hrw3

k.Podle
běžné dohody je šipka orientována v kladném směru osy,
je-li příslušná složka vektoru kladná a naopak.Vektor b na
obr.3.10 má složku b
x
kladnou a složku b
y
zápornou.
O
y
θ
ϕ
x
b
x
=7 jednotek
b
y
=−5 jednotek
b
Obr.3.10 Složka vektoru b ve směru osy x je kladná, složka ve
směru osy y je záporná.
44 KAPITOLA 3 VEKTORY
Vektor je svými složkami jednoznačně zadán stejně
dobře jako svou velikostí a směrem.Všimněme si znovu
obr.3.9a. Vektor a, ležící v rovině tvořené osami x a y,
je v každém případě plně určen dvojicí čísel: velikostí a
a úhlem θ, nebo složkami a
x
a a
y
.Každá z těchto dvojic
obsahuje tutéž výslednou informaci.Podle potřeby můžeme
přecházet od jednoho způsobu vyjádření vektoru k druhé-
mu.Známe-li např.složky a
x
a a
y
, vypočteme velikost a
a úhel θ takto (obr.3.9c):
a =
radicalBig
a
2
x
+a
2
y
atgθ =
a
y
a
x
. (3.6)
Při řešení úloh můžeme vektor vyjadřovat jak pomocí jeho
složek a
x
a a
y
, tak i pomocí dvojice a a θ.
K
ONTROLA 2: Který z následujících obrázků předsta-
vuje správný rozklad vektoru a do složek?
aaa
a
a
a
a
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
y
a
y
a
y
a
ya
y
a
y
yyy
yyy
xxx
xxx
(a)(b)(c)
(d)(e)(f)
PŘÍKLAD3.3
Malé letadlo odstartovalo za nevlídného počasí.Později bylo
spatřeno ve vzdálenosti 215 km od výchozího letiště v severo-
východním směru, svírajícím s místním poledníkem úhel 22
◦
.
Jaká byla jeho vzdálenost od letiště v severním a východním
směru?
ŘEŠENÍ: Na obr.3.11 je situace zakreslena v pravoúhlé
soustavě souřadnic xy, jejíž počátek jsme pro jednoduchost
umístili do polohy letiště.Osa x směřuje na východ, osa y na
sever.Vektor d spojuje počátek soustavy souřadnic s místem,
kde byl letoun opět spatřen.
Na otázku položenou v zadání úlohy snadno odpovíme,
určíme-li složky vektoru d.Použijeme rov.(3.5), kam dosa-
díme θ = 68
◦
(= 90
◦
− 22
◦
).Dostaneme
d
x
= d cosθ = (215 km)(cos 68
◦
) =
= 81 km (Odpovědquoteright)
a
d
y
= d sinθ = (215 km)(sin 68
◦
) =
= 199 km. (Odpovědquoteright)
Letadlo bylo spatřeno 199 km severně a 81 km východně od
letiště.
215
km
100
100
200
0
0
22
◦
d
θ
vzdál
e
nost
(
km)
vzdálenost (km)
x
y
P
Obr.3.11 Příklad 3.3. Letadlo odstartovalo z počátku soustavy
souřadnic O a později bylo spatřeno v bodě P.
RADYANÁMĚTY
Bod3.1:Úhly — stupně a radiány
Měříme-li úhel od kladného směru osyx, považujeme jeho
hodnotu měřenou proti směru otáčení hodinových ručiček za
kladnou, hodnotu měřenou po směru hodinových ručiček za
zápornou.* Tak například hodnoty 210
◦
a −150
◦
udávají
stejný směr.Proto velmi často nerozlišujeme mezi úhly, které
se liší o 360
◦
, tj.o plný úhel — např.právě úhel 210
◦
a−150
◦
.
