Přednáška 1

ná množina má nekonečně mnoho horních závor. Mezi nimi REÁLNÁ a KOMPLEXNÍ ČÍSLA existuje vždy nejmenší číslo – supremum množiny M, značíme supM.
supM má tyto dvě vlastnosti: a) Je horní závorou množiny M, tj, pro každé xM platí x  supM. b) je nejmenší z horních závor.
Příklad. Nechť A = (- , 2) , B = (- , 2 ]
Potom supA=2, ale i supB=2. Všimněme si, že supA  A zatímco supB  B. REÁLNÁ a KOMPLEXNÍ ČÍSLA To nás vede k definici: jestliže supM M, potom toto supremum nazveme maximem množiny M.
Analogicky definujeme ohraničenost reálné množiny zdola a největší dolní závoru množiny M nazýváme infimem množiny M a zapisujeme inf M. Je-li inf M M, nazývá se minimem množiny M. REÁLNÁ a KOMPLEXNÍ ČÍSLA 3.3 ABSOLUTNÍ HODNOTA A OKOLÍ REÁLNÉHO ČÍSLA.
Absolutní hodnotou  a  čísla a rozumíme vzdálenost bodu reprezentujícího číslo a na číselné ose od počátku. Platí tedy:
a pro a  0,
 a  = {
- a pro a < 0
REÁLNÁ a KOMPLEXNÍ ČÍSLA Nechť a je libovolné reálné číslo,  libo-volné kladné reálné číslo. Potom platí
(a - , a + ) = { x  R ; x – a < }.
Tento otevřený interval nazýváme -okolím čísla (bodu) a nebo také okolím čísla a o poloměru . KOMPLEXNÍ ČÍSLA 3.4 KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Ze střední školy víme, že komplexní čísla jsou čísla tvaru
a + bi ,
Kde a, b jsou reálná čísla a i je tak zvaná imaginární jednotka, číslo a se nazývá reálná část komplexního čísla
z = a + bi
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Značí se Re z, reálné číslo b se nazývá imaginární část komplexního čísla z. Značí se Im z. Komplexní číslo se nazývá ryze imaginární, je-li Re z = 0 a Im z  0.
3.6 OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY
Rovnost dvou komplexních čísel z1=a1+b1i , z2=a2+b2i je definována takto
z1 = z2  (a1 = a2)  (b1 = b2)
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Součet a součin dvou komplexních čísel z1=a1+b1i , z2=a2+b2i je definována takto:
z1 + z2 = (a1+a2) + (b1 + b2) i
z1 . z2 = (a1.a2 - b1.b2 ) + (a1.b2 + a2.b1) i
Pro sčítání a násobení komplexních čísel platí tatáž pravidla jako pro reálná čísla.
Nechť z=a+bi  0 +0i je libovolné komplexní číslo. Potom komplexní číslo y
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Takové, že z.y = 1 označujeme 1/z nebo také z –1. Zároveň platí
1/z = .
Nechť z = a + bi je libovolné komplexní číslo, potom a – bi se nazývá komplexně sdružené číslo k číslu z a označuje se z . Pro komplexně sdružená čísla platí pravidla:

KOMPLEXNÍ ČÍSLA z1 + z2 = z1 + z2

z1 . z2 = z1. z2

z1 / z2 = z1/ z2

( z ) = z



KOMPLEXNÍ ČÍSLA z = z  z je reálné číslo
3.7 GAUSSOVA ROVINA – absolutní hodnota a argument komplexního čísla. Komplexní čísla znázorňujeme v Gaussově rovině (obr.3.1) Vzdálenost bodu reprezen-tujícího číslo z =a + bi od počátku, nazývá-me absolutní hodnota komplexního čísla z a označujeme z (z = ) z = a + bi reálná osa imaginární osa KOMPLEXNÍ ČÍSLA





Obrázek 3.1
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Pro komplexně sdružené číslo platí
z = z
Dále je zřejmé, že platí
z = a + bi = z( cos + i sin) ,
kde úhel  (měřený v obloukové míře), ur-čený až na násobky čísla 2 vztahem
tg  = b/a
je tak zvaný argument komplexního čísla a KOMPLEXNÍ ČÍSLA označuje se arg z. Argument pro který platí  [0, 2  ) se nazývá hlavní argument a značí se Arg z.
