Přednáška 1

ejího libovolného řádku se sebou samým je roven jedné a s jakýmkoliv jiným řádkem je roven nule, tj. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Platí
Obdobné tvrzení platí o sloupcích ortogo-nální matice A . Naopak, jestliže pro řádky matice A platí předchozí vztahy a pro sloupce obdobné vzorce, potom matice A je ortogonální. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Příklad. Matice
je ortogonální.
4.13 HODNOST MATICE
Ve 4.5 jsme zavedli pojem hodnost sousta-vy vektorů v prostoru Vn. Analogicky defi-nujeme hodnost matice.
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Hodností matice A typu (m, n) nazýváme hodnost soustavy vektorů, vytvořených řád-ky této matice. Označujeme ji h(A). Matice má tedy hodnost h(A), jestliže v ní existuje h(A) lineárně nezávislých řádků a ne více.
Platí:
Hodnost libovolné matice A typu (m, n) se nezmění
a) zaměníme-li pořadí řádků v matici, ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE b) zaměníme-li pořadí sloupců v matici,
c) vynásobíme-li kterýkoliv řádek nenulo-vým číslem,
d) připočteme-li k libovolnému řádku mati-ce lineární kombinaci ostatních řádků mati-ce,
e) vynecháme-li v matici řádek, který je li-neární kombinací ostatních řádků. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Hodnost každé gausovské matice A typu (m, n), kde m  n, je rovna číslu m.
Příklad. Vypočítejte hodnost h(A) matice A. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Stačí upravit matici A na gaussovský tvar.
Provedli jsme následující úpravy: 1. řádek ponechán, 2.řádek – (minus) 1.ř. 3.řádek - ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE - 1.řádek 4.řádek ponechat 5.řádek – 2krát 1.řádek. V této matici, z důvodu snadnější-ho výpočtu vyměníme vyměníme mezi sebou druhý a třetí řádek, současně vynecháme čtvrtý řádek (je stejný jako třetí řádek – proto se vynecháním hodnost mati-ce nezmění). Pátý řádek opíšeme a dostane-me tak matici v níž 1. a 2.ř. ponecháme, od 3.ř. odečteme 4x2 ř. a od 4.ř. odečteme 7x2 řádek. Po těchto úpravách dostaneme násle- ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE dující matice:
V poslední matici 1. a 2.řádek ponecháme, ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE od třetího odečítáme 4x2.řádek a od čtvrté-ho 7x2.řádek. V této matici vyměníme mezi sebou třetí a pátý sloupec. Dostaneme ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Poslední matice je již gaussovská matice a tedy h(A) = 4.
4.14 VLASTNÍ ČÍSLA a VLASTNÍ VEK- TORY MATICE.
V technické praxi, ale i v samotné vyšší matematice (transformace obecného tvaru kvadriky na tzv. kanonický) se často setká-váme s úlohou řešit soustavu n rovnic o n neznámých x1, x2, . . . , xn tvaru :
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = x1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = x2
. . . . . . . . .
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = xn
tj. soustavu
AxT = xT,
kde A a xT značí: ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE
Uvedená soustava má zřejmě vždy nulové (tzv. triviální) řešení, ať je číslo  jakékoliv.
Vzniká otázka, zda soustava má vždy i ne- ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE nulové řešení. Odpověď je negativní. Exis-tují, v závislosti na matici A, pouze některá čísla  (je jich nanejvýš n) pro něž nenulo-vé řešení (samozřejmě závislá na  existu-jí). Dostáváme se tak k pojmům vlastní čís-la a vlastní vektory matice. Při zavedení těchto pojmů je žádoucí pracovat v oboru komplexních čísel. Reálná čísla považujeme pouze za jejich zvláštní případ. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Nechť je dána čtvercová matice A (obecně komplexní) n-tého řádu. Jestliže existuje komplexní číslo  a nenulový vektor x ta-kový, že
AxT = xT,
potom řekneme, že  je vlastním číslem matice A a x jejím vlastním vektorem přís-lušným k tomuto číslu. Množinu všech ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Vlastních čísel matice A nazýváme jejím spektrem.