Většina kalkulaček připouští při výpočtu goniometrických
funkcí úhlů obě možnosti.(Vyzkoušejte si tu svou.) Nejběž-
nějšími jednotkami pro měření úhlů jsou stupně (
◦
)aradiány
(rad).Jejich vzájemné přepočty jsou velmi snadné.Stačí si
zapamatovat, že plný úhel je roven 360
◦
a2D4 rad.Potřebu-
jeme-li například převést 40
◦
na radiány, píšeme
40
◦
2D4 rad
360
◦
= 0,70 rad.
Zkusme rychle ověřit, je-li získaný výsledek v pořádku.40
◦
je
jedna devítina plného úhlu 2D4 rad (
.
= 6,3rad).Výsledkem
přepočtu by tedy měla být hodnota
1
9
· 6,3.Vidíme, že jsme
přepočet provedli správně.Správnost převodu můžeme velmi
snadno posoudit také tehdy, zapamatujeme-li si přibližný
vztah 1 rad
.
= 57
◦
.
Kalkulačky jsou po zapnutí většinou automaticky nasta-
veny tak, že počítají úhly ve stupních.Chceme-li zadávat úhly
* Jen tak budou rov.(3.5) v souladu s přijatou konvencí pro znaménka
složek vektorů.Viz také bod 3.4.
3.4 JEDNOTKOVÉ VEKTORY 45
v radiánech, je třeba kalkulačku přepnout do příslušného pra-
covního režimu.Vyzkoušejte si to, než začnete řešit konkrétní
úlohy.
Bod3.2:Goniometrickéfunkce
Nejužívanější goniometrické funkce sinus, kosinus a tan-
gens je nutno dobře ovládat.Vědecké a technické výpočty
se bez nich totiž neobejdou.Definice těchto funkcí jsou shr-
nuty v obr.3.12. Označení jednotlivých stran pravoúhlého
trojúhelníka není rozhodující a hodnoty sinθ,cosθ atgθ
nezávisí ani na jeho „velikosti“.Pro všechny tzv.podobné
trojúhelníky jsou stejné.
přepona
protilehlá
odvěsna
přilehlá odvěsna
θ
sinθ =
protilehlá odvěsna
přepona
cosθ =
přilehlá odvěsna
přepona
tgθ =
protilehlá odvěsna
přilehlá odvěsna
Obr.3.12 Definice goniometrických funkcí.Viz též dod.E.
V případě potřeby bychom také měli umět hbitě si vybavit
grafy goniometrických funkcí (obr.3.13). Je výhodné si pa-
matovat, jaká jsou znaménka hodnot goniometrických funkcí
v jednotlivých kvadrantech.
Bod3.3:Cyklometrickéfunkce
Cyklometrickými funkcemi rozumíme funkce inverzní ke
goniometrickým.Nejdůležitější z nich jsou arcsin , arccos
a arctg .Používáme-li pro jejich výpočet opět kalkulačku,
musíme vždy dobře uvážit, je-li získaný výsledek v pořádku.
Kalkulačka totiž zobrazí pro zadanou hodnotu y vybrané go-
niometrické funkcef(x)(například sin ) jen jedno z možných
řešení x rovnice y = f(x)(y = sinx).Intervaly, v nichž leží
řešení získaná na kalkulačce,jsou pro funkce sin x,cosx atgx
vymezeny v obr.3.13 zesílením odpovídající části grafu.Rov-
nici 0,5 = sinx vyhovují hodnoty 30
◦
a 150
◦
a všechny
další, které se od nich liší o celočíselný násobek plného úhlu.
(O existenci různých řešení se můžeme snadno přesvědčit,
najdeme-li průsečíky přímky y = 0,5 s grafem funkce si-
nus.) Při výpočtu na kalkulačce se však na displeji objeví
právě výsledek 30
◦
, který leží ve vyznačeném intervalu.Jak
poznáme, které z možných řešení odpovídá zadané úloze?
Vratquoterightme se k příkladu 3.1, kde jsme mj. zjištquoterightovali úhel θ na
základě znalosti jeho tangenty, tgθ = 1,5.Na kalkulačce
dostaneme hodnotu θ = 56
◦
.Snadno však zjistíme, že také
tangenta úhlu θ = 236
◦
(= 180
◦
+ 56
◦
) má požadovanou
hodnotu 1,5.Který z obou úhlů je správný? Z fyzikální úvahy
je zřejmé, že zadání úlohy vyhovuje hodnota 56
◦
(obr.3.2b).
