hrw3

3
Vektory
Po dvÏ desetiletÌ prozkoum·vali speleologovÈ 200km dlouh˝ systÈm
MamutÌ jeskynÏ a jeskynÏ Flint Ridge. Vϯili, ûe jsou propojeny, a doufali,
ûe se jim poda¯Ì spojovacÌ chodby odhalit. Na fotografii je zachycen jeden
z Ëlen˘ ˙spÏönÈho t˝mu Richard Zopf, jak spouötÌ batoh pr˘lezem Tight
Tube, leûÌcÌm hluboko v nitru jeskynnÌho labyrintu Flint Ridge. Po dvan·cti
hodin·ch postupu se Zopf a jeho öest druh˘ prot·hli proudem ledovÈ
vody a octli se v MamutÌ jeskyni. Komplex MamutÌñFlintovy jeskynÏ
se tak stal nejdelöÌ jeskynÌ na svÏtÏ. Lze nÏjak jednoduöe charakterizovat
vz·jemnou polohu v˝chodiska a cÌle cesty pr˘zkumnÈho druûstva, aniû
bychom podrobnÏ popisovali celou spletitou trasu
?
40 KAPITOLA 3 VEKTORY
3.1 VEKTORYASKALÁRY
Pohyb částice po přímce se může dít pouze ve dvou smě-
rech.Jeden z nich můžeme označit za kladný, druhý bude
záporný.V trojrozměrném prostoru však již pouhé dvě mož-
nosti, odlišené znaménky plus a minus, pro určení směru
pohybu nestačí.Je třeba použít vektorů.
Vektor je zadán směrem a velikostí.S vektory lze po-
čítat podle určitých pravidel, jimiž se za chvíli budeme
podrobněji zabývat.Vektorováveličinamá také směr a ve-
likost.K fyzikálním veličinám, které mohou být popsány
vektory (mají tzv.vektorový charakter), patří například po-
sunutí, rychlost a zrychlení.
Některým fyzikálním veličinám nelze přisoudit směr.
Například teplota, tlak, energie, hmotnost a čas žádný směr
nemají.Takovým veličinám říkáme skaláry a při počítání
s nimi používáme pravidla běžné algebry.Skalár je určen
jediným číslem (například 12,3 kg, 25 J, apod.).* Nejjed-
nodušší vektorovou veličinou je posunutí (změna polohy).
Nazýváme jivektorposunutí.(Podobně mluvíme i o vek-
toru rychlosti a vektoru zrychlení.) Přejde-li pohybující se
částice z bodu A do bodu B (obr.3.1a), lze její posunutí
znázornit šipkou směřující z A do B.Šipka je grafickým
vyjádřením vektoru.Abychomna dalších obrázcích odlišili
vektory od šipek s jiným významem, budeme v koncovém
bodě každého vektoru kreslit malý trojúhelník.
Šipky z A do B,zA
prime
do B
prime
azA
primeprime
do B
primeprime
na obr.3.1a
představují stejnou změnu polohy hmotného bodu a nebu-
deme je rozlišovat.Všechny mají stejnou velikost a směr
a určují tedy stejný vektor posunutí.
Známe-li pouze vektor posunutí částice, nedokážeme
určit její skutečnou trajektorii mezi počátečním a konco-
vým bodem tohoto posunutí.Na obr.3.1b jsou zakresleny
tři různé trajektorie spojující body A a B.Odpovídá jim
stejné výsledné posunutí jako na obr.3.1a.Posunutí nepo-
pisuje detaily pohybu, určuje pouze jeho celkový výsledek.
* Nezaměňujme skaláry se souřadnicemivektorů na přímce (v jed-
norozměrném prostoru).Vektor na orientované přímce je číselně repre-
zentován jedinou souřadnicí.Proto při pevné volbě souřadnicové osy
často hovoříme o této souřadnici jako o samotném vektoru, jako tomu
bylo v celé kap.2. Kladné či záporné znaménko souřadnice vektoru
rozhoduje o tom, zda je jeho směr souhlasný či nesouhlasný s kladným
směrem orientované přímky.Změníme-li orientaci přímky, změní se
znaménko souřadnice zadaného vektoru.V případě skaláru patří zna-
ménko k hodnotě.Hodnoty skalárních veličin jsou zcela nezávislé
na jakékoli volbě soustavy souřadnic.Při popisu volného pádu tělesa
o hmotnosti m v blízkosti povrchu Země máme dvojí možnost volby
kladné orientace souřadnicové osy y: nahoru nebo dolů.V případě
první volby budou rychlost i zrychlení tělesa (přesněji jejich y-ové
souřadnice) v každém okamžiku záporné, v případě druhého způsobu
volby budou kladné.Hmotnost tělesa však bude v obou případech
stejná.
