přednáška 2

užnému poklesu –
svislému průhybu (zatlačení) y:
square6 p spojité zatížení pod pražcem [N.m-2]
square6 C modul ložnosti (součinitel ložnosti) [N.m-3, Pa.m-1],
square6 Optimální hodnota C je 0,10 – 0,20 N.mm-3
yCpCpy ⋅== ;
Kvalita pražcového podloží Modul ložnosti C [N.mm-3]
Velmi špatná (měkký jíl, organické zeminy,
rovnozrnný písek)
< 0,05
Špatná (jíl pevné konzistence, prachovité
zeminy, kyprý písek)
0,05 – 0,10
Dobrá (hlinitý a písčitý štěrk) 0,10 – 0,15
Velmi dobrá (štěrkopísek, podkladní vrstva) 0,15 – 0,2
Betonový podklad (mosty, tunely, pevná jízdní
dráha)
> 0,30
Napětí v pražcovém podloží
pláň tělesa žel. spodku
zemina tělesa žel. spodku
zatížení [MPa]
zatížení pohyblivé
zatížení celkové
hmotnost žel. svršku
0 0,1 0,2 0,3
-1
0
1
σ σ
σ
zpzv
z
zvzpz σσσ +=
h l o
u b
k a
[ m
]
hmotnost zeminy
2
3
4
Napětí σz na zemní plán, rozdělení na kvazistatickou
(f ≤ 10 Hz) a dynamickou složku (f > 10 Hz)
Empirické metody
square6 Metoda univerzity v Illinois:
boxshadowdwn pro hloubky větší než 0,17 m
25,1
1704,0
z
p
zp
⋅=σ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
H l o
u b
k a
z [
m ] Pláň tělesa železničního spodku
p= 200 kPa
Takto vypočtená napětí jsou
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35
H l o
u b
k a

Napětí σzp[MPa]
zpravidla o 45 % až 90 %
vyšší než ve skutečnosti.
Empirické metody
square6 Metoda rovnoměrného
roznášení:
square6 Pro β = 45°
( ) ( )ββσ tantan ⋅+⋅⋅+
⋅⋅=
zbza
bap
zp
( ) ( )zbza
bap
zp +⋅+
⋅⋅=σ
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
H l o
u b
k a
z [
m ] Pláň tělesa železničního
p= 200
square6 a šířka ložné plochy pražce
square6 2b délka ložné plochy
square6 β úhel roznášení
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
H l o
u b
k a

Napětí σzp[MPa]
Teorie spojitého prostředí
square6 Základní reologické modely:
boxshadowdwn model tuhé látky – Euklidův model (nereálné);
boxshadowdwn model pružné látky – Hookův model;
boxshadowdwn model plastické látky – Saint Venantův model (tuhá – plastická);
boxshadowdwn model viskózní kapaliny – Newtonova kapalina;
boxshadowdwn složené modely (Kelvinův pružno-viskozní, Maxwelův viskozní a pružné
atd.).
square6 Nejčastěji se využívá Hookův model:
boxshadowdwn povrchové výpočtové modely – E. Winkler, P.L. Pasternak;
boxshadowdwn pružný poloprostor – V.J. Boussinesq;
boxshadowdwn pružně vrstevnatý poloprostor – N. Oedemark, G.I. Pokrovskij, N.N.
Ivanov
Winklerův model
square6 Winklerův model pracuje s místní deformací podloží.
square6 Předpokládá se vznik svislých normálových napětí, smykové napětí
se zanedbávají.
square6 pz vertikální reakce podloží [N.m-2]
square6 w vertikální deformace podloží [m]
( ) ( )yxwCyxpz ,, ⋅=
square6 C modul ložnosti, součinitel ložnosti, vertikální modul stlačitelnosti
[N.m-3, Pa.m-1]
Zdroj [1]
Pasternakův model
square6 Respektuje smyková napětí.
square6 Zohledňuje vytváření poklesů v okolí konstrukce.
square6 C1 modul ložnosti, součinitel ložnosti, vertikální modul stlačitelnosti
[N.m-3, Pa.m-1]
( ) ( ) ( ) ( )




