přednáška1

e integrace
() () ()at v vt r rt⎯⎯⎯⎯ → = ⎯⎯⎯⎯ →=
G GG GG

Úloha není jednoznačná, musíme znát počáteční podmínky.
25
1) Pohyb s konstantním zrychlením
.akonst=
G
(1)
a) Hledáme rychlost (z definice):

d
dd d
d
v
avatvat
t
=⇒= ⇒=
∫
G
GGGGG
(neurčitý integrál)
Po integraci obdržíme
1
vatC= +
G G
, kde C
1
je integrační konstanta (libovolná).
Pro 0st = pak

N 1
0
10
(0)vt C C vat
=
= =+ ⇒ =
G G G

Konstanta C
1
má význam rychlosti v čase t = 0 s a vztah pro rychlost zapíšeme
0
vatv= +
G GG
(2)
26
b) Hledáme polohový vektor :
d
dd d
d
r
vrvtrvt
t
=⇒= ⇒=
∫
G
GGGGG
(neurčitý integrál)
Po dosazení za v
G
z rovnice (2) a následné integraci dostaneme
()
2
0002
dddd
2
at
rvt atvtattvt vtC==+=+ =++
∫∫ ∫∫
G
GG GG G G
,
kde
2
C je integrační konstanta (libovolná).
Pro 0st = :
N
N
220
0
0
2
0
(0)
1
2
atrt vt CCr
=
=
= =++⇒=
GG GG

Konstanta C
2
má význam polohového vektoru v čase t = 0 s a vztah zapíšeme
2
00
1
2
ratvtr= ++
G GGG
(3)
27
2) Pohyb s konstantní rychlostí
.v konst=
G

Zrychlení je v tomto případě nulové, neboť
.
d
0
konst
v
a
dt
= =
G
G
.
Hledáme pouze polohový vektor :
d
dd d
d
r
vrvtrvt
t
=⇒= ⇒=
∫
G
GGGGG
(neurčitý integrál)
Po integraci obdržíme
rvtC= +
G G
, kde C je integrační konstanta (libovolná)
Pro 0t = pak
N
000
0
(0) vrt trC Cr
=
= == + ⇒ =
GG GG

Konstanta C má význam počáteční rychlosti, tj. rychlosti v čase 0t =
Pro polohový vektor dostáváme
0
rvtr= +
G GG

28
Shrnutí Aplikace 2. úlohy
1) Pohyb s konstantním zrychlením


.akonst=
G

0
vatv= +
G GG

2
00
1
2
ratvtr= ++
G GGG

Pokud bychom popisovali pohyb po přímce , kdy vektory ,,avr
G GG
mají
shodný směr a navíc platí rs=
G
, můžeme použít jen velikosti veličin:

.a konst=

0
vatv= +

2
00
1
2
s at v t s= ++


2) Pohyb s konstantní rychlostí

0a =
G

.v konst=
G

0
rvtr= +
G GG

V případě pohybu po přímce:

0a =

.vkonst=

0
s vt s= +


29
Poznámky
3 Pokud jsou vektory rovnoběžné rva
G GG
(ať už souhlasně nebo
nesouhlasně), jedná se o pohyb přímočarý.
3 Mají-li různý směr → křivočaré pohyby.
3 Každá z vektorových rovnic (1), (2) a (3) se dá nahradit třemi
skalárními rovnicemi.
3 Možný rozklad pohybů do zvolených směrů (např. směrů os x, y, z).
3 Platí princip nezávislosti pohybů.
3 Pohyb tělesa (hmotného bodu) v tíhovém Zemském poli bude náplní
prvního počítačového cvičení.
30
KRUHOVÝ POHYB – POHYB V ROVINĚ
Polární souřadnice:
cosx r ϕ=
sinyr ϕ=
()tϕ ϕ=
Polohový vektor
rxiyj= +
G G
G


Rovnoměrný pohyb kruhový − úhlová dráha ϕ narůstá rovnoměrně
s časem
tϕ ω=
, konstanta ω je velikost úhlové rychlosti otáčení.
Pouze u rovnoměrného kruhového pohybu je ω konstantní.
Jednotky:
[ ]
radϕ = ,
[ ]
1
rad sω
−
= ⋅ nebo jenom
1
s
−
.
x
y
ϕ
x
y
r
G
v
G

31
Perioda T = doba jednoho oběhu

Platí tϕ ω= . Pro tT= je 2ϕ π= .
Po dosazení do předchozí rovnice obdržíme
2
2 TT
π
πω
ω
=⇒=
,
[ ]
sT =

Frekvence f (počet oběhů za sekundu) = převrácená hodnota periody

1
f
T
=
,
[ ]
1
s= Hzf
−
=

Spojením těchto rovnic dostaneme


2 fω π=

[ ]
1
sω
−
= .
32
Připomenutí – délka oblouku s:
s rϕ=

Polohový vektor ()rt
G
:
cos sinrr tir tjω ω= +
G G
G

Obvodová rychlost ()vt
G
:
()()[]
d
sin cos
d
r
vrtirtj
t
ωω ωω==− +
G
G G
G

Velikost obvodové rychlosti:

2 2 22 2 22 2 22 2 2
1
sin cos (sin cos )
xy
vvv r r rω ϕω ϕ ω ϕ ϕ
=
=+= + = +
 


vrω=
.


B
A
s
r
S
n
a
G

v
G
t
a
G
a
G

ϕ

33
Zrychlení ()at
G
:
()()
222
d
cos sin ( cos sin )
d
r
v
artirtj rtirtj
t
ω ωωωωωω
=
⎡⎤
==− +− =− +
⎣⎦
G
G

 
G GGG
G

2
arω=−
G G
, je vidět, že ar↑↓
G G
.

Zrychlení a
G
má směr do středu kružnice
⇒ název dostředivé zrychlení

Velikost složek zrychlení ,
tn
aa :
2
2
n
v
ar
r
ω==
(neboť vrω= ),
0
t
a =
(neboť velikost rychlosti = konst. a derivace konst. = 0)

x
y
r
G
v
G

a
G
34
Definiční vztahy základních kinematických veličin jak obvodových, tak úhlových
a vztah mezi nimi.


Úhlové veličiny Obvodové veličiny Vztah mezi nimi
Dráha
()tϕ ()s t
s Rϕ=

Rychlost
d
()
d
t
t
ϕ
ω =
d
()
d
s
vt
t
=
vRω=

Zrychlení
3

d
()
d
t
t
ω
ε =
d
()
d
t
v
at
t
=
t
aRε=

2
2
n
v
aR
R
ω==

3
Úhlové zrychlení ()tε se vyskytuje u nerovnoměrného křivočarého pohybu.
35
Základní druhy pohybů
přímočarý rovnoměrný 0
n
a = , 0
t
a =
přímočarý rovnoměrně zrychlený (zpomalený) 0
n
a = , .0
t
a konst= ≠
přímočarý nerovnoměrný 0
n
a = , 0
t
a ≠
křivočarý rovnoměrný 0
n
a ≠ , 0
t
a =
kruhový rovnoměrný .0
n
a konst= ≠ , 0
t
a =
křivočarý nerovnoměrný 0
n
a ≠ , 0
t
a ≠