- Stahuj zápisky z přednášek a ostatní studijní materiály
- Zapisuj si jen kvalitní vyučující (obsáhlá databáze referencí)
- Nastav si své předměty a buď stále v obraze
- Zapoj se svojí aktivitou do soutěže o ceny
- Založ si svůj profil, aby tě tví spolužáci mohli najít
- Najdi své přátele podle místa kde bydlíš nebo školy kterou studuješ
- Diskutuj ve skupinách o tématech, které tě zajímají
Studijní materiály
Hromadně přidat materiály
Skripta - Reálná funkce dvou a více proměnných
BA02 - Matematika II
Hodnocení materiálu:
Zjednodušená ukázka:
Stáhnout celý tento materiálVYSOK U¨EN˝ TECHNICK V BRN
FAKULTA STAVEBN˝
MATEMATIKA I
MODUL BA01 M09, GA04 M03
RE`LN` FUNKCE DVOU A V˝CE PROM NN CH { I
STUDIJN˝ OPORY
PRO STUDIJN˝ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
1
0Typeset by LATEX 2"
0 c O. Dlouh , V. Tryhuk 2004
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Obsah
1 vod 5
1.1 C le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Po adovanØ znalosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Kl ŁovÆ slova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Funkce dvou a v ce prom nn ch 7
2.1 Pojem funkce dvou a v ce prom nn ch . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Limita a spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 EuklidovskØ okol bodu v E2;E3 . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 N kterØ mno iny v E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Limita posloupnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 ParciÆln derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 ParciÆln derivace funkce dvou prom nn ch . . . . . . . . . 18
2.3.2 ParciÆln derivace funkce v ce prom nn ch . . . . . . . . . 19
2.3.3 Vztah mezi existenc parciÆln ch derivac a spojitost funkce 21
2.3.4 ParciÆln derivace vy„„ ch łÆdø . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Slo enÆ funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1 Slo enÆ funkce dvou a v ce prom nn ch . . . . . . . . . . . 26
2.4.2 ParciÆln derivace slo enØ funkce . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 TotÆln diferenciÆl funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Pojem totÆln ho diferenciÆlu . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 TotÆln diferenciÆly vy„„ ch łÆdø . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3 Taylorova v ta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kontroln otÆzky 41
V sledky cviŁen , testy ke zpracovÆn 42
Rejstł k 48
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 OBSAH
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 1
vod
1.1 C le
V odpov daj c ch Ł seln vyjÆdłen ch odstavc ch textu jsou stanoveny nÆsleduj c
c le:
2:1 Porozum t roz„ łen pojmø funkce a graf funkce z jednØ prom nnØ na
dv prom nnØ. Um t urŁit a zakreslit de niŁn obory funkc dvou prom nn ch.
Zopakovat si grafy nejzÆkladn j„ ch ploch (parabolickØ, ku elovØ, kulovØ, elip-
tickØ) a um t vyjÆdłit jejich ŁÆsti jako grafy funkc dvou prom nn ch.
2:2 Um t charakterizovat okol bodu v E2; E3 a røznØ druhy mno in v E2:
ZnÆt de nice limity a spojitosti funkce, um t vypoŁ tat jednoduchØ limity nebo
ukÆzat, e limity neexistuj . Zformulovat Weierstrassovu a Bolzanovu v tu.
2:3 Um t nakreslit obrÆzek, charakterizuj c geometrick v znam parciÆln
derivace funkce dvou prom nn ch. ZnÆt vyjÆdłen parciÆln derivace u it m limity.
SeznÆmit se se vztahem mezi existenc parciÆln ch derivac a spojitost funkce.
ZnÆt podm nku pro zÆm nnost parciÆln ch derivac vy„„ ch łÆdø.
2:4 Porozum t vztahøm pro v poŁet parciÆln ch derivac slo en ch funkc
a um t je ilustrovat na jednoduch ch pł kladech. SeznÆmit se s Lagrangeovou
v tou.
2:5 ZnÆt geometrick v znam totÆln ho diferenciÆlu funkce dvou prom n-
n ch, um t vztahy pro v poŁet totÆln ch diferenciÆlø prvn ho a vy„„ ch łÆdø. Se-
znÆmit se s vyu it m totÆln ho diferenciÆlu płi odhadech chyb. ZnÆt płedpoklady
Taylorovy v ty a um t urŁit Taylorovy polynomy pro funkce dvou prom nn ch.
1.2 Po adovanØ znalosti
Pro potłeby zvlÆdnut tohoto modulu płedpoklÆdÆme znalosti studentø v rozsahu
modulu Matematika I, Moduly BA01 M04 , BA01 M05, BA01 M06.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 vod
1.3 Doba potłebnÆ ke studiu
¨as potłebn ke zvlÆdnut tohoto modulu je odhadnut pro prøm rnØho studenta
jako hodnota nejmØn 20 hodin.
1.4 Kl ŁovÆ slova
funkce dvou prom nn ch, slo enÆ funkce, limita, spojitost, parciÆln
derivace, totÆln diferenciÆl, Taylorova v ta
Na konci modulu załazen Rejstł k, ve kterØm jsou dal„ kl ŁovÆ slova płehledn
uspołÆdÆna i s odkazy na odpov daj c strÆnky.
1.5 Metodick nÆvod k prÆci s textem
Text je uspołÆdÆn podle stejn ch zÆsad, jako ostatn dł ve studovanØ moduly
płedm tu Matematika.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kapitola 2
Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.1 Pojem funkce dvou a v ce prom nn ch
Płi studiu funkŁn ch zÆvislost røzn ch prom nn ch veliŁin v matematice, fyzice
i technick ch płedm tech, nevystaŁ me s reÆlnou funkc jednØ reÆlnØ prom nnØ
a pou vÆme proto funkce dvou, tł nebo v ce prom nn ch. Uve me si n kterØ
konkrØtn pł klady takov ch funkc :
DØlka strany c v obecnØm trojœheln ku je rovnÆ c = pa2 + b2 2abcos =
c(a;b; ), kde a;b jsou dØlky zb vaj c ch stran a je œhel, kter tyto strany
sv raj .
