hrw3

m počtem různých
dvojic svých složek.
Která z nich je ta pravá? Odpovědquoteright je jednoduchá:
Všechna zadání jsou rovnocenná, nebotquoteright reprezentují týž
vektor v různých soustavách souřadnic.Každou dvojici
údajů (a
x
,a
y
) je však třeba spojit s informací, k jaké
x
y
x
prime
y
prime
O
x
y
O
ϕ
θ
θ
prime
aa
a
x
a
prime
x
a
y
a
prime
y
(a) (b)
Obr.3.18 (a) Vektor a a jeho složky ve zvolené soustavě sou-
řadnic.(b) Složky téhož vektoru v soustavě souřadnic otočené
o úhel ϕ.
soustavě souřadnic jsou údaje vztaženy.Výpočet velikosti
a směru vektoru pomocí kterékoli z rovnocenných dvojic
složek vede ke stejnému výsledku (obr.3.18):
a =
radicalBig
a
2
x
+a
2
y
=
radicalBig
a
prime2
x
+a
prime2
y
, (3.13)
θ = θ
prime
+ϕ. (3.14)
Předchozí úvahy jsou dokladem značné libovůle při výběru
soustavy souřadnic.Vztahy pro vektory i vektorové součty
(rov.(3.1)), jsou totiž nezávislé jak na poloze jejího po-
čátku, tak na orientaci souřadnicových os.Totéž platí i pro
fyzikální vztahy a zákony: jsou nezávislé na volbě soustavy
souřadnic.Připojme k tomu jednoduchost a bohatost vekto-
rové algebry a pochopíme, proč je řada fyzikálních zákonů
vyjádřena vektorovými rovnicemi: jediná vektorová rov-
nice (3.9) zastupuje hned tři rovnice skalární, (3.10), (3.11)
a (3.12).
3.7 NÁSOBENÍVEKTORŮ*
Existuje více různých způsobů násobení vektorů.
Násobenívektoruskalárem
Výsledkem násobení vektoru a skalárem s je opět vektor.
Jeho velikost je součinem velikosti vektoru a a absolutní
hodnoty skaláru s.Je-li hodnota s kladná, je směr výsled-
ného vektoru shodný se směrem vektoru a, pro zápornou
hodnotu s je opačný.Dělením vektoru a nenulovým skalá-
rem s rozumíme násobení jeho převrácenou hodnotou 1/s.
Skalárems může být jak číslo (fyzikálně bezrozměrová
konstanta), tak fyzikální veličina.V druhém případě je vý-
sledkem násobení vektorová fyzikální veličina jiné povahy
než a.
* Pojmy vyložené v tomto článku budeme potřebovat až v pozdějších
kapitolách (skalární součin v kapitole 7 a vektorový součin v kapi-
tole 12).Studium článku lze v tuto chvíli ještě odložit.
3.7 NÁSOBENÍ VEKTORŮ 49
Skalárnísoučinvektorů
V matematice jsou definovány dvě různé operace, které
mohou být nazývány násobením dvou vektorů.Výsled-
kem prvé z nich je skalár, výsledkem druhé je další vektor.
Studenti tyto operace často zaměňují, a tak je budeme od
prvopočátku pečlivě rozlišovat.
Složka vektoru a
do směru vektoru b
je rovna acosϕ.
Složka vektoru b
do směru vektoru a
je rovna bcosϕ.
a
b
a
b
ϕ
ϕ
(a)
(b)
Obr.3.19 (a) Vektory a a b svírají úhel ϕ.(b) Složka vektoru
a ve směru vektoru b je a cosϕ, složka vektoru b ve směru
vektoru a je b cosϕ.
