hrw34

34
ElektromagnetickÈ vlny
Kdyû letÌ kometa kolem Slunce, vypa¯uje se led na jejÌm povrchu a uvolÚujÌ
se z nÏj zachycenÈ Ë·stice prachu a nabitÈ Ë·stice. Elektricky nabit˝
ÑsluneËnÌ vÌtrì usmÏrÚuje nabitÈ Ë·stice do rovnÈho ohonu, kter˝ smϯuje
radi·lnÏ od Slunce. Na prachovÈ Ë·stice vöak sluneËnÌ vÌtr nep˘sobÌ
a mÏly by se tedy pohybovat d·le po dr·ze komety. ProË mÌsto toho vÏtöina
z nich tvo¯Ì zak¯ivenou spodnÌ Ë·st ohonu, kterou vidÌme na fotografii
?
890 KAPITOLA 34 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY
34.1 MAXWELLOVA DUHA
Jedním z klíčových úspěchů Jamese Clerka Maxwella
bylo zjištění, že světelný paprsek je postupná vlna tvořená
elektrickým a magnetickým polem — elektromagnetická
vlna — a že tedy optika, studující viditelné světlo, je sou-
částí elektromagnetismu. V této kapitole uzavřeme rozbor
čistěelektrickýchamagnetickýchjevůapoložímezáklady
optiky.
V Maxwellově době (v polovině 19. stol.) bylo vidi-
telné, infračervené a ultrafialové světlo jediným známým
druhem elektromagnetických vln. Heinrich Hertz, podní-
cenMaxwellovýmdílem,všakobjevilto,conynínazýváme
rádiovýmivlnami,azjistil,žesešířívprostorutoutéžrych-
lostí jako viditelné světlo.
Jak ukazuje obr.34.1, známe nyní široké spektrum
elektromagnetických vln, které jeden nápaditý spisovatel
nazval„Maxwellovouduhou“.Všimněmesirozsahu,který
toto spektrum zaujímá. Hlavním zdrojem záření je pro nás
Slunce; to určujícím způsobem ovlivňuje prostředí,ve kte-
rémjsmesevyvinuliakterémujsmepřizpůsobeni.Jsmetéž
stáleskrznaskrzpronikánirádiovýmiateleviznímisignály.
Zasahují nás mikrovlny radarových systémů a telefonních
spojů. Jsou zde i elektromagnetické vlny od světelných
zdrojů, od elektrických strojů a aut, od rentgenových pří-
strojů a radioaktivních materiálů. Kromě toho k nám za-
sahuje kosmické záření — záření hvězd a dalších objektů
znašíGalaxieizjinýchgalaxií.Elektromagnetickévlnyse
šíříiv opačnémsměru:televiznísignály,vysílanézeZemě
asiodr.1950,přenášejínovinkyodnás(ikdyžpouzevelmi
slabě) — možná nějakým technicky zdatným bytostem,
které eventuálně obývají některou planetu obíhající okolo
jedné z asi 400 nám nejbližších hvězd.
Na stupnici vlnových délek v obr.34.1 (a jí odpovída-
jící stupnici frekvencí) reprezentuje každý dílek zvětšení,
nebo zmenšení vlnové délky (resp. frekvence) desetkrát.
Stupnice má otevřené konce: vlnové délky elektromagne-
tických vln nemají žádnou principiální spodní ani horní
hranici.
Některé oblasti v elektromagnetickém spektru na
obr.34.1 jsou označeny známými názvy jako rentgenové
záření nebo rádiové vlny. Tyto názvy označují zhruba defi-
nované oblasti vlnových délek,ve kterých se běžně užívají
určité druhy zdrojů a detektorů elektromagnetických vln.
Jiné oblasti na obr.34.1, označené např. čísly televizních
kanálů nebo AM (amplitudová modulace) u rozhlasu, re-
prezentují určitá pásma vlnových délek, určená pro speci-
fickékomerčníajinéúčely.Velektromagnetickémspektru
nejsoužádnémezery.Avšechnyelektromagnetickévlny,atquoteright
leží ve spektru kdekoli, se šíří vakuem stejnou rychlostí c.
Viditelná část spektra je pro nás přirozeně zvláště zají-
mavá. Obr.34.2 ukazuje relativní citlivost lidského oka ke
světlu různých vlnových délek. Střed viditelné oblasti leží
asi u 555nm, kterou vnímáme jako barvu žlutozelenou.