Obsah plÆ„t komolØho rotaŁn ho ku ele je roven S = (r1 + r2) s =
S(r1;r2;s), kde r1;r2 jsou polom ry podstav ku ele a s je dØlka jeho strany.
CelkovÆ mechanickÆ energie E t lesa o hmotnosti m; pohybuj c ho se rych-
lost v ve v „ce h nad povrchem zem je rovna E = 12mv2 + mgh =
E(m;v;h); kde g je velikost t hovØho zrychlen .
MechanickÆ prÆce t lesa, kterØ uraz drÆhu s pøsoben m konstantn s ly
o velikosti F; płiŁem s la sv rÆ s trajektori t lesa stÆl œhel ; je dÆna
vztahem W = F s cos = W(F;s; ):
Hydrostatick tlak ph v hloubce h pod voln m povrchem kapaliny o hustot
je roven ph = h g; kde g je op t velikost t hovØho zrychlen .
Moment setrvaŁnosti soustavy n hmotn ch bodø vzhledem k ose otÆŁen
je dÆn vztahem J = m1r21 + m2r22 + + mnr2n; kde m1;m2;:::;mn jsou
hmotnosti jednotliv ch bodø a r1;r2;:::;rn jsou vzdÆlenosti jednotliv ch
bodø od osy otÆŁen .
V klad teorie reÆln ch funkc v ce reÆln ch prom nn ch zam ł me zejmØna na
reÆlnØ funkce dvou prom nn ch. Pou itÆ terminologie a oznaŁen budou obdobnÆ
jako u funkce jednØ prom nnØ.
8 Funkce dvou a v ce prom nn ch
De nice 2.1.1: ekneme, e funkŁn m płedpisem z = f(x;y) je urŁena reÆlnÆ
funkce f dvou reÆln ch prom nn ch, jestli e:
1. Je dÆn obor B E2; pł pustn ch bodø z E2; naz van ch de niŁn m oborem.
P „eme D(f) = B:
2. Ka dØmu bodu X = [x;y] 2 B je płiłazeno prÆv jedno reÆlnØ Ł slo z 2 E1
takovØ, e z = f(x;y):
4
kÆme takØ, e zÆvisle prom nnÆ z je vyjÆdłena explicitn jako funkce nezÆ-
visle prom nn ch x;y: P „eme tØ
f : z = f(x;y); [x;y] 2 B:
Pokud nen zadÆn de niŁn obor funkce f; pak za n j budeme pova ovat tzv.
płirozen de niŁn obor, co je mno ina t ch bodø v E2; pro kterØ mÆ funkŁn
płedpis z = f(x;y) smysl.
CviŁen 2.1.1: Vytvołte de nici reÆlnØ funkce f : w = f(x;y;z) tł reÆln ch
prom nn ch s de niŁn m oborem D(f) E3:
Pł klad 2.1.1: UrŁete de niŁn obor funkce h(x;y) = arcsin x y2x+y:
e„en : V me, e arkussinus je de novÆn v intervalu h 1;1i: Proto mus platit
1 x y2x + y 1 2x + y 6= 0:
To je spln no pokud
x y
2x + y
1 tj. jx yj j2x + yj; 2x + y 6= 0:
Odtud dostÆvÆme:
1. Je-li x y 0; 2x+y > 0; pak pro absolutn hodnoty plat x y 2x+y;
tj. y x=2: Celkem tedy y x; y < 2x; y x=2:
2. Pokud x y 0; 2x+y < 0; pak x y 2x y a odtud y x; y < 2x;
x 0:
3. Je-li x y 0; 2x+y > 0; pak x+y 2x+y a celkem dostÆvÆme y x;
y > 2x; x 0:
4. Pokud x y 0; 2x+y < 0; pak x+y 2x y a tedy y x; y < 2x;
y x=2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Limita a spojitost funkce 9
y = x
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
y = 2x
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
HH
y = x2
-
6
x
y
CviŁen 2.1.2: UrŁete de niŁn obory funkce
1) f(x;y) = ln cos 2 (x2 + y2) ,
2) g(x;y) =
q
x2+y2 6y
4y x2 y2 .
2.2 Limita a spojitost funkce
2.2.1 EuklidovskØ okol bodu v E2;E3
ObrÆzek 2.1: VzdÆlenost bodø v E2.
V diferenciÆln m poŁtu funkce jednØ prom nnØ jsme Łasto pracovali s (ote-
vłen m) okol m O(x0) = O (x0) = (x0 ;x0 + ) bodu x0: SkuteŁnost, e
x 2 O (x0); je mo nØ vyjÆdłit takØ zÆpisy x0 < x < x0 + ; < x x0 <
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 Funkce dvou a v ce prom nn ch
nebo jx x0j < : VyjÆdłen d(x0;x) = jx x0j płitom chÆpeme jako vzdÆ-
lenost bodu x od bodu x0 a okol bodu x0 je mo nØ zapsat jako mno inu
O(x0) = fx 2 R;jx x0j < g: Pojem (otevłenØho) okol bodu potłebujeme
zavØst takØ pro funkci v ce prom nn ch.