Skalárnísoučin vektorů a a b (zapisujeme a · b)je
definován vztahem (obr.3.19a)
a · b = abcosϕ, (3.15)
kdea a b jsou velikosti vektorů a a b,ϕ je úhel mezi nimi.*
Všimněme si, že na pravé straně rovnice (3.15) vystupují
pouze skaláry (a, b acosϕ).Výraz a · b na levé straně
je tedy rovněž skalární veličinou.Přepíšeme-li definiční
rovnici (3.15) do tvaru
a · b = (a cosϕ)(b) = (a)(bcosϕ), (3.16)
vidíme, že skalární součin je možné interpretovat i jako
součin (1) velikosti prvého z obou vektorů a (2) složky
druhého z nich ve směru prvého.Výsledek je samozřejmě
na pořadí vektorů nezávislý.Na obr.3.19b jsou znázorněny
obě možnosti: Složka vektoru a ve směru b má hodnotu
a cosϕ.Určíme ji tak, že koncovým bodem vektoru a ve-
deme kolmici k přímce určující směr vektoru b.Podobně
* Úhlem mezi dvěma vektory rozumíme úhel mezi jejich orientova-
nými směry.V případě vektorů a a b na obr.3.18 je jím úhel ϕ, nikoli
360
◦
−ϕ.
lze zjistit, že složka vektoru b do směru a má hodnotu
b cosϕ.Pro ϕ = 0
◦
(resp. ϕ = 180
◦
) má průmět kterého-
koli z obou vektorů do směru druhého největší možnou ve-
likost a skalární součin nabývá své největší (resp.nejmenší)
hodnoty.
Pro ϕ = 90
◦
jsou oba průměty nulové a odpovída-
jící hodnota skalárního součinu je tedy rovněž nulová.Pro
skalární součin platí komutativní zákon
a · b = b · a.
Při zápisu vektorů a a b pomocí jednotkových vektorů
můžeme skalární součin vyjádřit ve tvaru
a · b = (a
x
i +a
y
j +a
z
k)·(b
x
i +b
y
j +b
z
k) (3.17)
a při další úpravě použít distributivního zákona: každý sčí-
tanec v prvé závorce skalárně vynásobíme postupně všemi
sčítanci ve druhé závorce a výsledky sečteme.* Dostaneme
poměrně složitý výraz s devíti sčítanci, který však vzápětí
dokážeme opět zjednodušit:
a · b = (a
x
i)·(b
x
i)+(a
x
i)·(b
y
j)+(a
x
i)·(b
z
k)+
+(a
y
j)·(b
x
i)+(a
y
j)·(b
y
j)+(a
y
j)·(b
z
k)+
+(a
z
k)·(b
x
i)+(a
z
k)·(b
y
j)+(a
z
k)·(b
z
k).
Uvažujme například první z těchto devíti skalárních sou-
činů.Vektory (a
x
i) a (b
x
i) mají stejný směr.V souhlasu
s obr.3.19 má jejich skalární součin hodnotu a
x
b
x
.Ob-
dobně je (a
y
j) · (b
y
j) = a
y
b
y
a (a
z
k) · (b
z
k) = a
z
b
z
.
V ostatních případech jde o skalární součin kolmých vek-
torů, který je nulový.Skalární součin vektorů lze tedy po-
mocí jejich složek v kartézské soustavě souřadnic vyjádřit
vztahem
a · b = a
x
b
x
+a
y
b
y
+a
z
b
z
.
K
ONTROLA 4: Vektor C má velikost 3 jednotky, vek-
tor D 4 jednotky.Jaký úhel tyto vektory svírají, má-li
jejich skalární součin C · D hodnotu (a) nulovou,
(b) 12 jednotek, (c) −12 jednotek?
* Zatímco komutativnost skalárního součinu je okamžitě zřejmá hned
z definičního vztahu (3.15), u distributivního zákona tomu tak není.
Pomocí přímých, i když poměrně pracných výpočtů využívajících ele-
mentárních vztahů z trigonometrie by však bylo schůdné jeho platnost
dokázat (dobří počtáři se o to mohou pokusit).
50 KAPITOLA 3 VEKTORY
PŘÍKLAD3.6
Jaký úhel svírají vektory a = 3,0i−4,0j a b =−2,0i+3,0k?
