přednáška1

1


KLASICKÁ MECHANIKA


Předmětem mechaniky – matematický popis mechanického pohybu
v prostoru a v čase a jeho příčiny.
Klasická mechanika – rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost
světla ve vakuu
81
310 m sc
−
= ⋅⋅



2



























MECHANIKA
Popis pohybu v prostoru a čase bez
uvažování příčin pohybu
KINEMATIKA
Studium příčin pohybu a jeho změn

DYNAMIKA
Zvláštní část mechaniky:
STATIKA
(pohyb nenastává)
3
KINEMATIKA

Idealizace Hmotný bod (HB – fiktivní objekt)
3 rozměry tělesa jsou v daných souvislostech zanedbatelně malé (lze je
zanedbat vzhledem např. k uražené dráze)
3 rotační pohyb lze zanedbat
3 těleso nepodléhá deformaci

Abychom mohli jednoznačně určit polohu tělesa a změnu této polohy, musíme
znát v každém okamžiku základní kinematické veličiny, tj. jeho
3 polohu (polohový vektor r
G
)
3 rychlost v
G

3 zrychlení a
G

Jsou to vektorové veličiny !
4
SKALÁRY A VEKTORY
Fyzikální veličiny – skalární (značka např. m)
– vektorové (značka např. a
G
)
Jednotkový vektor
0
a
G
je vektor, který má stejnou velikost a stejný směr i
orientaci jako vektor a
G
(obr. 3). Fyzikálně je bezrozměrný.

00
a
aaa a
a
= ⇒=
G
G GG G
G
.

Opačný vektor k vektoru b
G
je vektor b−
G
, který má
stejnou velikost a směr, ale opačnou orientaci.


0
a
G
a
G
5
Rovnost vektorů: dva vektory jsou si rovny, mají-li stejnou velikost a stejný směr
i orientaci (jsou souhlasně rovnoběžné).
ab
ab
ab
=
⎧
=↔
⎨
↑↑
⎩
G
G
G
G

Porovnávat lze ovšem jen vektorové fyzikální veličiny stejného druhu, např. dvě
rychlosti
12
,vv
G G
, dvě síly
12
,FF
G G
.
Každý vektor můžeme rozložit do dvou (v rovině) nebo tří (v prostoru) směrů –
dostáváme se tak k pojmu složka vektoru. Součet složek nám vždy musí dát
původní vektor.
Vektor a
G
v kartézské soustavě souřadnic O,x,z,y lze vyjádřit jako součet jeho
tří složek
xyz
aaiajak=++
G
G G
G

6
Velikost vektoru (modul vektoru) je skalár aa=
G
, platí
222
xyz
aa aaa= =++
G
.
Průmětem vektoru a
G
do orientovaného směru n
G
nazveme skalár cos
n
aaϕ=
kde ϕ je úhel mezi vektorem a
G
a směrem n
G
.

ϕ
a
G
a cosϕ
n
G
7
Základní operace s vektory
3 sečítání
3 odečítání
3 násobení (skalární součin, vektorový součin)
3 dělení vektorem není definováno !!

Podrobněji o vektorech: elektronický text Skaláry a vektory, Intranet UFYZ

Mechanický pohyb – změna vzájemné polohy těles v prostoru a čase.
Pohyb nastává, dochází-li v čase ke změně polohy HB (tj. k časové změně
polohového vektoru).
Pohyb je relativní – nutno udat vztažné těleso (vztažnou soustavu).
8
Vztažné soustavy

3 pravoúhlá (kartézská) – souřadnice x, y, z
3 polární: poloměr r, úhel ϕ
3 cylindrická (válcová): poloměr r, úhel ϕ , souřadnice z
3 sférická (kulová): poloměr r, úhel ϕ , úhel ϑ
Nejčastěji se používá tzv. laboratorní soustava – pravotočivá kartézská
soustava pevně spojená se Zemí.


9
Polohový vektor (popisuje polohu částice)














Velikost polohového vektoru
222
rr x y z= =++
G


Směrové kosiny polohového vektoru − cosα, cosβ, cosγ
rxiyj zk=++
G
G G
G

osa x

osa y

osa z

β
α
γ
x
y
z
i
G
j
G
k
G
10
Pro směrové kosiny platí
cos , cos , cos
x y z
rrr
αβγ===
G GG
,

přičemž
222
cos cos cos 1α βγ+ +=
.
Základní vektory
(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,1)
i
j
k
=
=
=
G
G
G


Jednotkový vektor – velikost je rovna 1, určuje směr vektoru r
G

00
r
rrr r
r
=⇒=
G
G GG G
G


G
i
G
j
G
k
11
() () () ()rt xti yt j ztk= ++
G
G G
G

Parametrické rovnice trajektorie
()
()
()
xxt
yyt
z zt
=
=
=


Vyloučením času (tj. parametru) obdržíme tvar křivky (,)yfxz= , po
které se HB pohybuje. Okamžitou polohu HB můžeme tedy popsat třemi
skalárními rovnicemi, nebo jednou vektorovou.
12
Trajektorie – množina koncových bodů polohového vektoru
– znázorněna červeně. Délka trajektorie – dráha s = s(t).







G
r




0,0,0 t

Polohový vektor r
G
: počátek vždy v počátku soustavy souřadnic,
koncový ve sledovaném bodě.
Jednotkou dráhy i velikosti polohového vektoru je metr (m).
trajektorie
( )
rrt=
G G

G
r (t
0
)
G
r (t
0
+Δt)
0
r
G
13
2 4 x
y



0
2
4
6
Příklad 1
Polohový vektor tělesa v pohybu je dán vztahem
() (3,6 4,2) (5,4 )rt t i t j=++
G G
G
[SI]. Určete tvar trajektorie.
Řešení:
Pohyb se děje v rovině xy. Složky polohového vektoru jsou
(1) 3, 6 4, 2x t= +
(2) 5, 4yt=
Z rovnice (1) vyjádříme čas:
4,2
3, 6
x
t
−
=
a dosadíme do rovnice (2).
Po úpravě obdržíme: 1, 5 6, 3yx= − .

To je rovnice přímky, jejíž směrnice je 1,5.
Úsek na ose y je –6,3 m.
14
Rychlost
Velikost střední rychlosti
AB
v
G
mezi body
A,B je rovna

AB
r
s
v
tt
Δ
Δ
=≈
Δ Δ
G
G


Vektor posunutí rΔ
G
je sečnou trajektorie,
část dráhy sΔ je délka oblouku.
Pokud 0tΔ → (značíme dt), pak B → A, sečna rΔ
G
přechází v tečnu