Přednáška 1

hosti k. U soustavy vyvoláme
harmonický pohyb ve svislém směru. Poté pružinu rozpůlíme a na jednu její
polovinu zavěsíme totéž těleso. Opět vyvoláme kmitání. Vykazuje vyšší
frekvenci oscilátor s původní, nebo se zkrácenou pružinou?
Kyvadla jsou příkladem mechanických harmonických oscilátorů, jejichž kmity nejsou
vyvolány silami pružnosti, nýbrž působením silových polí, v tomto případě
působením tíhového pole Země.
Tíhová síla není silou elastickou, je silou kvazielastickou.
A)Kyvadlo fyzické
Těleso upevněné tak, aby se mohlo volně
otáčet kolem vodorovné osy 0
neprocházející
jeho hmotným středem (těžištěm) S
Výchylka tělesa z rovnovážného stavu
úhlová výchylka θ
Těleso vykonává otáčivý pohyb
Harmonické kmity - kyvadla
12
,sin,cos
GG G
FmgFmg Fmgθ θ==⋅ =⋅
GG G
Pohybová rovnice otáčivého pohybu:
→→
= εJM
M
G
- výsledný moment vnějších sil působících na kyvadlo vzhledem k ose otáčení,
J - moment setrvačnosti kyvadla vzhledem k dané ose otáčení
ε
G
- úhlové zrychlení,
Složka tíhové síly
1
G
F vyvolává vratný silový moment M
sinM hmg θ=− ⋅
Vyvolává návrat do rovnovážného stavu
2
2
dt
d θ
ε =
2
2
sin
dt
d
Jmgh
θ
θ =⋅−
Po dosazení
Při malých výchylkách θ lze nahradit sinθ hodnotou θ
0
2
2
=+ θ
θ
J
mgh
dt
d
Diferenciální rovnice 2. řádu, jejím řešením jsou
harmonické kmity s úhlovou frekvencí
J
mgh
=
2
ω
Harmonické kmity - kyvadla
1
G
M hF=−⋅
B) Kyvadlo matematické
Je definováno jako hmotný bod zavěšený na nehmotném a neprotažitelném vláknu.
Platí pro něho stejná pohybová
rovnice jako pro kyvadlo fyzické,
nyní ale moment setrvačnosti
J = m ℓ
2
⇒ diferenciální pohybová rovnice pro kyvadlo matematické má tvar
0
2
2
=+ θ
θ
l
g
dt
d
l
g
=ω
⇒
g
l
T π2=
úhlová frekvence vlastních kmitů
perioda (doba kmitu)
Harmonické kmity - kyvadla
Př.7: Jak se změní perioda kmitů houpačky, jestliže dítě bude při houpání nejdříve
sedět a potom se postaví?
Jaký bude mít na kmitání vliv, když se místo jednoho dítěte budou současně
houpat dvě děti ?
Př.8: Kyvadlo je tvořeno nití, na jejímž konci je zavěšena kulička. Jak musíme
změnit délku niti, aby perioda kmitů vzrostla na dvojnásobek ?
Torzní kmitání (kyvadlo)




Doba kmitu

2
J
T π
κ
=




κ
je torzní tuhost závěsu

Energie harmonických kmitů
- zákon zachování mechanické energie
Energie harmonických kmitů
Př.9: Pomocí obrázku určete, kolikrát během jedné periody kinetická a potenciální
energie dosáhnou svého maxima a kolikrát svého minima. Je možné, aby se
celková energie rovnala pouze okamžité hodnotě energie kinetické, resp.
okamžité hodnotě energie potenciální. V případě, že je to možné, určete,
v jaké poloze se v takové situaci nachází kmitající těleso.
Průběh energie mechanického oscilátoru.
HRW 16.50
HRW 16.15C
Uvažme kmitání automobilu ve svislém směru. Lze uvažovat, jako by vozidlo bylo
umístěno na čtyřech stejných pružinách. U jistého vozidla nastavíme tuhost těchto
pružin tak, aby frekvence kmitání činila 3,00 Hz.
a) Jaká je tuhost pružin, předpokládáme-li hmotnost vozidla 1 450 kg a rovnoměrné
rozložení váhy?
b) Ve vozidle jede 5 osob. Jejich průměrná hmotnost je 73 kg a váha je opět
rozložena rovnoměrně. Jaká je frekvence kmitání každé pružiny?
HRW 16.19
HRW 16.23
HRW 16.33
HRW 16.27
HRW 16.61
HRW 16.71