přednáška1

k trajektorii a střední rychlost → v okamžitou rychlost v
G

0
d
lim
d
t
rr
v
tt
Δ→
Δ
==
Δ
G G
G

()
B
vt t+Δ
G

sΔ
B
rr+Δ
GG
r
G
0
A
()
A
vt
G

rΔ
G

15

Vektor okamžité rychlosti má tedy směr tečny a jeho
velikost má význam dráhy uražené za jednotku
času. Orientace vektoru odpovídá rostoucím
hodnotám času.

Složky vektoru rychlosti:
dd d d d
()
dd d d d
xyz
rxyz
vxiyjzkijkvivjvk
tt t t t
== ++= + + =+ +
G
G GG
GG G G G G
G
,
velikost rychlosti
222
x yz
vv v v v== ++
G
.
Jednotkou rychlosti je metr za sekundu (m.s
-1
)
v
G

()rt
G

0
16
Typické hodnoty některých rychlostí v
G

Šíření elektromagnetických vln ve vakuu
8
310 m/s⋅
Orbitální rotace Země kolem Slunce
3
29,8 10 m/s⋅
Zvuk ve vzduchu 332 m/s
Automobil na dálnici 45 m/s
Lidská chůze (průměrná hodnota) 1, 2 m/s
Vodivostní elektron v kovu (
drift
v )
0,001 m/s≈
17
Příklad 2
Poloha elektronu je dána vztahem
2
3, 0 4, 0 2, 0rtitjk=− +
G
G G
G
. a) Určete časovou
závislost rychlosti elektronu ()vt
G
. b) Jakou rychlost má elektron v okamžiku
t = 2,0 s? Výsledek zapište pomocí jednotkových vektorů. c) Určete velikost
rychlosti v tomto okamžiku.
Řešení:
a) Časovou závislost rychlosti elektronu ()vt
G
získáme derivací polohového vektoru r
G


()
21 1
d
(3,0 4,0 2,0 )m.s (3,0 8,0 ) m.s
d
vt ti tj k i tj
t
− −
=−+ =−
G
GG GG
G

b) V čase t = 2 s má elektron rychlost
1
(2)
3, 0 (8, 0 2, 0) (3, 0 16, 0 ) m.s
t
vi jij
−
=
=−⋅= −
GGGG
G

c) Velikost rychlosti elektronu v čase t = 2 s
22 2 2 1
3, 0 16, 0 16 m.s
xy
vv v v
−
== + = + =
G

18
Zrychlení
Mění-li vektor rychlosti buď velikost nebo směr (případně obojí najednou),
pak se těleso pohybuje se zrychlením.
Změnu rychlosti v
G
v čase charakterizuje vektorová veličina okamžité
zrychlení a
G
, definovaná jako derivace vektoru rychlosti podle času.

2
2
dd
d
d
vr
a
t
t
==
G G
G

Složky vektoru zrychlení:
()
d
ddd d
dd d d d
y
x z
xyz xy z
v
vvv
avivjvkijkaiajak
tt t t t
== ++ = + + =++
G
G GG
GG G G GG
G

Jednotkou zrychlení je (
2
ms
−
⋅ ).
19
Vektor zrychlení nemá na rozdíl od vektoru rychlosti při pohybu částice po své
trajektorii žádný význačný nebo specifický směr.
Poznámka 1:
Na obr. je rozklad zrychlení při pohybu částice
v rovině xy:
xy
aaiaj= +
G G
G

Při rozkladu vektorů do směru os x,y,(z) se mění
pouze složky vektorů, nikoli směrové vektory
000
,,ijk
G
G G


Mnohdy je ale výhodné udělat rozklad vektoru zrychlení do dvou jiných, také
navzájem kolmých směrů: do směru tečny k trajektorii a směru normály k této
tečně. Tato normála směřuje do středu oblouku trajektorie v bodě P.
20
Rozklad rychlosti a zrychlení do tečného a normálového směru
Nové pojmy:
9 Oskulační kružnice
9 Směr tečný, normálový a
binormálový – tzv. přirozené směry
pohybu, jednotkové vektory
000
,,nbτ
G
GG


Poznámka 2:
V kartézském systému se při pohybu tělesa mění jak složky vektorů do
přirozených směrů pohybu, tak jednotkové vektory
000
,,nbτ
G
G G
.
0
n
G

0
τ
G

kružnice k
B
A
S
21
Přirozené složky vektoru rychlosti:
Okamžitá rychlost má směr tečny. Vektor rychlosti
0
t
vvτ=
G G
má tedy jen jednu
přirozenou složku (tečnou složku). Hodnota této tečné složky je rovna velikosti
vektoru rychlosti
t
vv=
.


Přirozené složky vektoru zrychlení:
Z definice: vektor zrychlení = derivace vektoru rychlosti podle času:
0
0
0
dd d
()
dd d
d
d
vv
av v
tt t t
τ
τ τ== = +
G
G
G
G
G

Vektory
0
τ
G
a
0
d
dt
τ
G
v této rovnici jsou k sobě kolmé
1
,
0
d
dt
τ
G
musí mít tedy směr
normály.

1
Příklad 2, text „Skaláry a vektory“ na Intranetu UFYZ.
22
Platí
2
:
00
00
dd
dd
v
nn
tt R
ττ
==
G
G G
, kde R je poloměr oskulační kružnice.
Vyjádření vektoru zrychlení pomocí směrových vektorů přirozených směrů pohybu
je tedy následující:
2
00
d
d
tn
vv
ana
tR
τ=+=+
G GGGG
,
kde
t
a
G
je tečné,
n
a
G
normálové zrychlení.
Velikosti složek jsou
d
d
t
v
a
t
=

2
n
v
a
R
=
.

Velikost celkového zrychlení je

22
tn
aaa=+


2
Bez odvození.

t
a
G

v
G

n
a
G

P
t
G
a
G

23
Shrnutí
3 rychlost má směr tečny k trajektorii
3 tečná složka zrychlení
t
a určuje změnu velikosti rychlosti za jednotku
času
3 normálová složka zrychlení
n
a ( 0
n
a ≥ ) závisí na poloměru křivosti
dráhy ⇒ souvisí se změnou směru pohybu. Směřuje do středu křivosti
dráhy, takže i celkové zrychlení a
G
směřuje dovnitř zakřivení.
Je-li zrychlení 0a ≠
G
G
a
3 mění se jen velikost rychlosti, pak
t
aa=
G G

3 mění se jen směr rychlosti, pak
n
aa=
G G

3 mění se velikost i směr rychlosti, pak
tn
aa a= +
G GG

24
DVĚ ÚLOHY KINEMATIKY
1 úloha Máme dán polohový vektor ()rt
G
, odtud
()
derivace derivace
() ()rrt vvt aat=⎯⎯ →= ⎯ →=
G GGGGG

Úloha je triviální a jednoznačná.

2 úloha Známe vektor zrychlení ()at
G
, odtud
integrac