Jsou-li v prostoru E2 dÆny dva body A = [x1;y1];B = [x2;y2]; pak z pra-
voœhlØho trojœheln ku uvedenØho na obrÆzku 2.1 je patrnØ, e za (euklidovskou)
vzdÆlenost bodø A;B mø eme vz t Ł slo
d = d2(A;B) =
p
(x2 x1)2 + (y2 y1)2:
V pł pad y1 = 0;y2 = 0; pak vychÆz d = p(x2 x1)2 = jx2 x1j; tak e jde
o płirozenØ zobecn n vzdÆlenosti z prostoru E1: Okol m bodu X0 = [x0;y0] 2E2
rozum me mno inu bodø X = [x;y] 2E2; pro kterØ je vzdÆlenost d2(X0;X) < r:
Mø eme pak psÆt
O(X0) = Or(X0) = fX 2E2;d2(X0;X) < rg =
= fX 2E2;
p
(x x0)2 + (y y0)2 < rg:
V prostoruE2 je tedy (otevłen m) okol m vnitłek kruhu o polom ru r se stłedem
ObrÆzek 2.2: EuklidovskØ okol bodu v E2.
v bod X0 = [x0;y0]:
Euklidovskou vzdÆlenost bodø X = [x1;x2;x3];Y = [y1;y2;y3] v prostoru E3
zavedeme vztahem
d3(X;Y ) =
p
(y1 x1)2 + (y2 x2)2 + (y3 x3)2 =
vu
ut 3X
i=1
(yi xi)2:
Okol Or(X0) bodu X0 si lze v E3 geometricky płedstavit jako vnitłek koule
o polom ru r se stłedem v bod X0 = [x0;y0;z0]:
Euklidovskou vzdÆlenost bodø X = [x1;x2;:::;xn];Y = [y1;y2;:::;yn] v pro-
storu En de nujeme analogick m zpøsobem pomoc vztahu
dn(X;Y ) =
p
(y1 x1)2 + + (yn xn)2 =
vu
ut nX
i=1
(yi xi)2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Limita a spojitost funkce 11
De nice 2.2.1: Okol m Or(X0) bodu X0 (polom ru r > 0) v En pak nazveme
mno inu bodø X 2En; jejich vzdÆlenost od bodu X0 je men„ ne r; tj. mno inu
Or(X0) = fX 2En;dn(X;X0) < rg:
Prstencov m P(X0;r) okol m bodu X0 o polom ru r > 0 nazveme mno inu
P(X0;r) = Or(X0) fX0g:
4
2.2.2 N kterØ mno iny v E2
Zavedeme n kolik pojmø, kterØ budeme v dal„ ŁÆsti textu pou vat v podobn ch
souvislostech, v jak ch byly u funkce jednØ prom nnØ pou vÆny pojmy otevłen
Łi uzavłen interval, ohraniŁen interval, krajn body intervalu a podobn . Tyto
pojmy maj velk v znam napł klad płi formulovÆn œloh pro lokÆln nebo abso-
lutn extrØmy funkce.
ObrÆzek 2.3: (Bod X1 je vnitłn m bodem mno iny, X2 je vn j„ m bodem mno iny, X3
je hraniŁn m bodem mno iny M.)
De nice 2.2.2: Je-li M E2; pak łekneme, e
a) bod X 2 M je vnitłn m bodem mno iny M; kdy existuje okol O(X) bodu
X obsa enØ celØ v mno in M; tj. plat -li O(X) M;
b) bod X 2 E2 je vn j„ m bodem mno iny M; kdy existuje okol O(X)
takovØ, e neobsahuje Ædn bod z mno iny M; tj. je-li prønik mno in O(X)\M
mno inou prÆzdnou.
c) bod X 2 E2 je hraniŁn m bodem mno iny M; jestli e ka dØ okol
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 Funkce dvou a v ce prom nn ch
O(X) obsahuje aspo jeden bod mno iny M a aspo jeden bod, kter do mno iny
M nepatł ; mno inu v„ech hraniŁn ch bodø budeme oznaŁovat @M a nazveme ji
hranic mno iny M:
4 (viz Obr. 2.3)
Na zÆklad uvedenØ charakteristiky bodø mno iny M zavÆd me nÆ-
sleduj c druhy mno in v E2:
De nice 2.2.3: ekneme, e mno ina M E2 je
a) otevłenÆ, jestli je ka d bod X 2 M jej m vnitłn m bodem,
b) uzavłenÆ, kdy obsahuje v„echny svØ hraniŁn body; mno inu M = M [@M
nazveme uzÆv rem mno iny M:
4
Analogicky bychom de novali tyto pojmy v En:
Pł klad 2.2.1: Kruh o rovnici x2 + y2 < r2 polom ru r se stłedem v po-
ŁÆtku je otevłenÆ mno ina v prostoru E2: Ka d bod [x;y] 2E2 spl uj c uvede-
nou nerovnost je vnitłn m bodem kruhu. Hranici kruhu tvoł kru nice o rovnici
x2 + y2 = r2: Ka d bod [x;y] 2 E2 le c vn kruhu a jeho hranice je vn j„ m
bodem kruhu (viz Obr. 2.3).
De nice 2.2.4: Mno ina M se naz vÆ ohraniŁenÆ (omezenÆ) mno ina,
kdy existuje okol Or(X) n kterØho bodu X 2E2; kterØ obsahuje mno inu M:
4
ObrÆzek 2.4: OhraniŁenÆ mno ina.
OhraniŁenou mno inu lze v prostoru E2 um stit do otevłenØho kruhu Or(X)
(lze ji ohraniŁit otevłen m kruhem koneŁnØho polom ru). NeohraniŁenou mno-
inu v E2 nelze ohraniŁit Ædn m otevłen m kruhem koneŁnØho polom ru (viz
Obr. 2.4).
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Limita a spojitost funkce 13
PoznÆmka: UzavłenÆ a ohraniŁenÆ mno ina v E2 se Łasto naz vÆ kompaktn
mno ina.
De nice 2.2.5: Mno ina M se naz vÆ mno ina souvislÆ, kdy lze jej libovolnØ
dva body spojit lomenou Łarou vytvołenou z œseŁek X1X2;X2X3;:::;Xn 1Xn
le c ch v mno in M: OtevłenÆ a souvislÆ mno ina M En se naz vÆ oblast
v prostoru En: Sjednot me-li oblast M s jej hranic @M; budeme hovołit o uzÆ-
v ru M = M [@M oblasti M nebo takØ o uzavłenØ oblasti.
