přednáška 6

lektrostatického
pole, ležel na této ploše.
2. vektor intenzity na ní byl buď dE S⊥
GG
⇒
d0ES⋅ =
GG

nebo dE S
GG
& ⇒
ddES ES⋅=±
GG

3. vektor intenzity E
G
měl v případě, že je rovnoběžný s vektorem dS
G
(ať už
souhlasně nebo nesouhlasně), konstantní velikost na zvolené Gaussově
ploše. Pak můžeme E vytknout před integrační značku plošného integrálu
a obdržíme
() () ()
ddd
SS S
ES ES E S ES⋅=± =± =±
∫∫ ∫
GG
v vv
.
9

Příklady k určení intenzity elektrického pole pro:
3 Bodový náboj
3 Kulovou plochu o poloměru R nabitou rovnoměrně nábojem s plošnou
hustotou σ.
3 Kouli o poloměru R nabitou rovnoměrně nábojem s objemovou hustotou ρ.
3 Nekonečně dlouhé vlákno (dlouhý vodivý válec) nabité nábojem s lineární
hustotou τ.
3 Nekonečně dlouhý válec o poloměru R nabitý rovnoměrně nábojem
s objemovou hustotou ρ (resp. dutý válec nabitý s plošnou hustotou σ).
3 Nekonečně velká vodivá rovina rovnoměrně nabita nábojem s plošnou
hustotou σ
10
Bodový náboj
Gaussův zákon a Coulombův zákon: oba zákony jsou ekvivalentní ⇒ lze odvodit
jeden z druhého.
Z Gaussova zákona vypočteme intenzitu E
G
elektr. pole ve vzdálenosti r od náboje
Gaussovu plochu volíme ve tvaru kulové plochy o poloměru r.
G. z.
0
d
Q
ES
ε
⋅ =
∫
GG
v


konst.E =
G
, dE S↑↑
GG
,
00
d
S
QQ
ES ES
ε ε
= =
∫
v
Î
Povrch koule
2
4Srπ= , Î
()
2
0
4
Q
Erπ
ε
=
2
0
1
4
Q
E
rπε
=
(plyne i z Coulombova zákona)

11
Nabitá koule Rovnoměrně nabitá koule s objemovou hustotou náboje ρ
nebo s celkovým nábojem Q








r > R Gaussovou plochou je povrch koule o poloměru r > R. Rozprostřený náboj
vytváří stejné elektrické pole jako stejně velký bodový náboj téhož
znaménka, umístěný ve středu koule.
Tedy
2
0
1
4 r
Q
E
πε
=

r < R Gaussovou plochou je povrch koule o poloměru r < R. Náboj ležící vně
této Gaussovy plochy nevytváří na ní žádné elektrické pole.
R
r
r
R
Gaussova plocha. Hustota ρ nebo náboj Q
Q,ρ

Q
′
ρ
12
Náboj obklopený uzavřenou plochou vytváří stejné pole, jako by byl tento náboj ve
středu kulové vrstvy. Část celkového náboje, který je touto Gaussovou plochou
obklopen, označíme Q´.
Poněvadž je koule nabita homogenně s objemovou hustotou ρ, je náboj úměrný
objemu koule (QVρ= a QVρ
′
=
′
) a platí



QQ QV
VV QV
ρ
′ ′′
== ⇒ =
′











E
r

3
3
4
3
4
3
r
Q
R
Q
π
π
′
=
⇒
3
3
R
Q Q
r
′
=

a
2
0
1
4
Q
E
rπε
′
= ⇒
3
0
4
r
Q
E
Rπε
=

r
13
Nekonečné nabité vlákno Nekonečně dlouhé vlákno rovnoměrně nabité
kladným nábojem s délkovou hustotou τ
Gaussovou plochou je povrch válce o poloměru r a vý