Hraniceviditelnéoblastinejsoudobředefinovány,pro-
tože křivka citlivosti oka se asymptoticky blíží nule na
vlnová délka λ (nm)
viditelné spektrum
červená
oranžová
žlutá
zelená modrá fialová
400500600700
vlnová délka λ (m)
frekvence f (Hz)
frekvence f (Hz)
dlouhé vlny rozhlasové vlny infračervené ultrafialové rentgenové kosmické záření
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
11
10
12
10
13
10
14
10
15
10
16
10
17
10
18
10
19
10
20
10
21
10
22
10
23
10
24
11010
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
−1
10
−2
10
−3
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
−9
10
−10
10
−11
10
−12
10
−13
10
−14
10
−15
10
−16
lodní a
letecké stanice
AM rozhlas
FM rozhlas
TV kanály
lodní,
letecké
a mobilní stanice
lodní, letecké,
občanské
a mobilní stanice
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
10
10
11
2–6 7–13 14–69
Obr.34.1 Spektrum elektromagnetických vln
34.2 POSTUPNÁ ELEKTROMAGNETICKÁ VLNA (KVALITATIVNĚ) 891
dlouhovlnné i krátkovlnné straně. Přijmeme-li za hranice
ty vlnové délky, při nichž klesne citlivost na 1% své maxi-
mální hodnoty, dostaneme interval asi 430nm až 690nm.
Lidské oko ovšem může vnímat i vlnové délky za těmito
hranicemi, pokud je intenzita světla dosti velká.
relativní
citlivost
vlnová délka (nm)
0
20
40
60
80
100
400 450 500 550 600 650 700
Obr.34.2 Relativní citlivost oka k elektromagnetickým vlnám
různých vlnových délek. Tato část spektra je tvořena viditelným
zářením.
34.2 POSTUPNÁ
ELEKTROMAGNETICKÁ VLNA
(KVALITATIVNĚ)
Některé elektromagnetické vlny, včetně rentgenového zá-
ření (dříve nazývaného paprsky X), γ-záření a viditelného
světla,jsou vyzařovány (emitovány) zdroji, které mají ato-
mové nebo jaderné rozměry, kde platí zákony kvantové
fyziky. Zde si probereme, jak jsou generovány jiné elek-
tromagnetické vlny. Abychom problém zjednodušili, ome-
zíme se na oblast spektra s vlnovými délkami kolem 1m,
kdezdrojzáření(emitovanýchvln) jemakroskopickýamá
dobře ovladatelné rozměry.
Obr.34.3ukazujevhlavníchrysechgeneracitakových
vln. Nejpodstatnější částí je zde LC oscilátor, který má
úhlovou frekvenci ω = 1/
√
LC. S touto frekvencí se
v tomto obvodu sinusověmění nábojea proudy,jak jezná-
zorněno na obr.33.1. K obvodu musí být připojen vnější
zdroj, např. generátor střídavého napětí, aby dodával ener-
giiprokompenzacijednaktepelnýchztrátvobvodu,jednak
energie odnášené generovanými elektromagnetickými vl-
nami.
Oscilátor LC v obr.34.3 je spojen pomocí transformá-
toru a přenosového vedení s anténou, která se v principu
skládá ze dvou tenkých vodivých tyček. Díky tomuto za-
pojení způsobí sinusově se měnící proud oscilátoru v tyč-
kách antény sinusové kmity náboje s úhlovou frekvencí ω.
Proud v tyčkách (vytvořený pohybem náboje) se mění též
sinusověstoužúhlovoufrekvencíω.Anténasechovájako
elektrickýdipól,jehoželektrickýdipólovýmomentsemění
co do velikosti sinusově a má směr podél antény.
Protože se velikost i směr dipólového momentu mění,
mění se tím i elektrické pole dipólem buzené.A protože se
mění elektrický proud, mění se i velikost a směr magnetic-
kého pole. Elektrické a magnetické pole se ovšem nemění
všude současně, ale šíří se od antény rychlostí světla c.
Měnící se pole tvoří dohromady elektromagnetickou vlnu,
která se šíří od antény rychlostí c. Její úhlová frekvence je
táž jako frekvence oscilátoru, tj. ω.