4
OhraniŁenØ uzÆv ry oblast budou m t v En podobn v znam, jak maj na
reÆlnØ ose v prostoru E1 uzavłenØ intervaly.
ObrÆzek 2.5: Oblast.
Na pravØm obrÆzku (Obr. 2.5) je pł klad oblasti M; na levØm je uzÆv r
M = M [@M oblasti M.
2.2.3 Limita posloupnost
Posloupnost bodø v E2
De nice 2.2.6: ekneme, e posloupnost bodø (Xn)1n=1 v prostoru E2 konver-
guje k bodu A 2 E2; jestli e ke ka dØmu " > 0 existuje n0 2 N takovØ, e pro
v„echna n 2 N; n n0; plat d2 (Xn;A) < ": P „eme limn!1Xn = A nebo
pouze Xn ! A:
4
UkÆ eme si, e plat toto tvrzen :
Tvrzen : Posloupnost bodø Xn = [xn;yn] 2 E2 konverguje k bodu
A = [a1;a2] 2E2 prÆv tehdy, kdy limn!1xn = a1; limn!1yn = a2:
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
14 Funkce dvou a v ce prom nn ch
Pokud toti limn!1Xn = A; pak z nerovnice p(xn a1)2 + (yn a2)2 < "
vypl vÆ, e jxn a1j p(xn a1)2 + (yn a2)2 a takØ jyn a2j p
(xn a1)2 + (yn a2)2 a tedy limn!1xn = a1 a limn!1yn = a2: ObrÆcen plat -
li, e limn!1xn = a1 a limn!1yn = a2; pak pro libovolnØ " > 0 existuj n1;n2 2 N
takovÆ, e jxn a1j < "=p2 pro v„echna n n1 a jyn a2j < "=p2 pro v„echna
n n2: Polo me-li n0 = maxfn1;n2g; pak pro n n0 plat jxn a1j2 < "2=2;
jyn a2j2 < "2=2 a tedy d2 (Xn;A) = p(xn a1)2 + (yn a2)2 < p"2=2 + "2=2 = "
pro v„echna n n0:
PoznÆmka: Pro posloupnosti bodø v E2 plat n kterØ vlastnosti jako pro
Ł selnØ posloupnosti. Napł klad:
1. Ka dÆ posloupnost mÆ nejv „e jednu limitu.
2. Kdy Xn ! A; Yn ! B; pak Xn + Yn ! A + B.
3. Kdy Xn ! A; kn ! k v E1; pak knXn ! kX.
Pł klad 2.2.2: UrŁete limitu posloupnosti Xn = [ 2n;1 + 1n]:
e„en : Jde vlastn o posloupnost bodø na pł mce y = 1 + x2; nebo» xn = 2n;
yn = 1 + 1n; t.j. yn = 1 + xn2 : Plat limn!1xn = limn!1 2n = 0; limn!1yn =
limn!1 1 + 1n = 1: Proto posloupnost bodø Xn konverguje k bodu A = [0;1]:
2.2.4 Limita funkce
Limitu funkce dvou prom nn ch zavedeme obdobn jako u funkce jednØ pro-
m nnØ. Vyjdeme z Heineovy de nice, kterÆ vyu vÆ posloupnost .
De nice 2.2.7: ekneme, e funkce f mÆ v bod A 2 E2 limitu rovnou Ł slu
b 2R a p „eme
lim
X!A
f(X) = b;
jestli e
a) funkce f je de novanÆ v n jakØm prstencovØm okol P(A;"); kde
" > 0;" 2R;
b) pro ka dou posloupnost bodø (Xn)n2N z okol P(A;"); kterÆ konverguje
k bodu A; plat limn!1f(Xn) = b:
4
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Limita a spojitost funkce 15
Pł klad 2.2.3: UrŁete limity (existuj -li)
a) lim
[x;y]![2; 1]
(x2 + y3); b) lim
[x;y]![0;0]
2xy
x2 + y2;
c) lim
[x;y]![0;0]
x2 + y2p
x2 + y2 + 9 3; d) lim[x;y]![0;0]
1
x2 + y2:
e„en :
a) Jak v me, posloupnost [xn;yn] konverguje k bodu [2; 1] jestli e xn ! 2;
yn ! 1: Pak plat
limn!1f(Xn) = limn!1f(xn;yn) = limn!1x2n + limn!1y3n = 4 1 = 3:
b) Dosazen m bodu A = [0;0] do funkŁn ho płedpisu dostÆvÆme neurŁit
v raz 00: Zvolme si nejprve posloupnost Xn = [ 1n; 1n]; kterÆ konverguje k bodu A:
Pro tuto posloupnost dostaneme
lim
n!1f(
1
n;
1
n) = limn!1
2
n2
1
n2 +
1
n2
= 1:
Bylo by v„ak chybou se domn vat, e funkce f mÆ v bod A limitu rovnou jednØ.
Zvol me-li si toti napł klad posloupnost Xn = [ 1n; 1n2 ]; pak
lim
n!1
f(Xn) = limn!1
2
n3
1
n2 +
1
n4
= limn!1 2n
4
n3 (n2 + 1) = 0:
Limita funkce f v bod A tedy neexistuje, proto e pro røznØ posloupnosti dostÆ-
vÆme røznØ v sledky.
c) lim[x;y]![0;0] x2+y2px2+y2+9 3 = 00 = lim[x;y]![0;0] (x2+y2) (
p
x2+y2+9+3)
x2+y2 =
= lim
[x;y]![0;0]
(
p
x2 + y2 + 9 + 3) = 6:
d) lim[x;y]![0;0] 1x2+y2 =
h
1
0+
i
= 1:
CviŁen 2.2.1: Vy„etłete nÆsleduj c limity
1. lim[x;y]![1;2] 2x+y3y+p2x 1, 2. lim[x;y]![0;0] x2+y23x2+4y2 ,
3. lim[x;y]![0;0] 8x2+6y2p4x2+3y2+4 2, 4. lim[x;y]![0;0] 3x2+3y23px2+y2+1 1.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
16 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.2.5 Spojitost funkce
Vlastnosti spojit ch funkc lze vyu t napł klad płi hledÆn absolut-
n ch extrØmø funkc , integrovÆn funkc v ce prom nn ch, łe„en dife-
renciÆln ch rovnic.
