Přednáška 1

ω
2
= ω, vektory
21
, AA
rr
rotují stejnou úhlovou rychlostí ω, jejich vzájemná poloha je stálá,
tedy např. jako v čase t = 0.
Skládání harmonických kmitů
( )
2121
2
2
2
1
2
cos..2 φφ −++=
∗
AAAAA
rrrrr
Př.3: Jaký je fázový rozdíl kmitání, pro jejichž výchylky platí rovnice
tyy
m
ωsin2
2
−=
tyy
m
ωsin
1
=
Jak vypadá rovnice složeného kmitání ?
Př.4
Určete amplitudu výsledného harmonického pohybu, který vznikne
složením dvou stejnosměrných kmitavých pohybů se stejnou periodou
a s amplitudami výchylky 3 cm a 5 cm. Rozdíl fází je 60°.
B
ω
1
/ω
2
= n
1
/n
2
, kde n
1
,n
2
jsou celá čísla:
Výsledný pohyb = periodický, není harmonický.
Skládání harmonických kmitů
C
Mezi ω
1
a ω
2
není žádný pevný funkční vztah:
Výsledný pohyb není ani harmonický, ani periodický.
D Zvláštní případ: ω
1
≠ ω
2
; ω
1
→ ω
2
zázněje (rázy)
Skládání harmonických kmitů
y A t
yA t
11
22
=
=
.sin ,
.sin ,
ω
ω
Matematicky:
kde rozdíl
ω ω
12
0− →
Výsledný pohyb:
( )
yyy A t t= + = +
12 1 2
sin sinω ω
Použijeme vztah
sin sin cos . sinαβ
α β α β
+=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
22
Dostaneme
..
2
sin..
2
cos2
2121
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
′
ttAy
s
A
31
44434421
ω
ωωωω
Skládání harmonických kmitů -rázy
Výsledkem jsou kmity , y A t
s
= ′sinω ( ) 2
21
ωωω +=
s
jejich amplituda je
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
′
tAA
R
.
2
cos2
21
31
ω
ωω
Během jednoho kmitu dosáhne absolutní hodnota amplitudy dvakrát své
maximální hodnoty.
Tato maxima mohou být slyšitelná. Nazývají se zázněje nebo rázy.
Počet rázů za 1 sekundu je
n = ⏐f
1
-f
2
⏐
f
1
f
2
kde , jsou frekvence skládaných kmitů.
Aplikace: ladění hudebních nástrojů, sdělovací technika (interferenční zázněje,
záznějové oscilátory, apod.)
Rs
ωω >>
Skládání harmonických kmitů -rázy
2) ve vzájemně kolmých směrech
A
ω
1
= ω
2
=ω,
B
ω
1
/ω
2
= n
1
/n
2
n
1
, n
2
.... celá čísla
V obou případech je výsledný pohyb periodický – Lissajousovy obrazce
ad A
Skládání harmonických kmitů
ad B
Skládání harmonických kmitů
Příčinou harmonického kmitání mechanického oscilátoru je síla, která je
přímo úměrná výchylce oscilátoru z rovnovážné polohy a stále směřuje
do rovnovážné polohy (síla pružnosti, elastická síla).
Dynamický popis harmonického pohybu
F k y= − .
2. Newtonův pohybový zákon (pohybová rovnice):
Fma =
kyym −=&&.
m
dy
dt
ky..
2
2
0+=
Tj.
Vydělíme hmotností m
0
2
2
=+ y
m
k
dt
yd
Rovnice je formálně shodná s diferenciální rovnicí harmonického pohybu
0
2
2
2
=+ y
dt
yd
ω
ωω
22
==
k
m
km,
Srovnáním:
m
k
=ω
úhlová frekvence vlastních kmitů
Dynamický popis harmonického pohybu
⇒
Úhlový kmitočet volných harmonických kmitů je plně určen parametry
kmitající soustavy (hmotností oscilátoru a tuhostí vazby).
m
k
f
π2
1
=
k
m
T π2=
Frekvence a perioda :
Dynamický popis harmonického pohybu
m
k
=ω 2
2
ff
ω
ωπ
π
=⇒=
Ð
1
T
f
=
Ð
Př.5: Mechanický oscilátor je tvořen měděnou kuličkou zavěšenou na pružině.
Jak se změní frekvence kmitů oscilátoru, jestliže kuličku zaměníme kuličkou
hliníkovou o stejném průměru ?
Př.6: Těleso hmotnosti m je zavěšeno na pružině tu