51 - TZB I (S) - skripta
- BU01 - Informatika - skripta
- BV03 - Ceny ve stavebnictví I - skripta
- BV04 - Finance - skripta
- BV05 - Ekonomika investic - skripta
- BV07 - Právo - skripta
- BV08 - Projektové řízení staveb I - skripta
- BV09 - Řízení jakosti I - skripta
- BV10 - Financování stavební zakázky - skripta
- BV11 - Informační technologie systémová analýza - skripta
- BV12 - Marketing ve stavebnictví - skripta
- BV13 - Projekt – Stavební podnik - skripta
- BV14 - Projekt - Projektové řízení staveb - skripta
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - skripta
- BW01 - Technologie staveb I - skripta
- BW02 - Technologie stavebních prací II - skripta
- BW04 - Technologie staveb II - skripta
- BW05 - Realizace staveb - skripta
- BW06 - Stavební stroje - skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - skripta
- BZ01 - Stavební právo - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- CD03 - Pružnost a plasticita - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta z jiných VŠ
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta
- BA07 - Matematika I/2 - Skripta
- BB01 - Fyzika - Skripta fyzika
- BC01 - Stavební chemie - Skripta
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta
- BD03 - Statika I - Skripta
- BE01 - Geodézie - Skripta Geodézie
- BF02 - Mechanika zemin - Skripta
- BF51 - Zakládání staveb (V) - Skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - Skripta
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - Skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvičení
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - Skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - Skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - Skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Skripta
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Skripta
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta - Hydraulika a hydrologie
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta
- BS01 - Vodohospodářské stavby - Skripta
- BT51 - TZB I (S) - Skripta
- BU01 - Informatika - Skripta
- BV01 - Ekonomie - Ekonomie skripta
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, skripta, podklady
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - Skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BA06/07 - Matematika - Matematika-skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Vodorovné konstrukce - skripta
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Reálná funkce jedné reálné proměnné
- BA01 - Matematika I - Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace
- BA01 - Matematika I - Skripta - Základy lineární algebry
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika, Základy testování hypotéz
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu
- BA02 - Matematika II - Skripta - Reálná funkce dvou a více proměnných
- BA02 - Matematika II - Skripta - Určitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Neurčitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Dvojný a trojný integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Křivkové integrály
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice II
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - polohopis
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - výškopis
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Základní pojmy a předpoklady
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Složené případy namáhání prutů, stabilita a vzpěrná pevnost tlačených porutů
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Teorie namáhání prutů
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Silové soustavy
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Průřezové charakteristiky
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce I
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce II
- BJ15 - Technologie betonu II - skripta
- BJ01 - Keramika - miniskripta
- BJ05 - Základy technologických procesů - skripta
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M01
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M02
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M03
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M02
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M03
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M04
- BA05 - Operační výzkum - Skripta
- GE10 - Mapování I - skripta GPS
- BV53 - Stavební podnik - Skripta - stavební podnik
- BV06 - Podnikový management I - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO2
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO3
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO5
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO1
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO2
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO3
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO4
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - operačné systémy