Spojitost funkce dvou prom nn ch de nujeme analogicky jako u funkce jednØ
prom nnØ.
De nice 2.2.8: ekneme, e funkce f je spojitÆ
a) v bod A = [a1;a2]; je-li de novÆna v n jakØm okol O(A) a plat -li
lim
X!A
f(X) = f(A);
b) na mno in M E2; jestli e pro ka d bod A 2 M plat
lim
X2M;X!A
f(X) = f(A):
4
PoznÆmky:
1. ZÆpisu limX2M;X!A f(X) = f(A) je tłeba rozum t tak, e pro ka -
dou posloupnost bodø (Xn)1n=1 z mno iny M, kterÆ konverguje k bodu A;
konverguje posloupnost funkŁn ch hodnot (f(Xn))1n=1 k funkŁn hodnot
f(A):
2. Pokud je funkce f spojitÆ v ka dØm bod svØho de niŁn ho oboru, pak
struŁn ł kÆme, e je spojitÆ.
3. Ze spojitosti funkc f;g na mno in M vypl vÆ na mno in M takØ
spojitost funkc :
jfj;
kf + lg; kde k;l 2R;
f g;
f=g; pokud g(X) 6= 0 na M:
Pł klad 2.2.4: Ov łte spojitost funkce f : z = p1 x2 4y2 na mno in
D(f) = f[x;y] 2E2; x2 + 4y2 1g:
e„en : Uva ujme libovoln bod A = [a1;a2] 2 D(f) a zvolme si libovolnou
posloupnost bodø Xn = [xn;yn] 2 D(f) konverguj c k bodu A; t.j., (xn) ! a1;
(yn) ! a2: Dle pravidel pro poŁ tÆn s limitami posloupnost dostaneme
lim
n!1
f(Xn) = limn!1p1 x2n 4y2n =
q
1 lim
n!1
x2n 4 lim
n!1
y2n =
=
q
1 a21 4a22 = f(A):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.2 Limita a spojitost funkce 17
Pł klad 2.2.5: Zjist te, zda je funkce f spojitÆ v bod A = [0;0]; jestli e
f(x;y) =
xy
x2+y2 pro [x;y] 2E2 f[0;0]g;
0 pro [x;y] = [0;0]:
e„en : Zvolme si napł klad posloupnost bodø Xn = [1=n;k=n]; k 2R; kterÆ
pro n !1 konverguje k bodu [0;0]: Pak plat
limn
!1
f(Xn) = lim
n!1
1
n
k
n
1
n2 +
k2
n2
= lim
n!1
k
1 + k2 =
k
1 + k2:
Vid me tedy, e limita funkce f v bod [0;0] neexistuje a funkce f proto nemø e
b t v bod [0;0] spojitÆ, i kdy je v n m de novanÆ.
Pro spojitØ funkce plat tyto døle itØ v ty:
Weierstrassova v ta: Je-li funkce f spojitÆ na ohraniŁenØ a uzavłenØ
mno in M E2; pak funkce f je na M ohraniŁenÆ a nab vÆ na M svØ
nejmen„ a nejv t„ hodnoty.
Bolzanova v ta: Je-li funkce f spojitÆ na otevłenØ a souvislØ mno in
M E2 a plat -li pro body A;B 2 M; e f(A) 6= f(B); pak ke ka dØmu
c le c mu mezi hodnotami f(A) a f(B) existuje bod C 2 M takov , e
f(C) = c:
PoznÆmka: DoporuŁujeme ŁtenÆłi promyslet si jako døsledek t chto v t
nÆsleduj c skuteŁnost. Je-li f funkce spojitÆ v bod A 2 M; kterÆ je v bod
A otevłenØ a souvislØ mno iny M kladnÆ, pak existuje celØ okol O(A)
takovØ, e f(x;y) > 0 pro ka d bod [x;y] 2 O(A):
CviŁen 2.2.2: e„te pł klady
1. Uka te, e funkce
f(x;y) =
3 x+y
x+2y pro [x;y] 2E2 f[1;2]g
1 pro [x;y] = [1;2]
nen v bod A = [1;2] spojitÆ. Zm te hodnotu funkce f v bod A tak, aby f
byla spojitÆ v bod A.
2. Dopl te hodnotu funkce f(x;y) = tg
p
x2+y2p
x2+y2 v bod A = [0;0] tak, aby
funkce f byla v tomto bod spojitÆ.
3. Zjist te, zda funkce
f(x;y) =
(
x2 y2
2x2+y2 pro [x;y] 2E2 f[0;0]g
0 pro [x;y] = [0;0]
je v bod A = [0;0] spojitÆ.
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
18 Funkce dvou a v ce prom nn ch
2.3 ParciÆln derivace
2.3.1 ParciÆln derivace funkce dvou prom nn ch
Z teorie funkce jednØ prom nnØ v me, e existuje-li limita
lim
h!0
f(x0 + h) f(x0)
h = f
0(x0);
pak ji naz vÆme derivac funkce f v bod x0 2 D(f): ZnÆme fyzikÆln
a geometrick v znam derivace funkce v bod . Tyto poznatky mø eme vyu t
pro zaveden pojmu parciÆln (d lŁ , ŁÆsteŁnØ) derivace funkce dvou prom nn ch
x;y podle prom nnØ x (resp. y):
Je-li funkce f : z = f(x;y) de novÆna v n jakØm okol O(A) bodu A = [x0;y0],
pak funkce f(x;y0) je v n jakØm okol bodu x0 funkc jednØ prom nnØ x a mø eme
psÆt g(x) = f(x;y0): Grafem funkce g je prønik grafu funkce z = f(x;y) s rovinou
o rovnici y = y0; kterÆ je rovnob nÆ se souładnicovou rovinou (xz) (viz Obr.
