Přednáška 12

nů. Elektrony mají kratší
vlnovou délku než světlo a proto
je rozlišovací schopnost
elektronového mikroskopu
podstatně vyšší než optického.
HRW 39.49
HRW 39.63
Dvouštěrbinový experiment (stejný výsledek pro světlo – proud fotonů
i svazek elektronů)
Modré křivky – otevřená jen jedna štěrbina
Červená křivka – otevřené obě štěrbiny (není „součtem“ modrých křivek)
Vlna pravděpodobnosti
7 částic
100 částic
3000 částic
20 000 částic
70 000 částic
Jednočásticová verze dvouštěrbinového experimentu:
Fotony (elektrony) pouštíme po jednom
Vlna pravděpodobnosti
Foton (elektron) se projeví jako částice
jen při interakci s hmotou
– vznik ve zdroji, dopad na stínítko;
mezi zdrojem a detektorem se pohybují
jako vlna pravděpodobnosti
Pravděpodobnost, že foton bude detekován v malém objemu se středem
v daném bodě světelné vlny, je úměrná čtverci amplitudy vektoru intenzity E
elektrického pole vlny v tomto bodě.
Elektromagnetická vlna ~ vlna pravděpodobnosti
Otázka: jakou fyzikální veličinu spojit s de Broglieho vlnou?
= vlnová funkce
( )tzyx ,,,Ψ
popisuje stav částice,
přenáší kromě energie a hybnosti také hmotnost a elektrický náboj
Obecně je to komplexní funkce
Vlna pravděpodobnosti
Fyzikální interpretace funkce Ψ: de Broglieho vlna = vlna pravděpodobnosti
( ) ( ) ( ) dVtzyxdVtzyxtzyxdP
2
,,,,,,,,, Ψ=ΨΨ=
∗
udává pravděpodobnost toho, že částice bude v čase t nalezena v elementu
objemu dV, který se nachází v bodě o souřadnicích x, y, z
() ()
2
,,,,,, tzyx
dV
dP
tzyxw Ψ==
= hustota pravděpodobnosti
Pravděpodobnost, že nalezneme částici v čase t v objemu V:
()
∫
ΨΨ
∗
V
dV
! Rozdíl mezi klasickou a kvantovou mechanikou !
Klasicky: stav popsán hodnotou
Kvantově: stav popsán stavovou funkcí Ψ
pr
GG
,
Vlna pravděpodobnosti
Požadované vlastnosti vlnové funkce: - spojitá
- konečná
- jednoznačná
Platí princip superpozice:
Jestliže Ψ
1
, Ψ
2
jsou dva možné stavy kvantové soustavy, pak soustava může
být také ve stavu s vlnovou funkcí
Ψ = c
1
Ψ
1
+ c
2
Ψ
2
⇒ rovnice, kterým vyhovují vlnové funkce, musí být lineární
Vlna pravděpodobnosti
Volná částice – částice, na kterou nepůsobí žádné síly
Vlnová funkce volné částice:
()
( )txki
Atx
ω−
=Ψ e,
popisuje volnou částici pohybující se podél osy x, částice má energii
a hybnost
π
ω
2
hE =
π2
k
hp =
Poloha částice:
()( )
()()
konstAAAAAtxtxw
txkitxki
====ΨΨ=
∗−−−∗∗
2
ee,,
ωω
Částice se může nacházet se stejnou
pravděpodobností v libovolném místě na ose x
Heisenbergův princip neurčitosti
()tExp
i
A
−−
=
=
e
⇒ pro částici s danou hybností p nemůžeme určit její polohu !!
Heisenbergův princip neurčitosti:
Částici nelze současně přiřadit polohu r a hybnost p s neomezenou přesností,
relace neurčitosti:
=
=
=
≥ΔΔ
≥ΔΔ
≥ΔΔ
z
y
x
pz
py
px
Přesné určení hybnosti, tj. Δp
x
→ 0 ⇒Δx →∞
Ale žádné omezení na např. Δx a Δp
y
Podobné relace neurčitosti platí i pro jiné dvojice veličin (např. energie a čas)
Heisenbergův princip neurčitosti
Werner Karl Heisenberg (1901-1976). Nobelova cena: 1932.
2
2
xp
Et
ΔΔ ≥
ΔΔ≥
=
=
x
p
' x
' p
•Měření polohy ovlivní měření hybnosti a naopak
•Svět je kvantově rozmazán
•Měření energie ovlivní měření času a naopak
• Fotony z atomárních obalů nemají přesnou hodnotu energie
• V dosti malých časech neplatí zákon zachování energie
Zmenšíme-li velikost štěrbiny,
pokusíme se změřit y-ovou souřadnici.
V tu chvíli ztratíme informaci o y-ové
složce rychlosti (hybnosti) projeví se
ohybovým jevem.
Heisenbergův princip neurčitosti
Operátory
Střední hodnota fyzikálních veličin
Například souřadnice
( )
∫ ∫ ∫
ΨΨ=Ψ==
∗
dxxdxxxxdPx
2
Podobně libovolná veličina, která je funkcí souřadnice:
Veličiny, které nezávisí na souřadnici (kinetická energie, hybnost,…)
– pomocí operátorů (přiřadíme )
FF

→
Operátory
Působení operátoru (f, g jsou funkce)
Příklady operátorů z matematiky:
.sin,......,,,×+
Podmínky pro operátory v kvantové fyzice: lineární a hermitovské
Operátory některých fyzikálních veličin:
ˆ
ˆ
nnn
AA
AAψ ψ
→
=
vlastní číslo
(charakteristické)
vlastní funkce
(charakteristická)
•proměnné přiřadíme operátor
• řešíme rovnici pro vlastní čísla
• na systému můžeme naměřit
vlastní čísla daného operátoru
(kvantování!)
•pravděpodobnost výskytu ~ ψ*ψ
Veličina A může být energie, moment
hybnosti, hybnost, poloha, rychlost, atd.
Řešením rovnice pro vlastní čísla
můžeme dostat spojité hodnoty nebo
diskrétní hodnoty (kvantování příslušné
veličiny)
Erwin Schrödinger
(1887-1961)
Operátory
interpretace
Schrödingerova rovnice
rovnice pro nalezení vlnové funkce popisující stav systému, pohybová rovnice
kvantové mechaniky
Postulát: (časově závislá Schrödingerova rovnice)
()
() ()()trtrEtr
mt
tr
i
p
,,,
2
,
2
GGG=
G
= Ψ+ΔΨ−=
∂
Ψ∂
2
2
2
2
2
2
2
zyx ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇≡Δ
E
p
= potenciální energie systému
Schrödingerova rovnice
Stacionární stavy
Případ E
p
(x, y, z), tj. nezávisí na čase
⇒ lze separovat prostorové proměnné x, y, z a časovou proměnnou t
Vlnová funkce má tvar
( ) ( )
ti
rtr
ω
ψ
−
=Ψ e,
GG
kde ψ(x,y,z) je řešením stacionární rovnice
() ()() ()rErrEr
m
p
GGGG=
ψψψ =+Δ−
2
2
resp. po úpravě pro jednorozměrný případ
E je celková energie systému (kinetická + potenciální)
= vlastní čísla operátoru energie
()()0
2
22
2
=−+ ψ
ψ
xEE
m
dx
d
p
=
Schrödingerova rovnice