Bod3.4:Měření úhlů mezi vektory
Vztahy (3.5) a (3.6) platí v případě, že je symbolem θ ozna-
čen úhel, který svírá vektor a s kladným směrem osy x.
Je-li v úloze zadán úhel vektoru s jiným vztažným smě-
rem, nemůžeme jej do vztahů (3.5) a (3.6) bezmyšlenkovitě
dosadit.Pokud by byl například písmenem θ označen úhel
vektoru a s kladným směrem osy y, museli bychom goniome-
trické funkce sin a cos ve vztazích (3.5) mezi sebou vyměnit
a zlomek ve vztahu (3.6) převrátit. Možné chybě se snadno
vyhneme tím, že pomocí zadaného úhlu určujícího směr vek-
toru vypočteme úhel θ sevřený vektorem a kladným směrem
osy x.Přesně tak jsme to provedli při řešení příkladu 3.3.
(a)
(b)
(c)
kvadranty
tg
sin
cos
I II IIIIV IV
−90
◦
90
◦
180
◦
270
◦
360
◦
0
+1
−1
−90
◦
90
◦
180
◦
270
◦
360
◦
0
+1
−1
−90
◦
90
◦
180
◦
270
◦
360
◦
0
+1
−1
+2
−2
Obr.3.13 Grafy tří nejužívanějších goniometrických funkcí.Část
křivky určující obor hodnot odpovídající cyklometrické funkce je
v každém grafu zvýrazněna.Vyznačené obory splývají s rozmezím
hodnot cyklometrických funkcí běžných kalkulaček.
3.4 JEDNOTKOVÉVEKTORY
Jako jednotkový je definován každý vektor, který má
přesně jednotkovou velikost, bez ohledu na směr.Nepřisu-
zujeme mu fyzikální rozměr, a tedy ani jednotku.(Říkáme
46 KAPITOLA 3 VEKTORY
také, že jeho fyzikální rozměr je 1.) Má jediný význam:
určuje směr.Jednotkové vektory určující kladné směry
souřadnicových os x, y a z označujeme často i, j a k
(obr. 3.14).* Orientace souřadnicových os na obr. 3.14 je
volena tak, aby tvořily pravotočivousoustavu (odpovídá
po řadě palci, ukazovákua prostředníku na pravé ruce, když
prsteník a malík jsou v dlani).Při jejím libovolném otočení
zůstane tato vlastnost zachována.Pravotočivou soustavu
souřadnic určenou navzájem kolmými jednotkovými vek-
tory nazýváme zkráceně kartézskou.V dalším textu bu-
deme používat výhradně kartézských souřadnicových sou-
stav.
x
y
z
i
j
k
Obr.3.14 Jednotkové vektory i, j a k definují kartézskou sou-
stavu souřadnic.
Pomocí kolmých jednotkovýchvektorůi, j a k můžeme
velmi snadno vyjádřit každý další vektor.Vektory a a b
z obr. 3.9 a 3.10 zapíšeme například takto:
a = a
x
i +a
y
j, (3.7)
b = b
x
i +b
y
j. (3.8)
Geometrický význam těchto rovnic ilustruje obr.3.15.Vek-
tory a
x
i a a
y
j jsou tzv. pravoúhléprůměty vektoru a do
směru vektorů i a j.Rozlišujme mezi složkami (a
x
,a
y
)
a průměty a
x
i, a
y
j.
θ
θ
x
y
O
x
y
O
a
b
a
x
i
a
y
j
b
x
i
b
y
j
(a)(b)
Obr.3.15 (a), (b) Pravoúhlé průměty vektorů a, b.
* Dalšími užívanými symboly pro jednotkový vektor příslušný vek-
toru vectora jsou ˆa, vectora
0
,
vector
a
0
apod.