2.6).
ObrÆzek 2.6:
Existuje-li derivace
g0(x0) = lim
h!0
g(x0 + h) g(x0)
h = limh!0
f(x0 + h;y0) f(x0;y0)
h = f
0
x(x0;y0);
pak ji mø eme nazvat parciÆln derivac funkce f podle prom nnØ x v bod A
a pro zjednodu„en mø eme psÆt f0x(A):
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.3 ParciÆln derivace 19
Podobnou œvahu mø eme provØst pro funkci h(y) = f(x0;y) jednØ prom nnØ
y a mø eme de novat parciÆln derivaci f0y(x0;y0) = h0(
Vloženo: 15.12.2009
Velikost: 787,60 kB
Komentáře
Tento materiál neobsahuje žádné komentáře.
Mohlo by tě zajímat:
Skupina předmětu BA02 - Matematika II
Reference vyučujících předmětu BA02 - Matematika II
Podobné materiály
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BA01 - Matematika I - skripta
- BB01 - Fyzika - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BC01 - Stavební chemie - skripta
- BC02 - Chemie stavebních látek - skripta
- BC03 - Chemie a technologie vody - skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - skripta
- BD04 - Statika II - skripta
- BE01 - Geodézie - skripta
- BF01 - Geologie - skripta
- BF02 - Mechanika zemin - skripta
- BF03 - Zakládání staveb - skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - skripta
- BH03 - Pozemní stavitelství II (S) - skripta
- BH05 - Pozemní stavitelství III - skripta
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta
- BH11 - Požární bezpečnost staveb - skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - skripta
- BH55 - Poruchy a rekonstrukce - skripta
- BI01 - Stavební látky - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - skripta
- BJ01 - Keramika - skripta
- BJ02 - Keramika – laboratoře - skripta
- BJ04 - Technologie betonu I - skripta
- BJ07 - Izolační materiály - skripta
- BJ08 - Kovové a dřevěné materiály - skripta
- BJ09 - Technologie stavebních dílců - skripta
- BJ10 - Lehké stavební látky - skripta
- BJ11 - Technická termodynamika - skripta
- BJ12 - Technologie montovaných staveb - skripta
- BJ13 - Speciální izolace - skripta
- BJ14 - Speciální keramika - skripta
- BJ16 - Maltoviny II - skripta
- BJ51 - Maltoviny (M) - skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BL04 - Vodohospodářské betonové konstrukce - skripta
- BL05 - Betonové konstrukce I - skripta
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - skripta
- BL09 - Betonové konstrukce II - skripta
- BL11 - Předpjatý beton - skripta
- BL12 - Betonové mosty I - skripta
- BL13 - Vybrané stati z nosných konstrukcí budov - skripta
- BM01 - Pozemní komunikace I - skripta
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta
- BM52 - Praktické aplikace v pozemních komunikacích - skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - skripta
- BO03 - Dřevěné konstrukce (A,K) - skripta
- BO04 - Kovové konstrukce I - skripta
- BO07 - Kovové a dřevěné konstrukce - skripta
- BP02 - Stokování a čištění odpadních vod - skripta
- BP03 - Vodárenství - skripta
- BP04 - Čistota vod - skripta
- BP05 - Odpadové hospodářství - skripta
- BP06 - Projekt vodní hospodářství obcí - skripta
- BP51 - Inženýrské sítě (V) - skripta
- BP56 - Rekonstrukce vodohospodářských sítí - skripta
- BT01 - TZB II - skripta
- BT02 - TZB III - skripta
- BT03 - Technická zařízení budov (E) - skripta
- BT51 - TZB I (S) - skripta
- BU01 - Informatika - skripta
- BV03 - Ceny ve stavebnictví I - skripta
- BV04 - Finance - skripta
- BV05 - Ekonomika investic - skripta
- BV07 - Právo - skripta
- BV08 - Projektové řízení staveb I - skripta
- BV09 - Řízení jakosti I - skripta
- BV10 - Financování stavební zakázky - skripta
- BV11 - Informační technologie systémová analýza - skripta
- BV12 - Marketing ve stavebnictví - skripta
- BV13 - Projekt – Stavební podnik - skripta
- BV14 - Projekt - Projektové řízení staveb - skripta
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - skripta
- BW01 - Technologie staveb I - skripta
- BW02 - Technologie stavebních prací II - skripta
- BW04 - Technologie staveb II - skripta
- BW05 - Realizace staveb - skripta
- BW06 - Stavební stroje - skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - skripta
- BZ01 - Stavební právo - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- CD03 - Pružnost a plasticita - skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta z jiných VŠ
- BA06 - Matematika I/1 - Skripta
- BA07 - Matematika I/2 - Skripta
- BB01 - Fyzika - Skripta fyzika
- BC01 - Stavební chemie - Skripta
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta
- BD03 - Statika I - Skripta
- BE01 - Geodézie - Skripta Geodézie
- BF02 - Mechanika zemin - Skripta
- BF51 - Zakládání staveb (V) - Skripta
- BG01 - Dějiny architektury a stavitelství - Skripta
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - Skripta
- BH51 - Počítačová grafika (S) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvičení
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - Skripta
- BJ52 - Maltoviny - laboratoře (M) - Skripta
- BJ53 - Těžba a úpravnictví surovin (M) - Skripta
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Skripta
- BO01 - Konstrukce a dopravní stavby - Skripta
- BO02 - Prvky kovových konstrukcí - Skripta
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta - Hydraulika a hydrologie
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Skripta
- BS01 - Vodohospodářské stavby - Skripta
- BT51 - TZB I (S) - Skripta
- BU01 - Informatika - Skripta
- BV01 - Ekonomie - Ekonomie skripta
- BV02 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, skripta, podklady
- BV51 - Pracovní inženýrství (E) - Skripta
- BW51 - Technologie stavebních prací I (E) - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BI01 - Stavební látky - Skripta
- BA06/07 - Matematika - Matematika-skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Skripta
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Vodorovné konstrukce - skripta
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
- BA01 - Matematika I - Skripta - Reálná funkce jedné reálné proměnné
- BA01 - Matematika I - Skripta - Vektorový počet a jeho aplikace
- BA01 - Matematika I - Skripta - Základy lineární algebry
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika, Základy testování hypotéz
- BA04 - Matematika III - Skripta - Pravděpodobnost a matematická statistika - Základy teorie odhadu
- BA02 - Matematika II - Skripta - Určitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Neurčitý integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Dvojný a trojný integrál
- BA02 - Matematika II - Skripta - Křivkové integrály
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice
- BA02 - Matematika II - Skripta - Obyčejné diferenciální rovnice II
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - polohopis
- BE02 - Výuka v terénu z geodézie - Skripta - výškopis
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Základní pojmy a předpoklady
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Složené případy namáhání prutů, stabilita a vzpěrná pevnost tlačených porutů