Pro libovolná komplexní čísla
z1 = z1( cos1 + i sin1)
z2 = z2( cos2 + i sin2)
Platí
z1.z2 =z1.z2(cos(1+ 2)+isin (1+2))
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
Odtud matematickou indukcí plyne známý Moivreův vzorec
zn =zn(cos n+isin n).
ODMOCNINY Z KOMPLEXNÍHO ČÍSLA
Nechť z = a + bi = z( cos + i sin) je libovolné komplexní číslo a nechť n  N.
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Každé komplexní číslo y takové, že
y n = z
se nazývá n – tá odmocnina z čísla z ozna-
čujeme ji . Symbol značí kterékoliv z n řešení binomické rovnice y n = z s nez-námou y. Taková binomická rovnice má n řešení y1, y2, . . . , yn přičemž
KOMPLEXNÍ ČÍSLA
k = 0, 1, . . . , n – 1 .
OTÁZKY a ÚLOHY
1. Vysvětlete co je supremum, infimum, maximum a minimum číselné množiny.
2. Co je absolutní hodnota a okolí reálného čísla.
KOMPLEXNÍ ČÍSLA 3. Definujte rovnost, součet, rozdíl, součin a podíl dvou komplexních čísel.
4. Co je absolutní hodnota a argument komplexního čísla.
5. Uveďte Moivreův vzorec.
6. Jak se definují odmocniny z komplexního čísla a jak se vypočítají. KOMPLEXNÍ ČÍSLA CVIČENĎ
Určete supremum, maximum, infimum a minimum množiny M.
a) M = [ -5, 2 )
b) M = [ 0, 1)  [ 2, 3 ]
c) M = { 3-1, 3-2, 3-3, . . . , 3-n, . . . }
d) M = {3/2, 3/4, 3/6, . . . , 3/2n, . . . } ALGEBRA 4. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.1 ALGEBRAICKÉ VEKTORY.
Ať n je přirozené číslo. Algebraickým reálným vektorem a dimense n rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel
{ a1, a2, a3, . . . , an}.
Číslo ai , i = 1, 2, . . . , n se nazývá i-tá složka vektoru a.
O dvou vektorech a, b říkáme, že se rovnají ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE a píšeme a = b, právě tehdy, když jsou stejné dimenze a když jejich odpovídající si složky ai, bi jsou si rovny, tj, ai = bi i.
Součtem a + b dvou algebraických vektorů stejné dimense n o složkách ai, bi je vektor c o složkách ci = ai + bi i. Součinem  .a
reálného čísla  s algebraickým vektorem a dimense n nazýváme vektor d o složkách di = .ai i. Množinu všech ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE algebraických reálných vektorů dimense n nazýváme n-rozměrným vektorovým prostorem Vn nad oborem reálných čísel. Vektor, jehož všechny složky jsou rovny nule, nazýváme nulovým vektorem a označujeme o.
Místo (-1).a píšeme -a ; složky vektoru -a jsou složkami vektoru a s opačným znaménkem. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Pro operace sčítání vektorů a násobení vek-toru číslem platí:
1. a+b = b+a, ( a+b) + c = a + ( b+c)
2. existuje vektor o (nulový),že a+o = a
3 k vektorům a,b téže dimense n existuje takový vektor x, že platí a+x = b. Platí zde
x = b + (-a), což zapisujeme x = b – a. Vektor x nazýváme rozdílem vektorů b, a. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4. .( a + b ) = .a + .b
5. (  +  ).a = .a+ .a
6. .(.a) = (. ).a , 0.a = o, .o = o
7. Rovnost .a = o nastane tehdy a jen tehdy, když  = 0 nebo a = o .
8. –(.a) = (- ).a = .(-a) ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.2 SKALÁRNÍ SOUČIN DVOU VEKTORŮ.
