přednáška 4

Jma= +
Steinerova věta


17
KINETICKÁ ENERGIE ROTUJÍCÍHO TĚLESA












Kinetická energie E
k
celého tělesa (tj. všech n bodů):
222
,
11 1
11
22
nn n
kki i i
ii i
EE mv mrω
== =
=
∑∑ ∑


Všechny body mají stejnou úhlovou rychlost ω
G
.
Obvodová rychlost bodu m
i
je
i
v
G

Její velikost:
ii
vrω=
Kinetická energie bodu m
i
je tedy

222
,
11
22
ki i i i i
E mv mr ω==
ω
G

i
v
G

i
r
G

i
m

18

Protože ω je pro všechny body stejná, můžeme ji vyjmout před sumaci:
22 2 2
11
22
J
nn
kii i
ii
E mr mrωω
==
∑∑




Vzpomeňme na definici momentu setrvačnosti:
2
1
n
ii
i
Jmr
=
=
∑
.


Kinetická energie rotujícího tělesa je tedy
2
1
2
k
EJω
.




19
OBECNÝ POHYB TĚLESA – KÖNIGOVA VĚTA

Výsledná kinetická energie =
kinetická energie translačního pohybu + kinetická energie rotačního pohybu

*2 2
11
22
k
Emv Jω=+


Pomocí momentu setrvačnosti lze vyjádřit i moment hybnosti tuhého tělesa
pro rotaci kolem pevné osy – bez odvození:
ω
G
G
JL =
Srovnejme s hybností

vmp
GG
=


20
POHYBOVÉ ROVNICE PRO TUHÉ TĚLESO

Translační pohyb:
F ma
∗
=
∑
G
G


I. impulsová věta (pohyb těžiště)


Rotační pohyb:
.
1
dd d
()
dd d
n
ext i
i
MLJJJ
tt t
ω
ωε
=
= ===⇒
∑∑
G
GG
GG



.ext
M Jε=
∑
G
G


II. impulsová věta (v této podobě platí pouze pro rotaci kolem pevné osy)

21
ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI
pro izolované tuhé těleso

Jestliže 0M =
∑
GG
, tj. výsledný moment sil působících na těleso
je nulový, pak
d
0.
d
L
L konst
t
=⇒=
G
G G


Jedná-li se o rotaci kolem pevné osy, je LJω= .
Zákon zachování má pak tvar

11 2 2
JJω ω=


(např. krasobruslařka při piruetách).


22
Analogie mezi translačním pohybem HB a rotačním pohybem TT
Název veličiny
Přímočarý pohyb hmotného
bodu ve směru osy x
Rovinná rotace tuhého
tělesa kolem pevné osy
poloha, úhel otočení
()x t ()tϕ
rychlost, úhlová rychlost
d
d
x
x
t
v =
d
dt
ϕ
ω =
zrychlení, úhlové zrychlení
d
d
x
v
x
t
a =
d
dt
ω
ε =
hmotnost, moment setrvačnosti m
J
hybnost, moment hybnosti
xx
pmv=
osa
LJω=
síla, moment síly
x
F
osa
M
práce dd
x
WFx= dd
osa
WM ϕ=
výkon
d
d
W
xx
t
PFv= =
d
d
W
osa
t
PMω= =
kinetická energie
1 2
2
kx
E mv=
1 2
2
k
E Jω=
pohybová rovnice
d
d
x
p
xx
t
Fma==
d
d
osa
L
osa
t
M Jε= =

23
STATIKA TUHÉHO TĚLESA
Příčinou změny pohybového stavu při translačním pohybu je
celková vnější síla (ta vyvolá časovou změnu hybnosti tělesa).
Příčinou změny pohybového stavu při rotaci tělesa je
celkový moment vnějších sil (ten vyvolá časovou změnu momentu
hybnosti tělesa).
Má-li těleso setrvávat v klidu, musí platit:

1. výsledná vnější síla je rovna nule
0
k
FF= =
∑
GGG



2. výsledný moment vnější síly je roven nule
0
k
MM= =
∑
GGG


Těleso v klidu - musí být splněny obě podmínky.


24
DRUHY ROVNOVÁHY
c Stabilní rovnováha





d Labilní rovnováha






e Indiferentní rovnováha





Při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy vznikne
moment síly, který těleso vrací do původní polohy.
Při vychýlení tělesa z rovnovážné polohy vznikne
moment síly, který těleso dále vychyluje z původní
polohy.
Při vychýlení tělesa jsou opět splněny podmínky
rovnováhy → těleso je v rovnováze i v nové poloze