Vratquoterightme se ještě na chvíli k popisu cesty speleologické
skupiny v příkladu 3.1. Zvolme kartézskou soustavu sou-
řadnic tak, aby její počátek splýval s polohou Austinova
vchodu, vektory i a j směřovaly východním a severním
směrem a vektor k svisle vzhůru.Vyjádření vektoru posu-
nutí d od Austinova vchodu k řece Echo je při této volbě
soustavy souřadnic velmi přehledné:
d =−(2,6km)i −(3,9km)j +(0,025 km)k.
3.5 SČÍTÁNÍVEKTORŮ:
ALGEBRAICKÁMETODA
Při grafické konstrukci součtu vektorů jsme si mohli všim-
nout, že je poměrně pracná a nepříliš přesná.V trojrozměr-
ném prostoru je navíc takřka neschůdná.Přímá algebraická
metoda sčítání vektorů, s níž se seznámíme v tomto článku,
je při praktických výpočtech velmi účelná.Využívá vy-
jádření vektorů pomocí jejich složek ve vhodně zvolené
soustavě souřadnic.
Uvažujme o vektorovém součtu tvaru
r = a + b. (3.9)
Podle tohoto vztahu je vektor r shodný s vektorem(a+b).
Jeho složky r
x
, r
y
a r
z
musí být tedy shodné s odpovídají-
cími složkami součtu (a + b):
r
x
= a
x
+b
x
, (3.10)
r
y
= a
y
+b
y
, (3.11)
r
z
= a
z
+b
z
. (3.12)
Stručněji, dva vektory jsou si rovny právě tehdy, jsou-li
jejich stejnojmenné složky shodné.Rov.(3.10) až (3.12)
přímo obsahují návod pro výpočet složek součtu vektorů
a a b: (1) Vektory a a b rozložíme do složek.(2) Sečte-
ním stejnojmenných složek získáme odpovídající složky
vektorového součtu r a (3) vektor r pomocí nich v případě
potřeby zapíšeme.Můžeme zvolit dvojí způsob zápisu vek-
toru r: pomocí jednotkových vektorů nebo zadáním veli-
kosti a směru.Směr vektoru v dvojrozměrném prostoru je
určen jedním úhlem (například obr.3.9), v trojrozměrném
prostoru je třeba zadat dvojici úhlů.* Často se spokojíme
jen se zápisem složek vektoru, nejlépe ve tvaru(a
x
,a
y
,a
z
).
* Nejčastěji volíme zadání směru vektoru r pomocí úhlu θ,který
vektor r svírá s kladným směrem osy z (tzv. sférický úhel) a úhlu
ϕ mezi průmětem vektoru r do souřadnicové roviny (xy) aosoux
(azimutálníúhel).
3.5 SČÍTÁNÍ VEKTORŮ: ALGEBRAICKÁ METODA 47
K
ONTROLA 3: (a) Jaká znaménka majíx-ové a (b)y-ové
složky vektorů d
1
a d
2
v následujícím obrázku?
(c) Jaká jsou znaménka x-ové a y-ové složky vektoru
(d
1
+ d
2
)?
x
y
d
1
d
2
PŘÍKLAD3.4
Trasa mototuristické soutěže je vymezena následujícími po-
kyny: Od místa startu jedquoterightte po nejbližší silnici ke kontrolnímu
stanovišti A, které je od startu vzdáleno 36 km východním
směrem.Další kontrola B leží 42 km severně od A.Cíl C
je od stanoviště B vzdálen 25 km na severozápad.(Silnice
s kontrolními stanovišti jsou zakresleny na obr. 3.16.)
x
y
0
20
40
20 40
60
0
vzdálenost (km)
vzdál
e
nost
(
km)
A
B
C
a
b
c
d
θ
135
◦
Obr.3.16 Příklad 3.4. Plánek trasy mototuristické soutěže s vyzna-
čením kontrolních stanovištquoteright A, B a C a vhodnou volbou soustavy
souřadnic.