Skalárním součinem dvou vektorů a, b stej-né dimense n o složkách ai, bi i=1,2,. . . , n nazýváme číslo definované vztahem
a.b = a1.b1 + a2.b2 + . . . + an.bn
Příklad. Nechť a = {1, 0, -2}, b= { 3, 2, 0} potom a + b ={4, 2, -2}, 3.a = {3, 0, -6 } a skalární součin a.b = 1.3+0.2+(-2).0 = 3 ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.3 LINEÁRNĎ ZÁVISLOST VEKTORŮ
Říkáme, že vektor a  Vn je lineární kom-binací vektorů a1, a2, . . . , ak  Vn existují-li taková reálná čísla 1, 2, . . . , k, že platí
a = 1.a1+ 2.a2 + . . . + k.ak
Příklad. Nechť a ={3, -5, 2}, b = {1, 3, -1},
c = {-2, 1, 7} vektor d = {-5, -15, 35} je lineární kombinací: d = 2.a – 3.b + 4.c ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Platí věta:
Vektory a1, a2, . . . , ak z Vn jsou lineárně závislé tehdy a jen tehdy, když existují čísla 1, 2, . . . , k taková, že alespoň jedno z nich je různé od nuly a platí
1.a1 + 2.a2 + . . . + 1k.ak. = o
4.4 BÁZE VEKTOROVÉHO PROSTORU
Libovolnou množinu {a1, a2, . . . , an} tvoře-nou n lineárně nezávislými vektory z Vn
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE nazýváme bází vektorového prostoru Vn.
Příklad. Množina vektorů {e1, e2, e3}, kde
e1 = {1, 0, 0}, e2 = {0, 1, 0}, e3 = {0, 0, 1} tvoří bázi vektorového prostoru V3. Skuteč-ně 1.e1 + 2.e1 + 3.e3 je vektor daný us-pořádanou trojicí {e1, e2, e3} a je nulový, jen když 1 = 2= 3 = 0. Odtud vektory e1, e2, e3 jsou lineárně nezávislé. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Platí věta:
Nechť {a1, a2, . . . , an } je libovolná báze vektorového prostoru Vn. Potom každý vektor a z prostoru Vn je lineární kombi-nací vektorů z této báze, tj. existují čísla 1, 2, . . . , n taková, že
a = 1a1 + 2a2 + . . . + nan
Čísla 1, 2, . . . , n nazýváme souřadnice
vektoru a vzhledem k bázi {a1, a2, . . . , an }. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.5 HODNOST SOUSTAVY VEKTORŮ Nechť je dána soustava {a1, a2, . . . , ak } k libovolných vektorů z Vn. Jestliže v sousta-vě existuje h  k lineárně nezávislých vekto-rů a ne více, potom číslo h nazýváme hod-nost soustavy.
Příklad. Určete hodnost soustavy vektorů
{a = {2, -1, 3}, b = {5, 2, 6}, c = {3, 3, 3}}.
Zřejmě c = -a + b a hodnost soustavy h = 2. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Nechť je dána soustava k libovolných vek-torů z Vn. Potom pro její hodnost h platí:
h  min (k, n).
Hodnost libovolné soustavy {a1, a2, ... , ak } vektorů z Vn se nezmění
1. Vyměníme-li pořadí vektorů v soustavě.
2.Vyměníme-li v každém vektoru vektoru soustavy i-tou a j-tou složku. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 3. Vynásobíme-li jeden vektor číslem různým od nuly.
