přednáška 4

Mechanika soustavy hmotných bodů

+

Mechanika tuhého tělesa

2
Hmotný bod (HB) – idealizace (nepodstatné vlastnosti tělesa zanedbány).
Existuje mnoho mechanických problémů, které lze řešit, když hmotné těleso
nahradíme hmotným bodem.
Pohyby vozidel po křivočarých drahách, pohyby střel, pohyb planet ve sluneční
soustavě a mnohé další.

Nelze však řešit všechny problémy dynamiky těles:
1) dvě síly mohou působit na těleso v obecně různých bodech a tak vést
k otáčivému pohybu okolo jeho vlastní osy,
2) působení jedné síly obecně vede rovněž ke vzniku otáčivého pohybu
(eventuálně + posuvného),
3) v točivých strojích jsou rotující součásti (hřídele, setrvačníky), jejichž
setrvačné vlastnosti nelze zanedbat a v některých případech (setrvačníky)
jsou přímo funkčně využívány.

3
MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA
Tuhé těleso (TT) = zvláštní případ tuhé soustavy hmotných bodů:
1) obrovský počet hmotných bodů
2) vzdálenosti hmotných bodů jsou konstantní
3) tyto vzdálenosti nezávisí na působících silách.
Poznámka: Skutečná tělesa nesplňují podmínky 2) a 3) – jsou buďto pružná
nebo plastická).

Matematický model:
Těleso dm = element hmotnosti

obsahuje velký počet atomů nebo molekul ∼ hmot.
bodů
Předpokládáme, že látka je v tělese rozložena spojitě ⇒ používáme aparát
diferenciálního a integrálního počtu.
. .
.
. .

4

Přechod ke spojitým veličinám
mm
k
d→
∫
∑
=
→ mm
n
k
k
d
1


1. Celková hmotnost soustavy hmotných bodů
∑
=
k
k
mm
Celková hmotnost tuhého tělesa
() ()
∫∫
==
VV
Vmm dd ρ ,
kde
V
m
d
d
=ρ je hustota.

5
2. Hmotný střed (těžiště) – fiktivní bod
3 je v něm soustředěna hmotnost celé soustavy
3 jeho hybnost je rovna hybnosti celé soustavy, působí v něm výslednice
vnějších sil
∑
∑
=
=
∗
=
n
k
k
n
k
kk
m
mr
r
1
1
G
G
⇒
∫
∫
=
∗
m
mr
r
d
d
G
G


Pro souřadnice hmotného středu tedy platí

∫
∫
∫
∫
∫
∫
===
∗∗∗
m
mz
z
m
my
y
m
mx
x
d
d
,
d
d
,
d
d


Integrujeme přes objem tělesa.

6

Poznámka 1:
V bodě o polohovém vektoru
*
r
G
se žádný reálný bod soustavy (tělesa) nemusí
nacházet.

Poznámka 2:
Má-li soustava (těleso) nějaký prvek symetrie (např. osu symetrie), pak hmotný
střed se nachází v tomto prvku symetrie (na ose symetrie).

7
POHYB TUHÉHO TĚLESA

Translace = posuvný pohyb











Platí 1. a 2. NZ; translační pohyb tělesa je plně popsán pohybem jediného
bodu např. hmotného středu (těžiště).

Všechny body tělesa se pohybují po rovnoběžných
trajektoriích a mají v určitém čase t stejnou rychlost
a zrychlení
,
d
d
,
*
*
t
r
vr
G
GG
=
t
v
a
d
d
∗
=
G
G

A
B
B’
A’
A
r
G
B
r
G


8

0
b
G
v
G

ω
G

r
G
Rotace = otáčivý pohyb

Vektorový charakter úhlových veličin:
Obvodová rychlost v
G
je vektor, který má směr tečny
k trajektorii. Platí
vr=×
GG G
ω

vrω⊥ ⊥
GG G


Při vektorovém popisu kruhového pohybu jsou vektory všech tří veličin
3 úhlová dráha ϕ
G
,
3 úhlová rychlost ω
G

3 úhlové zrychlení ε
G
!! rovnoběžné s osou rotace !!

0
b=
G
G
ϕϕ

d
dt
ϕ
ω =
G
G

d
dt
ω
ε =
G
G



9











Nemá-li těleso pevnou osu rotace, koná tzv. sférický rotační pohyb, při něm
směr vektoru úhlové rychlosti sleduje směr okamžité osy rotace, jejíž poloha se
při pohybu tělesa mění.

Obecný pohyb = těleso se posouvá i rotuje
Rotační pohyb kolem pevné osy se nazývá
rovinný rotační pohyb.
Při něm všechny body o hmotnosti
k