ŘEŠENÍ: Podle vztahu (3.15) má skalární součin zadaných
vektorů hodnotu
a · b = abcosϕ =
=
radicalbig
3,0
2
+(−4,0)
2
radicalbig
(−2,0)
2
+ 3,0
2
cosϕ =
= 18,0cosϕ. (3.18)
Podle rov.(3.17) je současně
a · b = (3,0i − 4,0j)·(−2,0i + 3,0k).
Užitím distributivního zákona dostaneme
a · b = (3,0i)·(−2,0i)+(3,0i)·(3,0k)+
+(−4,0j)·(−2,0i)+(−4,0j)·(3,0k).
Každý ze skalárních součinů na pravé straně předchozí rov-
nosti vyčíslíme pomocí rov.(3.15).Vektory 3 ,0i a−2,0i vpr-
vém z nich svírají úhel 0
◦
, ve všech ostatních případech jde
o skalární součin kolmých vektorů.Dostáváme
a · b =−(6,0)(1)+(9,0)(0)+(8,0)(0)−(12)(0) =
=−6,0. (3.19)
Výsledek můžeme ověřit vyjádřením skalárního součinu vek-
torů pomocí jejich složek:
a · b = (3,0)(−2,0)+(−4,0)(0)+(0)(3,0) =−6,0.
Získaná hodnota se ovšem musí shodovat s pravou stranou
rovnice (3.18), tj.
18,0cosϕ =−6,0
a odtud
cosϕ =
−6,0
18,0
=−0,333,
ϕ = 109
◦
.
= 110
◦
. (Odpovědquoteright)
Vektorovýsoučin
Vektorový součin vektorů a a b značíme a × b.Výsled-
kem je vektor c, který je kolmý k a i b.Jeho velikost je
definována vztahem
c = absinϕ, (3.20)
kde a a b jsou opět velikosti vektorů a a b a ϕ je úhel mezi
nimi.Jsou-li vektory a a b rovnoběžné, atquoteright již souhlasně či
nesouhlasně, je a×b = 0.Velikost vektoru a×b (píšeme
|a × b|) nabývá největší možné hodnoty, jsou-li vektory a
a b kolmé.
Výsledný vektor c je definován jako vektor kolmý k ro-
vině určené vektory a a b.Jeho orientace je určena tzv.pra-
vidlem pravé ruky, které je znázorněno na obr.3.20a:
Vektory a a b umístíme do společného počátečního
bodu.Zachováme přitom jejich směry.Společným počát-
kem vedeme kolmici k rovině určené oběma vektory.Kol-
mici „uchopíme“ pravou rukou tak, aby prsty ukazovaly
od vektoru a k b „cestou“ menšího z obou úhlů (úhel ϕ
v obr.3.20).Vztyčený palec ukazuje správně orientovaný
směr vektoru c.
a
b
c=a×b
c
prime
=b×a
a
b
ϕ
ϕ
(a)(b)
Obr.3.20 Pravidlopravéruky pro vektorový součin.(a) Na-
točte pravou ruku tak, aby vektor a byl ve směru ukazováčku
a b ve směru prostředníku.Pak palec ukazuje směr c = a × b.
(b) Vidíme, že (a × b) =−(b × a).
Na rozdíl od skalárního součinu je pořadí činitelů při
vektorovém násobení důležité.Obr.3.20b ukazuje použití
pravidla pravé ruky při určení směru vektoru c
prime
= b × a.
Prsty nyní směřují od b k a a palec ukazuje opačným smě-
rem, než na obr.3.20a.Vektor c
prime
je tedy opačný k vektoru c,
c
prime
=−c.Platí tedy
b × a =−(a × b). (3.21)
Pro vektorový součin neplatí komutativní zákon.