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - počítačové siete
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - technologie internetu
- BA03 - Deskriptivní geometrie - skripta
- BF01 - Geologie - podklady do cvičení + skripta
- BS05 - Vodní hospodářství krajiny II - Skripta
- BS03 - Nádrže a soustavy - Skripta
- BS04 - Vodní hospodářství krajiny I - Skripta
- BR06 - Hydrotechnické stavby I - Skripta
- BR07 - Hydrotechnické stavby II - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta m2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M4
- BV05 - Ekonomika investic - Errata - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvicení
- CV14 - Ekonomické nástroje řízení stavební výroby - skripta
- CH54 - vybrané statě ze stavební fyziky - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta1
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- CZ54 - Inženýrská pedagogika - skripta
- BC01 - Stavební chemie - Spoznámkované 4 moduly skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- 0V4 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, materíály, skripta, prostě vše
- BV012 - Veřejné stavební investice 1 - Skripta BV012
- BA02 - Matematika II - Diferenciální rovnice
- BA01 - Matematika I - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
- BA01 - Matematika I - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M05-Diferencialni_pocet_I,_Limita_a_spojitost_funkce
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M06-Diferencialni_pocet_I,_Derivace_funkce
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M05-Diferencialni_pocet_I,_Limita_a_spojitost_funkce
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M06-Diferencialni_pocet_I,_Derivace_funkce
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M03-Obyčejné diferenciální rovnice I
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M04-Obyčejné diferenciální rovnice II
- BA02 - Matematika II - BA02-Matematika II M04-Obyčejné diferenciální rovnice II
- GA05 - Matematika III - GA05-Matematika III M03-Obyčejné diferenciální rovnice
- GA05 - Matematika III - GA05-Matematika III M04-Obyčejné diferenciální ropvnice II
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - výpočet pruřezových charakteristik
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Výpočet svarů
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Výpočet šroubovaných spojů
- BB01 - Fyzika - Předpřipravený excel na výpočet chyby
- BA02 - Matematika II - Intergální počet II. řešené příkaldy s nápovědou
- BA07 - Matematika I/2 - Výpočet parciálních derivací
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - S4 Návrh a výpočet schodiště
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - Výpočet základů
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Stupně vlivu prostředí a výpočet krytí
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Konstrukce- výpočet, zatížení, materiály
- BF02 - Mechanika zemin - Výpočet vlhkosti
- BE01 - Geodézie - výpočet souřadnice bodu
- BE01 - Geodézie - Výpočet souřadnic
- BE01 - Geodézie - Výpočet polygonového pořadu
- BE01 - Geodézie - Výpočet souřadnic
- GA01 - Matematika I - vektorový počet a jeho aplikace
- BJ04 - Technologie betonu I - výpočet složení betonu (OPCT)
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - Výpočet základů
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - návod pro výpočet návrhu silnice
- BH51 - Počítačová grafika (S) - zapocet u hradila
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Výpočet tachymetrie a řezu objektem
- BW01 - Technologie staveb I - Zápočet na Technologii I
- BF01 - Geologie - prezentace s fotkama kamenů, hodně dobré pro zápočet
- BN01 - Železniční stavby I - oblouk-návod na výpočet
- BN01 - Železniční stavby I - kubická par.-výpočet
- BN01 - Železniční stavby I - klotoida-výpočet
- BN01 - Železniční stavby I - oblouk-výpočet
- BN01 - Železniční stavby I - výpočet nesymetrického inflex motivu+zdvoukolejnění
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_1
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_2
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_3
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_4
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_5
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_6
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_7
- BV10 - Financování stavební zakázky - Rozpocet_8
- BL05 - Betonové konstrukce I - výpočet haly
- BL05 - Betonové konstrukce I - výpočet haly2
- BC01 - Stavební chemie - zápočet 3 písemka
- BL12 - Betonové mosty I - most - výpočet
- BL12 - Betonové mosty I - most - výpočet
- BO09 - Kovové mosty I - most - výpočet
- BO09 - Kovové mosty I - most - výpočet
- BO09 - Kovové mosty I - most - výpočet
- BO09 - Kovové mosty I - most - výpočet
- BO09 - Kovové mosty I - most - výpočet
- BO09 - Kovové mosty I - most - výpočet
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Příklady na zápočet
