přednáška 6b

íve uvedeného vztahu
pro napětí
(
if
W
U
Q
ϕϕ= −=−).
Je-li
if
ϕ ϕ= , musí být 0W = .

Části čtyř ekvipotenciálních ploch
Čtyři trajektorie nabité testovací částice
Naznačeny dvě elektrické siločáry
10
Elektrické siločáry a příčné řezy ekvipotenciálních ploch




Homogenní
elektrické pole
Elektrické pole
bodového náboje
(centrální pole)
Pole
elektrického dipólu

11
Výpočet potenciálu ze známé intenzity elektrického pole

Testovací kladný náboj
0
Q se pohybuje
v elektrickém poli z bodu (i) do bodu (f).
Hledáme práci elektrostatické síly
0
FQE=
G G
.
Platí, že
0
dd dWFrQEr= ⋅= ⋅
GG
GG


Protože elektrostatická síla je konzervativní, vedou všechny možné cesty z (i) do (f) ke
stejnému výsledku. Nemusíme integrovat po určité křivce, stačí uvést výchozí
a koncový bod:
0
dd
f
i
WWQEr= =⋅
∫ ∫
G
G
. Vyjádříme rozdíl potenciálů

0
00
1
dd
ff
fi
ii
W
QEr Er
QQ
ϕ ϕ−=−=− ⋅=−⋅
∫ ∫
G G
G G
⇒
() d
f
fi
i
UErϕϕ= −=−⋅
∫
G
G

dr
G
12
Potenciál bodového náboje
Náboj Q vyvolává v bodě P
elektrické pole o intenzitě E
G

a potenciálu ϕ. Potenciál v bodě
P určujeme pomocí testovacího
náboje Q
0
,který přemisťujeme
z bodu P do nekonečna.

P
d
22
00 0
00 0 0
() () d dcos0 d
111
dd
44 4
111 11
0
44 4 4
Er
fi
rr r
r
rr
r
rErEr Er
QQ Q
r
rr
QQ Q Q
rrrr
ϕ ϕϕ ϕ
πε πε πε
πε πε πε πε
G
G
G
G
′
↑↑
∞∞ ∞
∞∞∞
∞
′′ ′
−=∞− =−⋅ =− °=− =
⎡⎤
′′
=− =− =− − =
⎢⎥
′
⎣⎦
⎡⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
==−=−=
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
′
∞
⎣⎦ ⎝
+
⎠
−
⎝⎠
∫∫ ∫
∫∫
dr
′
G

13
Odvodili jsme
0
1
() ()
4
Q
r
r
ϕ ϕ
πε
∞− =− . Nulovou hladinu volíme v ∞, tj. () 0ϕ ∞ = .
Potom
0
1
()
4
Q
r
r
ϕ
πε
= Potenciál pro kladný náboj v bodě P


Pro více nábojů (soustavu) platí princip
superpozice.
Na obr. je počítačem vytvořený prostorový
diagram průběhu elektrického potenciálu ϕ
v bodech roviny z = 0 v závislosti na
vzdálenosti r od kladného bodového náboje
v počátku roviny xy. Nekonečná hodnota
potenciálu ϕ není samozřejmě zobrazena.
14
Soustava bodových nábojů – princip superpozice
0
11
1
4
nn
i
i
i
ii
Q
r
ϕ ϕ
πε
= =
==
∑ ∑

Nabité těleso
00
1d 1 d
d
44
QV
RR
ρ
ϕ
πε πε
==
0
() ()
1d
d
4
VV
V
R
ρ
ϕ ϕ
πε
==
∫ ∫

Výhoda: při výpočtu potenciálu je nutno spočítat jen
jeden integrál (ϕ je skalární funkce).
Po nalezení potenciálu ϕ lze snadno určit souřadnice vektoru E
G
(jak uvidíme dále)
ze vztahu Egradϕ=−
G
, což je pouhé derivování.
P
dϕ
R
dQ= dVρ
ρ
(V)
15
Příklad HRW 25.21.
Částice na obr. mají náboje Q
1
= +Q, Q
2
= -3Q. Zvolte ϕ = 0 v nekonečnu a určete na ose x
všechny body, v nichž je potenciál jimi vytvořeného elektrického pole roven nule.




Řešení:
Hledaný bod se může nacházet:
a) mezi náboji Q
1
, Q
2
, nebo
b) vlevo od náboje Q
1
.


Vzdálenost tohoto bodu od náboje Q
1
označíme x.

16
ad a) Vpravo od náboje Q
1









Platí princip superpozice, proto potenciály sečteme.
Platí tedy
()
12
00
3
0
44
QQ
xdx
ϕ ϕϕ
πε πε
−
=+= + =
−
⇒

()
00
3
44
QQ
x dxπε πε
=
−

Odtud je 3dx x− = ⇒
4
d
x = .
d
y
x x
Q
2
Q
1
d - x
17
ad b) Podobně pro bod vlevo od náboje Q
1

y
x
x
Q
2
Q
1
d


() ()
12
00
3
0
44
QQ
xdx
ϕ ϕϕ
πε πε
−
=+= + =
+
⇒

()
00
3
44
QQ
x dxπε πε
=
+

3dx x+= ⇒
2
d
x = nalevo, tj. v poloze
2
d
x =− .

18
Výpočet intenzity elektrického pole ze známého potenciálu

Známe (, ,)xyzϕ ϕ= v každém místě
elektrického pole. Víme, že
d
f
fi
i
E rϕϕ ϕΔ= − =− ⋅
∫
G
G
.
Pro elementární změnu pak platí

ddE rϕ =−⋅
G
G
Hledáme E
G
.
Protože ϕ je skalár, platí tento vztah i pro
jednotlivé složky E
G
, t