Přednáška 14

čtyři přechody
v rámci této série spolu s hranou série, zde je vidět asi tucet čar série;
povšimněte si, že spektrální čáry jsou si tím bližší, čím více se blíží k
hraně série, označené trojúhelníkem.
Kvantová čísla
n –určuje energii elektronu v atomu
l –určuje velikost momentu hybnosti elektronu
m
l
– souvisí s orientací momentu hybnosti v prostoru
Atom vodíku ─Řešení Schrödingerovy rovnice

Trojice kvantových čísel n, l, m
l
určuje vlnovou funkci ψ
n l m
popisující stav elektronu.
Normovaná vlnová funkce základního stavu atomu vodíku
()
32
1
e
ar
a
rψ ψ
π
−
≡=
100
2
0 11
2
5,29.10 ma
h
me
ε
π
−
==kde je tzv. Bohrův poloměr
dVdV
2
100
2
100
ψψ =
Pravděpodobnost nalezení elektronu
v objemovém elementu dV je pak
Atom vodíku ─Řešení Schrödingerovy rovnice
Vlnová funkce základního stavu atomu vodíku
() ()
222
3
4
e
ra
P r dr r dV r dr
a
ψ
−
≡=
Atom vodíku ─Řešení Schrödingerovy rovnice
Funkce ψ(r) závisí pouze na souřadnici r. Položíme proto dV = 4π r
2
dr.
Radiální hustota pravděpodobnosti P(r) je pak
r
dr
dV = 4π r
2
dr
Základní stav atomu vodíku
Atom vodíku ─Řešení Schrödingerovy rovnice
Závislost radiální hustoty
pravděpodobnosti P(r) základního
stavu atomu vodíku na vzdálenosti
r od jádra. Trojúhelníková značka
je umístěna ve vzdálenosti
jednoho Bohrova poloměru od
počátku, který odpovídá středu
atomu.
Bodový graf znázorňující
hustotu pravděpodobnosti ψ
2
(r)
základního stavu atomu vodíku.
Hustota teček klesá
exponenciálně se zvyšující se
vzdálenosti od jádra. Takovýto
bodový graf poskytuje
myšlenkový obraz
„elektronového oblaku“atomu.
Stavy atomu vodíku s n = 2
a – Bohrův poloměr
Atom vodíku ─Řešení Schrödingerovy rovnice
Stavy atomu vodíku s n = 2
Atom vodíku ─Řešení Schrödingerovy rovnice
Bodový graf znázorňující hustotu
pravděpodobnosti ψ
2
(r) výskytu
elektronu v atomu vodíku, který je
ve stavu s n =2, l = 0 a m
l
= 0.
Graf je sféricky symetrický kolem
jádra, které se nachází ve středu
atomu. Pokles hustoty teček
odpovídá místům na povrchu
koule, na kterých je ψ
2
(r)= 0.
Bodový graf hustoty pravděpodobnosti
ψ
2
(r, θ) atomu vodíku ve stavech s n = 2
a l = 1.
(a) Graf pro m
l
= 0.
(b) Graf pro m
l
= +1 a m
l
= −1.
Z obou grafů vyplývá, že hustota
pravděpodobnosti je symetrická kolem
osy z.
HRW 40.33
HRW 40.36
HRW 40.41
Řešení Schrödingerovy rovnice
Kvantování momentu hybnosti
Orbitální (vedlejší) kvantové číslo l –určuje orbitální moment hybnosti,
magnetické kvantové číslo m
l
–určuje orbitální magnetický moment.
Klasický model atomu
n – hlavní kvantové číslo – určuje energii elektronu v atomu
l – vedlejší kvantové číslo – určuje velikost momentu hybnosti elektronu
m
l
– magnetické kvantové číslo – souvisí s orientací momentu hybnosti v prostoru
O kvantových číslech jsme si dosud řekli následující:
Klasický model atomu znázorňuje částici
o hmotnosti m a s nábojem −e pohybující se
rychlosti po kružnici o poloměru r. Pohybující
se částice má moment hybnosti daný vztahem
,kde je její hybnost . Pohyb nabité
částice po uzavřené kruhové dráze je
ekvivalentní proudové smyčce, se kterou je
spojen magneticky dipólový moment , mířící do
opačného směru než .
v
G
L
JG
rp×
G JG
p
JG
mv
G
μ
JG
L
JG
Kvantová mechanika:
Orbitální moment hybnosti L
()1+= llL =
l – orbitální kvantové číslo
=
lz
mL = 2l + 1 hodnot
Prostorové kvantování
m
l
– magnetické kvantové číslo
Řešení Schrödingerovy rovnice
Kvantování momentu hybnosti
Průmět orbitálního momentu
do libovolně zvoleného směru, (zvolíme z)
Dovolené hodnoty L
z
elektronu v
kvantovém stavu s l = 2. Ke každému
orbitálnímu momentu hybnosti na
obrázku existuje vektor směřující do
opačného směru, který představuje
orbitální magneticky dipólový moment.
L
JG
l – vedlejší kvantové číslo, čísluje velikost momentu hybnosti