Přednáška 4

Vlnivý pohyb přenáší energii.
Tok energie plochou (výkon vlny):
dt
dE
dP =
číselně roven energii, kterou vlnění za 1 sekundu pronese pomyslnou plochou.
Intenzita vlnění I - číselně rovna energii, která za 1 sekundu v daném místě
projde plochou jednotkové velikosti, nastavenou kolmo ke směru šíření vlnění.
αcos... dSISdIdP ==
nullnull
⇒ tok energie plochou svírající se směrem šíření vlnění úhel α
Kmitající částice o hmotnosti m má celkovou energii
⇒ Objemová hustota energie, která je přenášena postupným vlněním
22
2
1
m
uw ρω=
Energie a intenzita vlny
pkm
EEumE +==
22
2
1
ω
Jednotka I : W.m
-2
Za 1 sekundu se energie přesune o vzdálenost v (v je rychlost šíření vlnění).
Energie, která za 1 sekundu projde pomyslnou plochou 1m
2
, postavenou kolmo
na směr šíření vlnění = intenzita vlnění:
22
2
1
m
uvI ρω=
U kulových vln (od zdroje se šíří rozruch všemi směry v izotropním prostředí)
klesá intenzita se čtvercem vzdálenosti r od zdroje
2
4 r
P
I
z
π
=
kde P
z
je výkon zdroje kulových vln.
Energie a intenzita vlny
HRW 18.42.
( )
()
()
2
2
2
2
,,
x
txu
C
t
txu
∂
∂
=
∂
∂
τ
Princip superpozice
( ) ()
2
2
2
2
2
,,
x
txu
v
t
txu
∂
∂
=
∂
∂
() ( ) ( )vtxgvtxftxu ++−=,
linearita ↔ superpozice
Princip superpozice
Fourierova transformace
Joseph Fourier (1768-1830)
Francouzský matematik, který přišel na to, že jakýkoli impuls může být složen ze sinusových a kosinusových impulsů.
Položil tak základy teorie trigonometrických řad. Nezanedbatelný byl také jeho přínos k teorii funkcí reálné proměnné.
Studoval podrobně problémy matematické fyziky. V roce 1822 vytvořil matematickou teorii, která řešila diferenciální
rovnice. Théorie Analytique de la Chaleur (Analytic Theory of Heat).
Fourier věřil, že mu při nějaké nemoci pomůže bylinkový zábal a takto zabalen spadl dolů se schodů a zabil se...
Princip superpozice
Princip superpozice
()tn
n
y
n
ω
π
sin
11
∑
−=
Tπω 2=
Fourierova analýza
Princip superpozice
Fourierova analýza
Fourierova řada a transformace
řada: na konečném intervalu (sumace)
transformace: v neomezeném prostředí (integrace)
() e
() e
n
n
it
n
n
ik x
n
n
ft c
fx c
ω
=
=
∑
∑
()
()3
[()]3
() ( )e
() ()e
(, ) ( )e
(, ) ( )e
(, ) ( )e
it
ikx
ikx t
it
it
tc d
xckdk
tx ck dkd
tck dkd
tck dk
ω
ω
ω
ω
ψ ωω
ψ
ψ ω
ψ ω
ψ
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−
−∞
+∞
⋅−
−∞
+∞
⋅−
−∞
=
=
=
=
=
∫
∫
∫
∫
∫
kx
kx k
x
x
Fourierova transformace je složení
obecné vlny z rovinných vln
Fourierova řada je
složení konečného
pulsu ze sinů a
kosinů
Princip superpozice
xixe
ix
sincos +=
Mocninné řady funkcí e, sin, cos ⇒
( )()kxtytxy
m
−= ωsin,
1
( ) ( )ϕω +−= kxtytxy
m
sin,
2
Dvě harmonické vlny o stejné amplitudě, stejné frekvenci a stejné vlnové délce
postupující ve stejném směru:
Výsledná vlna:
() ( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+−+−=+= ϕωϕϕωω
2
1
sin
2
1
cos2sinsin
21
kxtykxtykxtyyyy
mmm
(užije se vzorec pro součet dvou funkcí sinus)
2
cos
2
sin2sinsin
βαβα
βα
−+
=+
Vzniká sinusová vlna stejné frekvence a vlnové délky
Amplituda výsledné vlny:
Závisí na vzájemném fázovém posuvu původních vln
Interference vln
ϕ
2
1
cos2
mm
yy =
′
Pro (vlny ve fázi) je
mm
uu 2=
′
(maximální zesílení)
Pro