Přednáška 13

(kvantování příslušné veličiny).
Erwin
Schrödinger
(1887-1961)
Operátory
Interpretace
Schrödingerova rovnice
( )
() ()()
2
,
,,,
2
p
t
tt
r
irEr
m
t
t
∂Ψ
=− ΔΨ + Ψ
∂
null
null null nullnull
null
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇≡Δ
E
p
je potenciální energie systému
Schrödingerova rovnice
je rovnice pro nalezení vlnové funkce, která popisuje stav systému.
Časově závislá Schrödingerova rovnice – uvádíme bez důkazu.
Schrödingerova rovnice je pohybová rovnice kvantové mechaniky.
Stacionární stavy
Případ, kdy E
p
(x, y, z) nezávisí na čase,
tzn. lze separovat prostorové proměnné x, y, z a časovou proměnnou t.
Vlnová funkce má tvar
( ) ( )
,e
i
rrt
ω
ψ
−
Ψ =
null null
i
t
kde ψ(x,y,z) je řešením stacionární rovnice
() ()() ()rErrEr
m
p
nullnullnullnullnull
ψψψ =+Δ−
2
2
resp. po úpravě pro jednorozměrný případ
E je celková energie systému (kinetická + potenciální).
Jsou to vlastní čísla operátoru energie.
()()0
2
22
2
=−+ ψ
ψ
xEE
m
dx
d
p
null
Schrödingerova rovnice
Řešení Schrödingerovy rovnice
Tunelování
(a) Průběh závislosti
energie v prostoru vytváří
potenciálovou bariéru
o výšce E
p0
a tloušťce L.
Elektron o celkové energii
E se přibližuje k bariéře
zleva.
(b)Hustota pravděpodob-
nosti |ψ|
2
de Broglieho vlny
reprezentující elektron
ukazuje tunelování
elektronu bariérou. Vlevo
od bariéry je stojatá vlna
v důsledku superpozice
dopadající a odražené
de Broglieho vlny.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Tunelování
Elektron se pohybuje ve směru osy x
Potenciálová bariéra: na elektron působí takové síly,
že pro jeho potenciální energii platí
Nechť E < E
p0
Kvantová fyzika: existuje nenulová pravděpodobnost, že částice projde
do oblasti na druhé straně bariéry a bude pokračovat
v pohybu vpravo ─ tunelování.
E
p
=
0, pro x < 0, x > L
E
p0
, pro 0 < x < L
Klasická fyzika: částice se odrazí od bariéry
Řešení Schrödingerovy rovnice
Řešení Schrödingerovy rovnice:
Odraz 2. řádu, řešení:
ee
jkx jkx
ABψ
−
=+
I
2
2
null
mE
k =
kde
jkx
Ae
jkx
B
−
e
─ vlna postupující doprava
─ vlna postupující doleva
Tunelování
I.
22
2
0
2
d
E
mdx
ψ
ψ−+=
null
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇≡Δ
Řešení Schrödingerovy rovnice
ψ
ψ
EE
dx
d
m
p
=+−
0
2
22
2
null
ee
qx qx
CDψ
−
=+
II
Řešení:
( )
2
0
2
null
EEm
q
p
−
=
kde
Řešení:
G = 0, neboť doleva se vlna nemá od čeho odrazit.
0ψ ≠
III
Tunelování
II.
ψ
ψ
E
dx
d
m
=+− 0
2
2
22
null
III.
ee e
jkx jkx jkx
FG Fψ
−
= +=
III
2
2
null
mE
k =, kde
Řešení Schrödingerovy rovnice
Tunelování
0ψ ψ
∗
≠
III III
Vlnové funkce musí splňovat standardní podmínky,
tzn., že funkce ψ a její 1. derivace jsou spojité):
Získáme 4 rovnice pro konstanty A, B, C, D, F.
Částice může tedy proniknout i do oblasti III, klasicky zakázané.
Pravděpodobnost výskytu částice v oblasti III:
Řešení Schrödingerovy rovnice
I. Vlna dopadající a odražená (s menší amplitudou) spolu interferují.
Vzniklá stojatá vlna, osciluje.ψ ψ
∗
II
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−≈
2
0
2
2exp
null
EEm
LT
p
Tunelování
III.
.konstψ ψ
∗
=
III III
Částice, která „protunelovala“ bariérou,
se může se stejnou pravděpodobností
nacházet kdekoliv v oblasti III.
Koeficient T průchodu bariérou
T klesá s rostoucí šířkou a výškou bariéry
a s rostoucí hmotností částice.
T roste s rostoucí energií částice.

Řešení Schrödingerovy rovnice
Aplikace
Rastrovací tunelový mikroskop
Tunelování
Kontury povrchu grafitu
zobrazené v rastrovacím
tunelovém mikroskopu.
Zřetelně vidíme atomy uhlíku
tvořící šestiúhelníkovou strukturu.
Scanning tunneling microscope
STM
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
Nekonečně hluboká pravoúhlá potenciálová jáma
E
p
=
0 pro 0 < x < L
∞ pro x < 0 a x > L
V bodech x = 0 a x = L působí na částici nekonečně velká odpudivá síla,
Částice je vázána na úsek (0, L). Vně jámy je ψ = 0.
Uvnitř jámy (pro 0 < x < L)
Schrödingerova rovnice
ψ
ψ
E
dx
d
m
=+− 0
2
2
22
null
Řešení:
kde
2
2
null
mE
k =
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
E
p
=
0 pro 0 < x < L
∞ pro x < 0 a x > L
() sin cosx AkxB kxψ = +
() kxABBA sin,00.00 ==⇒+== ψψ
() ,....3,2,1,sin0 ==⇒== nnkLkLAL πψ
Schrödingerově rovnici se standardními
podmínkami vyhovují pouze funkce:
L
xn
A
n
π
ψ sin=
222
22
2
,1,2,3,.
2
n
nmE n
kEn
LmL
ππ
== = =
null
null
⇒
Protože
Energie je kvantována! Nabývá pouze diskrétních hodnot.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
Standardní podmínky pro vlnovou funkci:
ψ je spojitá ⇒ψ(0) =0a ψ(L) = 0
() sin cosxAkxBkxψ = +
Potom je také pravděpodobnost ψ*ψ = 0 pro všechna x.
To znamená,že částice by se nenalézala nikde. Spor!!
Konstantu A určíme z normovací podmínky:
Částici určitě někde v prostoru najdeme.
Řešení Schrödingerovy rovnice
Jednorozměrná past
ψ
n
, E
n
jsou vlastní funkce a vlastní čísla operátoru energie.
Minimální energie částice uvězněné v jámě je nenulová