∂
∂+
∂
∂⋅−⋅=
2
2
2
2
21
,,,,
y
yxw
x
yxwCyxwCyxp
z
square6 C2 konstanta pro smykové napětí [N.m-1]
Zdroj [1]
Boussinesqův model
square6 Napětí se šíří poloprostorem
přímočaře a radiálně od
působiště síly.
square6 Radiální napětí σr klesá se
čtvercem vzdálenosti R2 od
působiště síly.
square6 Radiální napětí je přímo
úměrné hodnotě cos β
Zdroj [1]
2
cos
RAr
βσ ⋅=
A – konstanta určená z podmínky
rovnováhy součtu svislých složek
radiálního napětí σr.cos β na ploše
polokoule o poloměru R a působící
síly P
Boussinesqův model
square6 Pro zatížení poloprostoru
osamělou silou P
square6 Svislé normálové napětí ve
vyšetřovaném bodě
22
cos3
R
P
r ⋅⋅
⋅⋅=
pi
βσ
33 zP ⋅⋅
=σ
square6 Svislé napětí v hloubce z
pod středem tuhé kruhové
desky poloměru r zatížené
napětím p
52 Rz ⋅⋅pi
( )
232
3
1
cos1








+
−=−⋅=
z
r
ppp
z γσ
Boussinesqův model
square6 Pokles kruhové desky
( )
( )2
2
12
12
νpi
νpi
−⋅⋅⋅=
−⋅⋅⋅=
y
rpE
E
rpy
Pružný vrstevnatý poloprostor
square6 Odemarkova metoda je jednoduchá metoda, která umožňuje
vypočítat napětí v pružném vrstevnatém poloprostoru pod pražcem.
square6 Vstupními údaji jsou tloušťky jednotlivých vrstev a moduly
přetvárnosti materiálů.
square6 Představa dvou stejně širokých a dlouhých nosníků z různých
materiálů a různých tlouštěk, ekvivalentní nosník bude mít stejnou
tuhost:
E33; hEhEIEIE ⋅=⋅⋅=⋅
3
0
1
1 Ehhe ⋅=
he je ekvivalentní tloušťka vrstvy [m]
h1 tloušťka vrstvy [m]
b šířka nosníků
Ei modul pružnosti i-té vrstvy [MPa]
E0 modul pružnosti podloží, případně redukovaný
modul přetvárnosti E0r [MPa]
3
1
3
0
101100
1
1
12
1;
12
1 hbIhbI
e
e
⋅⋅=⋅⋅=
5,2
0
1
19,0 E
Ehh
e ⋅⋅=
Úprava na základě
měření N.N. Ivanov
Pružný vrstevnatý poloprostor
Pokrovského model
ekvivalentní vrstvy
2
3
0
1
1
2
12
3
2
3











 −⋅+⋅⋅
⋅=
⋅⋅
⋅=
E
Ehz
P
z
P
e
z
pi
piσ
Průběh normálového a smykového napětí
v ekvivalentním pružném poloprostoru
00
0,5.b
h l o
u b
k a
z
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
σ τ
σ
τ σmax
x
z
p p
4
2
2arctan
2
4
2
2arctan
2
22
22
x
z
zb
zb
z
bp
zb
zb
z
bp
piσ
piσ




⋅+
⋅⋅−




⋅
⋅−=




⋅+
⋅⋅+




⋅
⋅−=
b
1,5.b
2.b
2,5.b
h l o
u b
k a
z
2max
xz σστ −=
σz normálové napětí ve svislém směru [Pa]
σx normálové napětí ve vodorovném směru
podél osy koleje [Pa]
τmax největší smykové napětí [Pa]
Vliv sousedních pražců na napětí
σ σ
a a
x
b
z
x
z
21
x
p

z
( )
( )



 −+−=
 −−−=
2121
2121
2sin2sin21
2sin2sin21
ααααpiσ
ααααpiσ
p
p
x
z
z
bx
z
bx
2arctan
2arctan
2
1
+
=
−
=
α
α
Vliv sousedních pražců na napětí
square6 Kolová síla, která je přenášena kolejnicemi a pražcem, se rozkládá
na jednotlivé pražce.
square6 Roznos sil je závislý na ohybové tuhosti kolejnic EIy a tuhosti
podepření kz.
square6 Na pražec přímo pod kolovou silou zpravidla připadá 33 – 40 % síly,
zbytek je rozdělen na několik sousedních pražců
p p
H
pp p p p p
e štěrkové lože
pláň
1
2
z
štěrk. lože
pláněE
E
max3=
24= =
5 1 x
( )ii xpp ηmax=
4
3
max 422
y
d
sbsb EI
ak
A
Q
LA
Qap == δ
( ) 0sincos ≥