Obr.34.4 znázorňuje, jak se mění elektrické pole E
a magnetické pole B, když jeden celý kmit vlny projde
vzdáleným bodem P z obr.34.3. V každé části obr.34.4 se
vlna pohybuje kolmo ke stránce směrem k nám. (Zvolili
jsme vzdálený bod, takže zakřivení vlnoploch ukázané na
obr.34.3 je natolik malé, že ho můžeme zanedbat. V tako-
výchbodechpovažujemevlnuzarovinnou,čímžsediskuse
značně zjednoduší.) Všimněme si na obr.34.4 některých
důležitýchskutečností,kteréjsouvlastníkaždéelektromag-
netické vlně.
1. Elektrické pole E i magnetické pole B je vždy kolmé
na směr šíření vlny. Elektromagnetická vlna je tedy příčná
(kap.17).
2. Elektrické pole je vždy kolmé k magnetickému poli.
3. Vektorový součin E×B udává vždy směr šíření vlny.
4. Je-livlnaharmonická,majípoleEiBstejnoufrekvenci
ajsouvefázi.
zdroj
energie
LC oscilátor
transformátor
přenosové
vedení
dipólová
anténa
postupná vlna
vzdálený
bod
P
R
L
C
Obr.34.3 Zařízení pro generaci postupné elektromagnetické vlny v oblasti krátkých rádiových vln: LC oscilátor generuje proud
sinusového průběhu v anténě, která vysílá vlnu. Ve vzdáleném bodě P může detektor registrovat procházející vlnu.
892 KAPITOLA 34 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY
(a)
největší
velikosti
P
B
E
(b)
P
B
E
nulové
velikosti
(c)
P
(d)
B
E
(e)
největší
velikosti
P
B
E
(f)
P
B
E
nulové
velikosti
(g)
P
(h)
P
P
B
E
Obr.34.4 (a)–(h) Změny elektrického pole E a magnetického
pole B ve vzdáleném bodě P z obr.34.3 během průchodu jedné
vlnové délky. V tomto pohledu vlna vychází přímo ze stránky
k nám.Obě pole se mění sinusově co do velikosti i směru a jsou
stále kolmá navzájem i ke směru šíření vlny.
Vsouhlasestěmitovlastnostmimůžemepředpokládat,
že elektromagnetická vlna na obr.34.4 se šíří do bodu P
ve směru kladné osy x. Elektrické pole kmitá rovnoběžně
se směrem osy y, tj. E = (0,E,0), a magnetické pole
rovnoběžně s osou z,tj.B = (0,0,B).Pakmůžemezapsat
obě pole jako sinusové funkce polohy x a času t:
E = E
m
sin(kx −ωt), (34.1)
B = B
m
sin(kx −ωt), (34.2)
kde E
m
a B
m
jsou amplitudy polí, k a ω jsou — po-
dobně jako v kap.17 — úhlový vlnočet (v optice často
zvaný vlnové číslo) a úhlová frekvence vlny. Všimněme
si, že elektromagnetickou vlnu tvoří obě pole dohromady.
Rov.(34.1) popisuje elektrickou složku elektromagnetické
vlnyarov.(34.2)jejímagnetickousložku.Jakuvidímedále,
tyto složky nemohou existovat nezávisle.
Z rov.(17.12) víme, že rychlost vlny je ω/k. Ale pro-
tožesejednáoelektromagnetickouvlnu,značímejejírych-
lost (ve vakuu) c,nikoli v.V následujícímčlánkuuvidíme,
že c má hodnotu
c =
1
√
µ
0
ε
0
(rychlost vln), (34.3)
což je asi 3,0·10
8
m·s
−1
. Jinými slovy:
Všechny elektromagnetické vlny, včetně viditelného
světla, mají ve vakuu tutéž rychlost c.
Uvidíme též, že rychlost vlny c a amplitudy elektric-
kého a magnetického pole jsou spolu spojeny vztahem
E
m
B
m
= c (poměr amplitud). (34.4)
Když rov.(34.1) vydělíme rov.(34.2) a pak dosadíme
z rov.(34.4), zjistíme, že okamžité hodnoty obou polí jsou
spojeny vztahem
E
B
= c (poměr okamžitých hodnot). (34.5)
(a)
(b)
vlnoplochy
elektrická
složka
magnetická
složka
paprsek
λ
x
y
z
c
h
P
dx
B
E B
E
B
E
Obr.34.5 (a)Elektromagnetickávlnareprezentovanápaprskem
se dvěma čely vln (vlnoplochami) vzdálenými o vlnovou
délku λ. (b) Tatáž vlna reprezentovaná „momentkou“ svého
elektrického pole E a magnetického pole B v bodech na ose x,
podélkterésevlnašířírychlostíc.KdyžprocházíbodemP,pole
seměnítak,jakjenakreslenonaobr.34.4.Elektrickásložkavlny
je tvořena pouze elektrickým polem, magnetická pouze polem
magnetickým. Vyšrafovaný obdélníček u P je užit v obr.34.6.