- BD02 - Pružnost a pevnost - Skripta - Teorie namáhání prutů
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Silové soustavy
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Průřezové charakteristiky
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce I
- BD01 - Základy stavební mechaniky - Skripta - Staticky určité prutové konstrukce II
- BJ15 - Technologie betonu II - skripta
- BJ01 - Keramika - miniskripta
- BJ05 - Základy technologických procesů - skripta
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M01
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M02
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - skripta M03
- BH07 - Nauka o budovách I - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M01
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M02
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M03
- BH10 - Tepelná technika budov - skripta M04
- BA05 - Operační výzkum - Skripta
- GE10 - Mapování I - skripta GPS
- BV53 - Stavební podnik - Skripta - stavební podnik
- BV06 - Podnikový management I - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta 3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO1
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO2
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO3
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO4
- BB02 - Aplikovaná fyzika (A,K) - skripta MO5
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO1
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO2
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO3
- BM02 - Pozemní komunikace II - skripta MO4
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - operačné systémy
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - počítačové siete
- BU01 - Informatika - SKRIPTA - technologie internetu
- BA03 - Deskriptivní geometrie - skripta
- BF01 - Geologie - podklady do cvičení + skripta
- BS05 - Vodní hospodářství krajiny II - Skripta
- BS03 - Nádrže a soustavy - Skripta
- BS04 - Vodní hospodářství krajiny I - Skripta
- BR06 - Hydrotechnické stavby I - Skripta
- BR07 - Hydrotechnické stavby II - Skripta
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M1
- BF05 - Mechanika hornin - skripta m2
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M3
- BF05 - Mechanika hornin - skripta M4
- BV05 - Ekonomika investic - Errata - skripta
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Skripta do cvicení
- CV14 - Ekonomické nástroje řízení stavební výroby - skripta
- CH54 - vybrané statě ze stavební fyziky - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta
- BZ03 - Sociální komunikace - skripta1
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- BH04 - Pozemní stavitelství II (E) - skripta
- CZ54 - Inženýrská pedagogika - skripta
- BC01 - Stavební chemie - Spoznámkované 4 moduly skripta
- BA02 - Matematika II - Skripta
- 0V4 - Základy podnikové ekonomiky - Přednášky, materíály, skripta, prostě vše
- BV012 - Veřejné stavební investice 1 - Skripta BV012
- BA01 - Matematika I - Reálná funkce jedné reálné proměnné
- BA02 - Matematika II - Reálná funkce dvou a více proměnných I
- BA02 - Matematika II - Reálná funkce dvou a více proměnných Il
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M04-Realna_funkce_jedne_realne_promenne
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M09-Realna_funkce_dvou_a_vice_promennych_I
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M10-Realna_funkce_dvou_a_vice_promennych_II
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M04-Realna_funkce_jedne_realne_promenne
- GA04 - Matematika II - GA04-Matematika II M03-Reálná funkce dvou a více proměnných II
- GA04 - Matematika II - GA04-Matematika II M03-Reálná funkce dvou a více proměnných
- BA07 - Matematika I/2 - Absolutní extrémy funkce dvou proměnych
- BA07 - Matematika I/2 - Funkce dané implicitne a jejich aplikace
- BA07 - Matematika I/2 - Průběh funkce
- BA07 - Matematika I/2 - Taylorův polynom funkce dvou promených
- BA07 - Matematika I/2 - Vyšetřování lokálních extrémů funkce dvou proměných
- BU01 - Informatika - cvičení - Aritmetické operace ve vzorcích, goniometrické funkce ve vzorcích
- BA01 - Matematika I - Diferenciální počet I, Limita a spojitost funkce
- BA01 - Matematika I - Diferenciální počet I, Derivace funkce
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M05-Diferencialni_pocet_I,_Limita_a_spojitost_funkce
- BA01 - Matematika I - BA01-Matematika_I--M06-Diferencialni_pocet_I,_Derivace_funkce
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M05-Diferencialni_pocet_I,_Limita_a_spojitost_funkce
- GA01 - Matematika I - GA01-Matematika_I--M06-Diferencialni_pocet_I,_Derivace_funkce
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Výkres - střecha - dvouplášť - Detail
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Výkres - střecha - dvouplášť - pud+rez 50
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Výkres - střecha - dvouplášť - stud odv
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Výkres - střecha dvou plastova
- BN01 - Železniční stavby I - výpočet nesymetrického inflex motivu+zdvoukolejnění
- BH52 - Pozemní stavitelství I (S),(E) - Zadání dvou zkoušek 2011
- BE01 - Geodézie - Cvičení 1
- BE01 - Geodézie - Cvičení 2
- BF01 - Geologie - Malé Svatoňovice
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - Cvičení protokoly
- BA02 - Matematika II - Matematika příkaldy do cvičení
- BD03 - Statika I - Statika cvičení
- BF02 - Mechanika zemin - Triaxální smyková zkouška cvičení 28.3.2007 0001
- BH02 - Nauka o pozemních stavbách - Cvičení různé materiály
- BI01 - Stavební látky - Věci potřebné do cvičení
- BO52 - Bakalářský seminář (S-KDK) - Veselka cvičení - jde tisknout
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Cvičení 02
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Cvičení 04
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Cvičení 06
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Cvičení 08
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Cvičení 10
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - návody do cvičení
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - protokoly do cvičení
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - MS2-Haly, vícepodlažní budovy
- 0U1 - Základy informatiky a výpočetní techniky (1) - cvičení 2 - manipulace s buňkami
- BB01 - Fyzika - cvičení 7.12
- BB01 - Fyzika - cvičení 7.12 (2)
- BB01 - Fyzika - cvičení 7.12 (3)
- BB01 - Fyzika - cvičení 7.11
- BB01 - Fyzika - cvičení 7.11 (2)
- BB01 - Fyzika - cvičení 7.11 (3)
- BB01 - Fyzika - cvičení 7.11 (4)
- BU01 - Informatika - cvičení - preventivní prohlídky dorostu
- BI01 - Stavební látky - Polymery a živice
- BI01 - Stavební látky - Laboratorní cvičení #4
- BI01 - Stavební látky - Laboratorní cvičení #5
- BE01 - Geodézie - cvičení z geodezie pro stavební obory-dordová, dvořák, vondrák,...
