přednáška 3

DYNAMIKA 2


Působením síly na částici se obecně mění její pohybový stav. Síla působí vždy
v určitém časovém intervalu Δt a zároveň na určitém úseku trajektorie Δs.
1. časový účinek síly → Impuls síly
G
I (vektorová veličina)
2. dráhový účinek síly → mechanická práce W (skalární veličina)

2
IMPULS SÍLY
Během časového intervalu tΔ se změní hybnost o pΔ
G
.
Vyjdeme z 2. NPZ :
d
d
p
F
t
=
G
G
⇒ ddFt p=
G
G
.
Po integraci :
22
11
21
dd
tp
tp
Ft p p p= =−
∫∫
G
G
G
G GG
.
Integrál na levé straně je definicí veličiny impuls síly:
2
1
d
t
t
IFt=
∫
G G

Věta o hybnosti:
21
I pp p= −=Δ
G
GG G

Změna hybnosti hmotného bodu je rovna impulsu síly, který změnu vyvolal.


3
Poznámky:
3 Jednotkou impulsu síly je N sI
⎡⎤
= ⋅
⎣ ⎦
G

3 Síla F
G
může být konstantní, pak
21
()I Ft t= −
G G
, nebo se může měnit s časem.
3 Neznáme-li časový průběh síly ()Ft
G
, nahrazujeme ji její střední hodnotou F
v časovém intervalu
21
tt tΔ =−:
22
11
21
dd()
tt
tt
I Ft F t Ft t= ==−
∫∫
G G
.
Je-li časový interval krátký, pak síla F
G
je tzv. nárazová síla (kování, buchary).
3 Pokud 0F =
GG
, je také 0pΔ =
G
G
a tedy pmv=
G G
je konstanta pro libovolné t.
Pak také
0
.
0
v konst
⎧
≠
⎪
=
⎨
=
⎪
⎩
G
G
G
těleso - rovnoměrný přímočarý pohyb
těleso v klidu
(1. NPZ)

4
Příklad
Automobil o hmotnosti 1000 kg změnil svou rychlost z
1
1
30 m sv
−
= ⋅ (108 km/hod) na
2
0v = : a) zabrzděním za 5 minut (300 s); b) nárazem na zeď za 0,3 s.
Jak velké síly přitom působily?
Řešení:
Sílu určíme ze vztahu: Ft mvΔ =Δ ⇒
1
mv
F
t
=
Δ

a)
1
1000 kg 30 m s
100 N
300 s
F
−
⋅⋅
== (odpovídá tíze asi 10 kg)
b)
1
1000 kg 30 m s
100000 N
0,3 s
F
−
⋅⋅
== (odpovídá tíze asi 10 tun)
Dojde-li v průběhu krátkého časového okamžiku k velké změně hybnosti, pak jsou síly
velké – deformace, destrukce.

5
MECHANICKÁ PRÁCE A VÝKON
Práce je skalární veličina, která popisuje účinky síly na dráze.
Na HB pohybující se obecně po křivočaré trajektorii působí síla F
G
, která může
mít proměnný směr i velikost (tedy i její tečná složka
t
F
G
je proměnná).

Síla F
G
je sice obecně funkcí polohy HB
(i času), lze však předpokládat, že na úseku
dr
G
je konstantní:
Práci síly F
G
při posunutí o dr
G
definujeme
jako skalární součin
ddcosd
t
F
WFrF rα=⋅=
G
G



2
r
G

1
r
G

0
A
n
F
G

dr
G

m
α
v
G

t
F
G

F
G

B

6
Práce síly F
G
na trajektorii z bodu A do bodu B je součtem (infinitezimálních)
prací dW na jednotlivých (infinitezimálních) úsecích dr
G
, což je vyjádřeno
křivkovým integrálem
2
1
()
()
d
Br
AB
Ar
WFr
→
= ⋅
∫
G
G
G
G
.
Zde
21
, rr
GG
− polohové vektory bodů A, B.
Ve složkách (jiné vyjádření skalárního součinu dvou vektorů):

2222
1111
dddd
rxyz
xyz
rxy
WFrFxFy Fz=⋅= + +
∫ ∫∫∫
G
G
G
G


kde
xyz
FFiFjFk=++
GG
GG
, dd d drxiyjzk=++
G
G G
G



7
Zvláštní případ: Konstantní síla vyvolává pohyb po přímce
Konstantní síla .F konst=
JJJJJG
G
(tj. nemění se její velikost ani směr) způsobí
přímočaré posunutí hmotného bodu o vektor rΔ
G
.



()
22
11
21
dd
cos
cos
t
rr
rr
tt
F
W F rF rFr r
FrFr
FrFrFs
α
α
== ⋅ =⋅ =⋅ −