A
B
A
B
A
prime
B
prime
A
primeprime
B
primeprime
(a)(b)
Obr.3.1 (a) Všechny vyznačené šipky představují stejné posu-
nutí.(b) Všechny tři trajektorie spojující dva body odpovídají
témuž posunutí.
Místo grafického vyjádření lze vektor posunutí zadat
velikostí a úhly, které tento vektor svírá se dvěma zvole-
nými vztažnými směry.Přesvědčíme se o tom při řešení
příkladu 3.1.
PŘÍKLAD3.1
Skupina speleologů, která v roce 1972 objevila spojení mezi
Mamutí jeskyní a jeskynním systémem Flint Ridge, absol-
vovala cestu od Austinova vchodu k řece Echo v Mamutí
jeskyni (obr.3.2a). Ušla při tom 2,6 km západním směrem,
3,9 km na jih a vystoupila o 25 m svisle vzhůru.Jaký vektor
posunutí odpovídá této cestě?
ŘEŠENÍ: Nejprve zjistíme velikost posunutí ve vodorov-
ném směru, kterou označíme d
h
.Na obr.3.2b je znázorněn
průmět vektoru posunutí do vodorovné roviny (pohled shora).
Pomocí Pythagorovy věty dostaneme
d
h
=
radicalbig
(2,6km)
2
+(3,9km)
2
= 4,69 km.
Průmět vektoru posunutí do vodorovné roviny svírá se smě-
rem východ-západ úhel θ, určený výrazem
tgθ =
(3,9km)
(2,6km)
= 1,5,
tj.
θ = 56
◦
.
Celkové posunutí d již snadno určíme z obr.3.2c (boční po-
hled).Má velikost
d =
radicalbig
(4,69 km)
2
+(0,025 km)
2
= 4,69 km
.
= 4,7km
a svírá s vodorovnou rovinou úhel ϕ,
tgϕ =
(0,025 km)
(4,69 km)
= 0,005 3,
ϕ = 0,3
◦
.
Vektor posunutí, určující změnu polohy speleologické sku-
piny, má velikost 4,7 km, svírá se směrem východ-západ
3.2 SČÍTÁNÍ VEKTORŮ: GRAFICKÁ METODA 41
Mamutí jeskyně
původní vstup
měřítko (m)
Tight Tubeřeka Echo
Austinův vstup
začátek
začátek
konec
konec
2,6 km
3,
9
k
m
0,025 km
ϕ
θ
d
h
d
h
d
S
J
0 600
(a)
(b)
(c)
Obr.3.2 Příklad 3.1. (a) Mapka části systému Mamutí–Flintova jeskyně s vyznačením trasy speleologické skupiny od Austinova
vchodu k řece Echo.(b) Průmět posunutí skupiny do vodorovné roviny (nadhled).(c) Boční pohled.(Upraveno podle oficiální mapy.)
úhel 56
◦
a od vodorovné roviny je odkloněn směrem vzhůru
o úhel 0,3
◦
.Celkové posunutí ve svislém směru je zane-
dbatelné v porovnání s pohybem ve vodorovné rovině.Ve
skutečnosti však museli průzkumníci nesčetněkrát šplhat na-
horu a dolů.Cesta, kterou prošli, se nijak nepodobala vektoru
posunutí, který představuje pouze spojnici výchozího a kon-
cového bodu.
3.2 SČÍTÁNÍVEKTORŮ:
GRAFICKÁMETODA
Uvažujme částici, která se pohybuje nejprve z bodu A do
bodu B a poté z bodu B do C (obr.3.3a). Její celkové
posunutí je určeno dvěma dílčími posunutími AB a BC
bez ohledu na to, jaká byla její skutečná trajektorie.Vý-
sledkem těchto dvou po sobě následujících posunutí je po-
sunutí jediné: z bodu A do boduC.Posunutí AC nazýváme
vektorovým součtem posunutí AB a BC.
A
B
C
a
b
s
skutečná
trajektorie
Výsledné posunutí
je dáno součtem vektorů.
(a)(b)
Obr.3.3 (a) AC je vektorovým součtem vektorů AB a BC.
(b) Jiné označení vektorů z obrázku (a).
Obr.3.3b znázorňuje vektory překreslené z obr.3.3a
a označené tučnými písmeny a, b a s.Tento způsob zna-
čení vektorů budeme používat v celém dalším textu.V zápi-
sech psaných ručně značíme vektory šipkou nad příslušným
symbolem, např. vectora.Pro označení velikosti vektoru použí-
váme obyčejnou kurzívu, např. a, b a s.Tučný symbol za-
hrnuje tedy úplnou informaci o vektoru, tj.o jeho velikosti
i směru.Pro zápis velikosti vektoru, zejména u složitějších
výrazů, lze použít i následujícího značení: |a|, |a − b|.