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - výpočet vnitřních sil u sbíjeného vazníku
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - výpočet vnitřních sil u sbíjeného vazníku a G-N vazníku
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - E - Výpočet statických modulů pružnosti pro Beton
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M01-Vektorovy_pocet_a_jeho_aplikace
- BJ06 - Fyzika stavebních látek - BJ06-Fyzika_stavebnich_latek--M02-Priklady_a_vypocetni_postupy
- BJ06 - Fyzika stavebních látek - BJ06-Fyzika_stavebnich_latek--M02-Priklady_a_vypocetni_postupy
- BD04 - Statika II - Statika II zápočet
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 1.1 - zápočet kombi studium 2011/12 - hluková studie
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 1.2 - zápočet kombi studium 2011/12 - logaritmická stupnice kmitočtů
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 2.1 - zápočet kombi studium 2011/12 - ekvivalentní hladina akustického tlaku
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 2.2 - zápočet kombi studium 2011/12 - hodnocení hluku
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 3.1 - zápočet kombi studium 2011/12 - útlum hluku
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 3.2 - zápočet kombi studium 2011/12 - doba dozvuku
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 4.1 - zápočet kombi studium 2011/12 - kročejová neprůzvučnost
- CL01 - Předpjatý beton - Zádání zápočet kombi studium 2011/12
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 4.2 - zápočet kombi studium 2011/12 - vzduchová neprůzvučnost
- CH01 - Stavební akustika a denní osvětlení budov - Zadání 5 - zápočet kombi studium 2011/12 - diagram zastínění
- BD04 - Statika II - Zadání 19.01.2012 VÝPOČET
- BB01 - Fyzika - Příklady ke zkoušce 2012 + výpočet
- GA01 - Matematika I - M01-Vektorový počet a jeho aplikace
- BN02 - Železniční stavby II - výpočet vrstev
- GE04 - Teorie chyb a vyrovnávací počet I - GE04-Teorie chyb a vyrovnávací počet I M01-Měřické chyby
- GE04 - Teorie chyb a vyrovnávací počet I - GE04-Teorie chyb a vyrovnávací počet I M02-Základní druhy vyrovnání (1. část)
- BO03 - Dřevěné konstrukce (A,K) - vypocet-zatizeni-vetrem
- 0D2 - Pružnost a plasticita - výpočet stěny
- CD03 - Pružnost a plasticita - výpočet stěny
- BD04 - Statika II - Zadanie testu + vypocet 9.1.2013
- BU01 - Informatika - Vypracovaná cvičení pro zápočet
- BU01 - Informatika - Vypracovaná cvičení pro zápočet
- BA02 - Matematika II - Opravný započet
- BN01 - Železniční stavby I - Výpočet inflexu
- BA04 - Matematika III - zápočet
- BA04 - Matematika III - započet skupina N
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - Tahák na zápočet
- BB01 - Fyzika - Výpočet protokolu
- BD 02 - Pružnost a pevnost - Program na výpočet průřezových charakteristik
- BL11 - Předpjatý beton - Výpočet příkladu ze zkoušky 15.1.2015 (komentář, MTR+SM)
- BA04 - Matematika III - Zadaní + výpočet testu 7A
- BT03 - Technická zařízení budov (E) - Výpočet tepelných ztrát
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - Výpočet základů
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - Vypočet patka
- BA04 - Matematika III - Příklady na zápočet(2015)- řešení
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Program pro výpočet příkladu C4
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Program pro výpočet úkolu C2 do cvičení
- 0L2 - Betonové konstrukce - Aplikace pro výpočet zatížení
- BO001 - Konstrukce a dopravní stavby - BO001_Zápočet_2018
- 0D1 - Stavební mechanika I - zapocet
- BA03 - Deskriptivní geometrie - Zápočet 1
- BAA004 - Matematika 4 - Zápočet 2022
- BAA004 - Matematika 4 - Příprava na zápočet 2022
- BF001 - Geologie - Zápočet
- BOA002 - Prvky kovových konstrukcí - Zápočet Balázs, Štrba
- BA07 - Matematika I/2 - Absolutní extrémy funkce dvou proměnych
- BA07 - Matematika I/2 - Funkce dané implicitne a jejich aplikace
- BA07 - Matematika I/2 - Průběh funkce
- BA07 - Matematika I/2 - Taylorův polynom funkce dvou promených
- BA07 - Matematika I/2 - Vyšetřování lokálních extrémů funkce dvou proměných
- BU01 - Informatika - cvičení - Aritmetické operace ve vzorcích, goniometrické funkce ve vzorcích
- BA01 - Matematika I - Reálná funkce jedné reálné proměnné
- BA02 - Matematika II - Reálná funkce dvou a více proměnných I
- BA02 - Matematika II - Reálná funkce dvou a více proměnných Il
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M04-Realna_funkce_jedne_realne_promenne
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M09-Realna_funkce_dvou_a_vice_promennych_I
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M10-Realna_funkce_dvou_a_vice_promennych_II
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M04-Realna_funkce_jedne_realne_promenne
- GA04 - Matematika II - GA04-Matematika II M03-Reálná funkce dvou a více proměnných II
- GA04 - Matematika II - GA04-Matematika II M03-Reálná funkce dvou a více proměnných
Copyright 2024 unium.cz