4. Přičteme-li k jednomu vektoru soustavy lineární kombinaci ostatních vektorů sous-tavy.
5. Vynecháme-li v soustavě vektor, který je lineární kombinací ostatních vektorů sousta-vy (např. nulový vektor). ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.6 MATICE
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Množinu m.n čísel uspořádaných do m řád-ků a n sloupců (viz útvar na předchozí stra-ně) nazýváme maticí typu (m,n) nebo také typu m/n. Čísla a i j se nazývají prvky mati-ce. První index i označuje řádek, druhý index j sloupec ve kterém prvek leží. Matice označujeme velkými tučnými pís-
meny nebo také symbolicky . ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE O dvou maticích A, B říkáme, že jsou si rovny a píšeme A=B, jestliže jsou téhož ty-pu a odpovídající si prvky jsou sobě rovny, tj.
a i j = b i j pro i=1,2, ... ,m j=1,2, … ,n Součtem dvou matic A, B téhož typu m/n rozumíme matici C typu m/n pro jejíž prvky cij platí ci j = ai j + bi j . Součinem čísla  s maticí A typu m/n rozumíme matici D téhož ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE typu m/n takovou, že di j = .ai j a označu-jeme ji D = .A. Místo (-1).A píšeme –A, podobně místo A+(-1).B píšeme A – B a tento výraz nazýváme rozdíl matic A a B.
Příklad Nechť jsou dány matice
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Potom ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Pro sčítání matic stejného typu a pro náso- bení matice číslem platí:
1. A + B = B + A
2. (A + B) + C = A + (B + C)
3. A + O = A
4. K maticím A, B existuje právě jedna ma- tice X taková, že A + X = B. Platí:
X = B + (-1).A = B – A . ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 5. .(A+B)=.A+.B, (+).A=.A+.A
4.7 GAUSSOVSKÉ MATICE
Významnou úlohu budou v dalších úvahách hrát matice v tzv. Gaussovském tvaru. Nechť je dána matice A typu(m,n). Potom o prvcích a11, a22, a33, . . . , akk , kde
k = min(m, n), říkáme, že tvoří hlavní diago-nálu. Jestliže m  n (Matice A má nanejvýš
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE tolik řádků kolik sloupců), všechny prvky na hlavní diagonále matice A jsou různé od nuly a všechny její prvky pod hlavní diagonálou jsou rovny nule, potom o matici A říkáme, že je gaussovská.
4.8 TRANSPONOVANÁ MATICE
Jestliže z matice A typu (m/n) vytvoříme novou matici B typu (n/m) tak, že za r-tý sloupec matice B dosadíme r-tý řádek ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE matice A, tj. bij = aji pro i = 1, 2, . . . , n
a j = 1, 2, . . . , m potom tuto matici B nazveme transpono-vanou k matici A a označujeme ji A T.
Příklad. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Každý algebraický vektor x dimense n lze považovat za jednořádkovou matici typu (1,n) nebo také za jednosloupcovou matici typu(n,1). V dalším budeme symbolem x označovat vektor zapsaný jako jednořádko-vá matice. Vektor, zapsaný jako jednosloup-cová matice budeme označovat symbolem
xT . Tak například: ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Zapisujeme:
To budeme užívat u soustav rovnic v mati-covém zápisu. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.9 NÁSOBENÍ MATICE MATICÍ
Operaci násobení dvou matic A, B definuje-me pouze v případě, kdy matice A má tentýž počet sloupců jako matice B řádků. Součinem A.B matice A typu (m, p) s mati-cí B typu (p,n) nazýváme matici C typu (m, n) takovou, že
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj
Slovy: prvek cij matice C dostaneme tak, že ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.9 NÁSOBENÍ MATICE MATICÍ
Operaci násobení dvou matic A, B definuje-me pouze v případě, kdy matice A má tentýž počet sloupců jako matice B řádků. Součinem A.B matice A typu (m, p) s mati-cí B typu (p,n) nazýváme matici C typu (m, n) takovou, že
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . . + aipbpj
Slovy: prvek cij matice C dostaneme tak, že ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE řádky a sloupce považujeme za vektory a vytvoříme skalární součin i-tého řádku mati-ce A a j-tého sloupce matice B. Víme, že skalární vektor je definován pouze pro vektory stejné dimense, Odtud plyne podmínka, že matice A musí mít stejný po-čet sloupců jako matice B řádků. Jinak součin A.B nedefinujeme.