(a) Určete velikost a směr vektoru posunutí d od startu do
cíle C.
ŘEŠENÍ: Zvolme soustavu souřadnic v rovině trasy (sou-
řadnicová rovina (xy)) co nejvhodnějším způsobem.Příklad
vhodné volby je zachycen na obr.3.16.V obrázku jsou vyzna-
čeny i vektory posunutí příslušné třem přesunům popsaným
v pokynech soutěže.Vektor d má složky
d
x
= a
x
+b
x
+c
x
= 36 km + 0 +(25 km)(cos 135
◦
) =
= (36 + 0 − 17,7)km = 18,3km
a
d
y
= a
y
+b
y
+c
y
= 0 + 42 km +(25 km)(sin 135
◦
) =
= (0 + 42 + 17,7)km = 59,7km.
Velikost a směr vektoru d určíme pomocí vztahu (3.6).
d =
radicalBig
d
2
x
+d
2
y
=
radicalbig
(18,3km)
2
+(59,7km)
2
=
= 62 km, (Odpovědquoteright)
tgθ =
d
y
d
x
=
(59,7km)
(18,3km)
= 3,26,
θ = 73
◦
. (Odpovědquoteright)
Význam úhlu θ je zřejmý z obr.3.16.
(b) Vyjádřete vektor d pomocí jednotkových vektorů i a j.
ŘEŠENÍ: Vektor d zapíšeme jednoduše ve tvaru
d = (x-ová složka)i + (y-ová složka)j =
= (18,3km)i +(59,7km)j. (Odpovědquoteright)
PŘÍKLAD3.5
Vektory a,b a c ležící v souřadnicové rovině(xy)jsou zadány
takto:
a = 4,2i − 1,6j,
b =−1,6i + 2,9j,
c =−3,7j.
Určete jejich vektorový součet r.Pro jednoduchost nepracu-
jeme s jednotkami, pro pořádek je však možné si představit,
že složky vektorů jsou zadány v metrech.
ŘEŠENÍ: Uvědomme si nejprve, žez-ové složky vektorů le-
žících v souřadnicové rovině (xy) jsou nulové, proto vektor k
v jejich zápisech chybí. Podle rov. (3.10) až (3.12) platí
r
x
= a
x
+b
x
+c
x
= 4,2 − 1,6 + 0 = 2,6,
r
y
= a
y
+b
y
+c
y
=−1,6 + 2,9 − 3,7 =−2,4
a
r
z
= a
z
+b
z
+c
z
= 0 + 0 + 0 = 0,
tj.
r = 2,6i − 2,4j + 0k =
= 2,6i − 2,4j. (Odpovědquoteright)
Zadání příkladu i jeho výsledek vidíme na obr.3.17a.Rozklad
vektoru r do složek je na obr.3.17b.
48 KAPITOLA 3 VEKTORY
x
y
x
y
1
2341
2
3
4123
1
2
3
2,6i
−1−2−3
−1
−2
−3
−1−2−3
−1
−2
−3
−2,4j
a
b
c
r
r
(a)
(b)
Obr.3.17 Příklad 3.5. Vektor r je součtem tří vektorů
3.6 VEKTORYAFYZIKÁLNÍZÁKONY
Ve všech obrázcích jsme doposud kreslili osy soustavy sou-
řadnic rovnoběžně s okraji stránky.Složky a
x
aa
y
vektoru a
byly tedy rovněž měřeny podél těchto okrajů (například
obr.3.18a).Tato volba však nemá žádné hlubší matematické
či fyzikální opodstatnění, jedinou její předností je pěkný
vzhled obrázků.Klidně bychom mohli soustavu souřadnic
otočit o úhelϕ podle obr.3.18b (vektor a neotáčet!).V nové
soustavě souřadnic budou mít složky vektoru pochopitelně
jiné hodnoty.Označme je a
prime
x
a a
prime
y
.Různých otočení sou-
stavy souřadnic ϕ je ovšem nekonečně mnoho, a tak může
být jeden a týž vektor a zadán nekonečný