- BD03 - Statika I - Příklady do cvičení
- BYA4 - Angličtina pro mírně pokročilé II - Prezentace ze cvičení
- BS02 - Hydrologie - Cvičení
- BO08 - Kovové konstrukce II - vicepodlažní budova - podklady
- BO08 - Kovové konstrukce II - vícepodlažní budova - stropní kce
- BO08 - Kovové konstrukce II - vícepodlažní budova - sloupy
- BL07 - Zděné konstrukce (K) - příklad ze cvičení
- BL07 - Zděné konstrukce (K) - příklad ze cvičení
- BL07 - Zděné konstrukce (K) - tabulky do cvičení
- BD02 - Pružnost a pevnost - Cvičení
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Tabulky do cvičení
- BL12 - Betonové mosty I - podklady do cvičení
- BL12 - Betonové mosty I - podklady do cvičení - zatížení
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Podklady do cvičení
- BT56 - Obnovitelné a alternativní zdroje energie - cviko-Pelety 2011 cvičení
- BC03 - Chemie a technologie vody - Protokoly do cvičení
- BS03 - Nádrže a soustavy - Cvičení
- BO08 - Kovové konstrukce II - Ocelové kce vícepodlažních budov
- BP51 - Inženýrské sítě (V) - Cvičení - horkovod
- CV56 - Právo v podnikání - Cvičení
- CO01 - Kovové konstrukce II - Ocelové konstrukce vícepodlažních budov-návod do cvičení
- BI01 - Stavební látky - M05-Polymery a živice
- BI01 - Stavební látky - M06-Laboratorní cvičení #4
- BI01 - Stavební látky - M07-Laboratorní cvičení #5
- BI01 - Stavební látky - BI01-Stavební látky M05-Polymery a živice
- BI01 - Stavební látky - BI01-Stavební látky M06-Laboratorní cvičení #4
- BI01 - Stavební látky - BI01-Stavební látky M07-Laboratorní cvičení #5
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - BI02-Zkušebnictví a technologie M04-Laboratorní cvičení
- BD02 - Pružnost a pevnost - 11.cvičení
- BL11 - Předpjatý beton - 2.cvičení
- GE03 - Geodézie II - cvičení
- BI01 - Stavební látky - cviceni-1
- BI01 - Stavební látky - cviceni-2
- GE01 - Geodézie I - GE01-Geodézie I M01-Geodetická cvičení I
- GE03 - Geodézie II - GE03-Geodézie II M01-Geodetická cvičení II
- BI52 - Diagnostika stavebních konstrukcí (K) - 2, cvičení: graf + tabulka pro měření UZ
- BT56 - Obnovitelné a alternativní zdroje energie - cvičení 5
- BL06 - Zděné konstrukce (S) - BL06-Zděné konstrukce (S) MS2-Haly, vícepodlažní budovy
- BA02 - Matematika II - Sešit ze cvičení
- BA02 - Matematika II - Sešit ze cvičení
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - Vypočítané příklady ze cvičebnice
- CD03 - Pružnost a plasticita - Podklady do cvičení
- CD03 - Pružnost a plasticita - Podklady do cvičení
- CD03 - Pružnost a plasticita - Podklady do cvičení - Gratza
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - všechny vypočítané příklady ze cvičebnice
- BI02 - Zkušebnictví a technologie - priklady ze cvicebnice
- BU01 - Informatika - Vypracovaná cvičení pro zápočet
- BU01 - Informatika - Vypracovaná cvičení pro zápočet
- BL01 - Prvky betonových konstrukcí - Beton cvičení
- BR51 - Hydraulika a hydrologie (K),(V) - Program pro výpočet úkolu C2 do cvičení
- BF02 - Mechanika zemin - Laborky-Černovice 2
- BI01 - Stavební látky - ŘEŠENÉ PŘÍKLADY ZE CVIČENÍ
- BO06 - Dřevěné konstrukce (S) - vazník 9m-cvičení
- BFA001 - Geologie - Všetko z cvičení (masterpiece from god)
- BV002 - Základy podnikové ekonomiky - Vypracovaná cvičebnice
- BIA002 - Zkušebnictví a technologie - Výpisky ze cvičebnice a přednášek
Copyright 2024 unium.cz