Vztah mezi vektory na obr.3.3b můžeme zapsat jedi-
nou vektorovou rovnicí
s = a + b (sčítání), (3.1)
která vyjadřuje skutečnost, že vektor s je součtem vektorů a
a b.Uvědomme si, že symbol + a slova „součet“ a „sčítat“
mají nyní jiný význam, než je běžné v algebře čísel.
Obr.3.3 je návodem, jak sečíst dva vektory a a b gra-
ficky.(1) Nejprve narýsujeme vektor a ve vhodném mě-
řítku a odpovídajícím směru.(2) Počáteční bod vektoru b
umístíme do koncového bodu vektoru a.Dbámenato,aby
oba vektory byly zakresleny ve stejném měřítku a svíraly
správný úhel.(3) Vektorový součet s získáme jako spojnici
počátečního bodu vektoru a s koncovým bodem vektoru b.
Všimněte si, že popsaný postup pracuje jak s velikostí, tak
se směrem obou vektorů.Jistě jej dokážete snadno zobecnit
pro případ součtu většího počtu vektorů.
Právě definovaný vektorový součet má dvě důležité
vlastnosti.
(1) Výsledek nezávisí na pořadí sčítanců, tj.
a + b = b + a (komutativní zákon). (3.2)
O platnosti komutativního zákona nás přesvědčí obr.3.4.
Z něj je také zřejmé, proč se někdy mluví o pravidlu rovno-
běžníka: součet s tvoří úhlopříčku v rovnoběžníkuurčeném
vektory a a b.
42 KAPITOLA 3 VEKTORY
a
b
ab
a+b
b+a
začátek konec
vektorový součet
Obr.3.4 Dva vektory a a b lze sčítat v libovolném pořadí (vztah
(3.2)).
(2) Sčítáme-li několik vektorů, je lhostejné, jak je při
tom seskupíme.Máme-li například určit součet vektorů a,b
a c, můžeme nejprve sečíst třeba vektory a a b a k výsledku
pak přičíst vektor c.Stejně dobře však můžeme sečíst na-
před vektory b a ca k jejich součtu nakonec přičíst vektor a.
Výsledek bude v obou případech stejný.Matematický zápis
tohoto pravidla je následující:
(a + b)+ c = a +(b + c) (asociativní zákon).(3.3)
Platnost asociativního zákona ilustruje grafická konstrukce
na obr.3.5.
a+b
a+b
b+c
b+c
a
a
b
c
c
a
+
b
+
c
a
+
b
+
c
a
+
b
+
c
Obr.3.5 Vektory a, b a c lze při sčítání libovolně seskupit (viz
vztah (3.3)).
Vektor 0 nulové velikosti nazývámenulový.Jeho směr
není definován.Nulový vektor má mezi vektory stejné
postavení jako nula mezi čísly: pro každý vektor b platí
b+0 = b.Symbolem −b rozumíme vektor, který má stej-
nou velikost jako vektor b,avšakopačný směr (obr.3.6).
Nazýváme jej vektorem opačným k b.Vektor opačný
k opačnému je opět původní vektor, tj.−(−b) = b.Snadno
se přesvědčíme, že součtem navzájem opačných vektorů je
nulový vektor:
b +(−b) = 0.
Této vlastnosti využijeme k definici rozdílu dvou vektorů.
Rozdílem vektorů a a b rozumíme vektor
d = a +(−b) (odčítání), (3.4)
který označujeme d = a − b.Získáme jej tak, že k vek-
toru a přičteme vektor −b.Příklad grafické konstrukce je
na obr.3.7.
b
−b
Obr.3.6 Vektory b a −b.
a
ab
−b
−b
d =a−b
(a)(b)
Konec a počátek
sčítaných vektorů
splývají.
Obr.3.7 (a) Vektory a, b a −b.(b) Odečtení vektoru b od
vektoru a je ekvivalentní sečtení vektorů a a −b.
I když jsme pravidla pro sčítání a odečítání vektorů za-
váděli pro vektory posunutí, je samozřejmě možné jich po-
užít pro jakékoli vektory, bez ohledu na to, zda představují
nějakou fyzikální veličinu (sílu, rychlost apod.), či nikoliv.
Tak jako při počítání se skaláry má však smysl sčítat pouze
vektory stejného druhu (ve fyzice vektory odpovídající téže
fyzikální veličině).
Můžeme sečíst například dvě posunutí nebo dvě rych-
losti, nelze však sčítat posunutí a rychlost.Byl by to stejný
nesmysl jako chtít sečíst 21 sekund a 12 metrů.
K
ONTROLA 1: Dvě posunutí a a b mají velikosti 3 m
a 4 m.Označme c = a+b.Jak je třeba volit úhel obou
posunutí, aby velikost vektoru c byla (a) co největší,
(b) co nejmenší? V obou případech velikost vektoru c
určete.