Elektromagnetickouvlnumůžemeznázornittak,jakje
to udělánona obr.34.5a:paprskem(čárou,jejížsměruka-
zujesměršíření)avlnoplochami—čelyvlny(myšlenými
plochami, na kterých má vlna tutéž fázi). Dvě čela vlny se
stejnou fází, znázorněná na obr.34.5a, jsou od sebe vzdá-
lena o jednu vlnovou délku λ = 2D4/k vlny. Vlny šířící se
přibližně stejným směrem vytvářejí svazek, např. laserový
svazek, který může být reprezentován paprskem.
34.3 POSTUPNÁ ELEKTROMAGNETICKÁ VLNA (KVANTITATIVNĚ) 893
Vlnu můžeme znázornit též tak, jak je to vidět na
obr.34.5b. Ten ukazuje vektory elektrického a magnetic-
kéhopole jako„momentku“v určitémčasovémokamžiku.
Křivka proložená koncovými body šipek znázorňuje sinu-
sové oscilace dané rov.(34.1) a (34.2), složky vlny E a B
jsou ve fázi, jsou kolmé navzájem i ke směru šíření vlny.
Při interpretaci obr.34.5b musíme být poněkud opa-
trní. Podobné kresby příčných vln na napjaté struně, které
jsmediskutovalivkap.17,znázorňovalypřemístquoterightováníčástí
struny nahoru a dolů při šíření vlny (něco se skutečně hý-
balo). Smysl obr.34.5b je abstraktnější. V určitém daném
okamžiku má elektrické a magnetické pole podél osy x ur-
čitouvelikostasměr(vždykolmýkosex).Protožejsmese
rozhodliznázornitvektorovéveličinyšipkami,musímena-
kreslit šipky různé délky, všechny směřující od osy x,jako
trny na stonku růže. Ale tyto šipky reprezentují hodnoty
pole pro body, které jsou na ose x. Ani šipky, ani sinu-
sové křivky neznamenají nějaký pohyb do strany a šipky
nespojují body na ose s nějakými body mimo tuto osu.
Obr.34.5znázorňujesituaci,kterájevlastněvelmislo-
žitá. Všimněme si nejprve magnetického pole. Protože se
sinusově mění, indukuje k němu kolmé elektrické pole
(elektromagnetická indukce), které se též mění sinusově.
Ale protože se toto elektrické pole sinusově mění, indu-
kuje k němu kolmé magnetické pole (magnetoelektrická
indukce), a to se též mění sinusově. A tak dále. Tato dvě
pole se neustále vytvářejí jedno z druhého díky indukci
a výsledné sinusové změny těchto polí se šíří jako vlna —
elektromagnetická vlna. Bez tohoto překvapujícího vý-
sledku bychom nemohli nic vidět. A navíc, protože potře-
bujeme elektromagnetické vlny ze Slunce, aby udržovaly
teplotu Země, nemohli bychom bez něho vůbec existovat.
Velmi podivná vlna
Vlny, o kterých jsme mluvili v kap.17 a 18, vyžadovaly
určité hmotné prostředí, kterým se mohly šířit. Byly to
vlny šířící se na struně,procházejícíZemí nebo vzduchem.
Ale elektromagnetická vlna (říkejme světelná vlna nebo
prostě světlo) se od nich podivně liší — nepotřebuje ke
svému šíření žádné hmotné prostředí. Může se skutečně
šířit např. vakuem mezi nějakou hvězdou a námi.
Jakmile byla obecně přijata speciální teorie relativity
(dlouho poté, co ji Einstein v r. 1905 publikoval), bylo
jasné, že rychlost šíření světla je něčím zcela zvláštním.
