Přednáška 13

.
Zdůvodnění: Předpokládejme n = 0 , po dosazení je vlnová funkce
null
0
() sin
0
n
x
xA
L
π
ψ
=
=
0
=0
pro všechna x .
0
() 1xdxψψ
∞
−∞
⋅=
∫
∗
L
A
2
=⇒
Řešení:
Lxx ≥≤= a0pro0ψ
Vlnové funkce ψ
n
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
Lx ≤≤0
L
xn
L
n
π
ψ sin
2
=
,...3,2,1,
82
2
2
2
2
2
22
=== nn
mL
h
n
mL
E
n
nullπ
Prostorové omezeni vlny vede ke kvantování.
Tedy k povoleni jen vybraných diskrétních stavů
s diskrétními hodnotami energie.
Pro n →∞se částice nachází se stejnou
pravděpodobností kdekoliv v jámě.
Princip korespondence:
Pro dostatečněvelké hodnoty kvantovýchčísel se kvantové výsledky
blíží výsledkům určeným pomocí klasické mechaniky.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
Hustota pravděpodobnosti
ψ
n
2
(x) pro čtyři stavy elektronu
uvězněného
v nekonečně hluboké
potenciálové jámě.
Jejich kvantová čísla jsou:
n = 1, 2, 3 a 15.
Elektron se bude s největší
pravděpodobnostínacházet
v místech, kde hodnota
funkce ψ
n
2
(x) je vysoká
asnejmenší pravděpodobností
v místech, kde je tato hodnota
malá.
Energiové spektrum částice
uvězněné v ∞ hluboké jámě
E
1
≠ 0 !!
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
Změny
energie:
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
E
1
– základní stav ; E
n
, n > 1 – excitované stavy
Přechod do excitovaného stavu – kvantový skok

HRW 40.1
HRW 40.11

Elektron v jámě konečné hloubky
Co lze očekávat?
Existuje nenulová pravděpodobnost nalezení elektronu
v klasicky nedovolené oblasti, tj. elektron může proniknout stěnami jámy.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past konečné hloubky
Potenciálová jáma konečné hloubky
Hloubka jámy je E
p0
a její šířka je L. Podobně jako v případě
nekonečně hluboké jámy se elektron pohybuje jen podél osy x.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná pastast konečné hloubky
Hustoty
pravděpodobnosti
ψ
n
2
(x) výskytu
elektronu uvězněného
v potenciálové jámě
konečné hloubky pro
stavy s n = 1, 2 a 3.
Hloubka jámy je
E
p0
= 30 eV a její
šířka je L = 100 pm.
Jiné vázané stavy pro
elektron v této jámě
neexistují.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná pastast konečné hloubky
Energiové spektrum elektronu
vázaného v jámě konečné
hloubky 30 eV a šířky 100 pm.
Stavy s energiemi E > 30 eV
nejsou kvantované, tvoří
spojitou část spektra.
Má-li však elektron energii
menší než 30 eV, může se
nacházet pouze v jednom
ze tří diskrétních stavů.
Nanokrystaly
Nanokrystaly jsou polovodiče ve formě prášku.
Jeho zrna o velikosti nanometrů (nm) tvoří elektronovou past
(potenciálovou jámu) pro elektrony uvnitř zrna.
}
tt
E hf=
2
2
12
8
3
mL
h
EEE
t
=−=
Minimální energie,
kterou musí mít foton, aby mohl být pohlcen
tt
t
E
hc
f
c
==λ
Prahová vlnová délka:
f > f
t
tj. λ < λ
t
– pohlcení
f < f
t
tj. λ > λ
t
– odraz
Řešení Schrödingerovy rovnice
Elektronové pasti
Nanokrystaly
Řešení Schrödingerovy rovnice
Elektronové pasti
Horní vzorek má zrna
větší, takže povolené
hladiny energie jsou sobě
blíž a prahová energie
fotonu, který může být
vázaným elektronem
absorbován, je menší.
Nepohlcené světlo je
odraženo, takže se horní
vzorek jeví jako červený.
Spodní vzorek má zrna
menší, povolené hladiny
jsou od sebe dál a
prahová energie
absorbovaného
fotonu je vyšší; vzorek se
proto jeví jako žlutý.
Dva vzorky práškového polovodiče selenidu kademnatého
(CdSe) se liší pouze velikostí zrn. Každé zrno se chová
jako potenciálová jáma, ve které je vázán elektron.
Kvantové tečky
neboli „umělý atom“
Řešení Schrödingerovy rovnice
Elektronové pasti
(a) Střední polovodivá vrstva tvoří
potenciálovou jámu, ve které jsou
vázány elektrony.
Spodní nevodivá vrstva je
dostatečně tenká, aby umožnila
elektronům touto vrstvou tunelovat
do centrální části, případně ven,
v závislosti na přiloženém napětí
mezi oběma vodiči.
(b) Fotografie skutečné kvantové tečky.
Střední fialový pás odpovídá oblasti,
ve které jsou vázány elektrony .
Řešení Schrödingerovy rovnice
Elektronové pasti
Kvantové hradby
Dvojrozměrná potenciálová jáma
Schrödingerova rovnice
bude tvořena 2 rovnicemi.
Kvantování je nezávislé jak pro
rozměr L
x
,tak pro rozměr L
y
.
Získáme 2 kvantová čísla
n
x
a n
y
.
Celková energie, kterou může mít zachycený elektron:
222
,
22
8
x y
x
n
yx
y
n
h
mL
E
nn
L
⎛ ⎞
=+
⎜ ⎟
⎝ ⎠
n
x
= 1, 2, 3,…
n
y
= 1, 2, 3,…
Řešení Schrödingerovy rovnice
Elektronové pasti
Pravoúhlá kvantová hradba o rozměrech
L
x
a L
y
je dvojrozměrnou verzí předchozí
jednorozměrné jámy.
222 2
,,
222
8
xyz
x
yxz
nn
yz
n
h
mL
E
nnn
L L
⎛ ⎞
=++
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Možné hodnoty energie částice:
Degenerace stavů –různé stavy mají stejnou energii E,
liší se však kvantovými čísly n
x
, n
y
, n
z
.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Elektronové pasti
Trojrozměrná potenciálová jáma ─ Pravoúhlá krabice:
Pravoúhlá krabice o rozměrech L
x
, L
y
a L
z
je trojrozměrnou verzí předchozí jednorozměrné jámy.