PŘÍKLAD3.2
Při branném závodě je úkolem soutěžícího vzdálit se co
možná nejvíce od startu třemi postupnými přímočarými pře-
suny: (a) a: 2,0 km na východ, (b) b: 2,0 km severovýchod-
ním směrem, svírajícím s místní rovnoběžkou úhel 30
◦
,(c)c:
1,0 km na západ.Pořadí přesunů může závodník volit a kte-
rýkoliv z vektorů b a c může zaměnit vektorem opačným.Do
jaké největší vzdálenosti od startu (měřeno vzdušnou čarou)
se dokáže dostat?
3.3 SLOŽKY VEKTORŮ 43
ŘEŠENÍ: Ve vhodném měřítku zakreslíme vektory a, b,
c, −b a −c (obr.3.8a). Vybereme některou z povolených
trojic posunutí a v souladu s pravidlem pro sčítání vektorů
je nakreslíme tak, aby počáteční bod každého následujícího
vektoru splynul s koncovým bodem předcházejícího.(Volba
pořadí vektorů při sčítání je samozřejmě libovolná, nebotquoteright
neovlivní výsledek.)Počáteční bod prvního vektoru z vybrané
trojice pak označuje místo startu, koncový bod třetího určuje
cílovou polohu přesunu.Vektorový součet d, spojující tyto
dva body, je vektorem výsledného posunutí.Jeho velikost d
představuje dosaženou vzdálenost závodníka od startu.
Snadno zjistíme, že největší vzdálenosti lze docílit volbou
trojice přesunů určených vektory a, b a −c (obr.3.8b):
d = b + a +(−c) = b + a − c.
Změříme-li velikost vektoru d přímo v obrázku a použi-
jeme-li vyznačeného měřítka, dostaneme vzdálenost d vki-
lometrech:
d = 4,8km. (Odpovědquoteright)
30
◦
012
měřítko (km)
−b
−c
−c
a
a
b
b
c
d =b+a−c
(a)(b)
Obr.3.8 Příklad 3.2. (a) Soubor vektorů pro výběr povolené tro-
jice posunutí.(b) Závodník dosáhne největší vzdálenosti od startu,
zvolí-li pro přesun trojici vektorů a, b a −c.Obrázek zachycuje
jedno z možných pořadí přesunů.Výsledný vektor posunutí je
d =b+a−c.
3.3 SLOŽKYVEKTORŮ
Grafické sčítání vektorů je zdlouhavé a málo přesné.Daleko
elegantnější a snazší je metoda algebraická, při níž je však
třeba vyjádřit vektory v souřadnicích.Pravoúhlou soustavu
souřadnic volíme obvykle tak, že osy x a y umístíme do
roviny nákresu (obr.3.9a). Osu z pak vedeme počátkem
soustavy souřadnic kolmo k nákresně.Prozatím budeme
pracovat pouze s vektory v rovině a osu z nebudeme potře-
bovat.
Vektor a na obr.3.9 leží v rovině xy.Vedeme-li jeho
počátečním i koncovým bodem kolmice k souřadnicovým
osám, vzniknou na osách úseky a
x
a a
y
.Nazýváme je
složkyvektorua ve směrech x a y.Tento postup předsta-
vuje rozklad vektoru do složek.Obecně pracujeme s vek-
tory v trojrozměrném prostoru, kde mají tři složky.Vek-
tor a na obr.3.9a má v tomto obecném pojetí třetí složku
nulovou.Posuneme-li vektor tak, aby jeho směr zůstal za-
chován, jeho složky se nezmění (obr.3.9b). Pomocí pra-
voúhlého trojúhelníka na obr.3.9a snadno najdeme výrazy
pro složky vektoru a:
a
x
= a cosθ a a
y
= a sinθ, (3.5)
kde θ je úhel, který vektor a svírá s kladným směrem
osy x a a je velikost vektoru.Z obr.3.9c vidíme, že vektor
ajehox-ová a y-ová složka tvoří pravoúhlý trojúhelník.
Je také zřejmé, jak sestrojíme vektor pomocí jeho složek:
použijeme stejnou geometrickou konstrukci jako při sčítání
vektorů.
y
x
O
y
x
O
a
x
a
x
a
x
a
y a
y
a
y
a
aa
θ
θ θ
(a)(b)(c)
Obr.3.9 (a) Složky vektoru a.(b) Při posunutí vektoru (při
zachování jeho velikosti i směru) se jeho složky nezmění.
(c) Složky vektoru a tvoří odvěsny pravoúhlého trojúhelníka,
jehož přeponou je vektor a.
V závislosti na hodnotě úhlu θ mohou být složky vek-
torů kladné, záporné nebo nulové.Pro vyznačení znaménka
složek používáme v obrázcích malých plných šipe