Světlomátotižstáletutéžrychlostnezávislenasouřadném
systému,ve kterém ji měříme. Jestliževyšlete světelný pa-
prsek podél nějaké osy a požádáte několik pozorovatelů,
kteří se pohybují podél této osy různými rychlostmi, atquoteright
už ve směru šíření paprsku nebo ve směru opačném, aby
rychlostsvětlazměřili,naměřívšichnitutéžrychlost.Tento
výsledekjepřekvapujícíajetoněcozcelajiného,nežkdyby
pozorovatelé měřili rychlost například zvuku: pro zvuk by
rychlost, s níž se pozorovatelé pohybují, ovlivnila jejich
měření (podle pravidla o skládání rychlostí).
Metr je nyní definován tak, že rychlost světla (a také
kteréhokoli jiného elektromagnetického vlnění) ve vakuu
je přesně
c = 299792458m·s
−1
,
což je možno užít jako standard. (Dalo by se říci, že když
nyní měříte dobu šíření světelného pulzu z jednoho bodu
dodruhého,neměřítevlastněrychlostsvětla,alevzdálenost
mezi těmito dvěma body.)
34.3 POSTUPNÁ
ELEKTROMAGNETICKÁ VLNA
(KVANTITATIVNĚ)
Nyní odvodíme rov.(34.3) a (34.4) a kromě toho — což
je důležitější — vyšetříme, jak se navzájem indukují elek-
trické a magnetické pole v elektromagnetické vlně.
Rov.(34.4) a indukované elektrické pole
Čárkovaný obdélník o rozměrech dx a h na obr.34.6 má
středvboděP naosex aležívroviněxy (jepatrnývpravé
části obr.34.5b). Když se elektromagnetická vlna šíří smě-
remdopravapřesobdélník,magnetickýtokΦ
B
obdélníkem
seměníavdůsledkuelektromagnetickéindukcesevoblasti
obdélníka objeví indukované elektrické pole. Označme E
a E + dE intenzity indukovaného pole elektrického podél
dvou delších stran obdélníka.
x
y
z
h
dx
E
B
E+dE
P
Obr.34.6 Když elektromagnetická vlna prochází bodem P
zobr.34.5,paksinusovézměnymagnetickéhopoleB,procháze-
jícího obdélníčkem se středem v bodě P, indukují v obdélníčku
elektrické pole. Ve znázorněném okamžiku se pole B zmenšuje
aindukované elektricképole jetedyvětší na pravéstraněobdél-
níčku než na straně levé.
Všimněme si okamžiku, kdy obdélníkem prochází
magnetická složka vlny označená na obr.34.5b červeně.
Právě tehdy má magnetická indukce v obdélníku směr
kladné osy z a zmenšuje se (než pole dosáhlo červenou
oblast, bylo větší). Protože se magnetické pole zmenšuje,
894 KAPITOLA 34 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY
zmenšuje se i magnetický tok Φ
B
obdélníkem. Podle Fa-
radayova zákona působí indukované elektrické pole proti
změně toku Φ
B
, a tedy musí být takové, aby vyvolávalo
magnetické pole v kladném směru osy z. To znamená, že
představíme-li si obvod obdélníka jako vodivou smyčku,
musel by se v ní objevit proud s orientací proti směru otá-
čení hodinových ručiček. Žádná vodivá smyčka tam není,
ale tato analýza ukazuje, že vektory E a E + dE induko-
vaného elektrického pole jsou skutečně orientovány tak,
jak ukazuje obr.34.6, přičemž velikost vektoru E + dE je
většínežvelikostvektoruE.Jinakbyindukovanéelektrické
polenepůsobilovesměruobvodučtyřúhelníkaprotisměru
otáčení hodinových ručiček.