 += −
i
iiL
x
i xL
x
L
xex iη
Dovolené svislé napětí
Heukel a Klompp
square6 Rozhodující pro spolehlivost konstrukce po dobu její životnosti je
dynamické zatížení.
square6 Ukazuje se, že pro tlumení dynamických účinků jsou rozhodující
především konstrukční vrstvy železničního spodku a zeminy pod
zemní plání.
square6 Šíření dynamických účinků v kolejovém loži je tlumeno jen v malé
míře a většina energie se předává níže.
EažE
n
E
dyn
dyn
dovz
⋅=
+
⋅=
5,22,1
log7,01
006,0
,σ
Edyn dynamický modul přetvárnosti
pražcového podloží [MPa]
E modul přetvárnosti pražcového podloží
[MPa]
n počet zatěžovacích cyklů
σz,dov přípustné svislé napětí v zemním
tělese [MPa]
Dovolené svislé napětí
Heukel a Klompp
square6 n = 109 hlavní koleje, 450 vozů/den za 100 roků
square6 n = 106 ostatní koleje, 70 vozů/den za 100 roků
Modul přetvárnosti Dovolené svislé napětí σz,dov [MPa]
E [MPa] n = 106 n = 107
20 0,023 0,020
50 0,058 0,051
80 0,092 0,081
100 0,115 0,102
Dovolené svislé napětí
Kvalita
pražcového
podloží
Modul
přetvárnosti
E [MPa]
CBR [%] σz,dov [MPa]
Velmi špatná 15 3 0,025 – 0,035
20 5 0,035 – 0,050
Normální 50 10 0,045 – 0,060
Dobrá 100 20 0,060 – 0,075
Velmi dobrá 250 50 0,075 – 0,110
Shrnutí vlivu zatížení na konstrukci železničního
spodku
square6 Vertikální napětí:
boxshadowdwn čím vyšší tuhost, tím vyšší vertikální napětí;
boxshadowdwn nejvyšší napětí pro absolutně tuhý podklad – blíží se skalní podloží;
boxshadowdwn použití nestlačitelných mezivrstev – betonová deska – zvyšuje napětí v
kolejovém loži;
boxshadowdwn pro betonové pražce vertikální napětí v kolejovém loži o 25 až 30 %
vyšší v porovnání s roštem s betonovými pražci;
boxshadowdwn zmenšení osové vzdálenosti pražců z 0,65 m na 0,55 m vede ke snížení
napětí na zemní pláni o 8 % až 10 %;
boxshadowdwn zvýšení tloušťky kolejového lože o 0,1 m vede ke snížení napětí na
zemní pláni o 15 %;
boxshadowdwn při zvýšení rychlosti roste napětí pod kolejovým ložem, např. z V = 100
km.h-1 na V = 300 km.h-1 vzroste napětí až o 50 %, při použití svršku bez
štěrkového kolejového lože je do 20 %.
Shrnutí vlivu zatížení na konstrukci železničního
spodku
square6 Už při rychlostech 100 – 160 km.h-1 mohou vznikat dynamické
účinky vedoucí k trvalým deformacím zemním pláně.
square6 Dynamické zatížení vede k namáhání pražcového podloží do
hloubky 3,0 až 3,5 m pod niveletou TK.
square6 Vlivem dynamických účinků, cyklického zatížení může u
jemnozrnných zemin při zvýšené vlhkosti docházet k vyplavování
jemných částic až na povrch pláně a vytváření zblácených míst.
Použitá a doporučená literatura
[1] IŽVOLT, L.: Železničný spodok. Žilinská univerzita v Žilině, EDIS
vydavateľstvo ŽU, Žilina 2008, 1. vydání, 324 str., ISBN 978-80-
8070-802-3
[2] SŽDC S4 – Železniční spodek, předpis, 1.1.1997
[5] ČSN EN 14688; ČSN 73 1001