Příklad. Nechť je dána matice
Potom číslo 3 je její vlastní číslo a vektor x, ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE x = {2,1,1} je její vlastní vektor příslušný tomuto vlastnímu číslu. Skutečně, platí:
Poslední rovnici můžeme psát ve tvaru:
AxT = EnxT a tedy
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE ( A - En ) xT = oT,
Kde En je jednotková matice n-tého řádu, což lze rozepsat na soustavu rovnic: ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE O výpočtu vlastních čísel a vlastních vek-torů se zmíníme později.
OTÁZKY A ÚLOHY
1 Co je algebraický reálný vektor dimense n
2 Co je n-rozměrný vektorový prostor.
3 Uveďte pravidla pro operace sečítání vek-torů a násobení vektoru číslem,
4 Co je skalární součin dvou algebraických vektorů. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 5 Co znamená, že jsou vektory a1, a2, . . . ak lineárně závislé, Co znamená, že jsou line-árně nezávislé.
6 Co je báze vektorového prostoru a jakou má základní vlastnost.
7 Co je hodnost soustavy vektorů a při ja-kých úpravách se hodnost nezmění.
8. Jak definujeme sčítání a násobení matic a ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Násobení matice číslem. Uveďte pravidla pro tyto operace.
9 Co je inversní matice.
10 Co znamená, že matice je ortogonální a jakou znáte nutnou a postačující podmínku pro ortogonalitu.
11 Co je hodnost matice a jak se počítá.
12 co jsou vlastní čísla a vlastní vektory matice- ALGEBRA5. DETERMINANTY 5.1 ÚVOD
Pro účely tohotu kursu nebudeme uvádět obecnou definici determinantu n-tého řádu pomocí permutací. Zavedeme postupně de-terminant druhého a třetího řádu včetně způsobu jejich výpočtů a pak popisně zavedeme pojem determinantu n-tého řádu a jeden způsob jeho výpočtu. DETERMINANTY 5.2 DETERMINANT DRUHÉHO a TŘE-TÍHO ŘÁDU, KŘÍŽOVÉ a ARRUSSOVO PRAVIDLO
Determinantem druhého řádu rozumíme číslo zapsané do čtvercového schematu: DETERMINANTY Výpočet determinantu druhého řádu se pro-vádí podle tzv. křížového pravidla, Jednotlivé prvky čteme po řádcích: a jedna jedna, a jedna dva, a dva jedna, a dva dva.
Příklad.
DETERMINANTY Determinantem třetího řádu rozumíme číslo uspořádané do čtvercového schematu
Jeho výpočet provedeme tak, že ke schema-tu připíšeme první dva řádky a výpočet pro-vádíme jako součiny po diagonálách rovno- DETERMINANTY běžných s hlavní a vedlejší: DETERMINANTY Sočiny na diagonálách rovnoběžných s hlavní a na ní mají znaménko plus, součiny na diagonálách rovnoběžných s vedlejší a přímo na ní jsou opatřeny znaménkem minus.Vzorec se dobře pamatuje a nazývá se Sarrusovým pravidlem. Výpočet determi-nanatů tímto způsobem lze provádět pouze u determinantů třetího řádu. Pro výpočet determinantů vyšších řádů si odvodíme jinou metodu. DETERMINANTY Příklad. Vypočítejte hodnotu determinantu:
=4.(-2).3+3.2.1+1.2.0-1.(-2).1-4.2.0-3.2.3 DETERMINANTY 5.3 SUBDETERMINANT a ALGEBRAIC-KÝ DOPLNĚK
Jestliže v matici A typu (m,n) vynecháme i-tý řádek a j-tý sloupec dostaneme novou matici typu (m-1, n-1), kterou nazýváme submaticí matice A příslušnou k prvku aij a označujeme ji Aij . Je-li matice čtvercová řá-du n, potom detAij nazýváme subdetermi-nanantem determinantu vytvořeného z ma-tice A. Číslo (-1) i+j.detAij.nazýváme algebraickým doplňkem k prvku aij a ozna- DETERMINANTY čujeme jej Aij.