Použijme nyní Faradayova zákona elektromagnetické
indukce (rov.(21.22)):
contintegraldisplay
E·ds =−
dΦ
B
dt
, (34.6)
kde integrujeme proti směru otáčení hodinových ručiček
kolem obdélníka na obr.34.6. K integrálu nepřispívá horní
ani dolní strana obdélníka, protože E ads jsou tam navzá-
jem kolmé. Integrál má tedy hodnotu
contintegraldisplay
E·ds = (E +dE)h−Eh= hdE. (34.7)
Tok Φ
B
tímto obdélníkem je
Φ
B
= (B)(hdx)cos0, (34.8)
kde B popisuje magnetické pole uvnitř obdélníka a hdx je
jeho obsah.Derivováním rov.(34.8) podle času dostaneme
dΦ
B
dt
= hdx
dB
dt
. (34.9)
Dosadíme-li rov.(34.7) a (34.9) do rov.(34.6), dostaneme
hdE =−hdx
dB
dt
neboli
dE
dx
=−
dB
dt
. (34.10)
JakB,takiEjsouovšemfunkcemidvouproměnných,xat,
jakukazujírov.(34.1)a(34.2).PřivýpočtudE/dx musíme
předpokládat,žečasjekonstantní,protožeobr.34.6je„mo-
mentka“.PodobněpřistanovenídB/dt musímepředpoklá-
dat, že x je konstantní, protože měříme rychlost časové
změny B na určitém místě,totiž v bodě P z obr.34.5b.Jde
tedy o derivace parciální a rov.(34.10) přepíšeme
∂E
∂x
=−
∂B
∂t
. (34.11)
Znaménko minusje v této rovnici správnéanezbytné,pro-
tože zatímco podél strany x v obdélníku, podél kterého
v obr.34.6 integrujeme,se E zvětšuje,B se s časemzmen-
šuje.
Z rov.(34.1) dostáváme
∂E
∂x
= kE
m
cos(kx −ωt)
a z rov.(34.2)
∂B
∂t
=−ωB
m
cos(kx −ωt).
Rov. (34.11) pak dává
kE
m
cos(kx −ωt) = ωB
m
cos(kx −ωt). (34.12)
Poměr ω/k je rychlost postupné vlny; značíme ji c.
Rov.(34.12) pak bude mít tvar
E
m
/B
m
= c (poměr amplitud), (34.13)
což je rov.(34.4).
Rov.(34.3) a indukované magnetické pole
Obr.34.7 ukazuje jiný vyšrafovaný obdélník se středem
v bodě P z obr.34.5; tentokrát leží v rovině xz. Když se
elektromagnetická vlna šíří ve směru doprava přes tento
obdélníček, mění se jím procházející elektrický tok Φ
E
avdůsledkumagnetoelektrickéindukcesevytvářívoblasti
obdélníka indukované magnetické pole.
x
z
y
h
dx
E
B
B+dB
P
Obr.34.7 Sinusovázměnaelektrickéhopoleprocházejícíhoob-
délníčkemsestředemvboděP (obr.34.5)indukujevobdélníčku
(vtomtoobrázku)magneticképole.Znázorněnýokamžikjeten-
týž jako v obr.34.6: E se zmenšuje a indukované magnetické
pole je proto větší na pravé straně než na straně levé.
Obr.34.7znázorňujesituacivestejnémokamžikujako
obr.34.6. Připomeňme si, že v tomto zvoleném okamžiku
magnetické pole na obr.34.6 klesá. Protože obě pole jsou
ve fázi, elektrické pole na obr.34.7, tedy i elektrický tok
Φ
E
se musí též zmenšovat. Na základě úvahy, které jsme
použili pro obr.34.6, zjistíme, že měnící se tok Φ
E
bude
indukovat magnetické pole s vektory magnetické indukce
34.4 PŘENOS ENERGIE A POYNTINGŮV VEKTOR 895
B a B+dB orientovanými tak, jak je ukázáno na obr.34.7,
přičemž B+dB je větší než B.
Použijeme rov.(32.28) pro magnetoelektrickou in-
dukci
contintegraldisplay
B·ds = µ
0
ε
0
dΦ
E
dt
, (34.14)
kdeintegraceprobíháprotisměruotáčeníhodinovýchruči-
čekkolemvyšrafovanéhoobdélníkaz obr.34.7.K hodnotě
integrálu přispívají pouze dlouhé strany obdélníka; je tedy
contintegraldisplay
B·ds =−(B +dB)h+Bh=−hdB. (34.15)
Tok Φ
E
obdélníkem je
Φ
E
= (E)(hdx)cos0, (34.16)
kdeE popisujeelektricképoleuvnitřobdélníka.Derivová-
ním rov.(34.16) podle t dostaneme
dΦ
E
dt
= hdx
dE
dt
. (34.17)
Dosadíme-lirov.(34.15) a(34.17) dorov.(34.14),získáme
−hdB = µ
0
ε
0
parenleftbigg
hdx
dE
dt
parenrightbigg
,
nebo, změníme-li zápis na parciální derivace, jako jsme to
uděla