Pomocí jednotkových vektorů můžeme psát
a × b = (a
x
i +a
y
j +a
z
k)×
×(b
x
i +b
y
j +b
z
k). (3.22)
Při úpravě opět použijeme distributivní zákon: každý člen
první závorky vektorově vynásobíme každým sčítancem ve
druhé závorce a výsledky sečteme.* Roznásobte závorky
na pravé straně rov.(3.22) a porovnejte výsledek se vztahy
v dod.E.
Pomocí vektorového součinu lze snadno rozhodnout,
zda je zvolená soustava souřadnic pravotočivá.V kladném
případě musí být splněna rovnost i × j = k.Ověřte její
platnost pro souřadnicovou soustavu na obr.3.14.
* Platnost distributivního zákona pro vektorový součin lze opět doká-
zat užitím pravidel elementární geometrie a užitím skalárního součinu.
3.7 NÁSOBENÍ VEKTORŮ 51
K
ONTROLA 5: Vektor C má velikost 3 jednotky a vek-
tor D 4 jednotky.Jaký úhel tyto vektory svírají, (a) je-li
vektor C × D nulový, (b) má-li vektor C × D velikost
12 jednotek?
PŘÍKLAD3.7
Vektor a leží v rovině xy (obr.3.21).Má velikost 18 jednotek
a s kladným směrem osy x svírá úhel 250
◦
.Vektor b má
velikost 12 jednotek a je souhlasně rovnoběžný s kladným
směrem osy z.
x y
z
a b
c
=
a
×
b
250
◦
160
◦
Obr.3.21 Příklad 3.7. Vektorové násobení
(a) Vypočtěte skalární součin zadaných vektorů.
ŘEŠENÍ: Vektory svírají úhel ϕ = 90
◦
.Podle rov.(3.15)
tedy platí
a · b = abcosϕ = (18)(12)(cos 90
◦
) = 0. (Odpovědquoteright)
Skalární součin kolmých vektorů má vždy nulovou hodnotu.
Odpovídá to skutečnosti, že průmět kteréhokoli z nich do
směru druhého je nulový.
(b) Vypočtěte vektorový součin c = a × b.
ŘEŠENÍ: Velikost vektorového součinu určíme z definič-
ního vztahu (3.20).
absinϕ = (18)(12)(sin 90
◦
) = 216. (Odpovědquoteright)
Vektor c je kolmý na rovinu vektorů a a b.Je tedy kolmý
kosez, nebotquoteright vektor b v ní leží.Vektor c tedy leží v sou-
řadnicové rovině (xy).Pomocí obr.3.21 určíme ještě jeho
směr: Vektor c je kolmý i k vektoru a.S kladným smě-
rem osy x tedy svírá úhel budquoteright 250
◦
− 90
◦
= 160
◦
,nebo
250
◦
+ 90
◦
= 340
◦
.Užitím pravidla pravé ruky se snadno
přesvědčíme, že správná je první možnost (obr.3.21).
PŘÍKLAD3.8
Určete c = a × b,je-lia = 3i − 4j a b =−2i + 3k.
ŘEŠENÍ: Dosazením do rov.(3.22) dostaneme výraz
c = (3i − 4j)×(−2i + 3k),
který rozepíšeme pomocí distributivního zákona:
c =−(3i×2i)+(3i×3k)+(4j×2i)−(4j×3k).
Pro každý z těchto čtyř vektorových součinů vypočteme podle
rov.(3.20) jeho velikost a užitím pravidla pravé ruky určíme
jeho směr.U prvého z nich je ϕ = 0
◦
, u ostatních ϕ = 90
◦
.
