přednáška 4

m opisují
kružnice se středy na ose rotace, obvodová
rychlost každého bodu je
kk
vrω= ×
GGG

k
v
G

ω
G

k
r
G
m
k

10
TRANSLAČNÍ POHYB
Vliv má jen výslednice vnějších (externích) sil
.ext
F
∑
G
. Vnitřní síly působící
mezi body soustavy nemají vliv na výsledný pohyb (jsou to síly akce-reakce).
Připomeňme si 2. NZ pro jeden hmotný bod:
d
d
ext
p
F
t
=
∑
G
G

Zobecnění pro soustavu hmotných bodů:

1. impulsová věta

d
d
ext
P
F
t
=
∑
G
G
, kde
11
nn
kkk
kk
Pp mv
= =
==
∑∑
G
GG
je celková hybnost soustavy.

Slovně: Časová změna celkové hybnosti soustavy je rovna výslednici vnějších
sil působících na soustavu.

11
Důsledky:
1. Je-li vnější síla působící na soustavu nulová ( 0
.
=
ext
F
G
), což znamená, že
soustava je izolovaná, pak
0
d
d
G
G
=
t
p
⇒
.konstp =
G

To je zákon zachování hybnosti pro izolovanou soustavu.

2. Pokud *.pmv konst==
GG
,
pak také
⎩
⎨
⎧
≠
=
=
0
0
.* konstv
G

Takže hmotný střed izolované soustavy setrvává buď v klidu ( 0*=v
G
)
nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu ( 0.* ≠= konstv
G
) – 1. NPZ

12
ROTAČNÍ POHYB
S otáčivým pohybem souvisejí 2 veličiny (zatím pro jeden k-tý hmotný bod
soustavy
k
m ):

1. Moment vnější síly
k
M
G


kkk
FrM
G
G
G
×=
2. Moment hybnosti
k
L
G

z předchozí rovnice:
()()
dd d
()
k
k
F
L
kk kk k kk k k
M rmv rmv rp
tt t
=
=
=× =×=×
G
G




G
G GGGGG

Veličinu
kk kk k
Lrprmv=× =×
G
G GGG
nazveme momentem hybnosti.
Pak
d
d
k
k
L
M
t
=
G
G






k
F
G
k
v
G

k
r
G
k
m

13
Analogie:
Působí-li na HB síla, dojde k časové změně hybnosti
d
d
k
k
p
F
t
=
G
G


Moment síly způsobuje časovou změnu momentu hybnosti
d
d
k
k
L
M
t
=
G
G


Zobecnění pro celou soustavu hmotných bodů:

2. impulsová věta

.
d
d
ext
L
M
t
=
∑
G
G
, kde
1
n
k
k
LL
=
=
∑
G G
je celkový moment hybnosti soustavy.

Slovně: Časová změna celkového momentu hybnosti soustavy je rovna
výslednici momentů vnějších sil působících na soustavu.

14
SHRNUTÍ

1. impulsová věta (translace)

1
d
, kde
d
n
ext k
k
P
FPp
t
=
==
∑∑
G
GG
G


P
G
je celková hybnost soustavy.

2. impulsová věta (rotace)

.
1
d
,kde
d
n
ext k
k
L
M LL
t
=
==
∑∑
G
GGG


L
G
je celkový moment hybnosti soustavy.

15
MOMENT SETRVAČNOSTI
Otáčivý účinek síly na soustavu hmotných bodů nebo na tuhé těleso závisí na
hmotnosti soustavy a na rozložení hmoty vzhledem k ose otáčení .
To vede k definici momentu setrvačnosti:
Moment setrvačnosti je mírou setrvačných vlastností tělesa při otáčivém pohybu.

2
1
n
k k
k
Jmr
=
=
∑
nebo
2
()
d
V
Jrm=
∫

Jednotka:
[ ]
2
kg mJ =⋅

Při studiu kinetické energie rotačního pohybu uvidíme, proč byl pro definici
momentu setrvačnosti zvolen právě výše uvedený vztah.
(U jednoduchých těles lze počítat z rozměrů. Tabulka J pro některá tělesa viz HRW I., kap.11)

16
STEINEROVA VĚTA
Hodnota J závisí na poloze osy otáčení
Známe-li moment setrvačnosti
T
J vzhledem k ose jdoucí těžištěm tělesa O,
určíme moment setrvačnosti
a
J vzhledem k jiné ose O´, která je s osou O
rovnoběžná a nachází se od ní ve vzdálenosti a pomocí vztahu:










Ose jdoucí těžištěm se říká centrální osa a veličina
T
J se také označuje
0
J
a nazývá se centrální moment setrvačnosti.
O
O´
a
T
J
a
J
m

2
aT
J