Příklad. Určete A34 v det A.
a A34 = (-1)3+4.detA34 = -detA34 = 65
DETERMINANTY 5.4 CRAMEROVO PRAVIDLO a VÝPO-ČET INVERZNÍ MATICE
Čtvercovou matici A, jejíž determinant je různý od nuly nazýváme regulární maticí, je-li detA=0, potom o matici A říkáme, že je singulární.
Platí: Jestliže je dána soustava n rovnic o n neznámých AxT=bT s regulární maticí A, potom platí: DETERMINANTY
kde Ak , k = 1, 2, . . . , n je matice vytvořená z matice A tím, že její k-tý sloupec je nahra-zen sloupcem bT. Tento vzorec se nazývá Cramerovo pravidlo.
Inverzní matici k matici
pokud matice A je regulární lze spočítat podle vzorců: DETERMINANTY
Pro praktické použití se tato pravidla neho-dí. Tak např. soustavu 30-ti rovnic (a to je nepatrná soustava) by počítač provádějící milion operací za sekundu řešil Cramero-vým pravidlem přibližně 8.1021 let. Uvede-me proto efektivnější metody pro řešení obou problémů. DETERMINANTY 5.5 ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI DETER-MINANTŮ
Nechť je čtvercová matice řá-du n. Potom platí:
a) Jestliže B je matice, která vznikne z mati-ce A tím, že vyměníme mezi sebou dva řád-ky, eventuálně dva sloupce, potom platí:
det B = - det A
b) Jestliže C je matice, která vznikne z ma- DETERMINANTY tice A tím, že v ní vynásobíme některý řá-dek, eventuálně sloupec, číslem , potom platí det C = .det A.
c) Jestliže matice A má dva stejné řádky eventuálně dva stejné sloupce, potom její determinant je roven nule.
d) Jestliže matice A obsahuje nulový řádek eventuálně sloupec, pak její determinant je roven nule. DETERMINANTY 5.6 ROZVOJ DETERMINANTU PODLE ŘÁDKU a PODLE SLOUPCE. Platí věta:
Nechť je čtvercová matice n-tého řádu a nechť r je libovolné číslo z množiny {1, 2, . . . , n}. Potom platí vztahy: DETERMINANTY kde Aij je algebraický doplněk k prvku aij v determinantu matice A.
Předchozím vzorcům říkáme rozvoj deter-minantu podle r-tého řádku a rozvoj deter-minantu podle r-tého sloupce.
Víme, že Aij = . Proto se ve vzorcích na předchozí straně znaménka sub-determinantů detAij střídají. DETERMINANTY Příklad. Rozvineme-li podle třetího sloupce a determinanty třetího řádu počítáme Sarru-sovým pravidlem, dostáváme: DETERMINANTY Provedeme-li rozvoj podle čtvrtého řádku a opět použijeme Sarrusovo pravidlo dostane-me: DETERMINANTY 5.7 DALŠÍ VLASTNOSTI DETERMI-NANTŮ.
a) Pro libovolné číslo r{1, 2, . . . , n} platí DETERMINANTY
b)Jestliže matice B vznikne z matice DETERMINANTY tím, že některý její řádek znásobíme číslem  a připočteme k jinému řádku , potom
det B = det A.
Totéž platí i sloupcích.
c) Determinant horní, eventuálně dolní troj-úhelníkové matice je roven součinu prvků ležících na její hlavní diagonále.
d) Determinant jedntkové matice je roven jedné. DETERMINANTY e) det AT = det A
f) det(AB) = det A . det B
5.8 NUTNÁ a POSTAČUJÍCÍ PODMÍN-KA INVERTOVATELNOSTI MATIC.
Nutnou a postačující podmínkou invertova-telnosti matice A je její regulárnost.
OTÁZKY a ÚLOHY
1.Co je determinant čtvercové matice A. DETERMINANTY 2. Odvoďte Sarrusovo pravidlo.