Příklady. 1. Nechť A, B jsou matice z pří- ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE kladu ve 4.6. Potom
Nechť ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Potom



Pro násobení matic A, B, C platí pravidla:
1. A(BC) = (AB)C
2. (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB
3. OA = O, AO = O
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4. (AB)T = BTAT
5. (AB) = (A)B = A(B)
pokud ovšem jsou v těchto rovnostech defi-novány součty a součiny příslušných matic, tj. mají-li matice A, B, C předepsaný typ.
Komutativní zákon pro násobení matic obecně neplatí. Platí-li rovnost AB = BA, říkáme že matice A, B komutují. Obecně ta-ké neplatí, že jestliže je součin dvou matic ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE nulová matice, potom alespoň jedna z nich je nulová. Tak například pro matice
Nechť je dána libovolná soustava m lineár-ních rovnic o n neznámých:
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2
. . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm
Zavedeme-li označení uvedené na další straně lze soustavu zapsat v tzv. maticovém tvaru:
AxT = bT. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Označení:
To je také jedna z motivací, proč jsme součin dvou matic definovali tak, jak je uvedeno na začátku kapitoly.
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE 4.10 ČTVERCOVÉ MATICE
Jestliže v matici A typu (m,n) je m = n, po-tom ji nazýváme čtvercová matice řádu n. Čtvercovou matici,, jejíž všechny prvky ne-ležící v hlavní diagonále jsou nulové, aij= 0 pro i  j nazýváme diagonální maticí. Jsou-li v diagonální matici všechny prvky na hlavní diagonále rovny jedné, nazývá se jednotkovou maticí řádu n. Označujem En .
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Diagonální matice jednotková matice
ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Jestliže ve čtevercové matici jsou všechny prvky pod hlavní diagonálou rovny nule, ří-káme, že je to horní trojúhelníková matice. Platí aij = 0 pro j < i. Podobně definujeme dolní trojúhelníkovou matici. Jestliže ve čtvercové matici A pro všechny prvky pla-tí aij = aji potom ji nazýváme symetrickou maticí. Pro symetrickou matici platí AT= A.
Jestliže platí AT= -A , potom se A nazývá
antisymetrická matice. ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Příklad. Mějme matice
Matice A je symetrická, matice B je antisy-metrická.Všimněte si, že v matici B jsou ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Všechny prvky v hlavní diagonále nulové. Platí to pro každou antisymetrickou matici?
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Potom součet všech jejích prvků ležících na hlavní diagonále nazýváme stopou matice. Tak např. stopou matice A z předchozího příkladu je číslo 11.
Nechť A je libovolná matice typu (m, n) a nechť Em , En jsou jednotkové matice řádu ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE m a n. Potom platí:
AEn = A EmA = A
Nechť A je libovolná matice řádu n potom místo AA často píšeme A2 podobně místo AAA píšeme A3 atd.
4.11 INVERSNÍ MATICE
Nechť A je čtvercová matice řádu n. Jest-liže existuje čtvercová matice B téhož řádu n taková, že BA = En , kde En je jednotková ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE matice řádu n, potom tuto matici nazýváme inversní k matici A a označujeme Ainv ne-bo také A-1. Je-li BA = En je potom také AB = En.
Ne ke každé matici A existuje inversní ma-tice, viz příklad: ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Problémy existence a výpočtu inversních matic se budeme zabývat později.
Pro invertovatelné matice platí:
a) Ke každé matici A existuje nanejvýš jedna inversní.
b) (AB)-1 = B-1A-1
4.12 ORTOGONÁLNÍ MATICE
V mnohých technických problémech hrají ALGEBRAICKÉ VEKTORY a MATICE Značnou roli tak zvané ortogonální matice. O čtvercové matici A řádu n říkáme, že je ortogonální, jestliže je invertovatelná a platí
A-1 = AT
Ortogonalitu matice A určíme podle věty:
Nechť A je ortogonální matice řádu n . Potom skalární součin j