Nakonec dostaneme
c = 0 − 9j − 8k − 12i =
=−12i − 9j − 8k. (Odpovědquoteright)
RADYANÁMĚTY
Bod3.5:Častéchyby při výpočtu vektorového součinu
Při výpočtu vektorového součinu se můžeme snadno dopustit
některé z následujících chyb.(1) Je-li grafické zadání úlohy
nevhodné pro výpočet vektorového součinu (vektory jsou
zakresleny například tak, že počáteční bod jednoho z nich
splývá s koncovým bodem druhého) potřebujeme umístit
vektory do společného počátečního bodu.Někdy přitom za-
pomeneme, že nesmíme změnit směr vektorů.(2) Stane se, že
chybně použijeme pravidlo pravé ruky, třeba když v ní sou-
časně držíme kalkulačku nebo pero.(3) K omylu může snadno
dojít i tehdy, je-li potřeba při použití pravidla pravé ruky ruku
nepřirozeně zkroutit, nebo když se snažíme směr výsledného
vektoru jen odhadnout.(4) Výsledek bude chybný, nepracu-
jeme-li v pravotočivé soustavě souřadnic (obr.3.14).
52 KAPITOLA 3 VEKTORY
PŘEHLED&SHRNUTÍ
Skaláryavektory
Skaláry (skalární veličiny) jsou jednoznačně určeny jediným
číslem a příslušnou jednotkou (například teplota 82
◦
C).Při po-
čítání se skaláry používáme běžných pravidel aritmetiky a alge-
bry čísel. Vektory mají velikost a směr (například posunutí 5 m
severně).Při výpočtech platí zvláštní pravidla vektorové algebry.
Grafickámetodasčítánívektorů
Vektory a a b narýsujeme ve vhodném měřítku tak, že počáteční
bod kteréhokoli z nich umístíme do koncového bodu druhého.
Jejich součtem je vektor s spojující počáteční bod prvého vektoru
s koncovým bodem druhého (obr.3.3).Tvoří úhlopříčku v rov-
noběžníku určeném vektory a a b podle obr.3.4.Při odečítání
vektoru b od vektoru a změníme směr vektoru b a získáme tak
vektor opačný −b, který přičteme k a (obr.3.7).Pro vektorové
sčítání platí komutativní a asociativní zákon.
Složkyvektoru
Složky vektoru v rovině jsou určeny jeho kolmými průměty do
směrů souřadnicových os x a y.Složky a
x
a a
y
vektoru a jsou
dány vztahy
a
x
= a cosθ a a
y
= a sinθ, (3.5)
kde θ je úhel vektoru a s kladným směrem osy x.Znaménko
složky určuje orientaci odpovídajícího průmětu vektoru vzhle-
dem ke kladnému směru souřadnicové osy.Pomocí složek vek-
toru můžeme určit jeho velikost i směr
a =
radicalBig
a
2
x
+a
2
y
atgθ =
a
y
a
x
.(3.6)
Jednotkovévektory
Vektory i, j a k jsou definovány jako navzájem kolmé vektory
jednotkové velikosti, jejichž směry jsou souhlasně rovnoběžné
sosamix, y a z pravotočivé soustavy souřadnic.Libovolný
vektor a můžeme pomocí nich zapsat ve tvaru
a = a
x
i +a
y
j +a
z
k,(3.7)
kde a
x
i, a
y
j a a
z
k jsou kolmé průměty vektoru a do souřadni-
cových os a a
x
, a
y
a a
z
jsou jeho složky.
Algebraickámetodasčítánívektorů
Algebraická metoda výpočtu součtu r vektorů a a b je založena
na použití pravidla „sčítání po složkách“:
r
x
= a
x
+b
x
, (3.10)
r
y
= a
y
+b
y
, (3.11)
r
z
= a
z
+b
z
. (3.12)
Vektoryafyzikálnízákony
Při řešení fyzikálních problémů vyžadujících vektorový popis
lze použít kteroukoli z mnoha přípustných souřadnicových sou-
stav.Její výběr většinou podřizujeme požadavku co největšího
zjednodušení formulace a řešení dané úlohy.Vztahy mezi vek-
torovými veličinami i fyzikální zákony samy jsou na volbě sou-
stavy souřadnic nezávislé.
Násobenívektoruskalárem
Výsledkem násobení vektoru v skalárem s je vektor o velikosti
|s||v|.Pro s>0 je jeho směr souhlasný se směrem vektoru v,pro