3. Co je subdeterminant a algebraický dopl-něk.
4. Jaká znáte pravidla pro řešení soustavy li-neárních rovnic a pro výpočet inverzní ma-tice pomocí determinantů.
5. Uveďte vzorec pro rozvoj determinantu podle r-tého řádku.
6. Uveďte vlastnosti determinantů. DETERMINANTY 7. Uveďte postup při výpočtu determinantu Gaussovou eliminační metodou.
8. Čemu se rovná determinant trojúhelníko-vé matice. Odpověď zdůvodněte. 6. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 6.1 MATICE a ROZŠÍŘENÁ MATICE SOUSTAVY. Soustavu m lineárních rovnic o n neznámých SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC lze psát ve tvaru
AxT = bT,
kde jsme zavedli označení SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Matici A nazýváme maticí soustavy, vektor x vektorem neznámých a vektor b vektorem pravých stran. Takovou soustavu řešíme Gaussovou eliminační metodou. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Gaussovy úpravy provádíme přímo na matici soustavy doplněné o poslední slou-pec pravých stran rovnic. Takto upravené matici říkáme rozšířená matice soustavy.
6.1 ŘEŠITELNOST SOUSTAVY. VĚTA FROBENIOVA.
Soustava AxT = bT má řešení tehdy a jen tehdy, když h(A) = h(A|bT), tj. hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšíře- SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC né matice soustavy.
Jestliže h(A) = h(A|bT) = k, potom v případě k < n má soustava nekonečně mnoho řešení, která mohou být zapsána pomocí n-k para-metrů a v případě k = n má soustava právě jedno řešení.
V případě m = n (tj. počet rovnic je roven počtu neznámých), říkáme, že soustava je čtvercová. Mohou zřejmě nastat dvě mož-
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC nosti: h(A) = n a h(A) < n. V prvním přípa-dě je automaticky splněn vztah
h(A) = h(A|bT) a shodně s Frobeniovou větou má tato sous-tava právě jedno řešení. V tomto případě je det A  0, tj. matice A je regulární. Ve dru-hém případě je det A = 0, tj. matice A je singulární a shodně s Frobeniovou větou soustava buďto nemá žádné řešení nebo má nekonečně mnoho řešení. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 6.3 HOMOGENNÍ SOUSTAVY. Jestliže vektor b pravých stran v soustavě lineárních rovnic je nulový, tj. AxT=oT, potom o ní ří-káme, že je homogenní. V tomto případě je automaticky splněna podmínka
h(A) = h(A|bT) = k a soustava má shodně s Frobeniovou větou, buďto jedno řešení (v případě k = n) nebo nekonečně mnoho řešení (v případě k < n). SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC V prvním případě je to pouze nulové řešení. Ve druhém případě má soustava kromě nu-lového i nenulové řešení. Lze ukázat, že mezi všemi řešeními homogenní soustavy existuje n-k lineárně nezávislých řešení a ne více.
Pro praktické výpočty se užívá v praxi Gaussova eliminační metoda. Při jejím pou-žití nemusíme předem vědět, zda soustava má řešení. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad. Rozhodněte, zda následující sous-tava má řešení. Pokud ano, všechna nalez-něte.
Vyjdeme z rozšířené matice soustavy, kte-
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC rou po gaussovských úpravách převedeme na tvar:
Tedy h(A) = 3 a h(A|bT) = 4. Soustava ne-má řešení. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 6.4 VÝPOČET INVERZNÍ MATICE. Pojem inverzní matice byl již zaveden. Ví-me, že pokud k dané matici A, typu (n, n) existuje inverzní A-1 potom platí
A.A-1=A-1.A = En.
Odtud lze dokázat, že pomocí gaussovských úprav složené matice [A|E] z matice A a E aplikovaných tak, že matice A přejde na E, v části matice E obdržíme matici A-1. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Příklad. Gaussovou metodou vypočítejte k matici A inverzní.
Upravíme na tvar [A|E] a pomocí dovole-ných úprav převedeme na tvar [E|A] SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC dostaneme:
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Druhý řádek násobíme číslem –2 a přičteme k prvnímu. Dostaneme: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 6.5 CHARAKTERISTICKÁ ROVNICE MATICE. Ve 4.15 jsme zavedli pojmy vlas-tní čísla a vlastní vektory čtvercové matice A řádu n. Vlastní čísla jsou taková čísla  pro která má homogenní soustava rovnic
(A- En)xT = oT nenulové řešení x. To je však možné pouze tehdy, kdy determinant soustavy je roven nule. Odtud dospíváme k definici: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Nechť A je matice typu (n,n). Potom rovnice
det(A- En)xT = 0 ,
Tj. rovnice SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Se nazývá charakteristická rovnice matice A
Příklad.Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory matice
Řešení: SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC tj. (1 - )(3 - ) – 8 = 0 , čili
2 - 4  - 5 = 0
Vlastní čísla matice A jsou –1 a 5 (kořeny charakteristické rovnice). Vlastní vektory odpovídající vlastním číslům jsou nenulová řešení soustav
2x1 + 4x2 = 0 -4x1 + 4x2 = 0
2x1 + 4x2 = 0 2x1 – 2x2 = 0 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC to znamená vektory {-2q, q} a {p, p} kde p, q libovolná nenulová čísla.
OTÁZKY a ÚLOHY
Uveďte Frobeniovu větu a zdůvodněte její platnost.
Uveďte a zdůvodněte postup pro řešení soustav lineárních rovnic. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 3.Uveďte a zdůvodněte postup pro výpočet inverzní matice
4.Co je charakteristická matice a jak vzniká. POLYNOMY 7.1 POLYNOM a JEHO KOŘENY. Nechť 0, 1, . . . , n jsou reálná čísla n  0. Pravidlo, které každému komplexnímu číslu x přiřazuje číslo P(x), kde
P(x)= 0+ 1x + 2 x2+ . . . + n xn
nazýváme reálným polynomem stupně n o proměnné x s koeficienty i , i = 1, 2, . . . ,n.
Každé komplexní číslo  takové, že P()= 0 POLYNOMY tj.
0+ 1  + 2  2+ . . . + n n = 0
se nazývá kořenem polynomu P(x). Každý kořen je tedy řešením rovnice
0+ 1x + 2 x2+ . . . + n xn = 0.
Tato rovnice se nazývá algebraickou rovnicí n-tého stupně.
Příklad. Výraz P(x) = 3 + 5x – x2 je poly-
POLYNOMY nomem druhého stupně (kvadratický poly-nom). Rovnice 3 + 5x – x2 = 0 je algebraická rovnice druhého stupně, říkáme jí kvadratic-ká rovnice.
7.2 BÉZOUTOVA VĚTA. Nechť n je libo-volné přirozené číslo a nechť
P(x)= 0+ 1x + 2 x2+ . . . + n xn
je libovolný polynom n-tého stupně. Potom číslo  je řešením algebraické rovnice
POLYNOMY P(x) = 0 tehdy a jen tehdy, když pro každé komplexní číslo x platí
P(x) = (x - )Q(x),
kde
Q(x) = 0 + 1x + 2x2 + . . . + n-1xn-1
Je polynom n-1 stupně takový, že n-1 = n .
7.3 ZÁKLADNÍ VĚTA ALGEBRY. (Gauss 1799) Každá algebraická rovnice
P(x) = 0 n-tého stupně, kde n je libovolné POLYNOMY Přirozené číslo má v oboru komplexních čí-sel alespoň jedno řešení.
7.4 D’ALEMBERTOVA VĚTA . Nechť jsou splněny předpoklady předchozí věty. Pak existuje právě n komplexních čísel 1 , 2, . . . , n (nemusí být navzájem různá) takových, že pro každé komplexní číslo x platí:
P(x) = n (x - 1 )(x - 2). . . (x - n) POLYNOMY 7.5 DĚLENÍ POLYNOMU POLYNOMEM
Předpokládám, že je všeobecně znám ze střední školy. Pro osvěžení si uvedeme jeden příklad:
Příklad. Dělme polynom
P(x) = x4 + 2x2 + 2x – 1 polynomem
Q(x) = x2 – 2x + 3
Dostaneme: POLYNOMY (3x4 + 2x2 + 2x –1):(x2 – 2x + 3) =
= 3x2 + 6x + 5 POLYNOMY Platí tedy
Konec části algebra